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第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
矩阵与数值分析上机作业学校：大连理工大学学院:班级: 姓名:学号：授课老师:注：编程语言Matlab1.琴虑计算给定働量的葩址输入向量広』(巾斑…宀产输出||工||“ ||工|怙㈣心请编制一牛通用程序，并用你編制的程序计算如下询量的范数：对网1加，wm甚至更大的“计算其范数，你会发现什幺结粟？你能否修改你的程序使得计算绪果相时赫■确呢？程序:Norm.m函数fun cti on s=Norm(x,m)%求向量x的范数%mx 1,2,inf 分别表示1,2，无穷范数n=len gth(x);s=0;switch mcase 1 %1-范数for i=1:ns=s+abs(x(i));endcase 2 %2-范数for i=1:ns=s+x(if2;ends=sqrt(s);case inf %无穷- 范数s=max(abs(x));end计算向量 x， y 的范数Test1.mclear all ;clc;n1=10;n2=100;n3=1000;x1=1./[1:n1]';x2=1./[1:n2]';x3=1./[1:n3]'; y1=[1:n1]';y2=[1:n2]';y3=[1:n3]';disp( 'n=10 时' );disp( 'x 的1-范数:' );disp(Norm(x1,1));disp( 'x 的无穷-范数:' );disp(Norm(x1,inf));disp( 'y 的2- 范数:' );disp(Norm(y1,2)); disp( 'y 的无穷- 范数:' );disp(Norm(y1,inf)); disp( 'n=100 时' );disp( 'x 的1- 范数:' );disp(Norm(x2,1)); disp( 'x 的2- 范数:' );disp(Norm(x2,2)); disp( 'x 的无穷- 范数:' );disp(Norm(x2,inf)); disp( 'y 的1- 范数:' );disp(Norm(y2,1)); disp( 'y 的2- 范数:' );disp(Norm(y2,2)); disp( 'y 的无穷- 范数:' );disp(Norm(y2,inf)); disp( 'n=1000 时' );disp( 'x 的1- 范数:' );disp(Norm(x3,1)); disp( 'x 的2- 范数:' );disp(Norm(x3,2)); disp( 'x 的无穷- 范数:' );disp(Norm(x3,inf)); disp( 'y 的1- 范数:' );disp(Norm(y3,1)); disp( 'y 的2- 范数:' );disp(Norm(y3,2)); disp( 'y 的无穷- 范数:' );disp(Norm(y3,inf));运行结果：n=10 时x 的1-范数29290 ; x 的2-范数：1.2449 ; x 的无穷-y 的1-范数:55 ; y 的2-范数:19.6214 ; y 的无穷 n=100 时x 的1-范数:5.1874 ; x 的2-范数：1.2787 ; x 的无穷 的 2-范数:581.6786 ； y 的无穷 -范数:100 n=1000 时 x 的1-范数74855 ; x 的2-范数：1.2822 ; x 的无穷-范数:1y 的 1-范数:500500 ; y 的 2-范数：1.8271e+004 ; y 的无穷-范数:10002. 耆虑砂== 呼^其中定51/(0)=此时几期是连绽函戟.用此公式计算 当工“―1旷巾U)-缪时的函数值*風出图像.另一方面*哮虑下面算法：d 1 + j1/(/ = 1 tbfjj1/=1仙y = liid/(d — 1(end if用此算法计％ € [-10-0 io_is]时的圉数血 画出图像.比校一下岌生了什么？程序Test2.mclear all ;clc;n=100; %区间h=2*10A (-15)/n; %步长范数:1 -范数:10-范数:1y 的 1- 范数 :5050 ；x=-10A(-15):h:10A(-15);%第一种原函数f1=zeros(1, n+1);for k=1:n+1if x(k)~=0f1(k)=log(1+x(k))/x(k);elsef1(k)=1;end endsubplot(2,1,1);plot(x,f1, '-r' );axis([-10A(-15),10A(-15),-1,2]); legend( ' 原图' );%第二种算法f2=zeros(1,n+1);for k=1:n+1d=1+x(k);if (d~=1) f2(k)=log(d)/(d-1);elsef2(k)=1;endendsubplot(2,1,2);plot(x,f2, '-r' );axis([-10A(-15),10A(-15),-1,2]);legend( ' 第二种算法' );运行结果：農IQ显然第二种算法结果不准确，是因为计算机中的舍入误差造成的，当X [ 1015,1015]时，d 1 x,计算机进行舍入造成d恒等于1,结果函数值恒为1。
