高三数学第一轮复习(新人教A)：8.7 圆锥曲线的综合问题

第8节圆锥曲线的综合问题考试要求 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知识梳理1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|[微点提醒]1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用) (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( )(4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t2|y 1－y 2|.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0). 答案 C3.(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 解析 法一 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.法二 如图所示，过F 作AD 的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AD |＝p ＋|AF |sin 60°，即|AF |＝p 1－sin 60°＝21－sin 60°.同理，|BF |＝21＋sin 60°，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝16.答案 164.(2019·浙江八校联考)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( ) A.x 3＝x 1＋x 2 B.x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3 C.x 1＋x 2＋x 3＝0D.x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－b a ，令kx ＋b ＝0得x 3＝－bk，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3.答案 B5.(2019·唐山市五校联考)直线l 与双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( ) A.3B.2C.3D.2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，把A ，B 两点坐标分别代入双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x21a 2－y 21b2＝1，x 2a 2－y 2b 2＝1，两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）a2－（y1＋y2）（y1－y2）b2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22，所以x0a2＝y0（y1－y2）b2（x1－x2），所以b2a2＝y0（y1－y2）x0（x1－x2）＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b2a2＝2，又e >1，所以e ＝2. 答案 D6.(2019·潍坊二模)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，l 与双曲线x24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则a ＝________.解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l ：y ＝－14a ，双曲线x24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ，y ＝－12x ，可得x A ＝－12a ，x B ＝12a ，可得|AB |＝12a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝4，解得a ＝14.答案 14第1课时 最值、范围、证明问题考点一 最值问题多维探究角度1 利用几何性质求最值【例1－1】 设P 是椭圆x225＋y29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.答案 C角度2 利用基本不等式或二次函数求最值【例1－2】 (2019·郑州二模)已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切. (1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B ，C 两点，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，∴动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，故轨迹G 的方程是y 2＝4x . (2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3<m <0，C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y2＝4x消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0， Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )>0恒成立. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，∴|CB |＝42（1－m ），点A 到直线l ′的距离d ＝3＋m2， ∴S △ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m2＝21－m ×(3＋m )， 令1－m ＝t ，t ∈(1，2)，则m ＝1－t 2，∴S △ABC ＝2t (4－t 2)＝8t －2t 3， 令f (t )＝8t －2t 3，∴f ′(t )＝8－6t 2， 令f ′(t )＝0，得t ＝23(负值舍去). 易知y ＝f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减.∴y ＝f (t )在t ＝23，即m ＝－13时取得最大值为3239.∴△ABC 面积的最大值为3239. 规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练1】 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值. 解 (1)由已知，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，① |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4c 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝4c 2，②12|PF 1||PF 2|sin 60°＝3，即|PF 1||PF 2|＝4，③ 联立①②③解得a 2－c 2＝3.又c a ＝12，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)根据题意可知直线MN 的斜率存在，且不为0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my －4， 代入椭圆方程，整理得(3m 2＋4)y 2－24my ＋36＝0， 则Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)>0，所以m 2>4.y 1＋y 2＝24m 3m2＋4，y 1y 2＝363m2＋4，则△MNF 1的面积S △MNF 1＝|S △NTF 1－S △MTF 1|＝12|TF 1|·|y 1－y 2|＝32（y1＋y2）2－4y1y2 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫24m 3m2＋42－1443m2＋4＝18m2－44＋3m2 ＝6×1m2－4＋163m2－4＝6×1m2－4＋163m2－4≤62163＝334. 当且仅当m2－4＝163m2－4，即m 2＝283时(此时适合Δ>0的条件)取得等号.故△MNF 1面积的最大值为334. 考点二 范围问题【例2】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y022＝4·14y2＋x02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根. 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴.(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM |＝18(y 21＋y 2)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y20－4x 0）.因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练2】 (2019·南昌调研)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.解 (1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝1，a ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x24＋y2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 化简得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k2＋1，x 1x 2＝4m2－44k2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y1y2x1x2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，∴(4k 2－5)·4（m2－1）4k2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k2＋1＋4m 2＝0， 即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54.∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m|1＋k2， ∴d 2＝m21＋k2＝54－k21＋k2＝－1＋94（1＋k2），又120<k 2≤54，∴0≤d 2<87，∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147. 考点三 证明问题【例3】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x24＋y23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0).(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差.(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x214＋y213＝1，x224＋y223＝1. 两式相减，并由y1－y2x1－x2＝k 得x1＋x24＋y1＋y23·k ＝0. 由题设知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m ，于是k ＝－34m.① 由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x24＋y23＝1内， ∴14＋m23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|FA →|＝（x1－1）2＋y21＝（x1－1）2＋3⎝⎛⎭⎪⎫1－x214＝2－x12.同理|FB →|＝2－x22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x1＋x2）2－4x1x2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128. 所以该数列的公差为32128或－32128. 规律方法 圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.【训练3】 (2018·唐山模拟)如图，圆C 与x 轴相切于点T (2，0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x28＋y24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(1)解 设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r ).因为|MN |＝3，所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254.