三角形与四边形重难点题型共23道题一、单选题1．（2022·浙江温州）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM CF ⊥于点M ，BJ GM ⊥于点J ，⊥AK BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，102CE =CH 的长为（ ）A 5B 35+C ．2D 10【答案】C【解析】【分析】 设CF 交AB 于P ，过C 作CN ⊥AB 于N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF =AB 5，证明⊥AFL ⊥⊥FGM （AAS ），可得AL =FM ，设AL =FM =x ，在Rt ⊥AFL 中，x 2+（x +m ）2=5）2，可解得x =m ，有AL =FM =m ，FL =2m ，从而可得AP 5m ，FP =52m ，BP 5m ，即知P 为A B 中点，CP =AP =BP 5m 由⊥CPN ⊥⊥FP A ，得CN =m ，PN =12m ，即得AN 51+m ，而tan⊥BAC =51BC CN AC AN =+⊥AEC ⊥⊥BCH ，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设CF 交AB 于P ，过C 作CN ⊥AB 于N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，⊥正方形JKLM 面积为m 2，⊥正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，⊥正方形ABGF 的面积为5m 2，⊥AF =AB 5，由已知可得：⊥AFL =90°-⊥MFG =⊥MGF ，⊥ALF =90°=⊥FMG ，AF =GF ，⊥⊥AFL ⊥⊥FGM （AAS ），⊥AL =FM ，设AL =FM =x ，则FL =FM +ML =x +m ，在Rt ⊥AFL 中，AL 2+FL 2=AF 2，⊥x 2+（x +m ）2=5）2，解得x =m 或x =-2m （舍去），⊥AL =FM =m ，FL =2m ，1tan ,22AP ALmAFL AF FL m ∠====1,25m =∴AP 5m22225555()(5),522mm mAP AF m m BP AB A m FP P =+=+==-==∴⊥AP =BP ，即P 为A B 中点，⊥⊥ACB =90°，⊥CP =AP =BP 5m⊥⊥CPN =⊥APF ，⊥CNP =90°=⊥F AP ，⊥⊥CPN ⊥⊥FP A ，,CP CN PN FP AF AP ∴==即525552mm m m ==⊥CN =m ，PN =12m ，⊥AN =AP +PN 51+ ∴tan⊥BAC =51BC CN AC AN ==+ ⊥⊥AEC 和⊥BCH 是等腰直角三角形，⊥⊥AEC ⊥⊥BCH ，,BC CH AC CE∴= 102,CE =51102=++ 2,CH ∴=故选：C ．【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．2．（2020·浙江湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC ′D ′．若⊥D ′AB ＝30°，则菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD的面积之比是（ ）A ．1B ．12C 2D 3【答案】B【解析】【分析】 如图，连接DD ＇，延长C D ''交AD 于E ，由菱形ABC D ''，可得AB C D '',进一步说明30ED D '∠=︒,得到菱形AE =12AD ；又由正方形ABCD ，得到AB =AD,即菱形的高为AB 的一半，然后分别求出菱形ABC D ''和正方形ABCD 的面积，最后求比即可．【详解】解：如图：延长C D ''交AD 于E⊥菱形ABC D ''⊥AB C D ''⊥30D AB '∠=︒⊥30AD E D AB ''∠=∠=︒⊥AE =12AD又⊥正方形ABCD∴AB =AD,即菱形的高为AB 的一半 ⊥菱形ABC ′D ′的面积为212AB ，正方形ABCD 的面积为AB 2． ⊥菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是12． 故答案为B ．【点睛】本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含30°直角三角形的性质，其中表示出菱形ABC ′D ′的面积是解答本题的关键．3．（2020·浙江温州）如图，在Rt △AB C 中，⊥ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR ⊥FG 于点R ，再过点C 作PQ ⊥CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A ．14B ．15C ．83D ．5【答案】A【解析】【分析】 方法一：连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP ⊥⊥HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝10，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC∴BQ ，CQ∴AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝10，再根据勾股定理求得25AC =5BC =4CJ =，进而可求得CR 的长．