宝山区2020学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量检测试卷

2024-2025学年上海市宝山区高三上学期12月月考数学检测试题一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1. 双曲线的离心率为______．221x y -=2. 设，若直线与直线互相垂直，则______．m ∈R 1y mx =-230x y ++=m =3. 设，若集合中的最大元素为3，则______．R a ∈{}21,,2S a a =-+a =4. 设，则______．()tan f x x =π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭'5. 设，，若不等式对也成立，则的()0,πϕ∈()()sin f x x ϕ=+()()20f x f ≥-x ∈R ϕ取值范围是______．6. 设，若存在复数满足（为虚数单位），则______．a ∈R z 12i z z a -⋅=+i a =7. 设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成11,0,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭ay x =a 的集合为______．8. 设，若，则()()()2012111nn n x a a x a x a x =+-+-++- 01264n a a a a ++++= ______．3a =9. 某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的A B T A B 概率分别为0.2和.若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则p T ___________.p =10. 记为的任意一个排列，则为偶数的排,,,,,a b c d e f 1,2,3,4,5,6()()()a b c d e f +++列的个数共有________.11. 设，，若对任意，都有成立，则的取值范a ∈R ()33f x x ax =-[]1,1x ∈-()1f x ≤a 围是______.12. 如图，是以为直径的半圆 （不含端点）上一动点，，且C AB O π2DCB ∠=．若，则的取值范围是______．DC CB =2AB =OC OD ⋅二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）13. 设、、，已知、均为非零向量，则“”是“、、a b R c ∈()u a b =,(),v b c =//u va b 成等比数列”的（ ）．c A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C .充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 设、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列条件中可以推出αβm n 的是（）αβ⊥A. ，， B. ，，m n ⊥m α⊂n β⊥m n ⊥m α⊂n αβ= C. ，， D. ，，m n ∥m α⊥n β⊥m n ∥m α∥n β⊥15. 大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（）A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地B. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率612C. 当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率1218D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同16. 设数列的前项和为，若，且存在正整数，使得{}n a n n S 11n n a a n ++=+k ，则的取值集合为（ ）190k k S S +==1a A.B. C. D.{}9,9-{}9,10-{}10,9-{}10,10-三、解答题（本大题共有5题，满分75分）17. 如图，在四棱锥中，，，，P ABCD -//AD BC AB BC ⊥1AB BC ==，平面，与平面所成角为，为中点，()1AD a a =>PA ⊥ABCD PD ABCD 45︒E PD（1）证明：；BE PD ⊥（2）若直线与平面所成角为，求的值.PC ABE 60︒a 18. 在中，角、、的对边分别为、、．已知．ABC V A B C a b c 2cos 2c A b a =-（1）求角的大小；C（2）设为边的中点，若，求的大小．M AB c =1a b -=CM19. 已知是无穷数列，若对于任意正整数n ，仍是数列中的项，则{}n x 21n n n x x x +++-{}n x 称数列为“回归数列”.{}n x （1）若数列满足，，求数列的通项公式，判断数列是否{}n a 11a =123n n a a +=+{}n a {}n a 为“回归数列”，并说明理由；（2）若严格增数列为“回归数列”，求证：为等差数列．{}n b {}n b20. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为的左顶点为A ，()2222:10x y a b a b Γ+=>>Γ过定点（）作与轴不重合的直线交于，两点，直线、分别(),0T t 2t ≠±x l ΓP Q AP AQ 交轴于、两点．y M N （1）求的方程；Γ（2）设．若以为直径的圆经过的右焦点，求直线的方程；0t =PQ ΓF l （3）是否存在点，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理T OM ON⋅13t 由．21. 设，，．已知函数R a m ∈、()ln a f x x x =+()()2111g x f x m x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极小值为1．()y f x =（1）求的值；a （2）若，求证：对任意，都有；102m <<0,1m x m ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭()0g x >（3）若函数有两个零点，求的取值范围．()y g x =m。

上海市宝山区2020届高三数学一模试卷一、单选题 (共4题；共8分)1．（2分）若函数f(x)=lnx−1x+a在区间(1，e)上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0<a<1B．1e<a<1C．1e−1<a<1D．1e+1<a<12．（2分）下列函数是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增的是（）A．f(x)=log2(4x+1)−x B．f(x)=|x|−2cosxC．f(x)={x 2+1x2x≠00x=0D．f(x)=10|lgx|3．（2分）已知α,β,γ平面两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α,b⊆β,c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面4．（2分）提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+φ)，−π<φ<π，下列判断错误的是（）A．当a>0，b>0时，辅助角φ=arctan baB．当a>0，b<0时，辅助角φ=arctan ba+πC．当a<0，b>0时，辅助角φ=arctan ba+πD．当a<0，b<0时，辅助角φ=arctan ba−π二、填空题 (共12题；共16分)5．（1分）若z(1+i)=2i（i是虚数单位），则|z|=．6．（1分）已知|λ−42−λ1|=5，则λ=7．（1分）函数y=3x−1（x≤1）的反函数是8．（1分）2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.9．（1分）以抛物线y2=−6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是10．（1分）在(1−x)5(1+x3)的展开式中，x3的系数为11．（1分）不等式|x−x2−2|>x2−3x−6的解集是12．（1分）已知方程x2−kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1−x2|=2，则 k =13．（5分）已知直线 l 过点 (−1,0) 且与直线 2x −y =0 垂直，则圆 x 2+y 2−4x +8y =0 与直线 l 相交所得的弦长为 。

绝密★启用前2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e -<<D ．111a e+<<解：函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e =-+>， 可得111a e -<<故选：C ．2．下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()log (41)x f x x =+-B ．()||2cos f x x x =-C ．2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D ．|lg |()10x f x =解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， Q 当0x …时，函数122x xy =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确； :0C x ≠时，2212x x +…，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ． 点评：考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；3．已知平面γβα、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面解：设l αβ=I ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=I ，可知//a l ，//b l 又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 点评：本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x j ++，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ=B ．