中职数学教案：几种常见的函数

函数复习教案1. 函数的概念及其表示法：2. 函数的基本性质：3. 分段函数若在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，以含有x 的不同的式子或常数来表示对应法则，则称这种函数为分段函数．分段函数的图象特征：由各段函数表达式所确定的图象连接、组合而成．4 函数简单应用单调增加随着自变量x 的增加，函数值增加单调减小随着自变量x 的增减，函数值减小增减性单调区间单调：单调增加和单调减小的统称．[a ,b ]⊂D ，若函数在[a ,b ]上是单调的，则称[a ,b ]为f (x )的一个单调区间．在单调区间内，函数图象沿x 轴的正向是上升的(若单调增加)或是下降的(若单调减小)轴对称存在一条直线(对称轴)，沿直线对折后，在此直线两边的函数图象重合．一般讨论中心对称存在一个叫做对称中心的点C ，函数图象上任一点P 与对称中心连线的反向延长线上，与|PC |等长的点P 1也在图象上．偶函数函数y =f (x ),x ∈D 若以y 轴为对称轴，则叫做偶函数．偶函数的数学特征：1. 定义域D 关于原点对称，即x ∈D ⇔ -x ∈D ；2. f (x )=f (-x ), x ∈D ．对称性特殊情况奇函数函数y =f (x ),x ∈D 若以原点为对称中心，则叫做奇函数．奇函数的数学特征：1. 定义域D 关于原点对称，即x ∈D ⇔ -x ∈D ；2. f (x )=-f (-x ), x ∈D ．周期现象每一个因变量的值，在相隔固定的自变量区段后会重复出现，则这个因变量的变化有随着自变量变化的周期现象．从图象上看，整个图象是由基本曲线或直线段重复拼接而成．周期函数及周期反映周期现象的函数是周期函数．周期函数的数学描述：函数y =f (x )的定义域D =(-∞,+∞)；存在常数(周期)T >0，使f (x +T )=f (x ), x ∈D ．使上式成立T 的最小值叫做最小正周期．周期性周期函数的图象特征由某一基本曲线段或直线段重复拼接而成．基本曲线段或直线段所占的自变量的区间的长度就是最小正周期．应用问题有两类：(1)数量关系有常规的公式．例如，在商品销售中，销售总金额、单价和销售量有如下的关系：销售总金额＝单价×销售量；在路程问题中，路程、速度和时间有如下的关系：路程＝速度×时间等等．(2)数量关系没有常规的公式．例如，各种球类比赛的记分规则等．对于这类问题，我们必须首先弄清问题的意思，分析问题中牵涉到哪些数量，弄清这些数量之间的关系．例题解析例1 哪些不是函数？哪些是函数？哪些是一一对应函数？（1）D ＝{x ∣－1＜x ＜1}, M ＝{y ∣0＜y ＜1}，对应法则：y ＝x 2；（2）D ＝{x ∣x ＝1，2，3，4，5，6}, M ＝{y ∣y ＝2，3，4，5，6，7}，对应法则：y ＝x ＋1；（3）D ＝{x ∣－1＜x ＜1}, M ＝{y ∣0≤y ≤1}，对应法则：y ；（4）D ＝{x ∣x ∈N }, M ＝{y ∣y ∈R }，对应法则：y ；（5）D ＝{x ∣x ∈R ，x ＞0}，M ＝{y ∣y ∈R ，y ＞0}，对应法则：y 解 （1）是函数，但不是一一对应函数；例如，取y ＝时，存在两个x 的值：±，使x 2＝（±）2 ＝．14121214（2）是一一对应函数．（3）不是函数．因为当x ∈D ，且x ＜0无意义．（4）不是函数．因为当D ＝{x ∣x ∈N }, y 时，值域 M 不是R ，而应该是R 的真子集．（5）是一一对应函数．例2 求下列函数的(自然)定义域：(1)f(x)=2x 3-4x +5； (1)f(x)=；21-x (2)f(x)=； (3)f(x)=+．23+x 1+x 21-x 解(1)因为对于任意x ∈R ，f (x )＝2x 3-4x +5都有意义，所以函数f(x)=2x 3-4x +5的定义域是D =R ；(2)由x -2≠0，得x ≠2，所以函数f (x )=的定义域是D ={x |x ≠2} ；21-x(3)由3x +2≥0，解得x ≥-，32所以函数f(x)=的定义域是D ={x |x ≥-}，即D =[-,+∞ ；23+x 3232(4)分析使根式有意义的实数x 的集合是{x |x ≥-1}；使分式有意义的实1+x 21-x 数x 的集合是{x |x ≠2}．所以，这个函数的定义域D 是既满足x ≥-1，又满足x ≠2的全体实数．解 x +1≥0，x ≠2．即x ≥-1，x ≠2．所以所给函数的定义域是： D ={x |x ≥-1}∩{x |x ≠2} ，即D =[-1,2)∩(2,+∞) ．例3 指出下列函数在定义域中的单调区间：(1)y =； (2)y =2x 2； (3)y =．x123+x解 (1)函数定义域为(-∞,0)⋃(0,+∞)．