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高中数学基础讲义配套习题13曲线与方程-简单难度-习题

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曲线与方程一、选择题（共12小题；共60分）1. 方程 (x +y −1)√x −1=0 表示的曲线是 ( ) A. 一个点和一条直线 B. 两条直线 C. 一条射线和一条直线D. 一条直线2. 方程 x 2+xy =∣x ∣ 所表示的曲线关于 ( )A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. y =x 直线对称3. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1)，B (−1,3)，若点 C 满足 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =αOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 α,β∈R ，且 α+β=1，则点 C 的轨迹方程为 ( ) A. 3x +2y −11=0 B. (x −1)2−(y −1)2=5C. 2x −y =0D. x +2y −5=04. 若命题“曲线 C 上点的坐标都是方程 f (x,y )=0 的解”是真命题，则下列命题中，真命题是 ( )A. 方程 f (x,y )=0 的曲线是 CB. f (x,y )=0 是曲线 C 的方程C. 方程 f (x,y )=0 的曲线不一定是 CD. f (x,y )=0 一定不是曲线 C 的方程5. 若曲线 y =x 2−x +2 和 y =x +m 有两个交点，则 ( )A. m ∈RB. m ∈(−∞,1)C. m =1D. m ∈(1,+∞) 6. 动点 P 到点 A (8,0) 的距离是到点 B (2,0) 的距离的 2 倍，那么点 P 的轨迹方程为 ( )A. x 2+y 2=32B. x 2+y 2=16C. (x −1)2+y 2=16D. x 2+(y −1)2=167. 曲线 y =14x 2 与 x 2+y 2=5 的交点是 ( )A. (2,1)B. (±2,1)C. (2,1) 或 (2√5,5)D. (±2,1) 或 (±2√2,5)8. 设曲线 C 到两坐标轴距离之积为 1 的点的轨迹，那么曲线 C 的方程是 ( )A. xy =1B. xy =−1C. ∣xy ∣=1D. ∣x ∣+∣y ∣=19. 下列各组方程中表示相同曲线的是 ( )A. y =x ，yx =1 B. y =x ，y =√x 2 C. ∣y ∣=∣x∣，√y =√xD. ∣y ∣=∣x∣，y 2=x 210. 平面内一点 M 到两定点 F 1(0,−5)，F 2(0,5) 的距离之和为 10，则点 M 的轨迹为 ( )A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段11. 命题“曲线 S 上的点的坐标满足方程 F (x,y )=0”是正确的，则下列命题正确的一个是 ( )A. 方程F(x,y)=0的曲线是SB. 满足方程F(x,y)=0的点都在曲线S上C. 曲线S是方程F(x,y)=0的轨迹D. 方程F(x,y)=0的曲线不一定是S12. 已知A(−2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO=∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是( )A. (x+2)2+y2=4(y≠0)B. (x+1)2+y2=1(y≠0)C. (x−2)2+y2=4(y≠0)D. (x−1)2+y2=1(y≠0)二、填空题（共5小题；共25分）13. 曲线(x−a)2+(y−b)2=36经过A(0,−12)和坐标原点，则a=，b=．14. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件．( )（2）方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线．( )（3）到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2．( )（4）方程y=√x与x=y2表示同一曲线．( )y表示同一直线．( )（5）y=kx与x=1k15. p(m+1,m+4)在曲线y=x2+5x+3上，则m的值为．16. 若曲线x2+2y−1=0与直线kx−y+1=0有交点，则k的取值范围为．17. 点P(4,−2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是．三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知：A，B为平面上的两个定点，∣AB∣=4，P为平面上一个动点，且P到A，B两点的距离的平方和为定值16，求点P的轨迹方程．19. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C上—点A(2,m)(m>0)到F的距离∣AF∣=3．（1）求抛物线C的方程；（2）过A作直线l，使l与C只有一个公共点，求l的方程.20. 判断P(−4,3)，Q(−3√2,−4)，R(√5,2√5)是否在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上．