§2、1 二次函数所描述的关系

二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。

2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。

3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。

三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴方程为x = h。

2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。

4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。

零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。

四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。

2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。

3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。

五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。

2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。

3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。

4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。

5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。

六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。

第七节 二次函数所描述的关系【教学目标】1.理解二次函数的概念；2.能利用二次函数描述有关的生产、生活实际中的数量关系.3.会根据二次函数解析式计算函数值.【重点、难点】重点：二次函数的概念难点：建立实际问题中的二次函数关系式.【知识要点】1．二次函数概念形如),,,0(2是常数c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做一元二次函数，简称为二次函数.在理解二次函数的定义时，应注意下述问题：（1）2ax 称为二次项，bx 称为一次项，c 称为常数项，a 称为二次项系数，b 称一次项系数.（2）在解析式中最高项是2x 项且系数0≠a ，而b,c 可以不为零，也可以为零，对于判断一个函数是否是二次函数不起作用，如22x y =（.0,0==c b ），),0(3212=+-=c x x y )0(5322=-=b x y 都是二次函数.（3）自变量x 的取值范围是任何实数.（4）如果0=a ，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果0=a ，0≠b 才是一次函数.（5）如果一个函数的解析式形如)0(2≠++=a c bx ax y ，则这个函数一定是二次函数.反之，如果一个函数是二次函数，那么它的解析表达式一定是)0(2≠++=a c bx ax y 的形式.2．建立实际问题中的二次函数关系式（1）审清题意:找出问题中的已知量（定量），未知量（变量）及相互关系.（2）建立函数关系式:根据题意建立函数形式，并指出函数的定义域.（3）判断是否为二次函数解析式:根据二次函数的定义及解析式的形式，判断求出的函数关系式是否为二次函数.3．计算函数值根据二次函数解析式，当x 取某一个值时，代入二次函数解析式中计算出最后结果，即为函数值.【经典例题】例1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）13-=xz y 132-=x y （2）2323x x y += xx y 12+=（3）22)3(x x y -+= （4）322++=x x y例2．已知函数3)2()4(22+++-=x m x m y .（1）当m 为何值时，此函数是二次函数；（2）当m 为何值时，此函数是一次函数.例 3.（1）已知二次函数为x x y 22+=.分别计算当自变量x 分别取-1，12,2,2-+n n m 时，计算函数y 的值；（2）已知二次函数2)1(2+-+=x m x y ，当3,1==y x 时，试确定对应二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中c b a ,,的值.（3）已知二次函数132-+-=x x y ，当x 取何值时，函数y 的值为1.例4．某化工材料经销公司，购进一批化工原料7000kg ，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售价不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元，求y 关于x 的函数关系式，并注明x 的取值范围.例5．如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD ，它的上底AD=15cm ，下底BC=40cm ，垂直于底的腰CD=30cm ，现要截成一块矩形铁皮MPCN ，使它的顶点M ，P ，N 分别在AB ，BC ，CD 上，求矩形MPCN 的面积S 关于MN 的长x 的函数解析式.【归纳小结与学法指导】本节主要学习了二次函数的概念，根据二次函数的解析式由自变量的值求其函数值，建立实际问题中的函数关系式.AD C N M P B G判别一个函数是否为二次函数，不能只从表面看有没有二次项，还需要根据二次函数解析式的特征来判断.建立实际问题中的函数关系式，首先要确定自变量x 或者假设一个变量为自变量，然后根据题目条件寻找函数关于自变量的解析式，另外，在实际问题中还需注意考虑自变量的取值范围.【随堂练习】1．判断下列函数，是二次函数的是（ ）A 、222)2(2x x y --=B 、21xy = C 、251x y -= D 、2)1(+=x x y 2．函数n mx x n m y ++-=2)(是二次函数的条件是（ ）A 、n m ,是常数，且0≠mB 、n m ,是常数，且n m ≠C 、n m ,是常数，且0≠mD 、n m ,可以为任何常数3．下列各式中，x y 是的二次函数的是（ ）A 、12=+x xyB 、02=+y xC 、22-=-ax yD 、0122=+-y x4．二次函数32)1(22--++=m m x m y ，当0=x 时，0=y ，则m 的值是（ ）A 、-1或3B 、-1C 、3D 、-3或15．若m m x m m y +-=2)(2是二次函数，则m 的值为（ ）A 、1B 、-2C 、1或-2D 、26．已知正方形的周长为Ccm.,面积为2Scm 则S 与C 之间的函数关系式为（ ）A 、)0(1612>=C C SB 、2161C S = C 、)0(162>=C C S D 、216C S = 7．小华要送给同学生日礼物，他给这位同学买了一只杯子，为了美观，小华准备包装杯子的盒子（是个长方体）.已知盒子的长和宽相等，高是长是3倍，则包好后，重叠部分不计，外层包装纸的面积是（ ）A 、设长和宽为x ，表面积为y ，则有214x y =B 、设长和宽为x ，表面积为y ，则有212x y =C 、设高为x ，则长和宽为3x ，表面积为232x y =D 、设高为x ，则长和宽为3x ，表面积为22x y = 8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器是的价约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A 、2)1(60x y -=B 、)1(602x y -=C 、260x y -=D 、2)1(60x y +=9．天天超市购进一单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现：若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件.假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数.（1）试求y 与x 之间的关系式.（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，每月获得的利润p （元）与销售价格x （元/件）的函数关系是什么？10．某厂要制造能装250mL(1mL=13cm )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm ，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是3ycm ，求y 与x 之间的函数关系式.【课后作业】1．已知二次函数2ax y =，若当5=x 时，25=y ，则当1=x 时，y 的值为 .2．若对任何实数x ，二次函数2)1(x m y -=的值总是非负数，则m 的取值范围是 .3．一个长方形的周长是50cm ，一边长是x cm ，这个长方形的面积)(2cm y 与x 的函数关系式是 .4．在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为x m 的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是 .5．小明存入银行人民币2000元，年利率为x ，两年到期，本利和为y 元，y 与x 之间的函数关系是 .若年利率为7%，两年到期的本利共 元.6．已知y 与2x 成正比例，并且当1=x 时，2=y ，则函数y 的解析式是 ，并求当3-=x 时，=y ，当8=y 时，=x .7.火车隧道的截面是矩形加一个半圆，如图，已知截面面积为S （常量），把截面周长y 表示为底面宽度x 的函数.【创新题型展示】 8．如图所示，已知ABC ∆的面积为5，点M 在AB 边上移动（点M 与点A ，B 不重合），MN ∥BC ，MN 交AC 于点N ，连结BN ，设y S x ABAM MBN ==∆, （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，设EBF MBN ∆∆与的公共部分的面积为S ，试用含x 的代数式表示S 。