从图象可见，(-∞,0)及(0,+∞)均为函数的单调减小区间(但函数在其定义域(-∞,0)⋃(0,+∞)上并不是单调函数)；(2)函数定义域为(-∞,+∞)．从图象可见，(-∞,0)为函数的单调减小区间，(0,+∞)为函数的单调增加区间； (3)函数定义域为(-∞,+∞)．．从图象可见，(-∞,+∞)例4 利用定义，判断下列函数中，哪些是偶函数，哪些是奇函数(凡是不指明定义域的，表示它的定义域是自然定义域)：(1)f (x )= -2x ；(2)f (x )=|x |；(3)f (x )=x 2 +1；(4)f (x )=x 2 -2, x ∈(0, +∞)；(5)f (x )=-x 4+3x 2 –1；；解 (1) ∵x ∈(-∞,+∞)∴函数f (x )= -2x 定义域关于原点对称又∵f (x )= -2x , f (-x )= -2(-x )= -2x = -f (x )，∴f (x )是奇函数；图2-9(1)图2-9(2)yx(2) ∵x ∈(-∞,+∞),∴函数f (x )=|x |定义域关于原点对称又∵ f (-x )=|-x |=|x |=f (x )，∴f (x )是偶函数；(3) ∵x ∈(-∞,+∞),∴函数f (x )=x 2 +1定义域关于原点对称又∵f (-x )=(-x )2+1=x 2+1=f (x )，∴f (x )是偶函数；(4)因为定义域(0,+∞)关于原点不对称，所以f (x )既非奇函数，也非偶函数；(5)∵x ∈(-∞,+∞),∴函数f (x )=-x 4+3x 2 –1定义域关于原点对称∵f (-x )= -(-x )4+3(-x )2+1= -x 4+3x 2-1= f (x )，∴f (x )是偶函数；例5 已知函数f(x)=|2x -1|，（1）把f (x )写成分段函数的形式；（2）求当x =-2, -1, 0, 1, 2时的函数值；（3）作出函数f (x )=|2x -1|的图像．解 (1)因为当x >时2x -1>0, x <时2x -1<0, x = 时2x -1=0，所以1212122x -1，（x >），12f (x )=|2x -1|= 0，（x = ），12-(2x -1)，（x <）．12(2)f (-2)=-[2⨯(-2)-1]=5；f (-1)=-[2⨯(-1)-1]=3；f (0)=-[2⨯(-0)-1]=1；f (1)=2⨯1-1=1；f (2)=2⨯2-1=3．(3)图象如图2-22．例6 一种商品共20件，采用网上集体议价的方式销售．规则是这样的：其价格将随着定购量的增加而不断下降，直至底价．每件价格x 元与定购量n 件的关系是：，比方说，在规定时间内只定购一件(n =1)，单价就是50100=+x n150元；而20件商品都被定购完的话，单价就只有102.5元．(1)请写出该商品的销售总金额y 元与销量件数n 之间的关系；(2)求购买12件时的销售总金额．图2-22分析 商品的销售总金额y 元是随着销量件数n 的变化而变化的．在商品销售中，有几个基本的量，它们之间的关系是：销售总金额＝单价⨯销售量．解 (1)本题中，单价元，销售量是n 件，所以50100=+x ny=()⨯n=100n +50，50100=+x n所以，销售总金额y 元与销量件数n 之间的函数关系是：y = 100n +50，（0<n ≤20，n ∈N ）．(2)当x =12时，y = 100⨯12+50=1250（元）．所以，购买12件时的销售总金额为1250元．例7某商店规定：某种商品一次性购买10kg 以下按零售价格50元/kg 销售；若一次性购买量满10kg ，可打9折；若一次性购买量满20kg ，可按40元/kg 的更优惠价格供货．(1)试写出支付金额y 元与购买量x 公斤之间的函数关系式；(2)分别求出购买15 kg 和25 kg 应支付的金额．分析 在销售商品问题中，销售总金额=单价⨯销售量．本题中，不同的购买量单价不同，所以这是一个分段函数．解 (1) 50x ，(0<x <10)；y = 50⨯90%⨯x ，(0≤x <20）；40x ，(20≤x )．(2)当x =15时，y =50⨯90%⨯x =50⨯90%⨯15=675；当x = 25时， y = 40x =1000． 所以，购买15 kg 和25 kg 应支付的金额分别为675元和1000元．作业1．求下列函数的定义域： (1)f(x)=； (2)f(x)=；321+x 52-x (3)f(x)=+；(4)f(x)=-+6．4+x 12-x 43-x 152-x 2利用定义，判断下列函数中，哪些是偶函数，哪些是奇函数(1)f (x )=x 3-x (2)f (x )=+1； (3)f (x )=x 5+2x , x ∈[-2,3]．31x。

