2015年高中数学第一章解三角形第1课时正弦定理(1)学案(无答案)新人教版必修5

1.1.3 解三角形的进一步讨论一、知识与技能1.掌握在三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学重点1.在三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)准备正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin===；余弦定理:a2=b2+c2-2bcco s A,b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C，bcacbA2cos222-+=,cabacB2cos222-+= ,abcbaC2cos222-+=.第二张:例3、例4(记作1．1．3B)[例3]△ABC, BD为角B的平分线,求证: AB∶BC＝AD∶DC.[例4]在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2ab sin C.第三张:例5(记作1．1．3C)[例5]在△ABC中,bco s A=aco s B,试判断三角形的形状.教学过程导入新课师前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.推进新课思考：在△ABC中，A=22c m，B=25c m,A=133°，解三角形．〔由学生阅读课本第9页解答过程〕从此题的分析我们发现，在三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．[例1]在△ABC中，A,B,A，讨论三角形解的情况.师分析：先由aAbBsinsin=可进一步求出B；那么C =180°-(A+B),从而ACacsinsin=.一般地，两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否那么无解．2.当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：〔1〕假设a＞b sin A，那么有两解；〔2〕假设a=b sin A，那么只有一解；〔3〕假设a＜b sin A，那么无解．〔以上解答过程详见课本第9到第10页〕师注意在三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时那么只有一解或无解．〔1〕A为直角或钝角〔2〕A为锐角[例2]在△ABC中，a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理教案新人教A版必修51.1.2 余弦定理一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3.能利用计算器进行运算.二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重、难点教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教学准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作1.1.2A)如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a?第二张:余弦定理(记作1.1.2B)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C,形式二:co s A=bcacb2222-+,co s B=cabac2222-+,co s C=abcba2222-+教导入新课学过程师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2.∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2,又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2,∴A 2=B 2-AD 2+C 2-2C ·AD +AD 2=B 2+C 2-2C ·AD .又∵在Rt△ADC 中,AD =B ·CO s A , ∴a 2=b 2+c 2-2ab c os A .类似地可以证明b 2=c 2+a 2-2caco s B .c 2=a 2+b 2-2ab c os C .另外,当A 为钝角时也可证得上述结论,当A 为直角时，a 2+b 2=c 2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B )推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.在幻灯片1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式:形式一:a 2=b 2+c 2-2bcco s A , b 2=c +a 2-2caco s B , c 2=a 2+b 2-2abco s C .形式二:bc a c b A 2cos 222-+=, cab ac B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.师 在余弦定理中,令 C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.[合作探究]2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角.师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CACB•这一数量积以使出现CO s C.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.由向量加法的三角形法则，可得BCABAC+=,∴,cos2)180cos(22)()(222222aBaccBCBBCABABBCBCABABBCABBCABACAC+-=+-︒+=+•+=+•+=•即B2=C2+A2-2AC CO s B.由向量减法的三角形法则，可得ABACBC-=,∴222222cos2cos22)()(cAbcbABAABACACABABACACABACABACBCBC+-=+•-=+•-=-•-=•即a2=b2+c2-2bcco s A.由向量加法的三角形法则,可得BCACCBACAB-=+=,∴,cos2cos22)()(222222aCbabBCCBCACACBCBCACACBCACBCACABAB+-=+•-=+•-=-•-=•即c2=a2+b2-2abco s C.[方法引导](1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ;AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C . [合作探究]师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B)通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角.例4这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8属这类情况.(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下.［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知B=60 c m，C=34 c m，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m）.解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bcco s A=602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A≈41 c m.由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0,因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得C ≈33°,B =180°-A -C =180°-41°-33°=106°.【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形.解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A ≈56°20′; co s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B ≈32°53′;C=180°-(A +B )=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.[知识拓展]补充例题： 【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到1°)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ,∴A ≈44°.∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a ≈0.807 1,∴C ≈36°.∴B =180°-(A +C )=180°-(44°+36°)=100°.[教师精讲](1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′,得c ≈4.297.∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.776 7,∴A ≈39°2′.∴B =180°-(A +C )=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′.[教师精讲]通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC .分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出.若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的.下面给出两种解法.解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A ,∴A 1=81.8°,A 2=98.2°, ∴C 1=38.2°,C 2=21.8°.由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2=5,∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac . 解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B ,∴72=c +82-2×8×cco s60°,整理得c 2-8c +15=0,解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac .[教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之. 课堂练习1.在△ABC 中:(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A ;(2)已知a =20,b B =29,c =21，求B ; (3)已知a =33,c =2,b =150°,求B ;(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A .解：(1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A =7.(2)由cab ac B 2cos 222-+=,得21202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B =90°.(3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b =7.(4)由bca cb A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A =45°.评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).(1)a =31,b =42,c =27;(2)a =9,b =10,c =15.解：(1)由bca cb A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.6755,∴A ≈48°.由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B ≈93°.∴C =180°-(A +B )=180°-(48°+93°)≈39°. (2)由,2222bca cb -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A ≈0.813 3,∴A ≈36°.由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,∴B ≈40°.∴C =180°-(A +B )=180°-(36°+40°)≈104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题.余弦定理1.余弦定理2.证明方法:3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法; (1)已知三边求任意角;。

