教学正余弦定理全国卷大题

第04讲正弦定理和余弦定理(精练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲正弦定理和余弦定理(精练）一、单选题（2022·全国·高三专题练习）1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形（2022·江苏·高一课时练习）2．已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（）A ．4BC D ．1（2022·江苏·高一课时练习）3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c === ，则a 等于()A ．B ．C ．D ．（2022·河南·高二阶段练习（文））4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，5CD =，6BC =，则CAD ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为（）A ．94B C ．134D ．4（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos c A C =，c =，18ab =，则a b +的值是（）A ．B ．C ．9D ．11（2022·重庆八中高一期中）7．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，则ACD 的面积为（）A ．6B ．2C ．6D ．6（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯ ．可知a b ⨯是一个向量，它的模为||||||sin a b a b θ⨯=⋅．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,3a b c A π=，)22||896BA BC b a ⨯=- ，则cos B =（）A B ．C ．7-D 二、多选题（2022·山东淄博·高一期中）9．在ABC 中，如下判断正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．若sin sin A B >，则A B>10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．sin sin sin +=+a b cA B CB ．若A B >，则sin 2sin 2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形（2022·山东菏泽·高一期中）11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD，cos CDB ∠=则（）A．sin CDB ∠B ．△DBC 的面积为3C ．ABC的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形三、填空题（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））12．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，若3BAC π∠=，AD =，则4b c +最小值为___________.（2022·全国·高三专题练习）13．一艘渔船航行到A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为C 在A 的北偏西45°，距离为海里，该船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东45°方向，则CD =______海里.四、解答题（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）14．如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.(1)求角B ；(2)若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））15．已知函数()f x m n =⋅ ，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =- ，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a cb +的最大值.（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））16．在锐角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,,4,sin 4a b c a b A ===.(1)求sin C 的值；(2)点,D E 分别在边,AB AC 上，ABC 的面积是ADE V 面积的2倍.求DE 的最小值.参考答案：1．D【分析】根据余弦定理，得到cos 0C <，求得(,)2C ππ∈，即可求解.【详解】因为222a b c +<，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，又由(0,)C π∈，所以(,)2C ππ∈，所以ABC 是钝角三角形.故选：D.2．B【分析】由三角形面积公式可求出.【详解】根据三角形面积公式可得该三角形的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=故选：B.3．B【分析】根据正弦定理即可求解﹒【详解】由正弦定理得sin sin a c A C ＝，∴66sin4521sin302a＝＝＝故选：B ﹒4．B【分析】先求出22,AC AD ,再利用余弦定理求解.【详解】因为2226240AC =+=，2226(52)45AD =+-=，在ACD 中，由余弦定理得222cos 22AD AC CD CAD AD AC +-∠==⋅，又因为0180CAD ︒<∠<︒，所以45CAD ∠=︒.故选：B.5．D【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积．【详解】设DE x =，则211sin 1(1)sin12013224ABD DEFBD AD ADB x S x S x ⋅∠⨯⨯+︒+==!!，解得2x =（23-舍去），所以224DEF S ==!，94ABCS ==!故选：D ．6．C【分析】由条件sin cos c A C =结合正弦定理可求C ，再结合余弦定理求a b +.【详解】∵sin cos c A C =，∴sin sin cos C A A C =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴tan C =(0,)C π∈，∴3C π=，又2222cos c a b ab C =+-，c =18ab =，∴222718a b =+-，∴222()281a b a b ab +=++=，∴9a b +=，故选：C.7．C【分析】先在ABC 利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD 、CD ，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在ABC 中，因为4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，所以由余弦定理，得AC =由正弦定理，得=sin sin 603AC BD ABC ==∠；在Rt △ABD 和Rt BCD中，3AD ===3CD ===，又180120ADC ABC ∠=-∠= ，所以ACD 的面积为123326S =⨯⨯⨯=.故选：C.8．B【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为()22182129sin b a bc A -=，再由余弦定理转化为关于,b c 的方程，得出3b c =，再由余弦定理求出cos B 即可.【详解】因为()22||896BA BC b a ⨯=-，所以)221sin 289ac b a B -=,即)2289△ABC S b a -=,)221829sin b a A -=,由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，代入上式得，22289()b b c bc ⎤-+-=⎦，化简得22690-+=b bc c ，即2(3)0-=b c ，3b c ∴=，此时.a ==22214cos 2a c b B ac +-∴-==.故选：B 9．BCD【分析】选项A.由题意可得22A B =或22A B π+=，从而可判断；选项B.若A B >,则a b >，由正弦定理可判断；选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>，即所以022A B ππ>>->，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，从而可判断.【详解】选项A.在ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=所以A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰或直角三角形.故A 不正确.选项B.在ABC 中,若A B >,则a b >，由正弦定理可得2sin 2sin R A R B >,即sin sin A B >，故B 正确.