3.3.3几个常见的函数（教案）（2课时）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册）教学目标：1. 能够掌握常见的函数及其图像特征；2. 能够用图像描述函数的性质及应用；3. 能够解决实际问题中的函数关系。

教学重点：1. 函数与图像关系的认识；2. 常见函数的定义和图像特征；3. 函数在实际应用中的运用。

教学难点：1. 函数的绘制和性质的理解；2. 函数在实际问题中的运用。

教学过程：第一课时：1、引入教师简单介绍函数的定义和基本性质，让学生了解函数的图像和特征。

2、概念讲解讲解以下内容：(1) 常函数：y=k(k为定值，y=k)(2) 一次函数：y=kx+b(k、b为定值，y=kx+b)(3) 二次函数：y=ax^2+bx+c(a、b、c为定值，y=ax^2+bx+c)(4) 等比数列：y=a*q^n(a、q为定值，y=a*q^n)(5) 指数函数：y=b^x(b、x为定值，y=b^x)3、图像分析教师将这几种函数的图像分别绘制出来，和学生一起分析它们的特征和规律，并让学生发现不同函数之间的关系。

4、例题讲解教师用一些具体的例题让学生理解和练习不同函数间的运用。

第二课时：1、巩固上课知识教师可以让学生回答一些简单的选择题，巩固上节课的知识点。

2、大题解析教师用一些带有实际应用的大题，让学生巩固上课所学的知识点，并且培养学生灵活运用函数的能力。

3、小组讨论让学生分成小组，互相讨论在实际生活中哪些情景下可以应用到这些函数，并给出理由和解答方法。

4、作业布置布置一些作业，让学生巩固上课所学的知识，并提示他们将学到的内容与实际问题联系起来。

教学反思：在教学过程中，本人注重理论联系实际，通过一些具体的例题和实际应用问题，让学生能够深入理解函数的概念及其在实际生活中的应用。

同时，也让学生能够加强练习，提高其解决函数问题的能力。

【课题】3.1函数的概念及其表示法【教学目标】知识目标：(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法.能力目标：(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力.【教学重点】(1)函数的概念；(2)利用“描点法”描绘函数图像.【教学难点】(1)对函数的概念及记号y=/(x)的理解；(2)利用“描点法”描绘函数图像.【教学设计】(1)从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；(2)抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；(3)抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；(4)学习"描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；(5)重视学生独立思考与交流合作的能力培养.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学教师学生教学时过程行为行为意图间教学教师学生教学时过程行为行为意图间*揭示课题3.1函数的概念及其表示法介绍了解*创设情景兴趣导入从实问题播放观看际事学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁例使饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？课件课件学生解决质疑思考自然设购买果汁饮料X瓶，应付款为则计算购买果汁饮料的走应付款的算式为向知y=2.5x.识点归纳因为X表示购买果汁饮料瓶数，所以X可以取集合｛0,1,2,3,｝中的任意一个值，按照算式法则y=2.5x,应付款y有唯一的值与之对应.两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系.引导分析自我分析引导启发学生体会对应5*动脑思考探索新知带领概念学生在某一个变化过程中有两个变量x和y,设变量x的取值仔细思考总结范围为数集D,如果对于。

内的每一个x值，按照某个对应法分析理解上述则y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，讲解问题把y叫做x的函数.关键得到表示词语记忆函数将上述函数记作'=/（X）.概念变量工叫做自变量，数集。

中职数学函数的概念教案第一章：函数的概念与性质1.1 函数的定义引入函数的概念，通过实例让学生理解函数的定义。

讲解函数的表示方法，包括函数表格、函数图像和函数表达式。

1.2 函数的性质讲解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。

通过实例让学生理解函数的性质，并学会如何判断函数的性质。

第二章：函数的图像2.1 函数图像的绘制讲解如何绘制函数的图像，包括直线、二次函数、指数函数等。

通过实例让学生学会绘制函数图像，并理解函数图像与函数性质的关系。

2.2 函数图像的性质讲解函数图像的性质，包括对称性、单调性、极值等。

通过实例让学生理解函数图像的性质，并学会如何分析函数图像。

第三章：一次函数与二次函数3.1 一次函数讲解一次函数的定义和性质，包括斜率和截距的概念。

通过实例让学生理解一次函数的图像和性质，并学会解一次方程组。

3.2 二次函数讲解二次函数的定义和性质，包括开口方向、顶点、对称轴等。

通过实例让学生理解二次函数的图像和性质，并学会解二次方程。

第四章：函数的极限与连续性4.1 函数的极限讲解函数极限的概念，包括左极限和右极限。

通过实例让学生理解函数极限的性质，并学会计算函数极限。

4.2 函数的连续性讲解函数连续性的概念，包括连续函数的性质和判定条件。

通过实例让学生理解函数连续性的重要性，并学会判断函数的连续性。

第五章：函数的导数与微分5.1 函数的导数讲解函数导数的概念和计算方法，包括导数的定义和导数的计算规则。

通过实例让学生理解函数导数的意义，并学会计算常见函数的导数。

5.2 函数的微分讲解函数微分的概念和计算方法，包括微分的定义和微分的计算规则。

通过实例让学生理解函数微分的应用，并学会计算函数的微分。

第六章：函数的积分与累积6.1 定积分的概念讲解定积分的定义和性质，包括定积分的几何意义和计算方法。

通过实例让学生理解定积分的概念，并学会计算常见函数的定积分。

6.2 定积分的应用讲解定积分在几何和物理中的应用，包括面积和体积的计算。