数学九年级上册考点强化专训相似三角形的判定利用边角关系

初三相似的图形知识点归纳总结相似的图形在初中数学中占据非常重要的位置。

相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。

在初三学习过程中，我们接触到了许多涉及相似图形的知识点。

本文将对初三相似的图形知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2. AA相似定理：如果两个三角形的一个角对应对应地相等，并且两个对应边成比例，则它们相似。

3. 相似三角形的对应边的比例关系：如果两个三角形相似，那么它们的对应边的长度之比等于相似比。

即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)二、相似三角形的性质和应用1. 相似三角形的边长比例性质：两个相似三角形的相应边的比等于它们的相似比。

即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)2. 相似三角形的高线比例性质：两个相似三角形的高线与底边之比等于相似比。

即\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =\frac{CA}{C'A'}\)3. 相似三角形的面积比例性质：两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。

即\(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2 =\left(\frac{BC}{B'C'}\right)^2 = \left(\frac{CA}{C'A'}\right)^2\)4. 利用相似三角形性质解决实际问题。

如影子定理、塔楼高度的测量等。

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

华师版数学九年级上册阶段强化专训相似三角形的判定——利用边角关系【知识与技能】1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2.能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.【过程与方法】在推理过程中学会灵活使用数学方法.【情感态度】培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.【教学重点】相似三角形的判定定理2的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2并能灵活应用.【教学难点】相似三角形的判定定理的推导及应用.一、情境导入，初步认识复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；（2）有两个角对应相等的两个三角形相似.2.如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上三等分点（即AD=31AB,AE=31AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么后可以判断它们是否相似？【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的.二、思考探究，获取新知同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE ∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC 有一对对应角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一个条件是AD=31AB,AE=31AC,即是31=AB AD ,31=AC AE ，因此ACAE AB AD =.△ADE 的两条边AD 、AE 与△ABC 的两条边AB 、AC 会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31，将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE=31AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时ACAE AB AD =. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？【教学说明】引导学生证明上述猜想.【归纳结论】 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？（画顶角与底角相等的两个等腰三角形）∠B=∠B ′,CA ACB A AB ''=''. 例1（课本中例4）判断图中△AEB 与△FEC 是否相似.例2 如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的:解：因为AC=AE+CE ，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于ACAE AB AD ≠，所以△ADE 与△ABC 不相似.你同意小张同学的判断吗？请你说说理由. 解：小张同学的判断是错误的.因为63=AC AD ,218.79.3==AB AE ,所以ABAE AC AD ≠，而∠A 是公共角，∠A=∠A,所以△ADE ∽△ACB.三、运用新知，深化理解。

相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。

本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。

一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。

2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。

3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。

4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。

例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。

二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。

2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。

3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。

证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。

4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。

以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。

在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。

同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。

祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。

相似三角形的判定•相似三角形：•对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

•互为相似形的三角形叫做相似三角形。

••例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：• 1.基本判定定理•(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

•(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)•(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)•(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。

• 2.直角三角形判定定理•(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

•(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

• 3.一定相似：•（1）.两个全等的三角形•（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）•（2）.两个等腰三角形•（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

）•（3）.两个等边三角形•(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)•（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。

•相似三角形判定方法：•证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

•一、（预备定理）•平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

九年级人教版相似图形知识点归纳相似图形是初中数学中一个重要的概念，掌握相似图形的知识可以帮助我们解决许多几何问题。

在九年级数学课程中，我们学习了人教版教材中关于相似图形的知识点，下面对这些知识点进行归纳总结。

1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应的角相等，对应的边成比例。

即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF。

2. 相似三角形的角与边的性质a. 对应角相等：如果两个三角形相似，则它们对应的角相等。

b. 对应边成比例：如果两个三角形相似，则它们对应的边成比例。

3. 两种用来判断相似三角形的方法a. 三边成比例法：如果两个三角形的三条边长度分别成比例，即AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么它们相似。

b. 两角对应相等法：如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的第三个角也相等或者两个角分别相等，且它们的第三个角的对方边也成比例，那么它们相似。

4. 相似三角形的性质a. 相似三角形的对应边成比例，比例因子等于任意两边之比。

b. 相似三角形的高线成比例，比例因子等于任意两边之比。

5. 相似三角形与比例a. 两个相似三角形的面积之比等于相似三角形的边长之比的平方。

b. 相似三角形中，对应边的比例等于面积比。

即如果三角形ABC与三角形DEF相似，且比例因子为AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么S(ABC)/S(DEF)=(AB/DE)^2=(AC/DF)^2=(BC/EF)^2。

6. 相似图形的面积比如果两个相似图形的边长比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

这一性质适用于各种相似图形，如相似三角形、相似矩形等。

以上是九年级人教版相似图形知识点的归纳总结。

相似图形是几何学中一个非常重要的概念，通过掌握相似图形的性质和判断方法，我们可以在解决几何问题时更加轻松和高效。

用边角关系判定两三角形相似〔教学目标〕1．掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与，体验事物间特殊与一般的关系。

3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

〔教学重点与难点〕重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程〔教学设计〕设计思想：本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧”，以帮助学生形成认知上的正迁移。

此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。

--------------------- 赠予---------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世--------------------- 谢谢喜欢--------------------。

数学九年级上册阶段强化专训相似三角形的性质【知识与技能】会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【过程与方法】培养学生演绎推理的能力.【情感态度】感受数学来源于生活，来源于实践.【教学重点】1.相似三角形中的对应线段比值的推导；2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；3.运用相似三角形的性质解决实际问题.【教学难点】相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用.一、情境导入，初步认识复习：1.判定两个三角形相似的简便方法有哪些？2.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,A ′B ′=5cm,A ′C ′=3cm,B ′C ′=4cm ，这两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，它们的相似比是多少?二、思考探究，获取新知上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为C A AC=2.相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系.同学画出上述的两个三角形，作对应边BC 和B ′C ′边上的高，用刻度尺量一量AD与A ′D ′的长，D A AD等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，且∠B=∠B ′.∴△ABD ∽△A ′B ′D ′,∴B A AB D A AD =k思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系?【教学说明】引导学生通过演绎推理来证明.归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方.同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比.如梯形ABCD 的对角线交于点O ，32 AB DC ,已知S △DOC =4，求S △AOB 、例1S △AOD .【分析】∵DC ∥AB,∴△DOC ∽△BOA ，由相似三角形的性质可求出S △AOB 、S △AOD.解：∵DC ∥AB ，∴△DOC ∽△BOA ，。