21. 已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(−√3,0)，右顶点为D(2,0)，设点A(1,1)．2（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．22. 已知方程x2+(y−1)2=10．（1）判断P(1,−2)，Q(√2,3)是否在此方程表示的曲线上；,−m)在此方程表示的曲线上，求m的值．（2）若点M(m2答案第一部分 1. C 2. C3. D【解析】解法一：由向量的直线方程可得点 C 的轨迹是过 A ，B 两点的直线，故点 C 的轨迹方程为 x +2y −5=0 .解法二：设 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y )，由已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3)， 所以 αOC⃗⃗⃗⃗⃗ +βOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3α−β,α+3β)， 所以 (x,y )=(3α−β,α+3β)， 所以 {x =3α−β,y =α+3β,又 α+β=1，x +2y −5=0， 故点 C 的轨迹方程为 x +2y −5=0 . 4. C 5. D【解析】根据题意，由 {y =x 2−x +2y =x +m 得 x 2−2x +2−m =0，Δ=4−8+4m >0，m >1． 6. B 【解析】设 P (x,y )，根据题意，有 4[(x −2)2+y 2]=(x −8)2+y 2， 化简，得 x 2+y 2=16．7. B 8. C 9. D 10. D【解析】因为点 M 到两定点 F 1 、 F 2 的距离之和等于 ∣F 1F 2∣，所以点 M 的轨迹是线段 F 1F 2． 11. D12. C 【解析】由角的平分线性质定理得 ∣PA ∣=2∣PB ∣， 设 P (x,y )，则 √(x +2)2+y 2=2√(x −1)2+y 2， 整理得 (x −2)2+y 2=4(y ≠0)． 第二部分 13. 0，−614. √，×，×，×，× 15. −1 或 −5 16. k ≥1 或 k ≤−1 17. (x −2)2+(y +1)2=1【解析】设圆上任一点为 Q (x 0,y 0)，PQ 的中点为 M (x,y )，则 {x =4+x02,y =−2+y 02,解得 {x 0=2x −4,y 0=2y +2. 因为点 Q 在圆 x 2+y 2=4 上，所以 x 02+y 02=4，即 (2x −4)2+(2y +2)2=4，化简得 (x −2)2+(y +1)2=1． 第三部分18. 如图所示，以线段 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点建立直角坐标系， 则 A ，B 两点的坐标分别为 (−2,0) 和 (2,0) ，设动点 P 的坐标为 (x,y ) ， 由题意，得 ∣PA ∣2+∣PB ∣2=42， 即 [(x +2)2+y 2]+[(x −2)2+y 2]=16， 化简，得 P 点的轨迹方程为 x 2+y 2=4．19. （1） 由题意，抛物线的准线为 x =−p 2，根据抛物线的定义，得 ∣AF ∣=2+p2=3，所以 p =2，抛物线的方程为 y 2=4x ．（2） A(2,2√2)，设 l:y −2√2=k (x −2) 或 x =2（舍去）， 由方程组 {y −2√2=k (x −2),y 2=4x,消去 x 得 ky 2−4y +8√2−8k =0． 因为 l 与 C 只有一个公共点， 所以 k =0 或 {k ≠0,Δ=16−4k(8√2−8k)=0,解得 k =0 或 k =√22， 所以 l 的方程为 y =2√2 或 x −√2y +2=0 .20. 把点 P (−4,3) 的坐标代入方程 x 2+y 2=25，左边=25，右边=25，且点 P 的横坐标满足 x ≤0，所以点 P 在方程 x 2+y 2=25(x ≤0) 表示的曲线上．把 Q(−3√2,−4) 代入 x 2+y 2=25 中，左边=(−3√2)2+(−4)2=34，右边=25，左边≠右边，所以点 Q 不在方程表示的曲线上．点 R 中横坐标 √5 不满足方程中 x ≤0 的条件，它不在曲线 x 2+y 2=25(x ≤0) 上． 21. （1） 由已知得椭圆的长半轴长 a =2，半焦距 c =√3，则短半轴长 b =1． 又椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的标准方程为 x 24+y 2=1．（2） 设线段 PA 的中点 M 的坐标为 (x,y )，点 P 的坐标是 (x 0,y 0)． 由 {x =x 0+12,y =y 0+122 得 {x 0=2x −1,y 0=2y −12. 因为点 P 在椭圆上， 所以(2x−1)24+(2y −12)2=1，所以线段 PA 的中点 M 的轨迹方程是 (x −12)2+4(y −14)2=1．22. （1） 因为 12+(−2−1)2=10，(√2)2+(3−1)2=6≠0， 所以 P (1,−2) 在方程 x 2+(y −1)2=10 表示的曲线上， Q(√2,3) 不在此曲线上．（2） 因为 M (m2,−m) 在方程 x 2+(y −1)2=10 表示的曲线上，所以 (m 2)2+(−m −1)2=10， 解得 m =2 或 m =−185．。