大连理工大学2022数学分析考研真题试卷简答题（每题6分，共60分）1 1对任意的正整数k,存在正熬数N,当n>N时，有Ia n -al＜-)此是否可以什为hm O，n =a的k n-oc, 定义？为什么？2.求f(x )=沪|尤－11在[-1,1]上的极值点与极值3证明J(x)= cos沪在(-OO )＋OO）上不一致连续4设f(x )在［a ，叶上至多有第一类间断点证明j位）在[a ,b]上有界5试构造收敛的正项级数〉：an,使得lirn supn 加21仰＝＋O O”-+3C,It=l 6设封闭曲线f:x 3＋沪＝3xy,X 2: 0, y之0,求r 所包围区域的面积7设J(x)在[a ,b]上连续，在(a,b)上可微，f(b) > f (a)，且J(x)不是一次函数证明存在�E (a, b), 使得!'(�)> J(b ) -f(a) b -aX -!丿8.求极限lim ;t...OO 泸－叨＋l2''!J...OO 9设f(x )在(-OO,＋OO）上连续，定义g(t)＝f 位－t）勺(t )dt求g "'(x)。
10证明函数f 伈）＝区n2 x ''·在－泸＋2 (-e, e)上有任总阶导数n=l 二计算题（每题10分，共30分）+OO 1设bE凡计算！产cos bxdx.（） 2设曲面I:: 9沪＋4沪＋z2= 1，方向朝外，计符曲而积分j x d ydz + y dzdx + z d 兀dy ＄ ！但＋2沪＋3丑）}3 设向觉场F（x ,y,z)= 1 沪＋沪＋z 2+ 2功（兀十!尸+y,z),z>O ，求F的势函数，三证明题（每题12分，共60分）1设f(x)是[0,+o o )上的连续可微的凸函数，定义h(x)=J 。
:'f (l ) d t , X > 0时证明．h（兀）是冗(0, +oo)上的凸函数2设儿（沈）均在[a ,b]上可微，n = 1, 2, 3, • • 且存在正常数!V I >0，使得I J :1(x)I � M, n = 1, 2, 3, •• •, XE [a ,b]若函数列{f )l ，位）｝在[a ,b]上逐点收敛证明函数列｛儿（尤）｝在Ia,bl上一致收敛3设B,C都是n阶实的常数矩阵，且C是非奇异的定义映射f 厌'i---t 脱'l 为f位）＝Cx+B（x @x)这里xox定义为兀0兀＝（叶，马｀，点）T E贮．证明f 的值域至少包含一个内点．4设f （午）在[a ,,b]上有二阶连续导数，且f(a ) = f (b) = 0，证明max |f(午)|三(b -a )2 max |f r 心扛51)8 心还/15设瓜）住[a,+oo )上单调递减JI广义积分「00f(x) d 扎．收敛证明lim叶(:r ;)= 0 ＂x->+oo (a:) I大连理工大学 2022 年数学分析考研试题解答－简答题（每题6分，共60分）1对任意的正整数k,存在正整数N,当n>N时有, � Ia n -al<－，此是否可以作为k lim a n = a的定n➔oo 义？为什么？ 1 解答可以一方面，若Jim 钰＝a,那么对任意的正桴数k,取e=－ ＞ 0,则存在正整数1V,当n>N '）心k 时，有回－al<c: =－、k 1 另一方面，若对任意的正整数k，存在正整数N,当n>N时，有I仰－a|＜ －特别地，对任意的€> 0, l l k 任取大丁－的正整数ko,则存在正整数No,当九＞No时．有I a n -al<—< e这就说明Jim a 九＝a 0 k (） 1➔OO 2求f(x)= X 旬x -11在［一1月上的极伯点与极伯解答当XE［一1,11[t，l ，有j(x)= X 灯1-x) = xi一xi,显然J(x)在［一1月上连续，在［一1,0)U (0月可导，且2压）＝曰5 2 1 3 -－ －卢＝－曰(2-5x ).3 3由此可知土XE (－1 0)时2l'（x) ＜ 0当X �2 (0; �)时f'（动＞0,当x 2E q ,l )时f '（x )＜ 0所以f位）在(-1,0]严格递减在f 』严格递增）在[r 1]严格递减丁是0和5分别为J 的极小值占与极大值点且极小值为J (O)= 0，极大值为f （勹＝：（：）令口但是3证明f(x)= cos产在(-:::,0,＋00)上不一致连续解答取(-:::,0,+00)中的数列X n = ✓:玩兄加＝v'2吓＋1r(n=l,2,··），由于（ -7f lim (X n -如）＝lim � = 0. 九:=...oc ,~·,•. .,,., n ➔00 ✓芦＋J2n7f十7f ，浊¥[j（Xn)-f(如）］＝，抑�(cos(2n1r )一c os (2n1r + 1r)] = 2 =/= 0所以J位）仕(-oo,+oo)上不一致连续4设f(x)在[a,b]上至多有第一类间断点，证明:f(x)在(a,bJ上有界 D 解答对任意的1、oE [a, b ]，由已知，J位）在xo处存在左极限与右极限（端点只考虑单侧极限），进而由极限的局部有界性，存在0:,:0>0与M 吓＞0,使得`X E (xo -O re o'xo + D x o) n la, b ]时，有l f (x )I :s; M立。
矩阵与数值分析学生：学号：任课老师：金光日教学班号：（2）班院系：电子信息与电气工程学部《矩阵与数值分析》课程数值实验题目1.给定n 阶方程组A x b =，其中6186186186A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，7151514b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭则方程组有解(1,1,,1)T x = 。
对10n =和84n =，分别用Gauss 消去法和列主元消去法解方程组，并比较计算结果。