方法二：设AB 交CR 于点M ，先证得DCP BCQ ∆∆，可得DP CD PC DE BQ CB CQ BH ===、12PE PC QH CQ ==，进而可求得PC ＝5，CQ ＝10，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC∴BQ ，CQ∴AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝10，再根据勾股定理求得25AC =45BC =4CJ =，进而可求得CR 的长．【详解】方法一：解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，⊥四边形ACDE ，四边形BC I H 都是正方形，⊥⊥ACE ＝⊥BCH ＝45°，⊥⊥ACB ＝90°，⊥BC I ＝90°，⊥⊥ACE ＋⊥ACB ＋⊥BCH ＝180°，⊥ACB ＋⊥BC I ＝180°，⊥点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，⊥DE∴A I ∴BH ，⊥⊥CEP ＝⊥CHQ ，⊥⊥ECP ＝⊥QCH ，⊥⊥ECP ⊥⊥HCQ ， ⊥12PC CE EPCQ CH HQ ===，⊥PQ ＝15，⊥PC ＝5，CQ ＝10，⊥EC :CH ＝1:2，⊥AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，⊥PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，⊥CQ∴AB ，⊥AC∴BQ ，CQ∴AB ，⊥四边形ABQC 为平行四边形，⊥AB ＝CQ ＝10，⊥222AC BC AB +=，⊥25100a =， ⊥25a = ⊥25AC =45BC =⊥1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅， ⊥25454CJ ⨯=，⊥JR ＝AF ＝AB ＝10，⊥CR ＝CJ ＋JR ＝14，故选：A ．方法二：⊥四边形ACDE ，四边形BC I H 都是正方形90,,D CBQ DC DE BC BH ∴∠=∠=︒==DCP BCQ ∠=∠ DCP BCQ ∴∆∆DPCD PC DEBQ CB CQ BH ∴===PEPCQH CQ ∴= 2QH PE =12PCCQ ∴=⊥PQ ＝15，⊥PC ＝5，CQ ＝10设CD DE AC a ===，则2BC BH a ==在Rt △AB C 中，⊥ACB ＝90°由勾股定理得 5AB a =由等面积法得 255AC BCCJ AB ==设CR 与AB 交于点J⊥四边形ABGF 是正方形PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，⊥ACB ＝90°⊥CQ ∥AB ，AC ∥BQ ，四边形AMRF 是矩形⊥四边形ABQC 为平行四边形，5JR AF AB a === ⊥5CQ AB a ==25a ∴=25514CR CJ JR a ∴=+=+= 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键．4．（2020·浙江台州）把一张宽为1cm 的长方形纸片ABCD 折叠成如图所示的阴影图案，顶点A ，D 互相重合，中间空白部分是以E 为直角顶点，腰长为2cm 的等腰直角三角形，则纸片的长AD （单位：cm ）为（ ）A ．732+B ．742+C ．832+D ．842+【答案】D【解析】【分析】 如图，过点M 作MH ⊥A 'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A 'W 于J ．想办法求出AR ，RM ，MN ，NW ，WD 即可解决问题．【详解】解：如图，过点M 作MH ⊥A 'R 于H ，过点N 作NJ ⊥A 'W 于J ．由题意⊥EMN 是等腰直角三角形，EM =EN =2，MN =22⊥四边形EMHK 是矩形，⊥EK = A 'K =MH =1，KH =EM =2，⊥⊥RMH 是等腰直角三角形，⊥RH =MH =1，RM 2NW 2题意AR =R A '= A 'W =WD =4，⊥AD =AR +RM +MN +NW +DW 2222842+故答案为：D.【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．二、填空题5．（2022·浙江绍兴）如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．【答案】5或354【解析】【分析】 过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，设BN =x ，则CN =3x ，由⊥ACN ⊥⊥CDM可得AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，由点C 、M 、D 、E 四点共圆可得⊥NME 是等腰直角三角形，于是NE =10-2x ，由勾股定理求得AC 可得CE ，在Rt ⊥CNE 中由勾股定理建立方程求得x ，进而可得BE ；【详解】解：如图，过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，设BN =x ，则CN =BN •tan⊥CBN =3x ，⊥⊥CAD ，⊥ECD 都是等腰直角三角形，⊥CA =CD ，EC =ED ，⊥EDC =45°，⊥CAN +⊥ACN =90°，⊥DCM +⊥ACN =90°，则⊥CAN =⊥DCM ，在⊥ACN 和⊥CDM 中：⊥CAN =⊥DCM ，⊥ANC =⊥CMD =90°，AC =CD ，⊥⊥ACN ⊥⊥CDM （AAS ），⊥AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，⊥⊥CMD =⊥CED =90°，⊥点C 、M 、D 、E 四点共圆，⊥⊥CME =⊥CDE =45°，⊥⊥ENM =90°，⊥⊥NME 是等腰直角三角形，⊥NE =NM =CM -CN =10-2x ，Rt ⊥AN C 中，AC ()()2222103AN CN x x +++ Rt ⊥EC D 中，CD =AC ，CE =22CD ， Rt ⊥CNE 中，CE 2=CN 2+NE 2，⊥()()()()2222110331022x x x x ⎡⎤++=+-⎣⎦， 2425250x x -+=，()()4550x x --=，x =5或x =54， ⊥BE =BN +NE =x +10-2x =10-x ，⊥BE =5或BE =354； 故答案为：5或354； 【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．