2016届高三东城一模数学文科试卷

2016年神州智达高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣i2．已知集合A={y|y=（）x，x≤0}，B={x|x2﹣=1}，则A∩B=（）A．[0，1]B．（0，1）C．[0，+∞）D．[1，+∞）3．已知命题p：“若直线x+ay+1=0与直线x﹣ay+2=0垂直，则a=1”；命题q：“a＞b是a＞b”的充要条件，则（）A．p真q假B．p假q真C．p且q为真D．p或q为假4．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．25．已知等比数列{a n}的各项均为正数，=（2，a3），=（﹣8，a13），a⊥b，若a m=4，则m为（）A．12 B．8 C．6 D．46．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．7．如图，若一个空间几何体的三视图，正视图和俯视图都是直角三角形，其直角边均为1，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（）A．1+B．2+2C．D．2+8．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（）A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交9．“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与直线bx+2y﹣2=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．把函数y=sin（6x+）图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得函数图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=11．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．e=﹣1 B．C．D．12．设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（﹣x）=f（x），f（2+x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量，，||=，在方向上的投影为1，则与的夹角为．14．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为．15．设函数f（x）=，则使得f（x）≤1成立的x的取值范围是．16．设函数f（x）=log x，给出下列四个命题：①函数f（|x|）为偶函数；②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；③函数f（﹣x2+2x）在（1，3）上为单调递增函数；④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1﹣a）|．则正确命题的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对边长，已知=（sinA，sinB），=（sinA，﹣sinB），且m•n=sin（+B）•sin（）．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积等于6，a=2，求b、c（其中b＜c）．18．如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求证：CE⊥AF；（3）求多面体A﹣CDEF的体积．19．2015年世界级体育盛会﹣﹣世界田径锦标赛于8月22日下午在中国国家体育场鸟巢隆重开幕，在田径锦标赛期间需要大量大学生志愿者．志愿者先由相关的学校先进行选拔，合格者方能参加锦标赛组委会的面试．接到任务的某学校对报名的志愿者进行了一次相关知识小测试．现从中随机抽取100名学生的测试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在测试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面积，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受学校组织模拟考官的面试，求第4组至少有一名学校被考官面试的概率．20．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）证明：当时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．21．已知椭圆C：的离心率为，点F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求使△F1MN面积最大时直线l的方程．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．己知抛物线y=x2+m的顶点M到直线（t为参数）的距离为1（Ⅰ）求m：（Ⅱ）若直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求|S△MAN﹣S△MBN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．2016年神州智达高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由i2=﹣1，化简复数，然后再利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数的虚部为：﹣1．故选：B．2．已知集合A={y|y=（）x，x≤0}，B={x|x2﹣=1}，则A∩B=（）A．[0，1]B．（0，1）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵x≤1，∴y=（）x≥1，即A=[1，+∞），∵x2﹣=1，即x2=+1，∴x2≥1，解得：x≥1或x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩B=[1，+∞），故选：D．3．已知命题p：“若直线x+ay+1=0与直线x﹣ay+2=0垂直，则a=1”；命题q：“a＞b是a＞b”的充要条件，则（）A．p真q假B．p假q真C．p且q为真D．p或q为假【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据条件先判断命题p，q的真假，然后根据复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：由题意可知a≠0，若若直线x+ay+1=0与直线x﹣ay+2=0垂直，则﹣×=﹣1，解得a=±1，由于y=为增函数，a＞b⇒a＞b，由a＞b⇒a＞b，∴“a＞b是a＞b”的充要条件，∴q真，故选：B．4．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：B5．已知等比数列{a n}的各项均为正数，=（2，a3），=（﹣8，a13），a⊥b，若a m=4，则m为（）A．12 B．8 C．6 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由便可得出a3•a13=16，而根据条件{a n}为等比数列且各项均为正数，从而可以得出，从而得到a8=4，这样便得出m=8．【解答】解：∵；∴；即2•（﹣8）+a3•a13=0；∴a3•a13=16；∵{a n}为等比数列，且各项均为正数；∴；∴；∴a8=4；∴m=8．6．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．7．如图，若一个空间几何体的三视图，正视图和俯视图都是直角三角形，其直角边均为1，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为（）A．1+B．2+2C．D．2+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为1的正方形，即可求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为1的正方形，高为1，∴该几何体的表面积为2×+2×+1×1=2+．故选：D．8．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（）A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】视a，b为正方体中线，α，β为正方体中面，结合正方体中的线面关系进行判断，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．观察正方体解决．【解答】解：视a，b为正方体中线，α，β为正方体中面，观察正方体解决．对于A，根据面面平行的判定定理可知其正确；对于B，根据线面垂直的性质定理可知“a⊥b”，故正确；对于C，根据反证法思想可知该命题正确；对于D，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面，故D为假命题．故选D．9．“ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与直线bx+2y﹣2=0平行”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】两条直线平行的判定．【分析】本题考查线线平行关系公式的利用，注意2条线是否重合【解答】解：∵两直线平行∴斜率相等．