1.3_柱体、椎体、台体的体积

1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1、3、1 柱体、锥体、台体的表面积与体积小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？要求：新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.一、【学习目标】1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣；2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材23—25页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）1 在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？2 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？3 如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？4 联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为，你计算出它的表面积吗？结论：1 正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. 2 棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. 3 它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积s=2πr2+2πrl=2πr(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积s=πr2+πrl=πr(r+l). 4 圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即. 思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？练习一：完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧；完成教材第27页练习1；把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是 .。

高中数学必修2个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11高中数学必修二1.2.3《体、椎体、台体的表面积及体积》导学导练121 23 A 正方体S<球S <圆柱SB 球S <圆柱S <正方体SC 圆柱S <球S <正方体SD 球S <正方体S <圆柱S【针对练习】1、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为π6，则它的体积是( ) A π559 B 955 C π553 D 5532、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（ ）A 2B 2.5C 5D 103、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ） A 3：2 B 2：1 C 4：3 D 5：34、一个棱长为4的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2，深为1的圆柱形的孔，则打孔后几何体的表面积为—————————————— 考点三．柱体、椎体、台体的体积例3：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323 B ．283 C ．243 D ．203【针对练习】1、三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10 2、半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ．3RB ．3RC ．3RD ．3R3、已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_______________。

4、直角梯形的一个底角为450，下底长为上底长的1.5倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是,)25(π+求这个旋转体的体积。

考点四．利用三视图求棱柱、棱锥、棱台的表/侧面积及体积 例4：一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A ππ221+B ππ441+C ππ21+ D ππ241+个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11 第2页【针对练习】1、下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A.9π B.10π C.11π D ．12π2、一空间几何体,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C.2πD. 4π考点5．利用柱体、椎体、台体的切、接求解表/侧面积及体积 例5：半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是 【针对练习】1、有两个球，第一个球内切于正方体，第二个球过这个正方体的各个顶点．求这两个球的半径之比．2、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）A ．28cm πB ．212cm πC ．216cm πD ．220cm π 3、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 ( ) A.π28B .π8C .π24D .π44、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（ ）A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π5、一个四面体的所有棱长为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） Aπ3 Bπ4 C π33 Dπ66、已知长方体一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ） A 220 B π225 C π50 D π2007、半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积的比为（ ）A 65πB 125πC 2πD 以上答案都不对8、半径为R 的球放置于倒置的等边圆锥（过轴的截面为正三角形）容器中，再将水注入容器内到水与球面相切为止，则取出球后水面的高度是—————————————— 考点六．简单组合体的表面积、体积问题例6：如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋化了，会溢出杯子吗？（半球半径等于圆锥底面半径）【思维总结】1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全=3a 2； (2)体积：V=122a 3；(3)对棱中点连线段的长：d=22a ； (4)内切球半径：r=126a ；(5)外接球半径：R=46a ；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
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积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的

2 1 35 积为 1 ×(2+5)×5= ,截面积为 ×3×5= 15，故表面积为 2 2 2 2 6+15+14+ 35 15 =60.选B. 2 2 2
2.选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组 成的几何体,所以体积为 1 ×π×22×4+2×2×4=16+8π.
2
3.由三视图可知该几何体为组合体,下面为
【自主解答】1.选A.设长方体共顶点的三条棱的长为a,b,c,且 ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,所以V=abc=6 3 . 2.设三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h,则其体积为V2=Sh.因 为D,E分别为AB,AC的中点,所以△ADE的面积等于 1 S,又因为F 为AA1的中点,所以三棱锥F-ADE的高等于 h,于是三棱锥F-ADE 的体积 V1 1 1 S1 h 1 Sh 1 V2 ,
l R r ·360°(R表示圆 l
台下底面半径,r表示圆台上底面半径,l表示圆台的母线长).
类型一
柱体、锥体、台体的表面积 )
1.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3 D.1∶4
2.如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体,若在其中一个面 的中心位置上,挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞,求挖 洞后几何体的表面积是多少?(π 取3.14)
【解析】由已知可得四棱台侧面梯形的高为
18 8 2 h 13 ( ) 12 cm , 2 所以S侧=4× 1 ×(8+18)×12=624(cm2), 2
2
S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2), 于是表面积为S=624+64+324=1012(cm2).