二次函数的关系知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是指数为2的多项式函数，形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。

2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

3. 二次函数的定义域：二次函数的定义域是实数集R，即自变量x的取值范围是整个实数集。

4. 二次函数的值域：二次函数的值域取决于二次项系数a的正负性，当a>0时，值域为[0,+∞)，当a<0时，值域为(-∞,0]。

5. 二次函数的最值：二次函数的最值与二次项系数a的正负性有关，当a>0时，最小值为c，无最大值；当a<0时，最大值为c，无最小值。

6. 二次函数的零点：二次函数的零点是指二次函数与x轴相交的点，是方程ax^2+bx+c=0的根，可以通过求根公式或配方法求得。

二、图像特征1. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一个抛物线，抛物线开口的方向取决于二次项系数a的正负性，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，x=-b/2a即为二次函数的对称轴，对称轴上的点为抛物线的对称中心。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，即抛物线的最值点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为函数的最值。

4. 二次函数的焦点：二次函数的焦点是指抛物线的对称轴与抛物线的顶点之间的中点。

5. 二次函数的平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换实现平移，平移的一般形式为y=ax^2+b(x-h)+k，其中h、k分别表示横坐标和纵坐标的平移量。

三、性质1. 二次函数的奇偶性：二次函数的奇偶性与一次项系数b有关，当b为偶数时，二次函数为偶函数；当b为奇数时，二次函数为奇函数。

2. 二次函数的导数：二次函数的导数是一次函数，由导数的定义可知，二次函数的导数等于二次项系数与一次项系数的和。

细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：九年级教材版本：北师大版章（节）或单元：九年级下册第二章第二节课题：2.1 二次函数所描述的关系一、教学目标确定依据一：数学课程标准的有关内容：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