1.1.1 正 弦 定 理[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2.问题1：求△ABC 的其他边和角． 提示：B ＝60°，C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3.问题2：试计算a sin A ，b sin B ，csin C 的值，三者有何关系？提示：asin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，csin C＝2，三者的值相等． 问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 提示：是．如图，∵sin A ＝ac， ∴asin A＝c . ∵sin B ＝b c，∴b sin B＝c . ∵sin C ＝1，∴asin A ＝b sin B ＝csin C. 问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角． 提示：如图，△ACD 为直角三角形，C ＝30°，AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3·AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？ 提示：满足．问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？ 提示：成立． [导入新知] 1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C .2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难] 对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.[例1] [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由bsin B ＝a sin A 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由asin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角； (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 解：∵A ＝45°，C ＝30°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由bsin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64， ∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6. ∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6.[例2] (1)△ABC 中，已知b ＝3，B ＝60°，c ＝1； (2)△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2. [解] (1)由正弦定理知 sin C ＝c sin B b ＝1×sin 60°3＝12，故C ＝30°或C ＝150°. ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝150°不符合题意，舍去． ∴A ＝90°，a ＝b 2＋c 2＝2. 故a ＝2，A ＝90°，C ＝30°. (2)由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32. 故C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. 故b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.[类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b .解：由a sin A ＝csin C，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝3π4.又∵c ＞a ， ∴C ＞A ， ∴只能取A ＝π4，∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.[例3] 在△cos C ，试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(R 为△ABC 外接圆半径)∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°. ∴C ＝90°－B ，cos C ＝sinB.∴2sin B cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形． [类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状．解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B ＝2R ，(R 为△ABC 外接圆半径)∴sin B ＝sin A ·cos C . ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0，∵A ，C ∈(0，π)，∴cos A ＝0， ∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30° [易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错．2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍． [成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32. 由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43， ∴ac ＝23×43＝24.②当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°， ∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.[随堂即时演练]1．(广东高考)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得BC sin A ＝ACsin B ，即32sin 60°＝ACsin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.2．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 的值为( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63解析：选D 根据正弦定理asin A ＝b sin B 可得15sin 60°＝10sin B， 解得sin B ＝33， 又因为b <a ，所以B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 3．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 是________三角形．解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知 sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2. 所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角4．(全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝______.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.答案：21135．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°； (2)a ＝7，b ＝14，A ＝150°； (3)a ＝9，b ＝10，A ＝60°. 解：(1)sin B ＝b sin 120°a ＝45×32＜32， 所以△ABC 有一解． (2)sin B ＝b sin 150°a＝1，所以△ABC 无解． (3)sin B ＝b sin 60°a ＝109×32＝539，而32＜539＜1， 所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的B 的取值范围为60°＜B ＜90°；当B 为钝角时有90°＜B ＜120°，也满足A ＋B ＜180°， 所以△ABC 有两解．[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin Aa的值相等的是( )A.b cB.sin Bsin A C.sin CcD.csin C解析：选C 由正弦定理得a sin A ＝csin C，所以sin A a ＝sin C c.2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ，∴2R sin A >2R sin B ， 即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4B ．12 3C ．4 3D ．12解析：选D 若设120°角所对的边长为x ，则由正弦定理可得x sin 120°＝46sin 45°，于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确． 对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ， 可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误. 二、填空题6．(北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.解析：在△ABC 中，根据正弦定理asin A ＝bsin B，有3sin2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22. 因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案：π47．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理，得 sin C ＝AB ·sin A BC ＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∴0°<A <120°，0°<C <120°且A ＝120°－C .∵a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴sin(120°－C )＋62＝2sin C ， 即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， ∴32sin C －32cos C ＝62. ∴sin(C －30°)＝22. ∵－30°<C －30°<90°，∴C －30°＝45°，C ＝75°.sin C ＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 10．(天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ； (2)若cos A ＝13，求sin C 的值． 解：(1)由a sin 2B ＝3b sin A 及正弦定理得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，所以B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.11．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ， a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A. 又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．12．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，A ，B 为两内角，试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B .∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：sin B cos A ＝sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π.∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形．。