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高三理数一轮讲义：9.8-曲线与方程(练习版)

高三理数一轮讲义：9.8-曲线与方程(练习版)

第8节曲线与方程最新考纲 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知识梳理1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤[微点提醒]1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件.( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线.( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线.( )2.(选修2－1P37A2改编)已知M (－1，0)，N (1，0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线D.双曲线右支3.(选修2－1P37A1改编)已知A (－2，0)，B (1，0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则点P 的轨迹方程是________.4.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线5.(2019·衡水模拟)若方程x 2＋y 2a ＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( ) A.任意实数a 方程表示椭圆 B.存在实数a 方程表示椭圆 C.任意实数a 方程表示双曲线 D.存在实数a 方程表示抛物线6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________.考点一 直接法求轨迹方程【例1】 (1)(2019·晋冀豫三省联考)已知A (－1，0)，B (1，0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN →2＝λAN →·NB→，则当λ<0时，动点M 的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线(2)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________. 规律方法 利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.【训练1】 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A.y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C.y 2＝－2xD.(x －1)2＋y 2＝2考点二 相关点(代入)法求轨迹方程【例2】 (1)(2019·怀化调研)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)D.x 2＋43y 2＝1(y ≠0)(2)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3与椭圆C 2：x29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.规律方法 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0). (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）.(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.【训练2】 (2019·九江联考)设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，则点N 的轨迹方程为________. 考点三 定义法求轨迹方程典例迁移【例3】 (经典母题)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.【迁移探究1】 将本例的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切”，则圆心P 的轨迹方程为________.【迁移探究2】 把本例中圆M 的方程换为：(x ＋3)2＋y 2＝1，圆N 的方程换为：(x －3)2＋y 2＝1，则圆心P 的轨迹方程为________.【迁移探究3】 在本例中，若动圆P 过圆N 的圆心，并且与直线x ＝－1相切，则圆心P 的轨迹方程为________.规律方法 定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解. 【训练3】 △ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________.[思维升华]求轨迹方程的常用方法1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程.3.相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. [易错防范]1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对2.已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆D.抛物线3.已知点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线的中点的轨迹方程是( ) A.y 2＝2x B.y 2＝8x 2 C.y ＝4x 2－12D.y ＝4x 2＋124.设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM→＝35OA →＋25OB →，则点M的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 24＝1 B.y 29＋x 24＝1 C.x 225＋y 29＝1D.y 225＋x 29＝15.(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1D.4x 225＋4y 221＝1二、填空题6.在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是________________.7.已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为________.8.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________. 三、解答题9.(2019·郑州预测)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |. (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程.10.已知点C (1，0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( ) A.x ＋y ＝5 B.x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D.x 2＝16y12.在△ABC 中，已知A (2，0)，B (－2，0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为( )A.焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B.焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C.焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D.焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外)13.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________.14.(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ→＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.。