选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>所以022A B ππ>>->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,故C 正确.选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，即a b >，所以A B >，故D 正确.故选：BCD 10．ACD【解析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D.【详解】对于A ，由sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+===+，故A 正确；对于B ，若A B >，当120A =o ，30B = 时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确；对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ，由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形又12AB AC AB AC ⋅=，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确；故选：ACD 11．ABD【分析】由同角的三角函数关系即可判断A ，设CD a =，利用余弦定理及面积公式即可判断B ，利用余弦定理求得AC ，进而判断C ，利用余弦定理可判断D.【详解】因为cos CDB ∠=sin CDB ∠，故A 正确；设CD a =，则2BC a =，在BCD △中，2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得a =，所以112sin 33225DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= ，故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠，所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC △中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠，解得AC =所以ABC 的周长为()3584AB AC BC ++=+++，故C 错误；因为8AB =为最大边，所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅，即C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.12．9【分析】第一步利用等面积法求出,b c 的关系式，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意画图如下：因为AD 为BAC ∠的角平分线，3BAC π∠=，ABC ABD ADC S S S =+ 所以111sin 60sin 30sin 30222AB AC AB AD AD AC ⋅︒=⋅︒+⋅︒化简得11111,,1222c c b bc b c b c⋅==++=利用基本不等式“1的代换”得()()1145+449154b c b c b c c b b c b c ⎛⎫++=+⨯=+=+≥+ ⎪⎝⎭故答案为：9.13．【分析】利用方位角求出B 的大小，利用正弦定理直接求解AD 的距离，直接利用余弦定理求出CD 的距离即可．【详解】如图，在△ABD 中，因为在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东45°方向上，所以B ＝180°−75°−45°＝60°由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠，所以sin 6s in AB BAD ADB==∠海里；在△ACD 中，AD ＝6，AC＝CAD ＝45°，由余弦定理可得：(222222cos 4563263182CD AD AC AD AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以CD＝故答案为：14．(1)π3B =(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.（1）由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=（2）由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin ABC ACD ABCD S =S S ==θθθ- 四边形）π4sin3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S 有最大值15．(1)3A π=(2)【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，然后求解即可，要注意角A 的取值范围；（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.（1）由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()2222133324b c b c bc b c b c 骣+琪=+-³+-´=+琪桫解得b c +≤b c ==等号成立.故c b +的最大值为16．(1)4(2)【分析】（1）根据题意1cos 4A =，进而结合正弦定理得sin B =cos B =()sin sin C A B =+求解即可；（2）结合（1）得4c b ==，进而根据面积关系得8AD AE ⋅=，最后结合基本不等式与余弦定理得212DE ≥，进而得答案.(1)解：ABC是锐角三角形，1sin cos 44A A =∴=.在ABC中，4a b ==，由正弦定理得4sin sin b A B a ==，cos 4B ∴=.()C A B =π-+ ，()1sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=⨯(2)解：由（1）知，sin sin ,4B C c b =∴==.由题意得1sin 1622,81sin 2ABC ADE bc A S AD AE S AD AE AD AE A ==∴⋅=⋅⋅⋅ .由余弦定理得，222132cos 21222DE AD AE AD AE A AD AE AD AE AD AE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=，当且仅当AD AE ==“=”成立.所以DE的最小值为。

2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析1.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()A.19B．13C．12D．232. (2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB ＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.3.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．4.(2020·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小；(2)求sin A 的值；(3)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．5．(2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案1.答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.2.答案 －14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝ 6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－BF 22CF ·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14. 3.解 (1)∵sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ，由正弦定理可得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，∴AC 2＋AB 2－BC 2＝－AC ·AB ，∴cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)解法一：由(1)可得BC 2＝AC 2＋AB 2＋AC ·AB ＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB ＝3时取等号)，∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.解法二：由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ＝3sin 2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B .∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B .∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋23sin B ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B －12sin B ＋23sin B ＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.4.解 (1)在△ABC 中，由a ＝22，b ＝5，c ＝13及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝8＋25－132×22×5＝22， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由C ＝π4，a ＝22，c ＝13及正弦定理，可得sin A ＝a sin C c ＝22×2213＝21313. (3)由a ＜c 知角A 为锐角，由sin A ＝21313，可得cos A ＝1－sin 2A ＝31313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝2cos 2A －1＝513，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝1213×22＋513×22＝17226.5.解 选择条件①：(1)∵c ＝7，cos A ＝－17，a ＋b ＝11，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(11－a )2＋72－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝437.由正弦定理得a sin A ＝c sin C， ∴8437＝7sin C ，∴sin C ＝32. ∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×(11－8)×32＝6 3. 选择条件②：(1)∵cos A ＝18，cos B ＝916，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝378，sin B ＝1－cos 2B ＝5716.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即a 378＝11－a 5716，∴a ＝6. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝378×916＋5716×18＝74，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×(11－6)×74＝1574.。

一．正弦定理1（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，c=3，C=3π则A=（ ） 2（06湖北）在ABC ∆中，已知a=,30,4,3340==A b sinB=( ) 3（07北京）在ABC ∆中，若tanA=31，0150=∠C ，BC=1，则AB=（ ） 4（07重庆）在ABC ∆中，AB=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC=（ ） A 3-3 B 2 C 2 D 3+35（06山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，已知A=3π，a=3，b=1，则c=（ ） A 1 B 2 C 3-1 D 36（05北京）在ABC ∆中，AC=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC 的长为（ ） 7若ABC ∆的周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC=4：5：6，则下列式子中成立的个数是（ ）① a ：b ：c=4：5：6 ②a ：b ：c=2：5：6 ③a=2,b=2.5c=3 ④A ：B ：C=4：5：6A 0B 1C 2D 38在ABC ∆中，A=600，13=a ，则=++++CB A c b a sin sin sin （ ） A 338 B 3392C 3326 D23 二．余弦定理1（06江苏）在ABC ∆中，已知BC=12，A=600，B=450，则AC=（ ）2（07重庆）在ABC ∆中，AB=1，BC=2，B=600，则AC=（ ）3（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，b=7，c=3，则B=（ ）4（05上海）在ABC ∆中，若0120=∠A ，AB=5，BC=7，则AC=（ ）5（06辽宁）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，设向量m =（a+c ，b ）,n =(b-a ，c-a)若m//n ，则角C 的大小为（ ） A 6π B 3π C 2π D 32π 6（06全国）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a,b,c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=( ) A 41 B 43 C 42 D 32 7(06辽宁)已知等腰三角形ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值为（ ） A 23 B 3 C 815 D 715 8（06四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则a 2=b(b+c)是A=2B 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件9（07天津）在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则−→−∙−→−BCAD =（ ）10（07天津）在ABC ∆中，0120=∠BAC ，AB=2，AC=1，D 是BC 上一点，DC=2BD ，−→−∙−→−BCAD =（ ） 11（06全国理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若A ，B ，C 成等差数列，则AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为（ ）三．正弦定理与余弦定理的综合应用1（06北京）在ABC ∆中，若sinA ：sinB ：sinC=5：7：8，则B ∠的大小是（ ） 2在ABC ∆中，sinA ：sinB ：sinC=3：2：4，则cosC 的值为（ ） A-41 B 41 C-32 D 32 3在ABC ∆中，C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则∠A=（ ）A300 B 060 C 0120 D 01504（05江苏）在ABC ∆中，A=3π，BC=3，则ABC ∆的周长为（ ） A 3)3sin(34++πB B 3)6sin(34++πB C 3)3sin(6++πB D 3)6sin(6++πB5（05辽宁）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边的比值为m ，则m 的范围是（ ）A （1，2）B （2，)∞+C [3，)∞+D （3，)∞+6锐角ABC ∆中，B=2A ，则ab 的取值范围是（ ） A （-2，2） B （0，2） C （2，2） D 3,2）7钝角三角形边长为a,a+1,a+2，其最大角不超过1200，则a 的取值范围是（ ） A （0，30 B[23，3） C （2，3] D[1，)25 8(07广东)已知三个顶点的直角坐标分别为A （3，4），B （0，0）C （c ，0）。

高中数学：正弦定理和余弦定理1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( A )A ．42 B.30 C.29 D ．25解析：∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35， 又∵BC ＝1，AC ＝5，∴AB ＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos C ＝ 1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4 2. 故选A.2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( C ) A.π2B.π3C.π4D.π6 解析：根据余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，因为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24， 所以S △ABC ＝2ab cos C 4，又S △ABC ＝12ab sin C ，所以tan C ＝1，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C.3．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB， 由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB， 所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝ 1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12.即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A ，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.5．(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .从而sin A ＋sin B ＝2sin C .由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，取等号．1故cos C的最小值为2.。