1.1.1 正弦定理自主学习 （知识梳理）1．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．2．在Rt△ABC 中，C ＝90°，则有：(1)A ＋B ＝________，0°<A <90°，0°<B <90°；(2)a 2＋b 2＝________(勾股定理)；(3)sin A ＝____________，cos A ＝____________，tan A ＝__________，sin B ＝________，cos B ＝________，tan B ＝________；(4)a sin A ＝________，b sin B ＝________，csin C＝________. 3．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________，这个比值是________________________．合作探究 （重难点突破）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 及对应的三边a 、b 、c ，试用向量法证明正弦定理．知识点一 已知两角和一边解三角形例1 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．总结 已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量．变式训练1 在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．3.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；4.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；5.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．知识点二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．总结已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．变式训练2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c 等于( )A．1 B．2 C.3－1 D. 3知识点三已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；(2)a＝9，b＝10，A＝60°；(3)c＝50，b＝72，C＝135°.总结已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．变式训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝7，b＝14，A＝30°；(2)a＝30，b＝25，A＝150°；(3)a ＝7，b ＝9，A ＝45°.1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，当堂检测（训练达标）一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin AC ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3234．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°5．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°C ．6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，∠B ＝60°，则C ＝________.7．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝__________.8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________．三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求a b的取值范围．本课小结（学生自己总结 例如收获与反思）1．1.1 正弦定理 答案知识梳理1．元素 解三角形2．90° (2)c 2 (3)a c b c a b b ca cb a(4)c c c 3.a sin A ＝b sin B ＝c sin C三角形外接圆的直径2R 自主探究证明 (1)若△ABC 为直角三角形，不妨设C 为直角．如图所示，根据正弦函数的定义，a c ＝sin A ，b c＝sin B ， 所以a sin A ＝b sin B＝c ＝2R(2R 为外接圆直径)． ∵C＝90°，∴sin C ＝1，c sin C＝c ＝2R. ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R. (2)若△ABC 为锐角三角形，过A 点作单位向量i ⊥AC →，则有：i ·AB →＝i ·(CB →－CA →)＝i ·CB →－i ·CA →，∵i ⊥AC →，∴i ·CA →＝0，∴i ·AB →＝i ·CB →，即c cos(90°－A )＝a cos(90°－C )，∴c sin A ＝a sin C ，∴a sin A ＝c sin C. 同理可证：a sin A ＝b sin B ；b sin B ＝c sinC . ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (3)若△ABC 为钝角三角形，可仿(2)证明．综上，a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 对点讲练例1 解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·＋sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 变式训练1 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 例2 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.变式训练2 B [由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin 60°＝1sin B， ∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ， 得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.]例3 解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32， 所以三角形有一解． (2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1， 所以当B 为锐角时， 满足sin B ＝539的角有60°<B <90°， 故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22， 所以B >45°，所以B ＋C >180°，故三角形无解．变式训练3 解 (1)A ＝30°，a ＝b sin A ，故三角形有一解．(2)A ＝150°>90°，a ＝30>b ＝25，故三角形有一解．(3)A ＝45°，b sin 45°<a <b ，故三角形有两解．课时作业1．D [由余弦定理知D 正确．]2．B [因为a >b，A 为钝角，所有只有一个解．]3．C [方法一 根据三角形内角和定理，A ＝180°－(B ＋C )＝45°.根据正弦定理，b ＝a sin B sin A＝8sin 60°sin 45°＝4 6.方法二 如图，过点C 作CD ⊥AB ，由条件可知A ＝45°，而由CD ＝a sin 60°＝b sin 45°，得b ＝4 6.]4．A [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C ) ＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.]5．D [对于A ，由三角形的正弦定理知其只有一解；对于B ，∵a >b ，即A >B ，且A ＝150°，∴只有一解；对于C ，a <b ，即A <B ，且A ＝98°，∴无解．]6．75°解析 由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角，∴A ＝45°.∴C ＝75°.7．30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 8．2<x <2 2 解析 因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 9．解 当a <b sin 30°，即b >2a ，b >43时，无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．解 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求的范围是(2，3)．。

1.1.1 正弦定理1．正弦定理2．解三角形(1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．1．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，sin A ＝13.则sin B ＝( )A ．15 B ．59 C ．53D ．1B [由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b ·sin Aa ＝5×133＝59，故选B ．]2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝30°，b ＝2，则asin A 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6C [由正弦定理可得asin A ＝b sin B ＝2sin 30°＝4.] 3．在△ABC 中，若sin A a＝cos Bb，则∠B 的大小为______________．45 ° [由正弦定理知sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ， ∴∠B ＝45°.]4．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝________.0 [由于asin A＝bsin B＝csin C，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin A －b sin B ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin A －c sin C ＝0.](2)在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，求∠A ，b ，c ．[解] (1)法一：∵∠A ＝45°，∠C ＝30°，∴∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝105°. 由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝20×2＋64＝52＋5 6. 法二：设△ABC 外接圆的直径为2R ，则2R ＝c sin C ＝10sin 30°＝20.易知∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝105°， ∴a ＝2R sin A ＝20×sin 45°＝102，b ＝2R sin B ＝20×sin 105°＝20×2＋64＝52＋5 6.(2)∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝4 6.由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．在△ABC 中，a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求边c ． [解] 由三角形内角和定理知∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， 所以∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．(1)a ＝1，b ＝3，∠A ＝30°； (2)a ＝3，b ＝1，∠B ＝120°. [解] (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32. ∵b >a ，∴∠B >∠A ＝30°，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2； 当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A ，∴c ＝a ＝1.(2)根据正弦定理，sin A ＝a sin Bb ＝3sin 120°1＝32>1.因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．2．已知△ABC ，根据下列条件，解三角形： (1)a ＝2，c ＝6，∠C ＝π3；(2)a ＝2，c ＝6，∠A ＝π4.[解] (1)∵a sin A ＝csin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22. ∵c >a ，∴∠C >∠A ．∴∠A ＝π4. ∴∠B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.(2)∵a sin A ＝csin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝32. 又∵a <c ，∴∠C ＝π3或2π3.当∠C ＝π3时，∠B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当∠C ＝2π3时，∠B ＝π12，b ＝a sin Bsin A＝3－1.]1．已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理． [提示] 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°， ∠BAC ＝∠BDC ，在Rt △BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，csin C＝2R ， 所以a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？ [提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和其中一角的对边解三角形．3．由a sin A ＝b sin B ＝csin C 可以得到a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？[提示] (1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C .(2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C.(3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B ．【例3】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．[思路探究] ①∠A ＝π－(∠B ＋∠C )；②边角转化，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.[解] 法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°，∴∠B ＋∠C ＝90°， 由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )， ∴sin 2B ＝12.∵∠B 是锐角，∴sin B ＝22， ∴∠B ＝45°，∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°. ∵∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )， sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ． ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∴∠B －∠C ＝0，即∠B ＝∠C ． ∴△ABC 是等腰直角三角形．依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A ＋∠B ＋∠C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为两内角，试判断这个三角形的形状．[解] 设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cosB ．由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0. ∵∠A 、∠B 为△ABC 的内角，∴0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π， ∴∠A －∠B ＝0，即∠A ＝∠B ． 故△ABC 为等腰三角形．1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导． 2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)； (2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C； (4)在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B ⇔a >b ． 3．要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． (3)判断三角形的形状． 4．本节课的易错点有两处：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况． (2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于钝角三角形．( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( )(3)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则三角形是等腰三角形．( ) [解析] (1)×.正弦定理适用于任意三角形． (2)√.由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B ． (3)√.由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即a ＝b ，所以三角形为等腰三角形．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则∠A 与∠B 的大小关系为( ) A ．∠A ＞∠BB ．∠A ＜∠BC ．∠A ≥∠BD ．∠A ，∠B 的大小关系不能确定A [因为a sin A ＝b sinB ，所以a b ＝sin Asin B.因为在△ABC 中，sin A >0，sin B >0，sin A ＞sin B ，所以a b ＝sin Asin B>1，所以a >b ，由a ＞b 知∠A ＞∠B ．]3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且满足a cos A ＝bcos B＝ccos C，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形C [由acos A＝bcos B＝ccos C和正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，可得sin A cos A ＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以∠A ＝∠B ＝∠C ． 故△ABC 为等边三角形．]4．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状． [解] 在△ABC 中，由正弦定理得asin A ＝bsin B，∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B. 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ．∴2∠A ＝2∠B 或2∠A ＋2∠B ＝π， 即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。