6．（2021·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2． 反比例函数k y x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______．【答案】5或22.5【解析】【分析】先设一个未知数用来表示出B 、C 两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B 、C 、D 的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k 的值即可．【详解】解：如图所示，分别过B 、D 两点向x 轴作垂线，垂足分别为F 、E 点，并过C 点向BF 作垂线，垂足为点G ；⊥正方形ABCD ，⊥⊥DAB =90°，AB =BC =CD =DA ，⊥⊥DAE +⊥BAF =90°，又⊥⊥DAE +⊥ADE =90°，⊥BAF +⊥ABF =90°，⊥⊥DAE =⊥ABF ，⊥ADE =⊥BAF ，⊥ADE ⊥BAF ，同理可证⊥ADE ⊥⊥BAF ⊥⊥CBG ；⊥DE =AF =BG ，AE =BF =CG ；设AE =m ，⊥点D 的坐标 (52,2) ， ⊥OE =52，DE =AF =BG =2， ⊥B （92m +，m ），C （92，2m +）, ⊥5252⨯=， 当()9252m +=时，809m =-<，不符题意，舍去；当952m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，由0m ≥解得1619m -=,符合题意；故该情况成立，此时 5k =； 当()99222m m m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭时，由 0m ≥解得3m =,符合题意，故该情况成立，此时()93222.52k =⨯+=; 故答案为：5或22.5．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等．7．（2021·浙江杭州）如图是一张矩形纸片ABCD ，点M 是对角线AC 的中点，点E 在BC 边上，把DCE 沿直线DE 折叠，使点C 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ，EF ．若MF AB =，则DAF ∠=_____度．【答案】18【解析】【分析】连接MD ，设⊥DAF =x ，利用折叠与等腰三角形的性质，用x 的代数式表示出⊥ADC =90°，列出方程解方程即可．【详解】连接MD ，设⊥DAF =x根据矩形的基本性质可知AM =MD ，AD ⊥BC ，⊥BCD =⊥ADC =90°⊥⊥MDA =⊥DAF =x ，⊥ACB =⊥DAC =x⊥⊥DMF =2x⊥⊥DCE 折叠得到⊥DFE⊥DF =CD =AB ，DE ⊥FC ，⊥FDE =⊥CDE又MF =AB⊥MF =DF⊥⊥MDF =2x⊥⊥BCD =⊥ACB +⊥ACD =90°，⊥EDC +⊥FCD =90°⊥⊥CDE =⊥ACD =x⊥⊥FDE =⊥CDE =x⊥⊥ADC =⊥ADM +⊥MDF +⊥FDE +⊥CDE =x +2x +x +x =5x =90°⊥x =18°故⊥DAF =18°故答案为18．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用⊥DAF 表示出⊥ADC 是解题关键．8．（2021·浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知,, 6.5AB BC MN BC AB ⊥⊥=，4,8BP PD ==．（1）ED 的长为____________．（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC '（如图2），点P 的对应点为P '，BC '与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P '反射后，在MN 上的光点为E '．若5DD '=，则EE '的长为____________．【答案】 13232【解析】【分析】（1）由题意，证明△ABP ⊥⊥EDP ，根据相似三角形的性质，即可求出ED 的长度；（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x,E′D′=5+x,在Rt △BDN 中，由勾股定理D′B 12=，可证△ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F ,=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．△AHP′⊥⊥E′FP′，6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5． 【详解】解：（1）由题意，⊥,AB BC MN BC ⊥⊥，⊥90ABP EDP ∠=∠=︒，⊥从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．