当0a >，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=+ C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan b aϕπ=+D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=- 解：解：因为cos ϕ=sin ϕ=tan baϕ=，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>Q，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ． 点评：本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．二、填空题5．若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 解：解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==点评：本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 6．已知4251λλ-=-，则λ=________答案：3由行列式的计算公式化简求解即可． 解： 解：4251λλ-=-Q()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=，故答案为：3． 点评：本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 7．函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________ 答案：31log ,(0,1]y x x =+∈首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 解：解：13(1)x y x -=Q …，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈， 点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 答案：66直接利用组合数的应用求出结果． 解：解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==．点评：本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________答案：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 解：解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．点评：本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 答案：9-利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 解：解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．点评：本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 11．不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 答案：(4,)-+∞将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可； 解：解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞ 点评：本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12．已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =_____ 答案：2±由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x -=求得a 与b 的值，则k 可求． 解：解：Q 方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ， 可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈．122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=Q ，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±． 点评：本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__答案：先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ． 解：解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=Q 可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l 的距离d ==，AB ∴==故答案为： 点评：本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．14．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）答案：4.5直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 解：解：设钢球的内半径为r ，所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．点评：本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 答案：47-{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ． 解：解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n n c a b =⋅为关于n 的二次式， 故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =Q ，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-，故答案为：47-． 点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________答案：先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭…；再利用基本不等式即可求解． 解：解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(．故答案为：(． 点评：本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 答案：（1）2；（2）5arccos 8；（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．解：解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，Q 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()1122BCDE S =+=梯形． 13DD =Q ，∴1111333C BCDE BCDE V S DD -=⨯==四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C Q ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，1B E ==14C E ．115cos 8B C E ∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．点评：本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18．已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.答案：（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值． 解：解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02x π剟，所以72666x πππ+剟，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭…时，函数的图象有两个交点，故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称，故12263x x ππ+=⋅=．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．一家污水处理厂有AB 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）答案：（1）7小时；（2）17小时（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=g ，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 解：解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=g ，即20.90.90.20x x +-=，可得0.9x =，可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定． 点评：本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A B 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.