1．1.1 正弦定理(一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理 1．正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径． (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝csin C. (5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B . 3．正弦定理的证明(1)在Rt △ABC 中，设C 为直角，如图，由三角函数的定义： sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴c ＝asin A ＝b sin B ＝c sin 90°＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C． (2)在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高为CD ，如图，CD ＝a sin__B ＝b sin__A ，∴a sin A ＝bsin B， 同理，作AC 边上的高BE ，可得a sin A ＝csin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.(3)在钝角三角形ABC 中，C 为钝角，如图，过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝a sin(π－C )＝a sin__C ，BD ＝c sin__A ，故有a sin C ＝c sin__A ，∴a sin A ＝csin C， 同理，a sin A ＝b sin B ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝BC ∶AC ∶AB .其中正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B. 知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考 正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．题型一 对正弦定理的理解例1 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误． 根据比例式的性质易得C 正确． 大边对大角，故D 正确．反思与感悟 (1)定理的内容：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，在运用正弦定理进行判断时，要灵活使用定理的各种变形． (2)如果a b ＝c d，那么a ＋b b ＝c ＋dd (b ，d ≠0)(合比定理)； a －b b ＝c －d d (b ，d ≠0)(分比定理)； a ＋b a －b ＝c ＋d c －d(a >b ，c >d )(合分比定理)； 可以推广为：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ，那么a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n.跟踪训练1 在△ABC 中，下列关系一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A 答案 D解析 在△ABC 中，B ∈(0，π)，∴sin B ∈(0，1]， ∴1sin B≥1， 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得a ＝b sin Asin B≥b sin A .题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． (2)在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形． 解 (1)∵A ＝45°，C ＝30°，∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由asin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，∴b ＝c sin B sin C ＝c sin （A ＋C ）sin C ＝10×sin 75°sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6. (2)∵a sin A ＝csin C ， ∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32， ∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法．首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角，再由正弦定理可计算出三角形的另两边．(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法．首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D ．4(2)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝______． 答案 (1)C (2)105°或15° 解析 (1)易知A ＝45°，由a sin A ＝bsin B得 b ＝a sin Bsin A ＝8·3222＝4 6.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22. ∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°. 题型三 判断三角形的形状例3 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．解 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理得sin 2A sinB cos B ＝sin 2B sin Acos A.∵sin A 、sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B . 即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B . ∴A ＋B ＝π2或A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．反思与感悟 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如a b ＝sin A sin B等．跟踪训练3 在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状． 解 由b sin B ＝c sin C ，得b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．1．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．a sin C ＝c sin A 答案 D解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A .2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30° 答案 C解析 由a sin A ＝bsin B 得sin A ＝a sin Bb＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.3．在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ， 又∵sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC是( ) A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30° 答案 C解析 由题a cos B ＝b sin A ， 又由正弦定理a sin B ＝b sin A ， ∴sin B ＝cos B ，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°. 同理C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．5．在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．答案 1解析 由a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12， 又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sinπ6sinπ6＝1.6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______，a ＝________．答案255210 解析 由tan A ＝2，得sin A ＝2cos A ， 由sin 2A ＋cos 2A ＝1，得sin A ＝255，∵b ＝5，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sinC (k >0)．2．正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．。