⊥APB EPD ∠=∠，⊥⊥ABP ⊥⊥EDP ，⊥AB BP ED DP =， 即6.548ED =， ⊥13ED =；故答案为：13．（2）过A 作AH ⊥BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ⊥BN 于F ，设E′D =x,E′D′=5+x,在Rt △BDN 中，⊥BD =12，DD′=5，由勾股定理D′B 2222+12+513BD DD '，⊥⊥AHB =⊥ABD =⊥E′FN =⊥BDD′=90°，⊥⊥ABH +⊥DBD′=⊥DBD′+⊥DD′B =FE D ''∠+⊥E′D′F ,⊥⊥ABH =⊥BD′D =⊥E′D′F ,⊥⊥ABH ⊥⊥BD′D ⊥⊥E′D′F ,⊥AB AH BH BD BD DD ==''，ED E F FD BD BD DD ''''==''，⊥6.513125AH BH ==,513125x E F FD ''+==，⊥=6=2.5AH BH ，，6012255,1313xxE F FD ++''==，⊥从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．⊥AP H E P F '''∠=∠，⊥⊥AHP′⊥⊥E′FP′，HP′=HB +BP =2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F = P′D′-FD′=9-25513x +，⊥AH P H E F P F '=''即6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5，经检验x =1.5是方程的解，EE′=DE -DE′=13-1.5=11.5=232．故答案为232．【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程6 6.560+1225591313x x=+-是解题关键．9．（2020·21的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的_____（填序号）．2，⊥1，2﹣1，33【答案】①②⊥⊥．【解析】【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．【详解】解：如下图所示：在BC上截取BE=1，连接AE⊥⊥ABE为等腰直角三角形，AB=BE=1，AE222AB BE+CE=BC－BE21⊥⊥BAE=45°，⊥EAD=90°－⊥BAE=45°在AE上截取AF=1，连接DF、CF⊥EF=AE－AF21=CE⊥⊥EFC21过点F作FG⊥AD于G⊥AG=AF·cos⊥F AG2⊥DG=AD－AG2⊥FG垂直平分AD⊥AF=FD=1⊥⊥AFD为等腰三角形，腰长为1⊥DFC为等腰三角形，腰长为1；如下图所示：在AD上截取DF=1，连接BF⊥⊥DFC为等腰直角三角形，腰长为1，AF=AD－DF21根据勾股定理可得CF222DF DC+⊥⊥CBF2在AB上截取AE21=AF⊥⊥AEF21，BE=AB－AE=22根据勾股定理可得EF2222AE AF+==BE⊥⊥EBF为等腰三角形，腰长为22如下图所示：连接AC、BD交于点E易知⊥EAB、⊥EBC、⊥ECD和⊥EAD均为等腰三角形利用勾股定理AC223AB BC+⊥AE=BE=CE=DE=132AC=综上：其中一个等腰三角形的腰长可以是2⊥1，21，33故答案为：①⊥⊥⊥．【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握矩形的性质、等腰三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．10．（2021·浙江宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．【答案】14或32 【解析】【分析】根据题意，点B 不可能在坐标轴上，可对点B 进行讨论分析：⊥当点B 在边DE 上时；⊥当点B 在边CD 上时；分别求出点B 的坐标，然后求出OBC 的面积即可．【详解】 解：根据题意，⊥点11,B x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为点(),A x y 的“倒数点”， ⊥0x ≠，0y ≠，⊥点B 不可能在坐标轴上； ⊥点A 在函数()20=>y x x的图像上， 设点A 为2(,)x x ，则点B 为1(,)2x x ， ⊥点C 为()3,0，⊥3OC =，⊥当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上，⊥点A 与点B 的纵坐标相同，即22xx=，解得：2x=，经检验，2x=是原分式方程的解；⊥点B为1(,1)2，⊥OBC的面积为：133122S=⨯⨯=；⊥当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，⊥13x=，解得：13x=，经检验，13x=是原分式方程的解；⊥点B为1 (3,)6，⊥OBC的面积为：1113264S=⨯⨯=；故答案为：14或32．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．三、解答题11．（2022·浙江湖州）已知在Rt⊥AB C中，⊥ACB＝90°，a，b分别表示⊥A，⊥B的对边，a b>．记⊥ABC 的面积为S．(1)如图1，分别以AC ，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGF C ．记正方形ACDE 的面积为1S ，正方形BGFC 的面积为2S ．⊥若19S =，216S =，求S 的值；⊥延长EA 交GB 的延长线于点N ，连结FN ，交BC 于点M ，交AB 于点H ．若FH ⊥AB （如图2所示），求证：212S S S -=．