1答： 程序1. Gauss 消元法function x=DelGauss(A,b) % Gauss 消去法 [n,m]=size(A); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if A(k,k)==0 return endm=A(i,k)/A(k,k); for j=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j); endb(i)=b(i)-m*b(k); enddet=det*A(k,k); %计算行列式enddet=det*A(n,n);for k=n:-1:1 %回代求解for j=k+1:nb(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/A(k,k);end2. 列主元Gauss消去法：function x=detGauss(A,b)% Gauss列主元消去法[n,m]=size(A);nb=length(b);det=1; %存储行列式值x=zeros(n,1);for k=1:n-1amax=0; %选主元for i=k:nif abs(A(i,k))>amaxamax=abs(A(i,k));r=i;endendif amax<1e-10return;endif r>k %交换两行for j=k:nz=A(k,j);A(k,j)=A(r,j);A(r,j)=z;endz=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;endfor i=k+1:n %进行消元m=A(i,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);enddet=det*A(k,k);enddet=det*A(n,n);for k=n:-1:1 %回代求解for j=k+1:nb(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/A(k,k);end矩阵A和b的构造clc;clear;n=10;%n=84;A=eye(n)*6+diag(ones(1,n-1)*8,-1)+diag(ones(1,n-1),1); b=[7,15*ones(1,n-2),14]';计算结果：(1)n=10时Gauss消元法>>x=DelGauss(A,b)x =1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000列主元Gauss消去法>>x=detGauss(A,b)x =1111111111(2) n=84时Gauss消元法>>x=DelGauss(A,b) x =1.0e+008 *0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0001 0.0002 -0.0003 0.0007 -0.0013 0.0026 -0.0052 0.0105 -0.0209 0.0419 -0.0836 0.16650.6501-1.25822.3487-4.02635.3684列主元Gauss消去法>>x=detGauss(A,b) x =1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 1.0000 1.00001.00001.0000 1.0000结果分析由上述实验结果可知，对于n=10采用Gauss 消去法和Gauss 列主元消去法得到的实验结果是相同的，而对于n=84，Gauss 消去法所得到的结果是错误的，Gauss 列主元消去法得到的结果是正确的。
上机题一．（1）s=0;for j=2:100;s=s+1/(j^2-1); endss =0.7400s=0;for j=100:-1:2;s=s+1/(j^2-1); endss =0.7400（2）s=0;for j=2：10000;s=s+1/(j^2-1); endss =0.7499for j=10000:-1:2;s=s+1/(j^2-1); endss =0.7499（3）s=0;for j=2：1000000;s=s+1/(j^2-1); endss =0.7500s=0;for j=1000000:-1:2; s=s+1/(j^2-1); endss =0.7500二1、Jacobi 迭代法算法：对于线性方程组Ax=b ，如果A 为非奇异方程，则可将A 分解为：A=D-L-U 其中D 为对角阵，其元素为A 的对角元素，L 与U 为A 的下三角阵和上三角阵。
于是Ax=b 化为：111()k k x D L U x D b --+=++，其中1()J B D L U -=+，1f D b -=。
程序：function x=jacobi(A,b,x0)A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2];b=[-1 ;0; 0; 0];x0=[0;0 ;0 ;0];D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;n=1;while norm(x-x0,2)>=1.0e-6x0=x;x=B*x0+f;n=n+1;endfprintf('迭代次数为：')nfprintf('方程组的解为：')计算结果：迭代次数为：n =60方程组的解为：ans =0.80000.60000.40000.2000.Gauss-seidel 迭代法function x=Gaussseidel(A,b,x0)A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2];b=[-1 ;0; 0; 0];x0=[0;0 ;0 ;0];D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=B*x0+f;n=1;while norm(x-x0,2)>=1.0e-6x0=x;x=B*x0+f;n=n+1;endfprintf('迭代次数')nfprintf('方程组的解为')迭代次数为：n =31方程组的解为：ans =0.80000.60000.40000.20002.用Gauss列主元消去法算法：Gauss列主元消去法是在Gauss消去法中增加选主元的过程，即在第k步（k=1,2,3,…）消元时，首先在第k列主对角元以下（含对角元）元素中挑选绝对值最大的数（即为列主元），并通过初等行变换，使得该数位于主对角线上，然后再继续消元。
