变化率与导数小结学案

§

3　计算导数

课后训练案

巩固提升

A组

1.函数y=lg x在x=1处的瞬时变化率为(

)

A.0B.1

C.ln 10D.1

ln10

解析:∵

y'=,∴

函数在x=1处的瞬时变化率为.1

𝑥

ln101

1×

ln10=1

ln10

答案:D

2.若曲线y=f(x)在点(x

0,f(x

0))处的切线方程为3x-y+1=0,则(

)

A.f'(x

0)<0B.f'(x

0)>0

C.f'(x

0)=0D.f'(x

0)不存在

解析:由导数的几何意义可知曲线在点(x

0,f(x

0))处的导数等于曲线在该点处的切线斜率,所以f'(x

0)=3.故选B.

答案:B

3.已知f(x)=x2,g(x)=x3,且f'(x)

)

A.x<0B.x>2

3

C.02

32

3

解析:∵

f(x)=x2,g(x)=x3,且f'(x)

∴

2x<3x2.∴

3x2-2x>0.

∴

x(3x-2)>0.∴

x<0或x>.2

3答案:D

4.若曲线y=x4

的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(

)

A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

解析:∵

切线l与直线x+4y-8=0垂直,

∴

切线l的斜率为4.又y'=4x3,

由切线的斜率为4,得4x3=4,即x=1,切点坐标为(1,1).

∴

切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.

答案:A

5.已知偶函数f(x)在R上可导,且f'(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则曲线y=f(x)在x=-5处切线的斜率为(

)

A.2B.-2C.1D.-1

解析:由f(x+2)=f(x-2),得f(x+4)=f(x),可知函数f(x)的周期为4,又函数f(x)为偶函数,所以f(-5)=f(5)=f(1),所以曲线

y=f(x)在x=-5处切线的斜率k=f'(-5)=-f'(1)=-1.

答案:D

6.已知f(x)=sin x,g(x)=cos x,h(x)=ln x,则f'+g'-h'=

. (

π

4)(

π

4)(

1

2)

h

h 1.1.2 瞬时变化率——导数

学习目标 重点难点

1．能说出平均变化率和瞬时变化率的区别与联系．

2．会分析瞬时变化率就是导数的含义．

3．能记住导数的定义，会利用导数定义求函数的导函数. 重点：瞬时变化率的理解．

难点：利用导数定义求函数的导函数.

1．瞬时速度

(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．

(2)一般地，如果当Δt__________0时，运动物体位移s(t)的平均变化率s(t0＋Δt)－s(t0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t＝t0时的__________，也就是位移对于时间的____________．

预习交流1

做一做：如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3 s时的瞬时速度为__________．

2．瞬时加速度

一般地，如果当Δt__________时，运动物体速度v(t)的平均变化率v(t0＋Δt)－v(t0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t＝t0时的_________，也就是速度对于时间的____________．

3．导数

(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个______A，则称f(x)在x＝x0处______，并称该______A为函数f(x)在x＝x0处的______，记为______．

(2)导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的________．

(3)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的________，记作________．

预习交流2

做一做：设函数f(x)可导，则当Δx→0时，f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于__________．

1 变化率与导数、导数的计算

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

2.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义：f′(x0)是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

二、基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

三、导数的运算法则

1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

3.fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

1.函数求导的原则

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

利用导数的定义求函数的导数

1．用定义法求下列函数的导数．

(1)y＝x2； (2)y＝4x2.

第五章 一元函数的导数及其应用

《5.1.1变化率问题》教学设计

第2课时

1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.

2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．

教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法

教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念

PPT课件．

【新课导入】

问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：

（1）本节将要探究哪类问题？

（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．

预设的答案：

（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．

（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．

设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．

问题2：什么叫直线与圆相切？

师生活动：学生回顾并回答．

预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？

设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课． ◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点

◆ ◆ 教学目标 【探究新知】

知识点1：曲线在某点处的切线

我们以抛物线f（x）=x2为例进行研究．

问题3：如何定义抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线？

师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线，我们通常在点0(11)P，的附近任取一点2()Pxx，，考察抛物线2()fxx的割线0PP的变化情况.