(2)如图3，分别以AC ，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE ，记等边三角形ACD 的面积为1S ，等边三角形CBE 的面积为2S ．以AB 为边向上作等边三角形ABF （点C 在⊥ABF 内），连结EF ，CF ．若EF ⊥CF ，试探索21S S -与S 之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)⊥6；⊥见解析(2)2114S S S -=，理由见解析 【解析】【分析】（1）⊥将面积用a ，b 的代数式表示出来，计算，即可⊥利用AN 公共边，发现⊥F AN ⊥⊥ANB ，利用FA AN AN NB =，得到a ，b 的关系式，化简，变形，即可得结论 （2）等边ABF 与等边CBE △共顶点B ，形成手拉手模型，⊥ABC ⊥⊥FBE ，利用全等的对应边，对应角，得到：AC ＝FE ＝b ，⊥FEB ＝⊥ACB ＝90°，从而得到⊥FEC ＝30°，再利用Rt CFE △，3cos30FE b CE a ︒===，得到a 与b 的关系，从而得到结论(1)⊥19S =，216S =⊥b ＝3，a ＝4⊥⊥ACB ＝90°⊥11S ab 34622==⨯⨯=⊥由题意得：⊥F AN ＝⊥ANB ＝90°，⊥FH ⊥AB⊥⊥AFN ＝90°－⊥F AH ＝⊥NAB⊥⊥F AN ⊥⊥ANB⊥FAANAN NB =⊥a baa b +=，得：22ab b a +=⊥122S S S +=．即212S S S -=(2)2114S S S -=，理由如下：⊥⊥ABF 和⊥BEC 都是等边三角形⊥AB ＝FB ，⊥ABC ＝60°－⊥FBC ＝⊥FBE ，CB ＝EB⊥⊥ABC ⊥⊥FBE （SAS ）⊥AC ＝FE ＝b⊥FEB ＝⊥ACB ＝90°⊥⊥FEC ＝30°⊥EF ⊥CF ，CE ＝BC ＝a ⊥3cos30b FE a CE ==︒ ⊥3b = ⊥2132S ab == 由题意得：213S =，223S ⊥22221333S S -==⊥2114S S S -=【点睛】 本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手全等 12．（2022·浙江宁波）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)553+【解析】【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG =，CG DE ⊥，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 DE BC 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：⊥DE BC ∥，⊥,ADG ABF AEG ACF △△△△， ⊥,==DGAGEGAGBF AF CF AF ，⊥DG EGBF CF =．⊥BF CF =，⊥DG EG =．(2)解：由（1）得DG EG =，⊥CG DE ⊥，⊥6CE CD ==．⊥3AE =，⊥9AC AE CE =+=．⊥DE BC ∥，⊥ADE ABC ．⊥13DEAEBC AC ==．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．在ABCD 中，,45=∠=∠=︒BO DO ABC ADC ．⊥EG BD ∥，⊥由（1）得=ME GE ，⊥⊥EF EG ，⊥10==FM FG ，⊥∠=∠EFM EFG ．⊥40∠︒=EGF ，⊥40EMF ∠=︒，⊥50EFG ∠=︒．⊥FG 平分EFC ∠，⊥50∠=∠=︒EFG CFG ，⊥18030∠=︒-∠-∠-∠=︒BFM EFM EFG CFG ． ⊥．在Rt FMN 中，sin 305,cos3053=︒==︒=MN FM FN FM⊥45,∠=︒⊥MBN MN BN ，⊥5==BN MN ， ⊥553=+=+BF BN FN【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．13．（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,25,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）92；（3）163 【解析】【分析】（1）根据SAS 证明EAD CAD ≌△△，进而即可得到结论； （2）先证明EBD GCD ∽，得BD DE CD DG=，进而即可求解； （3）在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ，可得AFC ADC ≌，从而得DCE BCF ∽，可得,CDCECED BFC BC CF =∠=∠，4CE =，最后证明EAD DAC ∽，即可求解．【详解】解：（1）⊥AD 平分BAC ∠，⊥EAD CAD ∠=∠，⊥,==AE AC AD AD ，⊥()EAD CAD SAS ≌，⊥60ADE ADC ∠=∠=︒，⊥18060EDB ADE ADC ∠=︒-∠-∠=︒，⊥BDE ADE =∠∠，即DE 平分ADB ∠；（2）⊥FB FC =，⊥EBD GCD ∠=∠，⊥60BDE GDC ∠=∠=︒，⊥EBD GCD ∽，⊥BDDECD DG =．⊥EAD CAD ≌△△，⊥3DE DC ==．⊥2DG =，⊥92BD =；（3）如图，在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ．⊥AC 平分BAD ∠，⊥FAC DAC ∠=∠⊥AC AC =，⊥()AFC ADC SAS ≌，⊥,,CF CD ACF ACD AFC ADC =∠=∠∠=∠．⊥2ACF BCF ACB ACD ∠+∠=∠=∠，⊥DCE BCF ∠=∠．