（新）⼈教版⾼中数学必修5第⼀章《解三⾓形》导学案（全套）学案 1 正弦定理（1）教学⽬标：1、掌握正弦定理及其推导过程；2、能利⽤正弦定理解三⾓形及判断三⾓形解的个数．教学重点：利⽤正弦定理解三⾓形．教学难点：正弦定理的证明．教学过程：⼀、问题情境：1．复习：在Rt ΔABC 中，∠C=90 ，试判定A a sin ，B b sin 与Cc sin 之间的⼤⼩关系？ 2．猜想：对任意三⾓形ABC 上述关系是否成⽴？如何证明?⼆、讲授新课：1．正弦定理：_________________________________．2．利⽤正弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知两⾓与⼀边，求另两边与另⼀⾓；（2）已知两边和其中⼀边的对⾓，求其他边⾓．3．三⾓形的元素与解三⾓形：（1）把三⾓形的_________________和它们的_________________叫做三⾓形的元素．（2）已知三⾓形的_________________求其他____________的过程叫做解三⾓形.三、知识运⽤：例1．在ΔABC 中已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,.例2．在ΔA BC 中，已知060,67,14===B b a ，解ABC ?.例3．在ΔABC 中，已知045,332,2===B b c ，解ABC ?.探究：对于例2、例3能否从图形来分析为什么解的个数不⼀样，分析类型（２）产⽣多解的原因.四、课堂练习：1.在ABC ?中，⼀定成⽴的是（）A.B b A a sin sin =B.B b A a cos cos =C.A b B a sin sin =D.A b B a cos cos =2.在ABC ?中，45A = ,60B = ,10a =,则b =（）A. C.3 D.3.在ABC ?中,?=60A ,24,34==b a ，则B 等于（）A.?45或?135B.?135C.?45D.以上都不对4.在ABC ?中，45,75AB A C =?=?，则=BC （）A ．33-B ．2C ．2D ．33+5．不解三⾓形，下列判断正确的是（）A.7a =,14b =,30A = ,有两解B.30a =,25b =,150A = ,有⼀解C.6a =,9b =,45A = ,有两解D.9b =,10c =,60B = ,⽆解6．在ΔABC 中，已知060,32,2===B b a ，解三⾓形ABC .学案 2 正弦定理（2）教学⽬标：1、掌握公式的变式及三⾓形⾯积公式；2、能灵活运⽤正弦定理解决三⾓形相关问题，⽐如判断三⾓形的形状.教学过程：⼀、回顾练习：（1）在ABC ?中，已知B=60°，2=a ，3=b ，求A .（2）在ABC ?中，已知A =15°，B=120°，12=b ，求a 和c .⼆、正弦定理的变形及⾯积公式：1．正弦定理的变形①__________________________________________________②__________________________________________________③__________________________________________________2．三⾓形的⾯积公式：__________________________________________________三、例题分析：例1．在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,.例2．在ΔABC 中， 30B = ，AB =2AC =，求三⾓形的⾯积.例3．①在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状. ②在ΔABC 中，已知B b A a cos cos =，试判断ΔABC 的形状.四、课堂练习：1．在ABC ?中,?=30A ,3=a ，则ABC ?的外接圆半径为（）A ．23B ．3C ．33D ．62．在ΔABC 中，若,3,600==a A 则CB A c b a sin sin sin ++++等于___________. 3．在ΔABC 中，若3:2:1::=C B A ，则_____________::=c b a .4．在ΔABC 中，已知2sin b c B =，求⾓Ｃ.5．根据下列条件，判断ΔABC 的形状：① C B A 222sin sin sin =+；② cC b B a A cos cos sin ==学案 3 余弦定理教学⽬标：1．掌握余弦定理的两种表⽰形式；2．证明余弦定理的向量⽅法；3．运⽤余弦定理解决两类基本的解三⾓形问题．教学过程：⼀、问题探究：问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵AC = ，∴AC AC ?=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．⼆、讲授新知：1．余弦定理：_________________________________；_________________________________；_________________________________．推论：_________________________________；_________________________________；_________________________________．2．利⽤余弦定理，可解决两类三⾓形问题：（1）已知三边，求三⾓；（2）已知两边和它们的夹⾓，求第三边和其他两个⾓．试试：（1）△ABC中，a=2c=，150B= ，求b．（2）△ABC中，2a=，b=，1c，求A．三、典型例题：例1．在△ABC中，已知a=b=45B= ，求,A C和c．变式：在△ABC中，若AB AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2．在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，c=变式：在?ABC 中，若222a b c bc =++，求⾓A ．四、课堂练习：1. 已知a c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（）2. 已知三⾓形的三边长分别为3、5、7，则最⼤⾓为（）A ．60B ．75C ．120D ．1503.在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满⾜222b a c ab +-=，则∠C 等于．4. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最⼤⾓的余弦值．5. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ? 的值.学案 4 正、余弦定理在三⾓形中的应⽤（1）题型⼀利⽤正、余弦定理求边、⾓例1 已知ABC ?中， 6b =，c =30B =，求边a 的值.题型⼆判定三⾓形的形状例2 在ABC ?中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，试判断三⾓形的形状.。

1.1.1 正弦定理(一)教学目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.1.1正弦定理（一）》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己对正弦定理的了解。

通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1.a sin A＝______________＝______________＝2R (其中R 是________________________)； 提示：b sin Bc sin C △ABC 外接圆的半径 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R，sin B ＝________________，sin C ＝____________________. 提示：b 2R c 2R4.一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．提示：元素 解三角形三、合作探究探究点1： 正弦定理的证明问题1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A 、b sin B 、c sin C各自等于什么？ 提示：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 问题2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C还成立吗？课本是如何说明的？ 提示：在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A ＝a sin B 来证明．例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CD b＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A ) ＝sin A ，CD a＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B .∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝c sin C . 故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 名师点评：(1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝b sin B，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．探究点2：用正弦定理解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝，解三角形．解 根据三角形内角和定理，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)； 根据正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)． 名师点评：(1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．探究点3：边角互化例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0. 证明 由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得：左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B )＝0＝右边，所以等式成立．例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 解 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b .由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ＝3＋33sin B ＋3cos B＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9. 名师点评：利用a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．四、当堂检测1.在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________. 提示：1．C5 4.π3或2π3五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1.定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ， 或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2.正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．六、课例点评本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A 版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。