2022_2023学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-双曲线的标准方程同步练习湘教版选择性必修第一册

2022_2023学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-双曲线的标准方程同步练习湘教版选择性必修第一册

3.2 双曲线3.2.1 双曲线的标准方程A级必备知识基础练1.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,双曲线上一点P到F1的距离为8,则点P到F2的距离为()A.2或12B.2或18C.18D.22.(2022江苏镇江高二期中)若椭圆=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同,则m的值为()A.3B.4C.6D.93.(2022福建连城一中高二月考)以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.-y2=1B.-y2=1C.-y2=1D.x2-=14.设m是常数,若F(0,5)是双曲线=1的一个焦点,则m= .5.已知点F1,F2分别是双曲线=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是.6.已知点P在双曲线C:=1(m>-1)上,且点P的横坐标为m-1,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2.若|F1F2|=6,则m的值为,△PF1F2的面积为.7.(2022山东泰安宁阳高二期中)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为.8.(2022河北邢台高二期中)在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+,②C 的焦距为6,③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.已知双曲线C:=1,,求C的标准方程.B级关键能力提升练9.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线10.已知动点P(x,y)满足=2,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.双曲线的左支D.双曲线的右支11.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的标准方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=112.(2022江苏盐城高二期中)若椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是()A. B.(a2-m)C.a2-mD.a2-m213.(2022黑龙江哈师大附中高二期中)过原点的直线l与双曲线x2-y2=6交于A,B两点,点P为双曲线上一点,若直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为()A.4B.1C. D.14.已知双曲线2x2-y2=k的焦距为6,则k的值为.15.若双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,|F1F2|=10,P为双曲线上一点,|PF1|=2|PF2|,PF1⊥PF2,求此双曲线的标准方程.C级学科素养创新练16.已知F是双曲线=1的下焦点,A(4,1)是双曲线外一点,P是双曲线上支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()A.9B.8C.7D.6参考答案3.2双曲线3.2.1双曲线的标准方程1.C由双曲线定义可知||PF2|-8|=2a=10,解得|PF2|=18或-2(舍),故点P到F2的距离为18,故选C.2.D将双曲线方程化为标准方程得-y2=1,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),由于椭圆与双曲线有相同的焦点,所以由椭圆的方程得m=25-16=9.故选D.3.A由题意得双曲线的焦点在x轴上且c2=3,设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则有a2+b2=c2=3,=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.故选A.4.16由题意可知c2=25,则m+9=25,解得m=16.5.34∵|PF1|=2|PF2|=16,∴|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.又b2=9,∴c2=25,∴2c=10.∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.6.4由题意可知|F1F2|=2=6,解得m=4,此时双曲线的方程为=1,点P的横坐标为x P=3,所以点P的纵坐标为y P=±,所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y P|=×6×.7.16(方法1)由题意得a2=36,b2=16,c2=a2+b2=52.在Rt△PF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,即4c2=4a2+2|PF1|·|PF2|,即4×52=4×36+2|PF1|·|PF2|,得|PF1|·|PF2|=32,故△PF1F2面积为|PF1|·|PF2|=16.(方法2)本题中b2=16,∠F1PF2=90°,因此△PF1F2的面积为S==16.8.解若选①,因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=,c=.因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,所以=3+,解得m=3,故C的标准方程为=1.若选②,则c=3.若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以c==3,解得m=3,则C的标准方程为=1;若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=a2+b2=-3m,所以c==3,解得m=-3,则C的标准方程为=1.综上,C的标准方程为=1或=1.若选③,因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4,所以2a=4,即a=2.若m>0,则a2=m,所以a==2,解得m=4,则C的标准方程为=1;若m<0,则a2=-2m,所以a==2,解得m=-2,则C的标准方程为=1.综上,C的标准方程为=1或=1.9.D方程mx2-my2=n可化为=1.因为mn<0,所以<0,->0.方程又可化为=1,所以方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D.10.D=2表示动点P(x,y)到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差等于2,而2<|F1F2|=4,由双曲线的定义,知动点P的轨迹是双曲线的右支.故选D.11.B根据已知条件得双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则a2+b2=5.①∵线段PF1的中点的坐标为(0,2),∴点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,得=1.②由①②解得a2=1,b2=4,∴双曲线的标准方程为x2-=1.12.D由题意可得|PF1|+|PF2|=2a,||PF1|-|PF2||=2m,两式平方相减得4|PF1|·|PF2|=4a2-4m2,∴|PF1|·|PF2|=a2-m2.故选D.13.C由题意可设A(m,n),B(-m,-n),P(x,y),x≠±m,y≠±n,则m2-n2=6,x2-y2=6,即y2-n2=x2-m2,所以=1,由直线PA的斜率为k PA=,直线PB的斜率为k PB=,可得k PA·k PB==1,而k PA=2,所以k PB=.故选C.14.±6易知k≠0,则由2x2-y2=k,可得=1,当k>0时,a2=,b2=k,由题意知+k=9,即k=6;当k<0时,a2=-k,b2=-,由题意知-k-=9,即k=-6.综上,k=±6.15.解∵|F1F2|=10,∴2c=10,c=5.又|PF1|-|PF2|=2a,且|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2a,|PF1|=4a.在Rt△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4a2+16a2=100,得a2=5.则b2=c2-a2=20.故所求的双曲线的标准方程为=1.16.A∵F是双曲线=1的下焦点,∴a=2,b=2,c=4,F(0,-4).上焦点为F1(0,4),由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+=9, 当A,P,F1三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值9.故选A.。