⊥EDC FBC ∠=∠，⊥DCE BCF ∽，⊥,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠． ⊥5,25BC CF CD ===⊥4CE =．⊥180180AED CED BFC AFC ADC ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，又⊥EAD DAC ∠=∠，⊥EAD DAC ∽⊥12EA AD AD AC ==， ⊥4AC AE =，⊥41633AC CE ==． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．14．（2021·浙江湖州）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,3ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3（2）见解析；（3）存在，2m 【解析】【分析】（1）先解直角三角形ABC 得出2AB AC =，从而得出ADC 是等边三角形，再解直角三角形ACP 即可求出AC 的长，进而得出BC 的长；（2）连结BE ，先利用AAS 证出≌CPA DPE ，得出AE =2PE ，AC =DE ，再得出ADC 是等边三角形，然后由SAS 得出≌CAB EBA ，得出AE =BC 即可得出结论；（3）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ⊥AB 于G ，过E 作EN ⊥AB 于N ，由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，再证明≌AEN BCG ，从而得出≌CAB EBA 得出DE =BE ，然后利用勾股定理即可得出m 的值．【详解】（1）解 90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒，2cos60AC AB AC ︒==， BD AC =，AD AC =∴，ADC ∴是等边三角形，60ACD ∴∠=︒Р是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，3AP =2sin 60AP AC ∴==︒， tan 6023BC AC =︒=∴（2）证明：连结BE ， //DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠，,CP DP CPA DPE =∠=∠，()CPA DPE AAS ∴≌，1,2AP EP AE DE AC ∴===， BD AC =，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，BDE ∴是等边三角形，,60BD BE EBD ∴=∠=︒BD AC =，AC BE ∴=，又60,CAB EBA AB BA ∠=∠=︒=，()CAB EBA SAS ∴≌，AE BC ∴=，2BC AP ∴=．（3）存在这样的,2m m =过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ⊥AB 于G ，过E 作EN ⊥AB 于N ，则45∠=∠=︒BDE CAD ，sin 45∴=⨯CG AC ，sin 45=⨯EN DE由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，⊥CG =EN ，⊥2BC AP =，⊥AE =BC ，⊥⊥ANE =⊥BGC =90°，≌∴AEN BCG ，⊥⊥EAN =⊥CBG⊥AE=BC，AB=BA，⊥≌CAB EBA⊥AC=BE，⊥DE=BE，⊥⊥EDB=⊥EBD=45°，⊥⊥DEB=90°，⊥2=BD，⊥BD mAC=⊥2m【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．15．（2020·浙江绍兴）问题：如图，在⊥AB D中，BA＝B D．在BD的延长线上取点E，C，作⊥AEC，使EA ＝EC，若⊥BAE＝90°，⊥B＝45°，求⊥DAC的度数．答案：∠D AC＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“⊥B＝45°”去掉，其余条件不变，那么⊥DAC的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“⊥B＝45°”去掉，再将“⊥BAE＝90°”改为“⊥BAE＝n°”，其余条件不变，求⊥DAC的度数．n°．【答案】（1）⊥DAC的度数不会改变，理由见解析；（2）12【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到⊥AED＝2⊥C，⊥求得⊥DAE＝90°-⊥BAD＝90°-（45°+⊥C）＝45°﹣⊥C，⊥由⊥，⊥即可得到结论；（2）设⊥ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）⊥DAC的度数不会改变，理由如下：⊥EA＝EC，⊥⊥AED＝2⊥C，⊥⊥⊥BAE＝90°，⊥⊥BAD＝12[180°﹣（90°﹣2⊥C）]＝45°+⊥C，⊥⊥DAE＝90°﹣⊥BAD＝90°﹣（45°+⊥C）＝45°﹣⊥C，⊥由⊥，⊥得，⊥DAC＝⊥DAE+⊥CAE＝45°；（2）设⊥ABC＝m°，则⊥BAD＝12（180°﹣m°）＝90°﹣12m°，⊥AEB＝180°﹣n°﹣m°，⊥⊥DAE＝n°﹣⊥BAD＝n°﹣90°+12m°，⊥EA＝EC，⊥⊥CAE＝12⊥AEB＝90°﹣12n°﹣12m°，⊥⊥DAC＝⊥DAE+⊥CAE＝n°﹣90°+12m°+90°﹣12n°﹣12m°＝12n°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键．16．