大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 矩阵与数值分析 试 卷： 统一 考试类型 闭卷 授课院 (系)： 数 学 系 考试日期：2010年1月12日 试卷共 8页
一、 填空与判断题（⨯或√），每空 2 分，共50分
(1) 已知2009.12a =，2010.01b =分别是按四舍五入原则得到的1x 和2x 近似值，那么，1x a -≤ ；
2x b b
-≤ ；12x x ab -≤ 。
(2)[]0,1上权函
数()x x ρ=的正交多项式族中()1x φ= ;
()()1
5
350
x
x x φ+=⎰ 。
(3) 已知存在实数R 使曲线2y x =和()2
228y x R +-=相切。
求切点横坐标近似值的Newton 迭代公式为 。
(4) 设1221⎛⎫ ⎪-⎝⎭
A =，则它的奇异值为 。
(5)若取1101⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A ，则10
d t
e t =⎰A 。
(6) 若1<A ，则()
1
--≤I A 。
(7) 已知(),(),()f a h f a f a h -+，计算一阶数值导数的公式是：
()f a '= 2()O h +；取()f x =0.001h =，
那么，用此公式计算(2)f '的近似值时，为避免误差的危害，应该写成：
(2)f '≈ 。
姓名： 学号： 院系：
矩阵数值分析 班
主讲教师
装
订
线
(8) 已知0.2510.25⎛⎫= ⎪
⎝
⎭A ,则0k
k ∞
==∑A 。
(9) 设,n
≠∈C s 0则
()
2
T
=ss s,s 。
(10) 求解微分方程(0)2u t u
u '=-⎧⎨=⎩，的Euler 法公式为 ；
绝对稳定区间为 ；改进的Euler 公式为 。
(11) 用A (-2,-3.1)、B (-1,0.9)、C (0,1.0) 、D (1,3.1)、E (2,4.9)拟合一 直线s (x )=a +bx 的法方程组为：。
(12) 已知多项式()3234321p x x x x =+++，那么求此多项式值的秦九韶算法公为：_ ______。
(13)
则均差[1,0,1f -= ，由数据构造出最简插值多项式
()p x = 。
(14)设⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
+=231311a A ,当a 满足条件 时, A 必有唯一的T LL 分解（其中L 是对角元为正的下三角矩阵）。
(15) 求01)(=--=x e x f x 根的Newton 迭代法至少局部平方收敛 （ ） (16) 若A 为可逆矩阵，则求解A T Ax=b 的Gauss-Seidel 迭代法收敛 （ ） (17) 分段二点三次Hermite 插值多项式∈C 2函数类 （ ） (18) 如果A 为Hermite 矩阵，则A 的奇异值是A 的特征值 （ ）
二、（6分）已知A =010202⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
-⎝⎭
，求出A 的Jordan 分解以及sin t A 。
三、（6分）给定求积节点：x k =0,0.25,0.5,0.75,1,请用复化的梯形公式和复化的Simpson 公式，计算如下定积分的近似值。
()dx e x x ⎰
-1
1
四、（8分）确定将向量()1,3,4T =x ，变换为向量()1,0,T
t =y 的正数t 和Householder 矩阵H ，以及()2cond H ，1H 。
五、（10分）
（1） 用Schimidt 正交化方法，构造[1,1]-上以1)(≡x ρ权函数的正交多项式系：)(0x φ，)(1x φ，)(2x φ;
（2）利用所得到的结果构造()4f x x =在[1,1]-上的最佳二次平方逼近多项式；
（3）构造[1,1]-上的两点Gauss 型数值求积公式；
（4）利用（3）的结果给出1
0sin 1x
dx x
+⎰的近似值。
六、（12分）设线性方程组：
1
312
123212101242
x x x x x x x -=⎧⎪
--=-⎨⎪--+=⎩
(1) 利用Gauss 消去法求上述解方程组； (2) 求系数矩阵A 的LU 分解；
(3) 写出求解上述方程组的矩阵形式的Jacobi 迭代公式和分量形式的Gauss-Seidel 迭代法公式，并讨论收敛性.
七、（10分）已知解常微分方程初值问题00
()(,)
()u t f t u u t u '=⎧⎨=⎩的某线性二步法的第
一、第二特征多项式分别为：
()2413
3ρλλλ=-+，()223
σλλ=
(1) 给出此线性二步法具体表达式，并求出其局部截断误差主项； (2) 讨论其收敛性; (3) 求其绝对稳定区间。