《正弦定理和余弦定理》复习课〔四〕典例导航、知识拓展[例1]△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b〔b+c〕，求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，代入a2=b〔b+c〕中，得sin2A=sin B〔sin B+sin C〕sin2A－sin2B=sin B sin C因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin〔A+B〕≠0.所以sin〔A－B〕=sin B.所以只能有A－B=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论：该题假设用余弦定理如何解决?[例2]a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，〔1〕假设△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值；〔2〕假设a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状。

〔五〕变式训练、归纳整理[例3]a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，假设b cosC=(2a-c)cosB(1) 求角B(2) 设,求a+c的值。

剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。

此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。

〔解答略〕课时小结〔由学生归纳总结，教师补充〕1. 解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。

3. 用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。

sin ACB ∠45ACB ∠=︒，18060ABC ACB ACB ∴∠=-∠-∠=在Rt ABD ∆中，sin AD ABC AB∠=3002sin AD AB ∴=角形的问题，题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的23，23，23，引导学生考察A a sin ，B bsin ，Ccsin 的关系。

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理必备知识·自主学习1.正弦定理(1)定理的内容.三角形的三个角A,B,C和它们的对边条件a,b,c在一个三角形中,各边和它所对角的正文字语言弦的比相等符号语言==(2)本质:正弦定理反映的是三角形边角之间的数量关系.该比值是此三角形外接圆的直径.(3)作用:①求三角形的边和角;②实现三角形边角之间的互化;③求三角形外接圆的半径.正弦定理==只适用于锐角三角形吗?提示:正弦定理==适用于任意三角形.2.三角形中的元素与解三角形(1)三角形中的元素:指的是三角形的三个角及其对边.(2)解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应三角形?提示:①已知三角形的任意两角和一边,求其他两边和另一角.②已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一边及另两角.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)在△ABC中,已知C=60°,a=1,b=3,可用正弦定理解此三角形. ((2)对于任意△ABC总有bsin A=asin B. ((3)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;反之,若A>B,则sin A>sin B. ((4)在△ABC中,若A=30°,a=2,b=2,则B=60°.( 提示:(1)×.已知三角形的两边和这两条边的夹角,无法用正弦定理解此三角形.(2)√.由正弦定理知=,即bsin A=asin B.(3)√.在△ABC中,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.(4)×.由正弦定理知=,即=,所以sin B=,则B=60°或120°,又因为b>a,所以B>A,故B=60°或120°.2.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b= (A.4B.4C.4D.〖解析〗选 C.在△ABC中,A=180°-(B+C)=45°,由正弦定理=得b===4.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,b=1,则sin B= (A. B. C. D.〖解析〗选A.由正弦定理得sin B===.关键能力·合作学习类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)1.(2020·石家庄高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=45°,C=120°,则边c= (A. B. C.2 D.2.在△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB等于.3.在△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.〖解析〗1.选D.因为b=2,B=45°,C=120°,由正弦定理=,可得=,解得c=.2.因为tan A=,0°<A<180°,所以sin A=.由正弦定理知=,所以AB===.答案:3.因为==,所以b====4.因为C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,所以c====2+2.已知两角及一边解三角形的一般步骤〖补偿训练〗已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.〖解析〗设在△ABC中,A=45°,B=60°,则C=180°-(A+B)=75°.因为C>B>A,所以最小边为a. 又因为c=1,由正弦定理得,a===-1,所以最小边长为-1.类型二已知两边及一边的对角解三角形(数学运算)〖典例〗在△ABC中,已知B=30°,b=,c=2,解三角形.四步内容理解题意条件:B=30°,b=,c=2,结论:求角A、角C和边a思路探求根据题目条件及正弦定理可得sin C=,求出角C,进而可以计算A,a.书写表达由正弦定理得sin C===, 因为c>b,0°<C<180°,所以C=45°或135°.②(1)当C=45°时,A=105°,a===+1,(2)当C=135°时,A=15°,a===-1.注意书写的规范性:①③④处正确应用正弦定理的变形是解题的关键;②处根据三角函数值求角时,要注意结合角的范围.题后反思利用正弦定理求角时,一方面要注意由正弦值求角有可能出现两解的情况,另一方面要注意三角形内角和定理的应用已知两边及一边的对角解三角形的步骤(2020·深圳高一检测)在△ABC中,A=60°,AC=,BC=,则C= ( A.30° B.45° C.60° D.90°〖解析〗选D.设A,B,C的对边分别为a,b,c.由正弦定理得=,所以=,所以sin B=,又因为a>b,所以A>B,且0°<B<180°,所以B=30°,所以C=180°-A-B=90°.〖拓展延伸〗在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数.解的个数见下表:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA且a<b②a≥bbsin A<a<ba<bsin Aa>b a≤b解的个数一解两解无解一解无解〖拓展训练〗根据下列条件,判断△ABC有没有解?若有解,判断解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°.(2)a=5,b=4,A=90°.(3)a=10,b=20,A=45°.(4)a=20,b=20,A=45°.(5)a=4,b=,A=60°.〖解析〗(1)(2)中因为a>b,所以只有一解.(3)中bsin A=20sin 45°=10,所以a=bsin A,所以只有一解.(4)中bsin A=20sin 45°=10,所以bsin A<a<b,所以有两解.(5)中bsin A=sin 60°=5,所以a<bsin A,所以无解.〖补偿训练〗在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为.〖解析〗由sin B+cos B=,得sin =1,由B∈(0,π),得B=,由正弦定理,=,得sin A==,又a<b,所以A=.答案:类型三用正弦定理进行边角互化(逻辑推理、数学运算)角度1 运算求解问题〖典例〗(2020·驻马店高二检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4bcos BsinC=c,则B= (A.或B.C. D.或〖思路导引〗利用正弦定理化边为角,建立关于角B的三角方程.〖解析〗选D.由4bcos Bsin C=c,得4sin Bcos Bsin C=sin C,所以sin 2B=,又因为B为△ABC的内角,所以2B=或,所以B=或.将本例条件“4bcos Bsin C=c”改为“2asin B=b”,求角A.〖解析〗因为2asin B=b,由正弦定理可得,2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=,所以A=或π.角度2 化简证明问题〖典例〗在任意△ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0.〖思路导引〗方法一:边化角,即由正弦定理,令a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径).代入等式左边进行化简;方法二:角化边,即由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入等式左边进行化简. 〖证明〗方法一:由正弦定理,令a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.代入得:左边=2R(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A-sin Csin B)=0=右边,所以等式成立.方法二:由正弦定理,令sin A=,sin B=,sin C=.代入得:左边=a+b+c=(ab-ac+bc-ba+ca-cb)=0=右边,所以等式成立.角度3 判断三角形的形状〖典例〗(2020·濮阳高二检测)在△ABC中,==,则△ABC一定是( A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形〖思路导引〗由==,利用正弦定理可得tan A=tan B=tan C,即可得出.〖解析〗选D.由正弦定理可得:==,又==,所以tan A=tan B=tan C,又A,B,C∈(0,π),所以A=B=C=,所以△ABC是等边三角形.1.用正弦定理进行边角互化的两种方法2.判断三角形形状的两种途径(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a,则= (A.2B.2C.D.〖解析〗选D.由正弦定理得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即sin B·(sin2A+cos2A)=sin A.所以sin B=sin A.所以==.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=absin C.求证tan C=sin Asin B.〖证明〗因为=absin C,所以c2=absin Ccos C,由正弦定理得,sin 2C=sin Asin Bsin Ccos C,因为C∈,所以sin C>0,所以sin C=sin Asin Bcos C,由题意知cos C≠0,所以tanC=sin Asin B.3.在△ABC中,若acos A=bcos B,试判断△ABC的形状.〖解析〗由正弦定理得,a=2Rsin A,b=2Rsin B,由acos A=bcos B得,sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为2A,2B∈(0,2π),所以2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=,所以△ABC为等腰或直角三角形.〖补偿训练〗1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为(A. B. C.1 D.〖解析〗选D.因为=,所以=.因为3a=2b,所以=.所以=.所以=2-1=2×-1=-1=.2.在△ABC中,已知2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,试判断△ABC的形状.〖解析〗由sin2A=sin Bsin C和正弦定理,得a2=bc.因为2a=b+c,所以a=,所以=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c.从而a==b=c,故△ABC是等边三角形.课堂检测·素养达标1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列等式正确的是(A.a∶b=A∶BB.asin A=bsin BC.a∶b=sin B∶sin AD.a∶b=sin A∶sin B〖解析〗选D.由=可得,只有D成立.2.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对的边长是(A.4B.12C.4D.12〖解析〗选D.若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得:=,于是x===12.3.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则角A= .〖解析〗由正弦定理得sin C===,又因为0°<C<180°,AB>AC,所以C=60°或120°,所以A=90°或30°.答案:90°或30°4.在△ABC中,若2asin C=c,则角A= .〖解析〗设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理得2×2Rsin Asin C=×2Rsin C,因此sin A=,又因为0°<A<180°,故A=45°或135°.答案:45°或135°5.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=30°,解三角形.〖解析〗由正弦定理得sin B===,因为b>a,所以B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,c==4;当B=120°时,C=30°,c=a=2.所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.。

