圆周运动总结知识要点

1 圆周运动问题是高考考查的热点，物体在竖直面内的圆周运动中临界条件的考查在高考中多有出现

圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本单元的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。

（一）匀速圆周运动

1. 定义：做圆周运动的质点，若在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。

2. 运动学特征：v大小不变，T不变，不变，向a大小不变；v和向a的方向时刻在变，匀速圆周运动是加速度不断改变的变速运动。

3. 动力学特征：合外力大小恒定，方向始终指向圆心。

（二）描述圆周运动的物理量

1. 线速度

（1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。

（2）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向。

（3）大小：（s是t时间内通过的弧长）。

2. 角速度

（1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。

（s/rad），是连接质点 （2）大小：和圆心的半径在t时间内转过的角度。

3. 周期T，频率f

做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。做匀速圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。

4. v、、T、f的关系

f1T

f2T2 rrT2v

5. 向心加速度

（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

（2）大小：a0222222vrT4rf4rrv

（3）方向：总是指向圆心

（三）向心力向F

1. 作用效果：产生向心加速度，不断改变质点的速度方向，维持质点做圆周运动，但不改变速度的大小。

2. 大小：rmrmvF22向

3. 来源：向心力是按效果命名的力，可以由某个力提供，也可以由几个力的合力提供或由某个力的分力提供，如同步卫星的向心力由万有引力提供，圆锥摆摆球所受向心力由重力和绳上的拉力的合力提供

4. 匀速圆周运动中向心力就是合外力，而在非匀速圆周运动中，向心力是合外力沿半径方向的一个分力，合外力的另一个分力沿切线方向，用来改变线速度的大小。

（四）质点做匀速圆周运动的条件

A. 质点具有初速度；B. 质点受到的合外力始终与速度方向垂直；

C. 合外力F的大小保持不变，且

（五）. 竖直面内的圆周运动：

竖直面内的圆周运动最高点处的受力特点及分类：

物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

1）绳

弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有

即gRv，否则不能通过最高点。

①当Rvmmg2，即当v=0v=gR时，0v为小球恰好过最高点的临界速度。

②当mg＜Rvm2，即v＞0v=gR时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点

③当mg＞Rvm2，即v＜0v=gR时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。

当物体以gRv1过最高点时，求当物体到达最低点的速度、最低点绳子的拉力大小

由 212221212mvmvRmg得：gRv52

RvmmgT2 得T＝ 6mg

应注意：A、绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零；B、杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零

2）杆与圆管

弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。tsvtrvmrmmaF22mgRmvmgF2 2 但可以进一步讨论：①当v=0时，杆对球的支持力FN

=

mg，此为过最高点的临界条件。当gRv时物体受到的弹力必然是向下的，v越大NF越大；当gRv时物体受到的弹力必然是向上的，m g＞NF＞0且NF仍为支持力，v越大NF越小；当gRv时物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小Fmg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F＝mg时，向心力等于零。

3）汽车过拱桥

弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：gRvmgRmvFmg,2

否则车将离开桥面，做平抛运动。

（六）、桥面问题

（1）汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力

汽车在桥上运动经过最高点时，由汽车所受重力G及桥对其支持力NF提供向心力。如图所示。

G－NF=Rvm2所以NF=G－Rvm2

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。

（2）汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力

如图，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力。则有：NF—G=Rvm2，所以NF=G+Rvm2

由牛顿第三定律知，车对桥的压力就为G+Rvm2，大于车的重力。而且v越大，车对桥的压力就越大

（七）离心现象的研究及应用

1、离心运动

（1）定义：做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，叫做离心运动。

（2）离心现象条件分析

①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中B所示

②当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示。 ③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，F＜2mr，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中C所示。

（3）离心运动的应用和危害

利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等。汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。

万有引力定律应用问题是高考考查的重点和难点，在高中物理内容中占据有相当重要的地位，万有引力定律的应用与人造卫星、宇航飞船等问题密切相关

一、开普勒的行星运动三定律

(1). 开普勒第一定律，即为椭圆轨道定律，其内容为：所有的行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，如图（a）所示。

此定律说明不同行星的椭圆轨道是不同的；

(2). 开普勒第二定律，又叫面积定律，其内容为：连接太阳和行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积，如图（b）所示。

此定律说明行星离太阳越近，其运行速率越大。

(3). 开普勒第三定律，即为周期定律，其内容为：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常数。即kTr23，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星运动的公转周期。对kTa23的认识：在图中，半长轴是AB间距的一半，不要认为a等于太阳到A点的距离；T是公转周期，不要误认为是自转周期，如地球的公转周期是一年，不是一天。

说明：A、在以后的计算问题中，我们都把行星的轨道近似为圆，把卫星的运行轨道也近似为圆，这样就使问题变得简单，计算结果与实际情况也相差不大。

B、在上述情况下，kTa23的表达式中，a就是圆的半径R，利用kTR23的结论解决某些问题很方便。

注意：A、比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同。

B、在太阳系中，不同行星的半长轴都不相同，故其公转周期也不相等。

C、卫星绕地球转动、地球绕太阳转动遵循相同 3 的运动规律。

注意：古代的两种学说都不准确，因为太阳也是运动的，但在太阳系内分析时，把太阳当做静止的，则日心说又是正确的。

二. 万有引力和重力的区别

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力。另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。在一般情况下，可不考虑万有引力和重力的差别，认为重力等于万有引力。

1. 星球表面及其某一高度处的重力加速度的求法

（1）地球表面的重力加速度：由于地球自转导致重力的变化较微小，一般情况下可忽略自转影响，则20R/GMg，该式亦适用于其他天体。

（2）离地面高h处的重力加速度由20)hR/(GMg求得。（两式中R0为地球半径）

2. 天体质量的几种计算方法

以地球质量的计算为例。

（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，根据222T4rmrmGm月月地，得232GT/r4m地。

（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据r/vmrmGm22月月地，得G/rvm2地。

（3）若已知月球运行的线速度v和周期T，根据T2vmrmmG2月月地和r/vmrmGm22月月地，得)G2/(Tvm3地。

（4）若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g，

根据G/gRm,RmmGmg22地地得。

此式通常称为黄金代换式。

三、三种宇宙速度：

①第一宇宙速度（环绕速度）：v1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。

②第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

③第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

注意：（1）人造卫星的环绕速度，即第一宇宙速度。对于近地人造卫星，轨道半径近似等于地球半径R，卫星在轨道处所受的万有引力F近似等于卫星在地面上所受的重力mg，这样有重力mg提供向心力，即mg=mv2／R，得v=Rg，把g=9.8m／s2，R=6400km代入，得v=7.9km／s。要注意v=Rg仅适用于近地卫星

（2）人造地球卫星的发射速度

对于人造地球卫星，由2rMmG= mrv2，得v=rGM，这一速度是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功。所以 将卫星发射到距离地球越远的轨道，在地面所需的发射速度越大。

（3）. 地球同步卫星

相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通讯卫星。同步卫星有以下几个特点：

a、同步卫星与地球自转方向一致。

b、同步卫星的运转周期与地球自转周期一致，且T=24小时。

c、同步卫星的运转角速度与地球自转角速度相等。

d、要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，

e、 同步卫星的高度一定。

所有同步卫星的周期r，、轨道半径r、环绕速度v、角速度ω及向心加速度a的大小均相同。

由2rMmG=mr224T.知r=3224GMT，由于T一定，故r不变，而r=R+h，h为离地面的高度，h=3224GMT—R，又∵ GM=gR2。代入数据T=24h=86400s，g=9.8m／s2，R=6400km，得h=3.6×104km。