测量误差及数据处理(3)

第一章测量误差及数据处理物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。

而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。

因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。

本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。

误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。

误差理论是一门独立的学科。

随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。

误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。

实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。

对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。

第一节测量与误差物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。

因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。

对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。

对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。

例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。

比较的结果记录下来就叫做实验数据。

测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。

国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。

其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。

因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。

如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。

修正值=)(4321l l l l ∆+∆+∆+∆- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4321lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±=2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=∆，mm b 8.0-=∆，mm c 5.0=∆，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abc V = ),,(c b a f V = 2.115.446.1610⨯⨯==abc V)(44.805413mm =体积V 系统误差V ∆为：c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=立方体体积实际大小为：)(70.7779530mm V V V =∆-=222222lim )()()(c b a V cf b f a f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±= 222222)()()(c b a ab ac bc δδδ++±=)(11.37293mm ±=测量体积最后结果表示为:V V V V lim 0δ+∆-=3)11.372970.77795(mm ±=3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。

试求体积的标准差。

解：长方体的体积计算公式为：321a a a V ⋅⋅= 体积的标准差应为：232322222121)()()(σσσσa V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=现可求出：321a a a V ⋅=∂∂；312a a a V ⋅=∂∂；213a a a V⋅=∂∂ 若：σσσσ===321 则有：232221232322222121)()()()()()(a V a V a V a V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσ221231232)()()(a a a a a a ++=σ若：321σσσ≠≠ 则有：232212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++=3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ，V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。

知识点：算术平均值及其实验标准差的计算(一)算术平均值的计算在相同条件下对被测量x进行有限次重复测量，得到一系列测量值x 1，x2，x3，……，xn，平均值为：(二)算术平均值实验标准差的计算若测量值的实验标准偏差为s(x) ，则算术平均值的实验标准偏差为增加测量次数，用多次测量的算术平均值作为测量结果，可以减小随机误差，或者说，减小由于各种随机影响引入的不确定度。

但随测量次数的进一步增加，算术平均值的实验标准偏差减小的程度减弱，相反会增加人力、时间和仪器磨损等问题，所以一般取n=3~20。

知识点：异常值的判别和剔除(一)什么是异常值异常值又称离群值，指在对一个被测量重复观测所获的若干观测结果中，出现了与其他值偏离较远的个别值，暗示他们可能来自不同的总体，或属于意外的、偶然的测量错误。

也称为存在着“粗大误差”。

例如：震动、冲击、电源变化、电磁干扰等意外的条件变化，人为的读数或记录错误，仪器内部的偶发故障等都可能是造成异常值的原因。

如果一系列测量值中混有异常值，必然会歪曲测量的结果，这时若能将该值剔除，可使结果更符合客观情况。

但不能无原则地剔除，损失了测得值的随机波动特性，数据失真。

所以必须正确地判别和剔除异常值。

【案例】检定员在检定一台计量器具时，发现记录的数据中某个数较大，她就把它作为异常值剔除了，并再补做一个数据。

【案例分析】案例中的那位检定员的做法是不对的。

在测量过程中除了当时已知原因的明显错误或突发事件造成的数据异常值可以随时剔除外，如果仅仅是看不顺眼或怀疑某个值，不能确定是否是异常值的，不能随意剔除，必须用统计判别法(如格拉布斯法等)判别，判定为异常值的才能剔除。

(二)判别异常值常用的统计方法(二)判别异常值常用的统计方法——考试重点为三个常用的异常值判定准则l.拉依达准则——又称3σ准则。

当重复观测次数充分大的前提下(n>>10)，设按贝塞尔公式计算出的实验标准偏差为s，若某个可疑值xd 与n个结果的平均值之差(xd一)的绝对值大于或等于3s时，判定xd为异常值。

知识点：计量器具误差的表示与评定（重点内容）(一)最大允许误差的表示形式计量器具又称测量仪器。

测量仪器的最大允许误差是由给定测量仪器的规程或规范所允许的示值误差的极限值。

它是生产厂规定的测量仪器的技术指标，又称允许误差极限或允许误差限。

最大允许误差有上限和下限，通常为对称限，表示时要加“±”号。

最大允许误差可以用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表示。

1.用绝对误差表示的最大允许误差例如，标称值为1ω的标准电阻，说明书指出其最大允许误差为±0.0lω，即示值误差的上限为+0.01ω，示值误差的下限为－0.01ω，表明该电阻器的阻值允许在0.99ω～1.01ω范围内。

2.用相对误差表示的最大允许误差相对误差表示的最大允许误差是其绝对误差与相应示值之比的百分数。

例如：测量范围为lmv～10v的电压表，其允许误差限为±1%。

这种情况下，在测量范围内每个示值的绝对允许误差限是不同的。

如1v时，为±1%×1v=±0.01v，而10v时，为±1%×10v=±0.1v。

最大允许误差用相对误差形式表示，有利于在整个测量范围内的技术指标用一个误差限来表示。

测量范围为lmv～10v的电压表，其允许误差限为±1%。

这种情况下，在测量范围内每个示值的绝对允许误差限是不同的。

如1v时，为±1%×1v=±0.01v，而10v时，为±1%×10v=±0.1v。

最大允许误差用相对误差形式表示，有利于在整个测量范围内的技术指标用一个误差限来表示。

4.组合形式表示的最大允许误差组合形式表示的最大允许误差是用绝对误差、相对误差、引用误差几种形式组合起来表示的仪器技术指标。

例如：一台脉冲产生器的脉宽的技术指标为±(p×10%+0.025μs)，就是相对误差与绝对误差的组合；又如：一台数字电压表的技术指标：±(1×10—6×量程十2×10—6×读数)，就是引用误差与相对误差的组合。