即可得ab=4，又因为不能重合，当a=1，b=4时，满足ab=4，但是重合，所以选C10．把函数y=sin（6x+）图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得函数图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：把函数y=sin（6x+）图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），可得y=sin（2x+）的图象；再将图象向右平移个单位，可得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，那么所得函数图象的一条对称轴方程为x=﹣，故选：A．11．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．e=﹣1 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，运用等差数列的中项的性质可得a+c=2b，两边平方，结合a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，可得2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，两边同除以a2，整理得5e2+2e﹣3=0，解得e=或e=﹣1（舍去），故选：B．12．设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（﹣x）=f（x），f（2+x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a （x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可判断f（x）是偶函数，且周期为4；作函数f（x）与y=log a（x+2）的图象，从而可得，从而解得．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数；∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于x=2对称，∴f（x）的周期为4；作函数f（x）与y=log a（x+2）的图象如下，结合图象可知，必须且只需，即，解得，＜a＜2，故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量，，||=，在方向上的投影为1，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义便可得到，从而有，这样根据向量夹角的范围便可得出与的夹角的大小．【解答】解：∵在方向上的投影为1，且；∴；∴；∴与的夹角为．故答案为：．14．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为，半径R=，故答案为：．15．设函数f（x）=，则使得f（x）≤1成立的x的取值范围是（﹣∞，2] ．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，对x进行分类讨论进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）≤1得1得log2x）≤1，即0＜x≤2，即1≤x≤2，若x＜1，则由f（x）≤1得e x﹣1≤1，即x﹣1≤0，得x≤1，此时x＜1，综上x≤2，即不等式的解集为（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]16．设函数f（x）=log x，给出下列四个命题：①函数f（|x|）为偶函数；②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；③函数f（﹣x2+2x）在（1，3）上为单调递增函数；④若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1﹣a）|．则正确命题的序号是①②④．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】①由f（|﹣x|）=f（|x|），即可得出f（|x|）为偶函数；②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，可得f（a）=|f（b）|=﹣f（b），利用对数的运算性质可得：log（ab）=0，可得ab=1．③函数f（﹣x2+2x）=，由﹣x2+2x＞0，解出可得函数的定义域为（0，2），即可判断出正误；④由0＜a＜1，可得1+a＞1﹣a，f（1+a）＜0＜f（1﹣a），作差|f（1﹣a）|﹣|f（1﹣a）|=﹣f（1+a）﹣f（1﹣a），化简即可得出正误．【解答】解：f（x）=log x，x＞0．①函数f（|x|）=log|x|，∵f（|﹣x|）=f（|x|），∴f（|x|）为偶函数，正确；②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，∴f（a）=|f（b）|=﹣f（b），∴log a+log b=log（ab）=0，∴ab=1．因此正确．③函数f（﹣x2+2x）==，由﹣x2+2x＞0，解得0＜x＜2，∴函数的定义域为（0，2），因此在（1，3）上不具有单调性，不正确；④若0＜a＜1，∴1+a＞1﹣a，∴f（1+a）＜0＜f（1﹣a），故|f（1﹣a）|﹣|f（1﹣a）|=﹣f（1+a）﹣f（1﹣a）=﹣＜0，即|f（1﹣a）|＜|f（1﹣a）|，因此正确．综上可得：只有①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对边长，已知=（sinA，sinB），=（sinA，﹣sinB），且m•n=sin（+B）•sin（）．（1）求角A的值；（2）若△ABC的面积等于6，a=2，求b、c（其中b＜c）．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知即平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得sin2A=，结合△ABC是锐角三角形，可求sinA，进而可求A的值．（2）由（1）及三角形面积公式可求bc=24，由余弦定理可得：b2+c2=52，联立解得b+c=10，结合b＜c，即可解得b，c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=sin（+B）•sin（）．∴sin2A﹣sin2B=（cosB+sinB）•（cosB﹣sinB），即sin2A﹣sin2B=cos2B﹣sin2B，∴sin2A=．又△ABC是锐角三角形，∴sinA=，从而A=．…（2）由（1）可知，△ABC的面积：bcsinA=bc=6，∴bc=24①，…∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，将a=2，bc=24，代入，可得：b2+c2=52，②…∴由①②可得：b+c=10，∴b，c是一元二次方程t2﹣10t+24=0的两个根，∴由b＜c，可解得：b=4，c=6．…18．如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求证：CE⊥AF；（3）求多面体A﹣CDEF的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；由三视图求面积、体积；直线与平面平行的判定．（1）由题意，可得直三棱柱AED﹣BFC中，底面△DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2【分析】且DA⊥平面ABEF，侧面ABFE、ABCD都是边长为2的正方形．连接EB，可得MN是△BEC的中位线，可得MN∥EC，利用线面平行判定定理可证出MN∥平面CDEF；（2）由正方形的性质证出EB⊥AF，利用线面垂直的定义与性质证出BC⊥AF，从而得到AF⊥平面BCE，结合CE⊂平面BCE可得CE⊥AF；（3）等腰Rt△ADE中作出斜边DE上高AH，可得AH的长．利用面面垂直的性质定理证出AH⊥平面CDEF，得AH是A﹣CDEF的高，根据四棱锥的体积公式加以计算，即可得出多面体A﹣CDEF的体积．【解答】解：由多面体AEDBFC的直观图及三视图，可得三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA=AE=2，且DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．（1）连接EB，则点M为BE、AF的交点∴M是EB的中点，N是BC的中点，∴△EBC中，MN∥EC，∵EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF…（2）∵DA⊥平面ABEF，DA∥BC，∴BC⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴BC⊥AF，∵四边形ABFE是正方形，∴EB⊥AF，∵BE、BC是平面BCE内的相交直线，∴AF⊥平面BCE，结合CE⊂平面BCE，得CE⊥AF．…（3）∵DA⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，∴EF⊥AD，又∵EF⊥AE，AD∩AE=A，∴EF⊥平面ADE，取DE的中点H，连结AH，Rt△ADE中，由DA=AE=2得AH⊥DE且，∵侧面CDEF⊥平面DAE，侧面CDEF∩平面DAE=DE∴AH⊥平面CDEF因此，多面体A﹣CDEF的体积为．…19．2015年世界级体育盛会﹣﹣世界田径锦标赛于8月22日下午在中国国家体育场鸟巢隆重开幕，在田径锦标赛期间需要大量大学生志愿者．