课程标准为本节制定的教学目标，目标用含糊的内隐心理活动词语，而不是可观察测量的外显行为动词，不够具体、明晰。

需对课程标准作进一步的细化、分解，以使不同的人在数学上得到不同的发展。

分析课程标准发现：（名词）核心知识是分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

1、确定二次函数的表达式。

细化为：根据具体的问题情境，通过自主探究、合作交流，能找到常量、变量之间的关系，列出二次函数表达式。

达标率为80%。

2、体会二次函数的意义。

体会一词含糊，不够具体，可分解为说出、概述、判断等动词。

因此，可细化为：能根据所列函数表达式，通过观察、交流，能说出它们的共同特征，能概述出二次函数的意义。

能判断所给的函数表达式是否二次函数的。

达标率90%依据二：教学参考书要求：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

2、能过表示简单变量之间的二次函数关系。

3、你能过利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。

依据三：中招考试说明在每年的中招试题中常常二次函数解答题，并且是作为大题、难题出现，有明显的区分度。

所以它是中招的重要知识点。

依据四：教材内容二次函数使描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数还是一种非常基本的初等的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础。

依据五：学生情况我校是农村初中，地处边远，学生程度参差不齐。

学生在八、九年级已经学一次函数、反比例函数。

导学法教学模式在我校已全面开展，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引领等方式探索新知。

细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：九年级教材版本：北师大版章（节）或单元：九年级下册第二章第二节课题：2.1 二次函数所描述的关系一、教学目标确定依据一：数学课程标准的有关内容：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

课程标准为本节制定的教学目标，目标用含糊的内隐心理活动词语，而不是可观察测量的外显行为动词，不够具体、明晰。

需对课程标准作进一步的细化、分解，以使不同的人在数学上得到不同的发展。

分析课程标准发现：（名词）核心知识是分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

1、确定二次函数的表达式。

细化为：根据具体的问题情境，通过自主探究、合作交流，能找到常量、变量之间的关系，列出二次函数表达式。

达标率为80%。

2、体会二次函数的意义。

体会一词含糊，不够具体，可分解为说出、概述、判断等动词。

因此，可细化为：能根据所列函数表达式，通过观察、交流，能说出它们的共同特征，能概述出二次函数的意义。

能判断所给的函数表达式是否二次函数的。

达标率90%依据二：教学参考书要求：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

2、能过表示简单变量之间的二次函数关系。

3、你能过利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。

依据三：中招考试说明在每年的中招试题中常常二次函数解答题，并且是作为大题、难题出现，有明显的区分度。

所以它是中招的重要知识点。

依据四：教材内容二次函数使描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数还是一种非常基本的初等的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础。

依据五：学生情况我校是农村初中，地处边远，学生程度参差不齐。

学生在八、九年级已经学一次函数、反比例函数。

导学法教学模式在我校已全面开展，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引领等方式探索新知。

§2.1 二次函数所描述的关系学习目标：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间的关系的体验。

2、理解并掌握二次函数的概念。

3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题。

4、能够表示简单变量之间的二次函数关系。

学习重点：理解并掌握二次函数的概念 学习难点：表示简单变量之间的二次函数关系学习过程：一、复习旧知，温故知新1、设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应。

那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2、正比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 ， 反比例函数表达式为 。

3、08922=+-x x 是 方程，化为一元二次方程一般形式为 ，它的二次项系数为 ， 一次项系数为 ，常数项为 。

二、创设情境，引入新知探究：利用已经学过的知识解决下列问题；探究1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

(1)问题中有哪些变量？自变量是 ，因变量是 。

(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树,这时平均每棵树结 个橙子。

(3)如果果园橙子的总产量为y 个，写出y 与x 之间的关系式 。

想一想：在上述问题中，使果园橙子的总产量最多，要增种多少棵橙子树呢？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。

根据表中的数据作出猜测：探究2、某商场销售一批T 恤衫，在一段时间内，单价15元时，销售量是500件，市场调查发现，单价每降低1元，就多销售出100件。

请你分析：(1)在这一问题中有哪些变量？自变量是 ，因变量是 。

(2)假设单价降低x 元，那么每件T 恤衫的单价是 元,这时的销售量为 件。

(3)请写出销售额y （元）与x （元）之间的函数关系式 。

三、合作探究，发现新知Y/个 1413 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵【探索发现，同伴交流】（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。