（2020·浙江舟山）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B，C在点A的正东方向点B，D在点A的正东方向点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．测量数据BC＝60m，⊥ABH＝70°，⊥ACH＝35°．BD＝20m，⊥ABH＝70°，⊥BCD＝35°．BC＝101m，⊥ABH＝70°，⊥ACH＝35°．（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m【解析】【分析】（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝AHtan35︒，AB＝AHtan70︒，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）第一个小组的解法：⊥⊥ABH ＝⊥ACH +⊥BHC ，⊥ABH ＝70°，⊥ACH ＝35°， ⊥⊥BHC ＝⊥BCH ＝35°， ⊥BC ＝BH ＝60m ，⊥AH ＝BH •sin70°＝60×0.94≈56.4（m ）． 第三个小组的解法： 设AH ＝xm ，则CA ＝AHtan 35︒，AB ＝AH tan 70︒，⊥CA +AB ＝CB ， ⊥0.70 2.75x x+＝101， 解得x ≈56.4． 答：河宽为56.4m ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，弄清题意、列出方程是解答本题的关键． 17．（2020·浙江衢州）如图1，在平面直角坐标系中，⊥ABC 的顶点A ，C 分别是直线y =﹣83x +4与坐标轴的交点，点B 的坐标为（﹣2，0），点D 是边AC 上的一点，DE ⊥BC 于点E ，点F 在边AB 上，且D ，F 两点关于y 轴上的某点成中心对称，连结DF ，EF ．设点D 的横坐标为m ，EF 2为l ，请探究： ⊥线段EF 长度是否有最小值． ⊥⊥BEF 能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l 随m 变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l 与m 可能满足的函数类别． （2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l 关于m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF 长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现⊥BEF 能成为直角三角形，请你求出当⊥BEF 为直角三角形时m 的值．【答案】（1）连线见解析，二次函数；（2）22（3）m=0或m=4 3【解析】【分析】（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt⊥FGK⊥Rt⊥DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．【详解】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则⊥FGK=⊥DHK=90°，记FD交y轴于点K，⊥D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，⊥KF=KD，⊥⊥FKG=⊥DKH，⊥Rt⊥FGK⊥Rt⊥DHK（AAS），⊥FG=DH，⊥直线AC的解析式为y=﹣83x+4，⊥x=0时，y=4，⊥A（0，4），又⊥B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，⊥204k bb⎧-+=⎨=⎩，解得24kb，⊥直线AB的解析式为y=2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，⊥D点的横坐标为m，⊥F（﹣m，﹣2m+4），⊥ER=2m，FR=﹣2m+4，⊥EF2=FR2+ER2，⊥l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，令﹣83x+4=0，得x=32，⊥0≤m≤32．⊥当m=1时，l的最小值为8，⊥EF的最小值为2．（3）⊥⊥FBE为定角，不可能为直角．⊥⊥BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．⊥如图3，⊥BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，又⊥BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，⊥BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，又⊥BE2=（m+2）2，⊥（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8=0，解得m1=43，m2=2（不合题意，舍去），⊥m=43．综合以上可得，当⊥BEF为直角三角形时，m=0或m=43．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．18．（2020·浙江湖州）已知在△AB C中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将⊥B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．