2022_23学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-抛物线的简单几何性质同步练习湘教版选择性必修第一册

2022_23学年高中数学第3章圆锥曲线与方程-抛物线的简单几何性质同步练习湘教版选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是( )A.y2=8x或x2=8yB.y2=-8x或x2=-8yC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y2.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+| BF|的值( )A.等于8B.等于7C.等于5D.随A,B两点坐标变化而变化3.(2022北京二中高二月考)抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=12xD.y2=16x4.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是( )A.2B.3C.4D.05.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则(　)A.曲线C的标准方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥26.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为 ;水面下降1米后,水面宽 米.图1图27.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O 为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为 .8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值.B级关键能力提升练9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是( )A. B. C. D.110.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为( )A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x11.已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|等于( )A.2B.C.2D.412.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.C的准线方程为x=-1B.线段AB的长度的最小值为4C.M的坐标可能是(3,2)D.存在直线l,使得OA与OB垂直13.抛物线x2=y上到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是 .14.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.C级学科素养创新练15.已知抛物线E的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且直线y=x+1与E相切.(1)求E的标准方程;(2)设P为E的准线上一点,过P作E的两条切线,切点为A,B,求证:PA⊥PB.参考答案3.3.2　抛物线的简单几何性质1.C　当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C.2.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.3.B　抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1--=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B.4.B　因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0.因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,最小值为3.故选B.5.AB　由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB.6.x2=-4y　4　设这条抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),由已知抛物线经过点(2,-2),可得8=-2p×(-2),解得p=2,所以抛物线的标准方程为x2=-4y.当y=-3时,x2=12,解得x=±2,所以当水面下降1米后,水面宽4米.7.y2=4x　由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则焦点F,0,直线l:x=,|AB| =2p.因为△OAB的面积为S△OAB=×2p=4,所以p=2.所以抛物线的标准方程为y2=4x.8.解(1)由题意可得解得故抛物线C的标准方程是y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得y2-4y+4n=0,Δ=16-16n>0,n<1,则y1+y2=4,y1y2=4n,从而x1x2==n2.因为OA⊥OB,所以=0,即x1x2+y1y2=n2+4n=0,又n≠0,所以n=-4.9.C　如图所示,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-.过点G向准线m作垂线,垂足为D,过A,B分别向准线m作垂线,垂足为A',B',则|AA'|+|BB'|=| AB|=2.因为弦AB的中点为G,所以|GD|=(|AA'|+|BB'|)=|AB|=1,所以点G的横坐标是1-,故选C.10.B　由抛物线定义,|BF|等于点B到准线的距离,因为|BC|=2|BF|,所以∠BCM=30°.又|AF|=3,所以A.点A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px(p>0),解得p=(负值舍去).故抛物线的标准方程为y2=3x.故选B.11.D　抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设点M,y,∵∠OFM=120°,∴>1,∴|y|=-1,整理得y2-4|y|-4=0.解得|y|=2(负值舍去),∴|FM|==4.故选D.12.ABC　由已知可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,则点F(1,0),准线的方程为x=-1,故A正确;当AB⊥x轴时,AB的长度取最小值,令x=1,代入抛物线方程解得y=±2,所以AB的长度的最小值为4,故B正确;设直线l的方程为x=my+1,A(x A,y A),B(x B,y B),M(x M,y M),将x=my+1代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0,则y A+y B=4m,所以x A+x B=m(y A+y B)+2=4m2+2,x M=2m2+1,当m=1时,可得M(3,2),故C正确;因为y A y B=-4,所以x A x B=1,所以=x A x B+y A y B=1-4=-3,所以≠0,故D错误.故选ABC.13.(1,1)　设抛物线y=x2上一点为A(x0,),点A(x0,)到直线2x-y-4=0的距离d=|(x0-1)2+3|,当x0=1时,抛物线x2=y上一点到直线2x-y-4=0的距离最短,此时点A的坐标为(1,1).14.