第十二讲 解三角形、正弦（余弦）定理(含答案）一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos25=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bcB ．()ab a b +>C ．126≤≤abcD ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23π D．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4ABBC ABC π∠===则sin BAC ∠=ABCD 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,AB BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B．C D 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

专题8正弦定理和余弦定理第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·全国高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC2AB =，则BC =（）A ．1BCD ．3【答案】D【解析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a =+-⨯⨯ ，即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去），故3BC =.故选：D.2．（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A ．72B ．132C D 【答案】A【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A3．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=222145cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴=∴=故选：C4．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知222124ABCa b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC=()C 0,π∈ C 4π∴=故选C.二、填空题6．（2020·江苏高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185或0【解析】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC = ，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.7.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==113sin222ABC S ac B ∆==⨯=8.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.9.△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【答案】233.【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故答案是3.三、解答题10．（2021·北京高考真题）已知在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c =；②周长为4+；③面积为4ABC S ∆=；【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin 32B π∴==，23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 21sin 2c Cb B===，与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 2224ABC Sab C a ==⨯=，解得a=则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：2.11．（2021·全国高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b bBD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.12．（2020·北京高考真题）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin 2C =,S =选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）7sin 4C =,1574S =.【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- 11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）143cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==由正弦定理得：73sin sin sin sin 2437a c C A C C===113sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，3757sin 816A B ∴===由正弦定理得：6sin sin 3757816a b a A B ==（Ⅱ）3795717sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=⨯+⨯=117157sin (116)62244S ba C ==-⨯⨯=13．（2020·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）sin 5C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得2222cos 922352b ac ac B =+-=+-⨯=，所以b =.由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==.（2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25cos 5C ==.所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅34555525⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以115cos 25DAC ∠=.所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.14．（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）323+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 周长的最大值为323+15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）33c =；（2255.【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b=，由正弦定理sin sin a bA B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33,82.【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=⋅22sin cos cos sin 3321231333(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S的取值范围是,8217.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）62sin 4C +=.【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=由正弦定理可得：222b c a bc+-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=sin 2sin A B C+=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C∴=-解得：62sin 4C =或4因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C =.