志愿者先由相关的学校先进行选拔，合格者方能参加锦标赛组委会的面试．接到任务的某学校对报名的志愿者进行了一次相关知识小测试．现从中随机抽取100名学生的测试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在测试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面积，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受学校组织模拟考官的面试，求第4组至少有一名学校被考官面试的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能求出第3，4，5组的频率．（2）分别求出第3，4，5组的人数，再利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生，能求出每组抽取的人数．（3）在这6名学生中随机抽取2名学生接受学校组织模拟考官的面试，先求出基本事件总数，第4组至少有一名学校被考官面试的对立事件是第4组没有学生被考官面试，由此利用对立事件概率计算公式能求出第4组至少有一名学校被考官面试的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1．（2）第3组的人数为0.3×100=30人，第4组的人数为0.2×100=20人，第5组的人数为0.1×100=10人，∵第3，4，5组共有60名学生，∴利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，∴在第3，4，5组分别抽取3人、2人，1人．（3）在这6名学生中随机抽取2名学生接受学校组织模拟考官的面试，基本事件总数n==15，第4组至少有一名学校被考官面试的对立事件是第4组没有学生被考官面试，∴第4组至少有一名学校被考官面试的概率：p=1﹣=．20．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）证明：当时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=1时，，利用导数研究函数的单调性即可得出最值；（2）令，x∈（1，+∞），在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．利用导数研究函数的单调性即可得出g（x）大值．【解答】（1）解：当a=1时，，对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）证明：令，x∈（1，+∞），在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）max＜0，x∈（1，+∞）．∵，∴当时，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；∴g（x）＜g（1），又，∴g（x）＜0，即f（x）＜2ax恒成立．21．已知椭圆C：的离心率为，点F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求使△F1MN面积最大时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率为，得=，根据圆与直线相切可得b==，再由a2=b2+c2联立可解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l方程与椭圆方程消掉x得y的二次方程，运用韦达定理，由S=|F1F2|•|y1﹣y2|=，代入韦达定理即可得关于m的函数表达式，恰当变形后，利用函数单调性求得其最大值及相应m值．【解答】解：（1）由题意得e==，a2﹣b2=c2，由圆x2+y2=b2与直线x﹣y+=0相切，可得b==，解得a=2，c=1，所以椭圆C的方程为+=1；（2）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），则点M、N的坐标是方程组的两组解，消掉x得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，所以△=36m2+36（3m2+4）＞0恒成立，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，所以S=|F1F2|•|y1﹣y2|=====，设t=（t≥1），由y=3t+的导数3﹣＞0，可得函数y在t≥1递增，即有y≥4，S≤3（当且仅当m=0时取等号），所以当m=0时，△F1MN的面积取最大值，此时直线l的方程为x=1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．【考点】圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．【分析】（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．【解答】证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．己知抛物线y=x2+m的顶点M到直线（t为参数）的距离为1（Ⅰ）求m：（Ⅱ）若直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求|S△MAN﹣S△MBN|的值．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可得出；（2）当m=3时，直线与抛物线不相交，舍去．当m=﹣1时，抛物线的方程为y=x2﹣1．将直线l的一个标准参数方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系及其参数的意义即可得出．【解答】解：（1）抛物线y=x2+m的顶点M（0，m），由直线（t为参数），消去参数t得到的直线l的一般方程．则M到直线l的距离为=1，解得m=﹣1，或3．（2）当m=3时，直线与抛物线不相交，舍去．当m=﹣1时，抛物线的方程为y=x2﹣1．将直线l的一个标准参数方程代入抛物线方程可得：．∴，t1t2=﹣8．∴|S△MAN﹣S△MBN|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得证；（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x ﹣1|+|x+1|≥3，运用绝对值的定义，即可解出不等式．【解答】（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤；（Ⅱ）解：不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，由x≥1得，2x≥3，解得，x≥；由x≤﹣1，﹣2x≥3解得，x≤﹣，由﹣1＜x＜1得，2≥3，不成立．综上，可得x≥或x≤﹣．则实数x的取值范围是（﹣]∪[）．2016年8月6日。

2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．85．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．710．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x=．14．设=2，则tan（α+）=．15．已知函数f（x）=，则f已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}则A∩B={1}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣2i的虚部为﹣2．故选：A．3．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，和奇函数图象的对称性，以及函数y=x3和y=x的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．函数为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；B．反比例函数y=x﹣1是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确；C．指数函数的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；D．y=x3和y=x在区间（0，+∞）上都单调递增，∴y=x3+x在（0，+∞）上单调递增，∴该选项错误．故选B．4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由函数解析式进行求解即可．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，因为，所以．故选：C．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．6．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或【考点】正弦定理．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据A的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质和充要条件的定义，分析判断“x＜1”⇒“”和“”⇒“x＜1”的真假，可得答案．【解答】解：当“x＜1”时，x可能小于等于0，此时“”无意义，当“”时，0＜x＜1，此时“x＜1”成立，故“x＜1”是“”的必要而不充分条件，故选：B．8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．