答案：（1）6-+2）y x =；（3）证明见解析 （1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标；（2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 解：（1）设1(,),(M x y F ，依题意得，||x t =-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：222212222x x x tx t +++-=-+，(22x t ∴=-；又因为t =，代入得：6M x =-+（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MAB S t y =⋅V ，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则 MAB S ≤V，当且仅当1t时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩u u u u u u u r 令， 则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值. 点评：考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21．已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e是自然对数的底数），且2n a +=ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b + （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：1n n lna lna ++…得，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n nc b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +…成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t g …，解得t R ∈．2n …时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出． 解：解：（1）依题意得，要证明2n b +21ln ln n n n a a ++>⋅，又因为2n a +=2ln n a +>要证明2ln n a +>>>()1ln n n a a +⋅>又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n n n nn n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--=⋅==--. 所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-L2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．{}n b ∴的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）假设存在存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭--==--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫== ⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 点评：本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

宝山区2011学年第一学期期末 高三年级数学学科质量监测试本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．2013.1.19考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面． 2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是 ．2.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-15231321X ，则二阶矩阵X= ． 3.设(2,3),(1,5)A B -，且3AD AB =，则点D 的坐标是__________； 4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)则yx的最大值是 . 5.不等式37922x -≤的解集是 _________________. 6.执行右边的程序框图，若0.95p =，则输出的n = ．7.将函数sin ()cos xf x x=的图像按向量n (a,0)=-（0a >）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .8.设函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，且2)1(=-f ，则(2011)(2012)f f += _．9．二项式103)1(xx -展开式中的常数项是 (用具体数值表示)10.在ABC ∆中，若60,2,B AB AC =︒==∆则ABC 的面积是 ． 11.若数列{}n a 的通项公式是13(2)n n n a --+=+-，则 )(lim 21n n a a a +++∞→ =_______.12.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________．14.设),(),,(2211y x B y x A 是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B 的曼哈顿距离1212(,)L A B x x y y =-+-. 若点A(-1,1),B 在2y x =上，则(,)L A B 的最小值为 ．二、选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ ）（A ）3353P P ⋅ （B ）863863P P P -⋅ （C ）3565P P ⋅ （D ）8486P P -16.在△ABC 中，有命题:①AB AC BC -=u u u r u u u r u u u r；②0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u r r ；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则△ABC 是等腰三角形；④若0AB CA ⋅>uuu r uu u r，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是…………………………………………………………（）(A) ②③(B) ①④ (C) ①②(D) ②③④17.函数()|arcsin |arccos f x x x a b x =++是奇函数的充要条件是…………………((A) 220a b += (B)0a b += (C)a b = (D)0ab =18.已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是……………………（ ）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像三、解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，且2AB AC ==，∠=90BAC ，E 是1AA 的中点，O 是11C B 的中点.求异面直线1C E 与BO 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）CC1B1B20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像与y 轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +- （1）求()f x 的解析式及0x 的值；BB1C1AC（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ 的值.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数2()log (424)x x f x b =+⋅+，()g x x =. （1）当5b =-时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求b 的取值范围．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()a a g a f a n N n n n n +-+=∈10*（1）求函数f x ()的解析式； （2）求数列{}a n 的通项公式；（3）设()()b f a g a n n n =-+31，求数列{}b n 的最值及相应的n宝山区2011学年第一学期期末 高三年级数学学科质量监测试本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．2013.1.19考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面． 2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.在复数范围内，方程210x x ++=的根是．122-± 2.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-15231321X ，则二阶矩阵X= ．1021-⎛⎫⎪--⎝⎭ 3.设(2,3),(1,5)A B -，且3AD AB =，则点D 的坐标是__________(7,9)-； 4.已知复数(2)x yi -+(,x y R ∈)则yx的最大值是 . 3 5.不等式37922x -≤的解集是 _________________.[1,2]- 6.执行右边的程序框图，若0.95p =，则输出的n = ．67.将函数sin ()cos xf x x=的图像按向量n (a,0)=-（0a >）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 . π658.设函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，且2)1(=-f ，则(2011)(2012)f f += _．09．二项式103)1(xx -展开式中的常数项是 (用具体数值表示) 210)1(6106=-C10.在ABC ∆中，若60,2,B AB AC =︒==∆则ABC 的面积是 ．32 11.