（2）法二：2b c +=sin 2sin A B C+=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin(464C ππ=+=.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =，3314.【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =，又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tanB =．又因为()0πB ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c ，故cosA =．因此43227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=4311333727214⨯-⨯=第二部分模拟训练1．设()2,0A -，()2,0B ，O 为坐标原点，点P 满足2216PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围为（）A ．⎡-⎣B ．(),⎡-∞-⋃+∞⎣C ．55,22⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．55,22⎡-⎢⎣⎦【答案】C【解析】设(),P x y ，则()()2222222216PA PB x y x y +=+++-+≤，整理可得224x y +≤，故2OP ≤，在PQO 中，sin sin OQ OP QPOPQO=∠∠，则sin 2sin 2214sin OP QPO OQ OP QPO PQO∠==∠≤⨯⨯=∠，设原点到直线的距离为d ，则需满足4d ≤，4d ∴=≤，解得52k ≤-或52≥k .故选：C.2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4b =，ABC 的面积为则sin B =（）A ．23913B ．3913C ．5213D ．31313【答案】A【解析】1sin 2===S bc A 3c =，由余弦定理可得：2222cos 13,a b c bc A =+-=得a =又由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以sin sin 13==b A B a ，故选：A .3．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,23A b π==，且ABC a 的值为（）A ．B ．8C ．2D ．12【答案】A【解析】113sin 2222ABC S bc A c ==⨯⨯= ，解得2c =，由余弦定理：22212cos 44222122a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，a ∴=故选：A.4．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，1AC BC ==，则该月牙形的面积为（）A ．3π424+B ．3π424-C ．1π424+D ．1π424-【答案】A【解析】解析由已知可得3AB =，ABC 的外接圆半径为112sin 30R =⨯=︒1.由题意，内侧圆弧为ABC 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为2π3，则弓形ABC 的面积为212π2ππ31sin 23334⎛⎫⨯⨯-=-⎪⎝⎭，外侧的圆弧以AB 为直径，所以半圆AB 的面积为2133ππ228⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，则月牙形的面积为3ππ33π834424⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A ．5．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a +--=，则B =___________.【答案】135︒(或34π)【解析】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=，又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，则原式变形整理为sin cos B B -=,即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B = （或34π）故答案为135 （或34π）6．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若sin 23sin sin 3B AC =，数列{}n a 满足32|cos|2nn a nB =，前n 项和为n S ，2n S =__________.【答案】22243n +-【解析】sin 233B sinAsinC =，由2b ac =得，2sin sin sin B A C=2sin 233B sin B ∴=，∴32sinB =，又a ，b ，c 成等比数列知b 不是最大边，∴3B π=.32222n n n n a cos nB cosπ∴==∴()222242241224020202143nn nnS+--=++++++==- 故答案为：22243n +-7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且a =，1cos 3A =，则ABC 的面积为______．【答案】【解析】由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C CC B B=，∵cos 0,cos 0C B ≠≠，∴sin cos sin cos B CC B=，∴sin2sin2B C =，又,B C 为三角形的内角，∴B C =或2B C π+=，又1cos 3A =，∴B C =，于是b c =．由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-即(222223b b b =+-，解得b =，故c =∴1122sin 223ABC S bc A ∆===故答案为．8．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+．（1）求角C 的大小（2）若28a b +=，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】（1）3C π=；（2）6+．【解析】（1）sin()sin()a A B C c B C +-=+ ，sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=，sin sin 0A C ≠ ，1cos ,02C C π∴=<<，3C π∴=.（2）由题意可得，122ab =8ab ∴=，28a b += 联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+.9．设函数()212cos cos 5f x x x x =--.（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在ABC ，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ，c .若()5f A =-，a =2b =，求ABC 的面积.【答案】（1）T π=，值域为1,1⎡⎤-+⎣⎦（2）2【解析】（1）()212cos cos 5f x x x x =--212cos 25x x =--6cos 221x x =-+216πx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭T π∴=，值域为1,1⎡⎤-⎣⎦.（2）由已知得2156πA ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭3cos 262πA ⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭，5266A ππ∴+=或7266ππA +=3A π∴=或2πa b < ，A B ∴<，3A π∴=，1cos 2A ∴=由余弦定理得2222cos a c b bc A =+-，即2342c c =+-解得1c =13sin 22ABC S bc A =⋅=10．设函数()2πsin 22cos 6f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（1）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（2）已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()32f A ==，求角B 的值．【答案】（1）函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）π4B =．【解析】（1）()11πsin 2cos 2cos 21sin 2cos 21sin 2122226f x x x x x x x ⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2666x +≤≤，∴1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴1πsin 21226x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）∵()π3sin 2162f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵0πA <<，∴ππ13π2666A <+<，∴π5π266A +=，即π3A ==A B =，∴2sin 2B =，∵2π03B <<，∴π4B =．。