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+.又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.联立可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,Δ=144(t-1)2-144t2=144(1-2t)>0,t<,则x1+x2=-.从而-,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.联立可得y2-2y+2t=0,Δ=4-8t>0,t<,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B,-1.故|AB|=.15.(1)解依题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),与直线y=x+1联立,可得x2+(2-2p)x+1=0,由Δ=(2-2p)2-4=0,解得p=2(p=0舍去).所以抛物线的标准方程为y2=4x. (2)证明易知过点P的两条切线斜率存在且不为0,设P(-1,m),切线的方程为y-m=k(x+1),与y2=4x联立,可得ky2-4y+4k+4m=0,由Δ=0,即16-16(k+m)k=0,整理得k2+km-1=0,易知方程有两个不相等的实数根,设为k1,k2,所以k1k2=-1,即PA⊥PB.。

曲线和方程典型例题

曲线和方程典型例题

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k)5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点．当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==ax y xa y 得：a y a y -=∵0≥y ，∴222)(a y a y -=， 即02)1(4322=+--a y a y a ． 要使上述方程有两个相异的非负实根．则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a 又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+．解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段． 解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形． 解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x 等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(． 连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程． 说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知AB PM 21=即()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解图２的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程． 分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(kya x y a x =+--++得24k ax =．由于k 是常数，且0≠a ，所以ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x yx =+--+，得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线．解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-，整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦．因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式． 解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222ABPB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+． 这就是两直线的交点P 的轨迹方程． 说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ．设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，ax yk PB -=)(a x ≠， 故1-=-⋅+ax ya x y ，即222a y x =+(a x ±≠)． 要知道，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b ABC =∠tan ，x y AOC =∠tan ，有a b x y =，即x aby =． 注意到方程表示的是过原点、斜率为ab的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，所以22ba ab x +=．如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222ba a x +=．由已知b a >，所以22222ba a ba ab +<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）． 说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B ∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31， 由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b xa 434， ∴)0,34(x A 、)4,0(y B 又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ． 化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB 在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到） ∴422+-+=y x y x a ． 由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ． 又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ． 化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再根据2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B 由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++． 化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x ∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。