7【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．10．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、三角函数的奇偶性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：设f（x）=2sin（ωx+φ），∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，ω=2．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y=2sin[2（x+）+φ]的图象．根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=，求得φ=，故选：C．12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP'，由余弦定理求出．设底面圆的半径为r，求解即可得到选项．【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得，∴．设底面圆的半径为r，则有，∴．故C项正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x= 2或﹣1 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的坐标关系解答．【解答】解：因为，所以1×2=x（x﹣1），解得x=2或者﹣1；故答案为：2或﹣1．14．设=2，则tan（α+）= ﹣2 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】由已知可得tanα=3，用两角和的正切公式化简后代入即可求值．【解答】解：∵=2，∴cosα≠0， =2，解得tanα=3，∴tan（α+）==﹣2，故答案为：﹣2．15．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（0）=（）0=1．故答案为：1．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，可得双曲线的焦点，即有c=6，再由渐近线方程可得a，b 的方程，解出a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，抛物线y2=24x的准线为x=﹣6，双曲线的一个焦点为（﹣6，0），即有c=6，又=，36=a2+b2=4a2，a2=9，b2=27，则所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知， ==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数分别为10，30，40，20人；估计所有玩家的平均年龄为0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37岁；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．∴抽取结果共有15种，列举如下：（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（），（dm），（dn），（mn）设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种，则，∴这两人在不同年龄组的概率为19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB1中点P，连结MP，NP，则四边形MP是平行四边形，得出∥MP，从而∥平面AB1M．（2）V=V=S•．只需证明⊥平面AB1BA1即可．【解答】证明：（1）取AB1中点P，连结MP，NP，∵P是AB1的中点，N是AB的中点，∴PN∥BB1，PN=，∵M是CC1的中点，∴CM∥BB1，CM=BB1，∴CM∥PN，CM=PN，∴四边形MP是平行四边形，∴∥MP，∵MP⊂平面AB1M，⊄AB1M，∴∥平面AB1M．（2）∵△ABC是等边三角形，∴⊥AB，∵BB1⊥平面ABC，PN∥BB1，∴PN⊥平面ABC，∵⊂平面ABC，∴PN⊥，又∵AB⊂平面ABB1A1，PN⊂平面ABB1A1，AB∩PN=N，∴⊥平面AB1BA1，∵==3．∴V=V=S•==18．∴不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值18．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程，消去y，得到x的二次方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得，又a2=b2+c2，所以，又点在该椭圆C上，所以．解得a2=4，b2=3．所以椭圆C的方程为；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得7x2+8mx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆C仅有一个公共点可知，△=64m2﹣28（4m2﹣12）=0，化简得，m2=7．由F1（﹣1，0），F2（1，0），设，，由直线l的斜率为1，可得|d1﹣d2|=|MN|，所以四边形F1MNF2的面积S=|d1﹣d2|（d1+d2）=|d12﹣d22|=•2|m|=|m|=．故四边形F1MNF2的面积为．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f max （x）﹣f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）减增所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m﹣2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=﹣e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的普通方程和圆C的普通方程．（2）由直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，得到圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，由此能求出a．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数），∴直线l的普通方程为2ax+2y﹣1=0．∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的普通方程为：x2+y2﹣4x+2y=0．（2）∵圆C：x2+y2﹣4x+2y=0的圆心C（2，﹣1），半径r==，直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，∴直线l截圆C所得的弦|AB|所对圆心角为120°，∴圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，即d==，解得a=或a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．【考点】其他不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值X围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值X围是（﹣∞，﹣1]．。

2016年黑龙江省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校联考高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（）A．{2，3}B．∅C．2D．[2，3]2．若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣iB．1+iC．﹣1+iD．1﹣i3．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100C．10D．14．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（）A．﹣12B．﹣20C．12D．205．若函数，则f（f（1））的值为（）A．﹣10B．10C．﹣2D．26．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（）A． B． C． D．8．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表x 165 160 175 155 170y 58 52 62 43 60根据上表可得回归直线方程为，则=（）A．﹣104.4B．104.4C．﹣96.8D．96.89．若函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）为偶函数，则函数f（x）在区间上的取值范围是（）A．[﹣1，0]B． C． D．[0，1]10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C．13D．11．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|=|QN|，则双曲线C的离心率为（）A． B．2C． D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知，x2﹣y2﹣2=0，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是．