第三篇 三角函数与解三角形 专题3.5 正弦定理和余弦定理【考纲要求】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【命题趋势】正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化. 【核心素养】本讲的内容主要考查数学运算，直观想象的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． a ＝2R sin A b ＝2R sin B c ＝2R sin C ， sin A ＝a 2R sin B ＝b 2R sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， a sin B ＝b sin A ， b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin A ， a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．4.在△ABC 中，已知a ，b 和A ，解三角形时解的情况【素养清单•常用结论】 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角． 【真题体验】1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．2.【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．.3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设．（1）求A ； （2）若，求sin C ．4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．5.【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=．（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值．6.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值．7.【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =，cos B =，求c 的值；（2）若，求的值．【考法拓展•题型解码】考法一 利用正、余弦定理解三角形 解题技巧：应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A 或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．【例1】 (2018·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__________，c ＝__________.【例2】 (2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．考法二 利用正、余弦定理判断三角形的形状解题技巧：利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． 注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 【例3】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．考法三 与三角形面积有关的问题解题技巧：与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积．对于公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 【例4】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6(2)(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；ca的取值范围是__________．【例5】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b ＋c ＝2a cos B ． (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．【易错警示】易错点 判断三角形形状时容易漏解【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断△ABC 的形状．【错解】：因为sin A cos A ∶sin Bcos B ＝a2∶b2＝sin2A ∶sin2B ，所以sin Acos B cos Asin B ＝sin2A sin2B ，整理得sin 2A ＝sin 2B ，所以A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形．【错因分析】：在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B 与2A ＝2B 是不等价的，我们知道，互为补角的两个角的正弦值也相等，因此，在求解过程中忽视了2A ＋2B ＝π这一特性，因而造成判断错误． 【正解】：因为sin A cos A ∶sin Bcos B ＝a 2∶b 2＝sin 2A ∶sin 2B ，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，整理得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【跟踪训练】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【递进题组】1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π32．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为__________．4．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－1 7.(1)求∠A；(2)求AC边上的高．【考卷送检】一、选择题1．(2019·武汉中学期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝3，A＝30°，若B为锐角，则A∶B∶C＝()A．1∶1∶3 B．1∶2∶3C．1∶3∶2 D．1∶4∶12．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝2，则边长AC＝()A．3－1 B．1C．2 D．3＋13．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A．32B．332C．3＋62D．3＋3944．在△ABC中，若AB＝2，AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为() A． 2 B．2C． 3 D．35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3二、填空题7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin B ＝513，cos B ＝12ac ，则a ＋c 的值为________．8．(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.9．(2019·开封一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b ，sin B ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为________． 三、解答题10．(2019·邢台质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝2a sin B ，tan A ＞0. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝1，c ＝23，△ABC 的面积为S ，求a S .11．(2019·河南重点高中期中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c .(1)判断△ABC 的形状并加以证明； (2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值．12．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12.(1)求sin ∠CAB 的值； (2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长．13．(2019·重庆二中期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，32 B ．⎝⎛⎭⎫32，32C ．⎝⎛⎭⎫12，32D ．⎝⎛⎦⎤12，32。