（1）特例感知 如图1，若⊥C ＝60°，D 是AB 的中点，求证：AP ＝12AC ；（2）变式求异 如图2，若⊥C ＝90°，m ＝2，AD ＝7，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，求DH 和AP 的长； （3）化归探究 如图3，若m ＝10，AB ＝12，且当AD ＝a 时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，请直接写出a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（272，22；（3）6≤a ＜203.【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，运用等边三角形内角都为60°以及三边相等进行求解． （2）根据相似三角形的性质，运用对应边成比例以及勾股定理进行求解． （3）根据三角函数以及三线合一性质，运用勾股定理以及比例关系进行求解． 【详解】（1）证明：⊥AC ＝BC ，⊥C ＝60°， ⊥⊥ABC 是等边三角形， ⊥AC ＝AB ，⊥A ＝60°，由题意，得DB ＝DP ，DA ＝DB ， ⊥DA ＝DP ，⊥⊥ADP 使得等边三角形， ⊥AP ＝AD ＝12AB ＝12A C ．（2）解：⊥AC ＝BC ＝2⊥C ＝90°， ⊥AB 22AC BC +22(62)(62)+＝12， ⊥DH ⊥AC ， ⊥DH ⊥BC ，⊥⊥ADH ⊥⊥ABC ， ⊥DH BC＝AD AB ， ⊥AD ＝7， 62＝712， ⊥DH ＝22， 将⊥B 沿过点D 的直线折叠，情形一：当点B 落在线段CH 上的点P 1处时，如图2﹣1中，⊥AB ＝12，⊥DP 1＝DB ＝AB ﹣AD ＝5，⊥HP 1221DP DH -227252⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2， ⊥AP 1＝AH +HP 1＝2，情形二：当点B 落在线段AH 上的点P 2处时，如图2﹣2中，同法可证HP 22 ⊥AP 2＝AH ﹣HP 2＝2，综上所述，满足条件的AP 的值为22．（3）如图3中，过点C 作CH ⊥AB 于H ，过点D 作DP ⊥AC 于P ．⊥CA ＝CB ，CH ⊥AB ， ⊥AH ＝HB ＝6，⊥CH 22AC AH -22106-8，当DB ＝DP 时，设BD ＝PD ＝x ，则AD ＝12﹣x ， ⊥tan A ＝CH AC ＝PDAD， ⊥810＝12x x -， ⊥x ＝163， ⊥AD ＝AB ﹣BD ＝203， 观察图形可知当6≤a ＜203时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置． 【点睛】本题考查等边三角形性质，勾股定理，相似三角形性质以及三角形函数的知识点，知识点的灵活运用，以及通过对图形的理解分析出结果的所以可能性是解决此类问题的关键所在． 19．（2020·浙江金华）如图，在⊥AB C 中，AB =42⊥B =45°，⊥C =60°． （1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将⊥AEF 折叠得到⊥PEF ． ⊥如图2，当点P 落在BC 上时，求⊥AEP 的度数． ⊥如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．【答案】（1）4;（2）⊥90°；⊥26【解析】 【分析】（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D ．解直角三角形求出AD 即可． （2）⊥证明BE =EP ，可得⊥EPB =⊥B =45°解决问题． ⊥如图3中，由（1）可知：AC =83sin 60AD =︒⊥AEF ⊥⊥ACB ，推出AF AE AB AC =，由此求出AF 即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 在Rt ⊥AB D 中，sin 45AD AB =⋅︒=242（2）⊥如图2，⊥⊥AEF ⊥⊥PEF ， ⊥AE ＝EP . 又⊥AE ＝BE ， ⊥BE ＝EP ， ⊥⊥EPB ＝⊥B ＝45°， ⊥⊥AEP ＝90°.⊥如图3，由（1）可知：在Rt ⊥AD C 中，83sin 60AD AC =︒. ⊥PF ⊥AC ， ⊥⊥PF A ＝90°. ⊥⊥AEF ⊥⊥PEF ，⊥⊥AFE ＝⊥PFE ＝45°，则⊥AFE ＝⊥B. 又⊥⊥EAF ＝⊥CAB ， ⊥⊥EAF ⊥⊥CAB ，⊥AF AB＝AE AC 422283 ⊥AF ＝23在Rt ⊥AFP 中，AF ＝PF ，则AP 2＝26【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2022·浙江绍兴）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连结MN ．(1)如图，当E在边AD上且2DE=时，求AEM∠的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．【答案】(1)⊥AEM＝90°；(2)DE＝103；MN⊥BD，证明见解析；(3)DE的长为278714-【解析】【分析】（1）由DE＝2知，AE＝AB＝6，可知⊥AEB＝⊥MEB＝45°，从而得出答案；（2）根据对称性得，⊥ENC＝⊥BDC，则cos⊥ENC＝2610EN=，得EN＝103，利用SSS证明△BMN⊥△DCB，得⊥DBC＝⊥BNM，则MN⊥BD；（3）当点E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM⊥⊥CED，得DE＝MC；当点E在边CD上时，证明△BMC⊥⊥CNE，可得BM MCCN EN=，从而解决问题．(1)解：⊥DE=2，⊥AE＝AB＝6，⊥四边形ABCD是矩形，⊥⊥A＝90°，⊥⊥AEB＝⊥ABE＝45°，由对称性知⊥BEM＝45°，⊥⊥AEM=⊥AEB+⊥BEM＝90°；(2)。
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