14．已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为．15．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=mx（m≠0）的准线交于A、B两点，且，则m的值为．16．已知△ABC为等边三角形，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的最大值是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=3a n﹣1，b n=a n﹣．（1）求证：数列{b n}是等比数列．（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．18．某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．19．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=2，BD=4，点M、N分别为BD、BC的中点，将其沿对角线BD折起成四面体QBCD，使平面QBD⊥平面BCD，P为QC的中点．（1）求证：PM⊥BD；（2）求点D到平面QMN的距离．20．已知椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2．求证：k1k2为定值，并求此定值．21．已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，EF是圆O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交圆O于点C、D．设圆O 的半径是r，OM=m．（Ⅰ）证明：AM2+BM2=2（r2+m2）；（Ⅱ）若r=3m，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2016年黑龙江省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．若集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|，则A∩B=（）A．{2，3}B．∅C．2D．[2，3]【考点】交集及其运算．【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集．【解答】解：集合A=[2，3]，B={x|x2﹣5x+6=0|={2，3}，则A∩B={2，3}．故选：A．2．若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣iB．1+iC．﹣1+iD．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z即可求解结果．【解答】解：复数z满足zi=1+i，z===1﹣i．z的共轭复数是：1+i．故选：B．3．若m=6，n=4，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A． B．100C．10D．1【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，由于条件m＞n成立，执行y=lg（m+n），计算即可解得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=6，n=4满足条件m＞n，y=lg（6+4）=1，输出y的值为1．故选：D．4．已知向量，满足+=（1，﹣3），﹣=（3，7），•=（）A．﹣12B．﹣20C．12D．20【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可．【解答】解：∵=（4，4），∴，∴=（﹣1，﹣5）．∴=2×（﹣1）﹣2×5=﹣12．故选A．5．若函数，则f（f（1））的值为（）A．﹣10B．10C．﹣2D．2【考点】函数的值．【分析】先求f（1），再求f（f（1））即可．【解答】解：f（1）=2﹣4=﹣2，f（f（1））=f（﹣2）=2×（﹣2）+2=﹣2，故选C．6．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：当a＜b时，＜＜0不一定成立，故p是q的不充分条件；当＜＜0时，a＜b＜0，故p是q的必要条件，综上可得：p是q的必要不充分条件，故选：B7．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于（）A． B． C． D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据点P在直线上，得到tanα，利用万能公式和诱导公式化简得出答案．【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2．∴=﹣sin2α=﹣=．故选：B．8．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表x 165 160 175 155 170y 58 52 62 43 60根据上表可得回归直线方程为，则=（）A．﹣104.4B．104.4C．﹣96.8D．96.8【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值．【解答】解：由表中数据可得=167， =55，∵（，）一定在回归直线方程=0.92x+上，∴55=0.92×167+，解得=﹣96.84．故选：C．9．若函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）为偶函数，则函数f（x）在区间上的取值范围是（）A．[﹣1，0]B． C． D．[0，1]【考点】正弦函数的图象．【分析】由偶函数易得φ值，进而可得解析式，由x的范围可得值域．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）为偶函数，∴φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，∵x∈，∴2x∈[0，]，∴cos2x∈[0，1]，∴﹣cos2x∈[﹣1，0]，故选：A．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C．13D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱台，其中两个侧面和底面垂直，上下底为直角三角形．利用勾股定理求出斜高．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示，则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC=BC=1，A′C′=B′C′=C′C=2，∴AB=，A′B′=2．∴棱台的上底面积为=，下底面积为=2，梯形ACC′A′的面积为（1+2）×2=3，梯形BCC′B′的面积为=3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD=CC′=2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE=，∴AE==．∴梯形ABB′A′的面积为（）×=．∴几何体的表面积S==13．故选：C．11．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且|F1Q|=|QN|，则双曲线C的离心率为（）A． B．2C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定N，Q的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：∵MN∥F1F2，|F1F2|=4|MN|，∴|MN|=，∴N（，y），∵|F1Q|=|QN|，∴Q是F1N的中点，∴Q（﹣c， y），N，Q代入双曲线C：﹣=1，可得﹣=1，﹣•=1，∴e=．故选：D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知，x2﹣y2﹣2=0，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】两点间距离公式的应用．【分析】化简已知条件，得到两个函数，利用函数的导数求出切线的斜率，利用平行线之间的距离求解即可．【解答】解：实数x1，y1，x2，y2满足，x2﹣y2﹣2=0，可得y1=x12﹣lnx1，并且x2﹣y2﹣2=0，（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值转化为：函数y=x2﹣lnx图象上的点与x﹣y﹣2=0图象上的点的距离的最小值的平方，由y=x2﹣lnx可得y′=2x﹣=，与直线x﹣y﹣2=0平行的直线的斜率为1，所以2x﹣=1，解得x=1，切点坐标（1，1），与x﹣y﹣2=0平行的直线为：y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0，而x﹣y=0和x﹣y﹣2=0的距离是，（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为：2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：满足题中约束条件的可行域如图所示．目标函数z=x+2y取得最大值，即使得函数在y轴上的截距最大．结合可行域范围知，当其过点P（0，1）时，Z max=0+2×1=2．故答案为：2．14．