若数列{}n a 的通项公式是13(2)n n n a --+=+-，则 )(lim 21n n a a a +++∞→ =_______.7612.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R= ．13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________．解答参考：①|,||a b b c a c ⇒；②|,||()a b a c a b c ⇒±；③|,||a b c d ac bd ⇒；④*|,|n n a b n N a b ∈⇒14.设),(),,(2211y x B y x A 是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B 的曼哈顿距离1212(,)L A B x x y y =-+-. 若点A(-1,1),B 在2y x =上，则(,)L A B 的最小值为 ．74二、选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（ C ）（A ）3353P P ⋅ （B ）863863P P P -⋅ （C ）3565P P ⋅ （D ）8486P P -16.在△ABC 中，有命题:①AB AC BC -=u u u r u u u r u u u r；②0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u r r ；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则△ABC 是等腰三角形；④若0AB CA ⋅>uuu r uu u r，则△ABC 为锐角三角形．上述命题正确的是…………………………………………………………（A ）(A) ②③(B) ①④ (C) ①②(D) ②③④17.函数()|arcsin |arccos f x x x a b x =++是奇函数的充要条件是…………………( A )(A) 220a b += (B)0a b += (C)a b = (D)0ab =18.已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是……………………（ D ）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像三、解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，且2AB AC ==，∠=90BAC ，E 是1AA 的中点，O 是11C B 的中点.求异面直线1C E 与BO 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）CC1B1B解：由18V S AA =⋅=得14AA =，………………………3分 取BC 的中点F ，联结AF ，EF ，则1//C F BO ，所以1EC F ∠即是异面直线1C E 与BO 所成的角，记为θ． ………………………5分2118C F =，218C E =，26EF =，………………………8分 22211115cos 26C F C E EF C F C E θ+-==⋅，………………………11分BB1C1AC因而5cos6arc θ=………………………………………………12分 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像与y 轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-（1）求()f x 的解析式及0x 的值；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ 的值.解：（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………………3分 1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………………………5分001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………………7分（2）π1(0,),cos ,sin 23θθθ∈=∴=27cos 22cos 1,sin 22sin cos 9θθθθθ∴=-=-==………………………………10分π77(4)2sin(2)2cos 2699f θθθθ=+=+=-=-．…………………14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数2()log (424)x x f x b =+⋅+，()g x x =. （1）当5b =-时，求()f x 的定义域；（2）若()()f x g x >恒成立，求b 的取值范围．解：（1）由45240x x -⋅+>………………………………………………3分解得()f x 的定义域为(,0)(2,)-∞⋃+∞．………………………6分（2）由()()f x g x >得4242x x x b +⋅+>，即4122x x b ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭……………………9分令4()122x x h x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()3h x ≤-，………………………………………………12分∴ 当3b >-时，()()f x g x >恒成立．………………………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分． 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程；(2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积；(3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 解：(1) 设00(,)A x y ，(,)M x y ，焦点(1,0)F ，则由题意00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩……………………………………2分所求的轨迹方程为244(21)y x =-，即221y x =-…………………………4分 (2) 22y x =，12(,0)F ，直线12()212y x x =-=-，……………………5分由2221y x y x ⎧=⎨=-⎩得，210y y --=，2511212=-+=y y kAB ……………………………………………7分d = ……………………………………………8分 4521==∆AB d S OAB ……………………………………………9分 (3)显然直线MA 、MB 、MF 的斜率都存在，分别设为123k 、k 、k ．点A 、B 、M 的坐标为11222p A(x ,y )、B(x ,y )、M(-,m)． 设直线AB ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入抛物线得2220p y y p k --=，……………………11分 所以212y y p =-，……………………………………………12分又2112y px =，2222y px =， 因而()22211112222y p p x y p p p +=+=+，()24222212211222222y p p p p p x y p p py y +=+=+=+ 因而()()()22121112122222111222222p y m p y m y y m y m m k k p p p p y p p y p x x ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭+=+=+=-++++……………14分 而30222m m k p p p -==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1232k k k +=．……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知定义域为R 的二次函数f x ()的最小值为0，且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()a a g a f a n N n n n n +-+=∈10*（1）求函数f x ()的解析式；（2）求数列{}a n 的通项公式；（3）设()()b f a g a n n n =-+31，求数列{}b n 的最值及相应的n 23 解：（1）设()()01)(2>-=a x a x f ，则直线()4(1)g x x =-与)(x f y =图像的两个交点为（1，0），4116a a +⎛⎝ ⎫⎭⎪， …………………………………………………2分 ()017416422>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a ，()∴==-a f x x 112，() ………………4分 （2）()()()()f a a g a a n n n n =-=-1412，()()() a a a a n n n n +--+-=124110· ()()∴---=+a a a n n n 143101 ………………………………………5分 a a a a n n n 11214310=∴≠--=+，，………………………………6分 ()∴-=--=+a a a n n 11134111， 数列{}a n -1是首项为1，公比为34的等比数列……………………………8分 ∴-=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪+--a a n n n n 13434111，………………………………………10分（3）()()b a a n n n =---+31412121333444n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21133344n n --⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭令b y u n n ==⎛⎝ ⎫⎭⎪-，341， 则y u u =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-312143123422…………12分 n N ∈*，∴u 的值分别为1349162764，，，……，经比较916距12最近， ∴当n =3时，b n 有最小值是-189256，……………………………………15分 当n =1时，b n 有最大值是0 …………………………………………18分。