1.1.1正弦定理一、教学目标：1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。

3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。

二、教学重点难点：教学重点：正弦定理的探索与发现。

教学难点：正弦定理证明及简单应用。

三、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。

四、教学过程探寻特例提出猜想1、回顾直角三角形中边角关系.引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.利用c边相同，寻求形式的和谐统一发现在直角三角形中根据学生认知规律，由特殊三角形入手，让学生经历由特殊到一般的发现过程，从而体验数学的探索过程，激发了学生探究欲，突显了学生的主体地位。

2、问题1、发现对于锐角、钝角三角形成立吗？学生思考交流。

3、个例验证发现将两个全等的30°、60°的直角三角形，拼在一起验证.4、提出猜想：学生大胆猜想：对于直角、锐角、钝角三角形发现均成立。

逻辑推理证明猜想1、多媒体课件验证猜想。

（任意改变三角形形状，由计算机算出各边与对角正弦值的比，观察是否相等）教师演示，学生观察。

通过多媒体验证，学生从感性认识猜想的正确性。

2、问题2：你能通过严格的推理证明猜想吗？学生合作交流，探索证明方法。

§1.1 正弦定理(第1课时）学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，尝试掌握几种证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题 温故知新1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）_________________________ _______；（2）_________________________________________________________________【问题探究】【问题1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．【问题2】根据下列条件解三角形：（1）60,1b B c ==︒=； （2）45,2c A a =︒=．巩固提高1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ ） A )13(5- B )13(5+ C 10 D )26(5+2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin =（ ）A 43B 61C 21 D 1 3．在△ABC 中， （1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c .4．根据下列条件解三角形：（1）40=b ，20=c ，025=C ； （2）13=b ，26=a ，030=B 。