已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC 外接球的体积为\sqrt{6}π．【考点】球的体积和表面积．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=，∴球直径为，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积=π．故答案为：π．15．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=mx（m≠0）的准线交于A、B两点，且，则m的值为8 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣，圆心到准线的距离d=，可得=2，解出即可得出．【解答】解：抛物线y2=mx（m≠0）的准线为：x=﹣，圆心（﹣1，0）到准线的距离d=，∴=2，化为： =1，m≠0，解得m=8．故答案为：8．16．已知△ABC为等边三角形，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的最大值是 3 ．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】以BM为边作等边三角形BMK，推导出A在以K为圆心，以1为半径的圆上，由此能求出MA的最大值．【解答】解：以BM为边作等边三角形BMK，则BM=BK=MK=2，∵∠BMK=∠ABC=60°，∴∠ABK=∠MBC，又AB=BC，BK=BK，∴△ABK∽△CBM，∴AK=MC=1，∴A在以K为圆心，以1为半径的圆上，∴|MK|﹣1≤|AM|≤|MK|+1，∴1≤|AM|≤3．∴MA的最大值是3．故答案为：3．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}满足a1=，且a n+1=3a n﹣1，b n=a n﹣．（1）求证：数列{b n}是等比数列．（2）若不等式≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．【分析】（1）由题意可得a n+1﹣=3（a n﹣），即为b n+1=3b n，由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式，可得b n=3n﹣1，由题意可得m≥的最大值，求得f （n）==+，为递减数列，可得最大值，进而得到m的范围．【解答】解：（1）证明：a n+1=3a n﹣1，可得a n+1﹣=3（a n﹣），即为b n+1=3b n，则数列{b n}是首项为a1﹣=1，3为公比的等比数列；（2）由（1）可得b n=3n﹣1，不等式≤m对∀n∈N*恒成立，即有m≥的最大值，由f（n）==+，由3n递增，可得f（n）递减，即有f（1）取得最大值1，则m≥1，即有m的范围是[1，+∞）．18．某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数分别为10，30，40，20人；估计所有玩家的平均年龄为0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37岁；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．∴抽取结果共有15种，列举如下：（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（cn），（dm），（dn），（mn）设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种，则，∴这两人在不同年龄组的概率为19．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥BD，AD=2，BD=4，点M、N分别为BD、BC的中点，将其沿对角线BD折起成四面体QBCD，使平面QBD⊥平面BCD，P为QC的中点．（1）求证：PM⊥BD；（2）求点D到平面QMN的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）证明QD⊥平面BCD，得到QD⊥DC，QB⊥BC，证明M是BD的中点．然后证明PM⊥BD．（Ⅱ）设点D到平面QMN的距离为h，利用等体积法，转化求解点D到平面QMN的距离．【解答】解：（Ⅰ）∵平面QBD⊥平面BCD，QD⊥BD，平面QBD∩平面BCD=BD，∴QD⊥平面BCD，∴QD⊥DC，同理QB⊥BC，…∵P是QC的中点．∴，又M是DB的中点∴PM⊥BD．…（Ⅱ）∵QD⊥平面BCD，QD=BC=2，AB=4，M，N，P分别是DB、BC、QC的中点．∴∴又S△MND=1，…设点D到平面QMN的距离为h∵．所以点D到平面QMN的距离．…20．已知椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2．求证：k1k2为定值，并求此定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，右顶点A（2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为，与椭圆联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明k1k2为定值，并能求出此定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：的离心率为，右顶点A（2，0），∴由题意得，解得∴椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为，与联立，得，△=9m2+7（m2+4）＞0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则…=．∴k1k2为定值，定值为…21．已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，设出切点，可得切线的斜率和切线的方程，代入（1，0），解方程可得切线的横坐标，进而得到a的值；（2）令F（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，x∈R，求出导数，对a讨论，分①当0≤a＜1时，②当a＜0时，判断F（x）的单调性，由不等式即可解得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=e x（2x+1），设切点，则切线的斜率，∴切线为：，∵y=g（x）恒过点（1，0），斜率为a，且为y=f（x）的一条切线，∴，∴，由，得a=1或；（2）令F（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，x∈R，F'（x）=e x（2x+1）﹣a，当x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，∴e x（2x+1）≥1，又a＜1，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上递增，∵F（0）=﹣1+a＜0，F（1）=e＞0，则存在唯一的整数x0=0使得F（x0）＜0，即f（x0）＜g（x0）；当x＜0时，为满足题意，F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使F（x）＜0，∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，①当0≤a＜1时，F'（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]上递减，∴当x≤﹣1时，，得，∴；②当a＜0时，，不符合题意．综上所述，．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，EF是圆O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交圆O于点C、D．设圆O 的半径是r，OM=m．（Ⅰ）证明：AM2+BM2=2（r2+m2）；（Ⅱ）若r=3m，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）作AA′⊥EF交EF于点A′，作BB′⊥EF交EF于点B′．求出A′M和B′M，可得A′M2+B′M2，从而求得AM2+BM2的值．（Ⅱ）因为EM=r﹣m，FM=r+m，计算AM•CM=r2﹣m2，代入要求的式子．【解答】解：（Ⅰ）作AA′⊥EF交EF于点A′，作BB′⊥EF交EF于点B′．因为A′M=0A′﹣OM，B′M=OB′+OM=OA′+OM，所以A′M2+B′M2=2OA′2+2OM2．从而AM2+BM2=AA′2+A′M2+BB′2+B′M2=2（AA′2+OA′2+OM2），∴AM2+BM2=2（r2+m2）．（Ⅱ）因为EM=r﹣m，FM=r+m，所以AM•CM=BM•DM=EM•FM=r2﹣m2．因为+=+=，∴+=．又因为r=3m，∴+=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线的直角坐标方程能求出直线l的极坐标方程，由圆C的参数方程，能求出圆C的普通方程，从而能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）求出点P，M的极坐标，从而=， =，由此能求出•的最大值是．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是y=8，∴直线l的极坐标方程是ρsinθ=8．∵圆C的参数方程是（φ为参数），∴圆C的普通方程分别是x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0，∴圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．…．（Ⅱ）依题意得，点P，M的极坐标分别为和，∴|OP|=4sinα，|OM|=，从而==．同理， =．∴==，故当时，•的值最大，该最大值是．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【分析】（1）问题转化为5﹣m＜x＜m+1，从而得到5﹣m=2且m+1=4，基础即可；（2）问题转化为|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0．。

