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奥数_比和比例

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六年奥数综合练习题十二答案（比和比例关系） 比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多. 一、比和比的分配； 二、倍数的变化； 三、有比例关系的其他问题. 例1 甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.

例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.

求上底AB与下底CD的长度之比.

例3 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

花了多少钱？ 例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙 ，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 解：设甲的长度是6份.

∶x=5∶4. 乙与丙的长度之比是 而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25. 甲∶乙∶丙=30∶25∶26. 答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.

于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段. 例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是

答：这些糖果每千克平均价是27.5元. 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：

事实上，有稍简捷的解题思路. 解二：先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10. 平均数是（15+11+10）÷3=12. 单价33元的可买10份，要买12份，单价是 下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量. 例7 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，

解：新的分数，分子与分母之和是（10+23+32），而分子与分母之比2∶3.因此

例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？ 解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量. 三人工作效率之比是

他们分别需要完成的工作量是

所需时间是 700×3=2100分钟）=35小时 . 答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时. 这是三个数量按比例分配的典型例题. 例9 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是： 甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1， 那么丙有多少名男会员？ 解：甲组的人数是100÷2=50（人）.

乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 （人）. 答：丙组有12名男会员. 上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔

例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？ 解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比. 上坡、平路、下坡的速度之比是

走完全程所用时间 答：小龙走完全程用了10小时25分. 上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法. 解二：全程长是上坡这一段长的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的时

设小龙走完全程用x小时.可列出比例式

二、比的变化 已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容. 例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？ 解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算. 5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16. 5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21. 甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来 甲得22.5÷5×20=90（分）， 乙得 22.5÷5×16=72（分）. 答：原来甲得90分，乙得72分. 我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程. 解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式. （5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7 即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5） 15x=12×22.5 x=18. 甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.

解：其他球的数量没有改变. 增加8个红球后，红球与其他球数量之比是 5∶（14-5）=5∶9. 在没有球增加时，红球与其他球数量之比是 1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9. 因此8个红球是5-4.5=0.5（份）. 现在总球数是

答：现在共有球224个. 本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解： （x+8）∶2x=5∶9. 例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？ 解一：我们采用“假设”方法求解. 如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有 240∶x=8∶5，x=150（元）. 实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

答：张家收入720元，李家收入450元. 解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多. 我们画出一个示意图： 张家开支的3倍是（8份-240）×3. 李家开支的8倍是（5份-270）×8. 从图上可以看出 5×8-8×3=16份，相当于 270×8-240×3=1440（元）. 因此每份是1440÷16=90（元）. 张家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）. 本题也可以列出比例式： （8x-240）∶（5x-270）=8∶3. 然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些. 例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数. 解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点. 8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17. A数是17×8=136，B数是17×5=85. 答：A，B两数分别是136与85. 本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4. 例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？ 解一：充分利用已知数据的特殊性. 4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此， 新的1份=原来1份+1 原来4份，新的5份，5-4=1，因此 新的1份有15-1×4=11（张）. 小明原有图画纸11×5-15=40（张）， 小强原有图画纸11×2+8=30（张）. 答：原来小明有40张，小强有30张图画纸. 解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分） 4∶3=20∶15 5∶2=20∶8.

但现在是20∶8，因此这个比的每一份是

当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法. 解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸. 把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：

从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）. 因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张. 例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维. 例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？

我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点

等需要时间是 答：这两支蜡烛点了3小时20分. 把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子. 例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？ 解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只. 因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）. 红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）. 白球有 7×7＋3＝52（只）. 原来红球比白球多 158-52＝106（只）. 答：箱子里原有红球数比白球数多106只. 三、比例的其他问题

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奥数题_专题训练之比和比例应用题

奥数题_专题训练之比和比例应用题

v1.0可编辑可修改比和比例应用题［例1］、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26：5,羊与马的只数比为25 : 9，猪与马的只数比为10 : 3。

求鸡、猪、马和羊的只数比。

［分析］该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。

将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。

［解］由题设，鸡：猪=26 : 5,羊：马=25 : 9,猪：马=10 : 3,由比的基本性质可得：猪：马=10 : 3=30 : 9,羊：马=25 : 9,鸡：猪=26 : 5=156 : 30,从而鸡：猪：马：羊=156 : 30 : 9 : 25。

答：鸡、猪、马、羊的只数比为156 : 30 : 9 : 25。

［注］将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。

如，鸡：猪=26 : 5，猪：马=10 : 3，由此可得，鸡：猪：马=52 : 10 : 3;再注意到羊：马=25 : 9可得，鸡：猪：马：羊=156 : 30 : 9 : 25。

［例2］•下列各题中的两个量是否成比例若成比例，请说明成正比例还是成反比例。

(1) 路程一定时，速度与时间；(2) 速度一定时，路程与时间；(3) 播种面积一定时，总产量与单位面积的产量；(4) 圆的面积与该圆的半径；(5) 两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。

［分析］禾U用正比例、反比例的概念进行判定与说明。

［解］(1)由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。

⑵由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。

(3) 由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。

(4) 设圆的半径为R,则圆的面积为nR 2，所以圆的面积与半径的积为nR 3，随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为n R,也随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成正比例。