所以r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －522＝254. (2)证明 把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0，1)，N (0，4). ①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x28＋y24＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝－61＋2k2. 所以k AN ＋k BN ＝y1－4x1＋y2－4x2＝kx1－3x1＋kx2－3x2＝2kx1x2－3（x1＋x2）x1x2＝1x1x2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋2k2＋12k 1＋2k2＝0.所以∠ANM ＝∠BNM . 综合①②知∠ANM ＝∠BNM .基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的交点个数是( )解析 由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线y ＝b ax 平行，故直线与双曲线的交点个数是1. 答案 A2.已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B.x ±2y ＝0 C.2x ±y ＝0D.x ±2y ＝0 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x21a2－y21b2＝1①，x22a2－y22b 2＝1②，由①－②得（x1－x2）（x1＋x2）a2＝（y1－y2）（y1＋y2）b2，结合题意化简得4b2a2＝1，即b a ＝12，所以双曲线C 的渐近线方程为x ±2y ＝0. 答案 B3.抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( )A.2B.728C.22D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728. 答案 B4.若点O 和点F 分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )解析 由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝⎛⎭⎪⎫1－x204(－2≤x 0≤2).OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x204＝14·(x 0＋2)2＋2.因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为6. 答案 C5.(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A.6B.8C.12D.16解析 由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2， 所以|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6. 答案 A 二、填空题6.(2019·北京朝阳区一模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，则∠PMQ ＝________.解析 由题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设过点M 的切线方程为x ＝my －p 2，代入y 2＝2px 得y 2－2pmy ＋p 2＝0，∴Δ＝4p 2m 2－4p 2＝0，∴m ＝±1，则切线斜率k ＝±1，∴MQ ⊥MP ，因此∠PMQ ＝π2.答案π27.过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________.解析 由过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得b a<2.∴e ＝c a ＝a2＋b2a2<1＋4＝5， ∵e >1，∴1<e <5，∴此双曲线离心率的取值范围为(1，5). 答案 (1，5)8.(2019·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p >0)的另一个交点为Q ，则S△ABQS△ABO＝________.解析 设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y2＝2px ，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y2＝8px ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p k2，8p k ， ∴|OP |＝4p2k4＋4p2k2＝2p 1＋k2k2，|PQ |＝36p2k4＋36p2k2＝6p 1＋k2k2， ∴S△ABQ S△ABO ＝|PQ||OP|＝3.答案 3 三、解答题9.设椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋23. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB →⊥BC →，AD →∥OC →，连接AC 交DE 于点P ，求证：|PD |＝|PE |.(1)解 由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ， 因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x24＋y 2＝1. (2)证明 由(1)得A (－2，0)，B (2，0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0，0)，因为AB →⊥BC →，所以可设C (2，y 1)，所以AD →＝(x 0＋2，y 0)，OC →＝(2，y 1)，由AD →∥OC →可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y0x0＋2. 所以直线AC 的方程为：y －02y0x0＋2－0＝x ＋22－（－2）.整理得：y ＝y02（x0＋2）(x ＋2).又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y02，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x0，y02，所以P 为DE 的中点，|PD |＝|PE |.10.如图，已知椭圆x22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，①则x 1＋x 2＝4mb m2＋2，y 1＋y 2＝2m2bm2＋2，(1)将AB 中点M ⎝⎛⎭⎪⎫2mb m2＋2，m2b m2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m2＋22m2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63，＋∞. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，则 |AB |＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t2＋12t2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时，等号成立.故△AOB 面积的最大值为22. 能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2019·烟台一模)已知抛物线M ：y 2＝4x ，过抛物线M 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，且交抛物线的准线于点E .若AE →＝2BE →，则直线l 的斜率为( )A.3B.22C.3D.1解析 分别过A ，B 两点作AD ，BC 垂直于准线，垂足分别为D ，C ，由AE →＝2BE →，得B 为AE 的中点，∴|AB |＝|BE |，则|AD |＝2|BC |，由抛物线的定义可知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |， ∴|AB |＝3|BC |，∴|BE |＝3|BC |，则|CE |＝22|BC |， ∴tan ∠CBE ＝|CE||CB|＝22， ∴直线l 的斜率k ＝tan ∠AFx ＝tan ∠CBE ＝22. 答案 B12.(2019·河北百校联考)已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF →＝3 FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则△ABG 的面积为( )A.839B.1639C.3239D.6439解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →， 所以y 1＝－3y 2，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，x ＝my ＋1消去x 得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y1＝23，y2＝－233，∴y 1＋y 2＝4m ＝433， ∴m ＝33，∴x 1＋x 2＝103，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，过AB 中点且垂直于直线l 的直线方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53，令y ＝0，可得x ＝113，所以S △ABG ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋233＝3239. 答案 C13.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析 法一 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k2＋4k2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y2＝4x ，消去x 得y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k2＋4k2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y21＝4x 1，y 2＝4x 2，所以y 21－y 2＝4(x 1－x 2)，则k ＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|).又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.答案 214.(2018·天津卷)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c2a2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a2＋b2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x29＋y24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意，x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1).由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |， 从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x29＋y24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9<0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意.所以，k 的值为－12.新高考创新预测15.(思维创新)已知抛物线y 2＝4x ，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF|的最小值为________. 解析 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 可得k 2x2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1.由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF|＝x 1＋1－2x2＋1＝（x1＋1）（x2＋1）－2x2＋1＝x1＋x2x2＋1＝1＋x22x 2＋x 2＝11＋x2－1x22＋1.令x 2－1＝t (t ≥1)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF|＝11＋t t2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t≥11＋12＋22＝2（1＋2）3＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF|＝1.综上，|AF |－2|BF|的最小值为22－2. 答案 22－2。