2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．22．（5分）集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|x2﹣5x＜0}，若A∩B＝B，则a的取值范围是（）A．a≥5B．a≥4C．a＜5D．a＜43．（5分）某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3B．10，15，5C．10，17，3D．9，16，5 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1C．2D．45．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为（）A．B．1C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2B．C．3D．7．（5分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3B．6C．9D．128．（5分）已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，与2夹角为．平面区域D由所有满足＝λ1+μ2的点P组成，其中1，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，x3的系数值为．（用数字作答）10．（5分）已知等比数列{a n}中，a2＝2，a3•a4＝32，那么a8的值为．11．（5分）如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，若CP＝AC，则∠COA＝；AP ＝．12．（5分）若，且，则sin2α的值为．13．（5分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：在最合理的安排下，获得的最大利润的值为．14．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0＝1时，c的取值范围是；当时，c的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，AC＝2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）＝sin（2x+C），求y＝f（x）与直线相邻交点间的最小距离．16．（14分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，A1A＝1，，AC＝2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．17．（13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．18．（14分）设函数f（x）＝ae x﹣x﹣1，a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当x∈（0，+∞）时，．19．（13分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB （不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．20．（13分）数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i＝1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）＝a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n＝1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知复数i•（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵i•（1+ai）＝﹣a+i为纯虚数，∴﹣a＝0，即a＝0．故选：B．2．（5分）集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|x2﹣5x＜0}，若A∩B＝B，则a的取值范围是（）A．a≥5B．a≥4C．a＜5D．a＜4【解答】解：由x2﹣5x＜0，解得0＜x＜5，∴B＝（0，5），∵A∩B＝B，∴a≥5．则a的取值范围是a≥5．故选：A．3．（5分）某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）A．9，18，3B．10，15，5C．10，17，3D．9，16，5【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×＝9，中级职称人数为30×＝18，初级职称人数为30×＝3．故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，故S＝，k＝1，当k＝1时，满足进行循环的条件，故S＝，k＝2，当k＝2时，满足进行循环的条件，故S＝1，k＝3，当k＝3时，满足进行循环的条件，故S＝2，k＝4，当k＝4时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为2，故选：C．5．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为（）A．B．1C．D．【解答】解：直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1化为直角坐标方程：x﹣y+1＝0．曲线ρ＝1即x2+y2＝1．∴圆心（0，0）到直线的距离d＝．∴直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长L＝2＝2＝．故选：D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为直角梯形，侧棱PB⊥底面ABCD．∴最长的棱为PD，PD＝＝3．故选：C．7．（5分）已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设椭圆的标准方程为：+＝1（a＞b＞0），可得：c＝6，2a＝|PF1|+|PF2|＝+＝6，解得a＝3．∴b＝＝＝3．∴椭圆的短轴长为6．故选：B．8．（5分）已知1，2为平面上的单位向量，1与2的起点均为坐标原点O，与2夹角为．平面区域D由所有满足＝λ1+μ2的点P组成，其中1，那么平面区域D的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：以O为原点，以方向为x轴正方向，建立坐标系xOy，则＝（1，0），＝（cos，sin）＝（，），又＝λ+μ＝（λ+μ，μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；设＝（x，y），则（x，y）＝（λ+μ，μ），∴，解得；由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，∴，它表示的平面区域如图所示：由图知A（，），B（1，0）；所以阴影部分区域D的面积为S＝×1×＝．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，x3的系数值为20．（用数字作答）【解答】解：T r+1＝（2x）5﹣r＝25﹣3r x5﹣2r．令5﹣2r＝3，解得r＝1．∴T4＝x3＝20x3．故答案为：20．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a2＝2，a3•a4＝32，那么a8的值为128．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2＝2，a3•a4＝32，∴a1q＝2，＝32，解得a1＝1，q＝2．那么a8＝27＝128．故答案为：128．11．（5分）如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP＝AC，则∠COA＝；AP＝．【解答】解：由题意，OA⊥AP．∵CP＝AC，∴∠P＝∠CAP，∵∠P+∠AOP＝∠CAP+∠OAC，∴∠AOP＝∠OAC，∴AC＝OC，∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA＝，∵OA＝1∴AP＝故答案为：，12．（5分）若，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵＝（cosα﹣sinα），∴cosα﹣sinα＝＞0，∴两边平方可得：1﹣sin2α＝，∴sin2α＝．故答案为：．13．（5分）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：在最合理的安排下，获得的最大利润的值为62．