5．在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．6．在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．7．在ABC ∆中，30bc =，ABC S ∆=A ∠= ． 【拓展延伸】 8．在锐角三角形ABC 中，A=2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，试求b a 的范围。

听课随笔解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫【重点难点】重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题第1课时 正弦定理（1）【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理 学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 【精典范例】【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ． 分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．【解】因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C ==， 所以sin 10sin 45sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin105sin sin 30a C c A ︒===︒因此， b ，c的长分别为．【例2】根据下列条件解三角形： （1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=． 分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．【解】（1）sin sin b cB C=，∴sin 1sin 2c B C b ===， ,60b c B >=o Q ，∴C B <，∴C 为锐角，∴30,90C A ==oo，∴2a ==．（2）sin sin a cA=Q ，∴sin sin 45sin 22c A C a ===o ，∴60120C =oo或，∴当sin 6075,1sinc B CB bC ===oo时，∴当sin 12015,1sin c B C B b C ===o o时，所以，1,75,60b B C ===o o 或1,15,120b B C ===o o ．追踪训练一1．在△ABC 中，0105=C ，045=B ，5=c ，则b 的值为（ A ）A )13(5-B )13(5+C 10D )26(5+2．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin = （ C ） A43 B 61 C 21D 1 3．（课本P9练习第2题）在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知030=A ，0120=B ，12=b ，求a ，c 。

第1课时 正弦定理(1)学习目标：1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．正弦定理思考：如图1­1­1，在Rt△ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C各自等于什么？图1­1­1[提示]a sin A ＝b sin B ＝csin C＝c . 2．解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？ [提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．[基础自测]1．思考辨析(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( ) (2)正弦定理不适用于直角三角形．( )(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√提示：正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．2．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________.【导学号：91432000】23 [由正弦定理得：32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝32×sin 45°sin 60°＝2 3.]3．在△ABC 中，A ＝45°，c ＝2，则AC 边上的高等于______________． 2 [AC 边上的高为AB sin A ＝c sin A ＝2sin 45°＝ 2.] 4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C ＝________.【导学号：91432001】π2 [由正弦定理得：3sinπ3＝3sin B ，所以sin B ＝12. 又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6， 所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π2.][合 作探 究·攻重 难]定理证明在钝角△ABC 中，证明正弦定理．[证明] 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CD b ＝sin∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CDa＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C. 故a sin A ＝b sin B ＝csin C.1．如图1­1­2，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，证明asin A＝2R . 【导学号：91432002】图1­1­2[证明] 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A . ∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R， ∴sin A ＝a2R ，即asin A＝2R .用正弦定理解三角形已知△ABC 中，a ＝10，A ＝30°，C ＝45°，求角B ，边b ，c . 思路探究：①角A ，B ，C 满足什么关系？ ②105°可拆分成哪两个特殊角的和？ ③由正弦定理如何求得b ，c 的值？ [解] ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 又由正弦定理得：c ＝a sin Csin A＝10 2. b ＝a sin B sin A ＝10·sin 105°sin 30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．∴B ＝105°，b ＝5(6＋2)，c ＝10 2.2．已知∠B ＝30°，b ＝2，c ＝2，求A 、C 、a .【导学号：91432003】[解] 由正弦定理得：sin C ＝c ·sin B b ＝2sin 30°2＝22， ∵c >b,0°<C <180°， ∴C ＝45°或135°. 当C ＝45°时，A ＝105°，a ＝b sin A sin B ＝2sin 105°sin 30°＝3＋1，当C ＝135°时，A ＝15°，a ＝b sin A sin B ＝2sin 15°sin 30°＝3－1.三角形形状的判断[探究问题]1．已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理． 提示：如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，∠BAC＝∠BDC ，在Rt△BCD 中，BC ＝BD ·sin∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即asin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，c sin C ＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .2．由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，csin C ＝2R 可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？提示：由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C ＝2R 可以得到的变形：sin A ＝a2R，a ＝2R sin A ；sinB ＝b 2R ，b ＝2R sin B ；sinC ＝c2R，c ＝2R sin C ．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.【导学号：91432004】思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin B cos C求解．[解]法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sin B cos C＝2sin B cos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，∴sin B＝22.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得asin A＝bsin B＝csin C，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b ＝a cos C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解]∵b＝a cos C，由正弦定理，得sin B＝sin A cos C． (*)∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sin A cos C.∴cos A sin C＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cos A ＝0，A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．1．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin AD [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a sin C ＝c sin A ．]2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则有( )【导学号：91432005】A ．a <bB ．a ≥bC ．a >bD ．a ，b 的大小无法判定C [因为a sin A ＝b sin B ，所以a b ＝sin Asin B.因为在△ABC 中，sin A >sin B >0，所以a b ＝sin Asin B>1，所以a >b .]3．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．不等边三角形B [由正弦定理知c ＝2R sinC ，a ＝2R sin A ， 故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin A cos B ＝cos A sin B ， 即sin(A －B )＝0，所以A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形．]4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )【导学号：91432006】A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°C [由a sin A ＝bsin B得sin A ＝a sin Bb＝2×323＝22， ∴A ＝45°或135°. 又∵a <b ，∴A <B ， ∴A ＝45°.]5．已知在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，解这个三角形． [解] 由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22.综上，可知A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.。