六年级奥数比和比例讲座【DOC范文整理】

六年级奥数比和比例讲座【DOC范文整理】

六年级奥数比和比例讲座比和比例两个数相除又叫做两个数的比．一、比和比例的性质性质1：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质2：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质3：若a:b=c：d，则：=a：b=c：d；性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；正比例：如果a÷b=，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=，则称a、b成反比．二、比和比例在行程问题中的体现在行程问题中，因为有速度=，所以：当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．【分析与解】方法一：设A为8x，则B为5x，于是有:=2：1，x=17，所以A为136，B为85．方法二：因为减少的数相同，所以前后A、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？x=60：120，即：x=1：2，即x=x+112，解得x=1232．即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房单元内猫的比率大于B房单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?【分析与解】如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．【分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的=，母鸡占总数的；公鸭占总数的，母鸭占总数的；公鹅占总数的，母鹅占总数的，公鹅、母鹅数量之比为：3：2．．在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶．另外，此时树立l根长70c自杆子，其影子的长度为175c，设阶梯各阶的高度与深度都是50c，求柱子的高度为多少？【分析与解】70c的杆子产生影子的长度为175c;所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．于是，影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5．．已知三种混合物由三种成分A、B、c组成，种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成分B和c，重量比为I：2；第三种只含成分A和c，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A，B和c，这三种成分的重量比为3：5：2?【分析与解】注意到种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与种混合物中A、B视为单一物质.第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A为3，5倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．于是此时含有c为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中c的含量为3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有种混合物6.25．即、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人?【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．设开始男工为“1”，此时女工为“”，有1名男工相当名女工．男工、女工人数对调以后，则男工为“”，相当于女工“2”，女工为“I”．有2：1=36：25，所以=．于是，开始有男工数为×1100=500人，女工600人．．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?【分析与解】标准的时钟每隔分钟重合一次．假设经历了x分钟．于是，甲钟每隔分钟重合一次，甲钟重合了×x次；同理，乙钟重合了×x次；于是，需要乙钟比甲钟多重合×x-×x=×x=10;所以，x=24×60；所以要经历24×60×65分钟，则为天.于是为65天小时分钟．．一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人与二队工人组成新一队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?【分析与解】一队与二队的工作效率之比为：：=15：16．一队干前一个工程需9÷=144天．新一队与新二队的工作效率之比为：新一队干后一个工程需6÷=282天．一队与新一队的工作效率之比为所以一队干后一个工程需282×天．前后两次工程的工作量之比是144：=：=540：1081.。

六年级奥数比和比例

六年级奥数比和比例

第二讲比和比例教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例①x ay b=⇒y bx a=；x ya b=；a bx y=；②x ay b=⇒mx amy b=；x may mb=(其中0m≠)；③x ay b=⇒x ax y a b=++；x y a bx a--=；x y a bx y a b++=--；④x ay b=，y cz d=⇒x acz bd=；::::x y z ac bc bd=；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为():a a b+和():b a b+，所以甲分配到axa b+个，乙分配到bxa b+个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b>)，数量差为x，那么A的元素数量为axa b-，B的元素数量为bxa b-，所以解题的关键是求出()a b-与a或b的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。

小学奥数例题大全(13、比和比例问题)

小学奥数例题大全(13、比和比例问题)

比和比例问题一．内容精要比例的意义a ：b=c ：d 比例的性质：两内向之积等于两外向之积 比例尺=图上距离：实际距离二．典型例题例1．甲行的路程比乙多41，而乙行的时间比甲多101，甲与乙速度的最简整数比是多少？ 例2．已知a ：b=3：2，b ：c =3：2，则a ：b ：c=例3．两个相同的瓶子装满酒精溶液。

一个瓶中的酒精与水的体积之比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。

若把两瓶酒精溶液混合，则混合溶液中酒精和水的体积之比是多少？例4．小华准备用60厘米长的铁丝围成一个长方形，若围成的长方形的长与宽之比是3：2，那么这个长方形的面积是多少？例5．丽丽、贝贝、甜甜三个小朋友共收集废旧电池420节，其中甜甜收集的比贝贝的少31，贝贝与丽丽的废旧电池的比是4：5，那么三个人各收集废旧电池多少节？例6．加工一个零件，甲、乙、丙所需的时间比为6：7：8，现在有3650个零件要加工，如果规定3人用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个零件？例7．从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子分得21，二儿子分得31，小儿子分得91，但不能把牛杀掉或卖掉。

三个儿子按照老人的要求怎么也分不好。

后来一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底怎么回事吗？ 例8．甲数的43等于乙数的54，甲、乙两数的比是（ ）：（ ） 例9．在一幅比例尺是1：200000的地图上，量的甲、乙两地相距20厘米。

如果在另一幅地图上，甲、乙两地相距10厘米，另一幅地图的比例尺是多少？例10．判断：下面各题中的两种量是否成比例？成什么比例？（1）小红从甲去学校，她行走的时间和速度。

（2）车轮的直径一定，所行使的路程和车轮转数。

（3）3x=51y ，x 和y （4）正方形的面积和边长。

（5）三角形的面积一定，底和这条底上的高。

例11．一间房子要用方砖铺地，用面积是9平方分米的方砖，需要960块。

如果改用面积是4 平方分米的方砖，需要多少块？例12．用一种方砖铺地，铺10平方米需要这种方砖40块，铺完面积是60平方米的房间，需要这种方砖多少块？例13．一根木料锯成5段要8分钟，那么锯成6段需要多少分钟？例14．一架飞机所带燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米，这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？ 例15．客车和火车分别从甲、乙两地同时相对开出，经过若干小时在途中相遇，相遇后又行5小时货车到达甲地，这时车到乙地后又掉头行了甲、乙两地距离的25%，客车和货车从出发到相遇用了多少小时？例16．当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米。