【解答】解：设运送甲x件，乙y件，利润为z，则由题意得，即，且z＝8x+10y作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝8x+10y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由，得，即B（4，3），此时z＝8×4+10×3＝32+30＝62，故答案为：6214．（5分）已知函数f（x）＝|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0＝1时，c的取值范围是[﹣1，0]；当时，c的值是﹣2．【解答】解：∵函数f（x）＝|lnx|，当0＜x＜1时，f（x）＝﹣lnx，f′（x）＝﹣∈（﹣∞，﹣1），当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x）＝∈（0，1），①当x0＝1时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）当0＜x＜1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≤c，则c≥﹣1，当x＞1时，f（x）﹣f（1）≥c（x﹣1）可化为：≥c，则c≤0，故c∈[﹣1，0]；②当x0＝时，f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）可化为：f（x）﹣f（）≥c（x﹣）当0＜x＜时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≤c，则c≥f′（）＝﹣2，当＜x＜1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤f′（）＝﹣2，当x＞1时，f（x）﹣f（）≥c（x﹣）可化为：≥c，则c≤1，故c＝﹣2，故答案为：[﹣1，1]，﹣2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，，AC＝2，且．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若f（x）＝sin（2x+C），求y＝f（x）与直线相邻交点间的最小距离．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴C＝45°．∵，AC＝2，∴＝4，∴AB＝2．（Ⅱ）由，解得或，k∈Z，解得，或，k1，k2∈Z．因为，当k1＝k2时取等号，所以当时，相邻两交点间最小的距离为．16．（14分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，A1A＝1，，AC＝2，E、F分别为棱C1C、BC的中点．（Ⅰ）求证AC⊥A1B；（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC∴AC⊥AA1．∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB．又A1A⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1．∵A1B⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1B．（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz，如图所示：则A1（0，0，1），，，．∴，．∴．直线EF与A1B所成的角为45°．（Ⅲ），，．＝（0，0，1）．设平面GEF的法向量为＝（x，y，z），则，∴令，则．∴cos＜＞＝＝．∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A为AA1与平面EFG所成的角的余角，∴cos∠HA1A＝|cos＜＞|＝．∴∠HA1A＝．17．（13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1＝20+25＝45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2＝20+35＝55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3＝20+25＝45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4＝35+25＝60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5＝35+20＝55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6＝35+25＝60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少18．（14分）设函数f（x）＝ae x﹣x﹣1，a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当x∈（0，+∞）时，．【解答】解：（1）当a＝1时，则f（x）＝e x﹣x﹣1，f'（x）＝e x﹣1；令f'（x）＝0，得x＝0；∴当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x≥0时，f'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；即a＝1时，f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间为[0，+∞）；（2）∵e x＞0；∴f（x）＞0恒成立，等价于a＞恒成立；设g（x）＝，x∈（0，+∞），g′（x）＝﹣；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）＝1；∴a≥1；∴a的取值范围为[1，+∞）；（3）证明：等价于设，∴，由（2）知x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，所以，∴恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0，因此x∈（0，+∞）时，有．19．（13分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB （不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：．【解答】（I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．∴，．∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，∴．∴，得x1x2＝4．由，化为，其中△＝（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0∴x1+x2＝，x1x2＝．∴p＝4，抛物线C：y2＝8x．（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，∴，．∴直线OD的斜率为．直线OD的方程为代入抛物线C：y2＝8x的方程，得．∴．∵k2＞0，∴．20．（13分）数列{a n}中，给定正整数m（m＞1），．定义：数列{a n}满足a i+1≤a i（i＝1，2，…，m﹣1），称数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅰ）若数列{a n}通项公式为：，求V（5）．（Ⅱ）若数列{a n}满足：，求证V（m）＝a﹣b的充分必要条件是数列{a n}的前m项单调不增．（Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{a n}满足：a n≥0，（n＝1，2，…，m），且数列{a n}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）【解答】解（Ⅰ），a1＝﹣1，a2＝1，a3＝﹣1，a4＝1，a5＝﹣1，V（5）＝丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨＝2+2+2+2＝8，V（5）＝8．…（2分）（Ⅱ）充分性：若数列{a n}的前m项单调不增，即a m≤…≤a2≤a1，此时有：＝（a1﹣a2）+（a2﹣a3）+（a3﹣a4）+…+（a m﹣1﹣a m）＝a1﹣a m＝a﹣b．必要性：反证法，若数列{a n}的前m项不是单调不增，则存在i（1≤i≤m﹣1）使得a i+1＞a i，那么：＝丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨+丨a i+1﹣a i丨≥丨a i﹣a1丨+（a i+1﹣a i）+丨a m﹣a i+1丨，＝丨a m﹣a i+a i﹣a i+1丨+（a i+1﹣a i），＝丨a﹣b+a i+′﹣a i丨+（a i+1﹣a i），由于a i+1＞a i，a＞b，∴|a﹣b+a i+1﹣a i|+（a i+1﹣a i）＞a﹣b．与已知矛盾．…（9分）（III）最小值为0．此时{a n}为常数列．…（10分）最大值为，当m＝2时的最大值：此时a1+a2＝4，（a1，a2≥0），…11分|a1﹣a2|≤|4﹣0|＝4．当m＞2时的最大值：此时a1+a2+a3+…+a4＝m2．由|x﹣y|≤|x|+|y|易证，{a n}的值的只有是大小交替出现时，才能让V（m）取最大值．不妨设：a i+1≤a i，i为奇数，a i+1≥a i，i为偶数．当m为奇数时有：，＝a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+a m﹣a m﹣1，＝a1﹣a m+2a i﹣4a2i≤2a i＝2m2，当m为偶数时同理可证．…（13分）。