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§2.3 等差数列的前n 项和(1)1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.一、课前准备（预习教材P 42 ~ P 44，找出疑惑之处）复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？二、新课导学 ※ 学习探究探究：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S反思：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，；⑵114.50.715a d n ===，，.小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： .※ 典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.※ 动手试试练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 为（ ）.A. 12B. 16C. 9D. 16或9三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也2k d .※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.A. 12B. 24C. 36D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？§2.3 等差数列的前n 项和(2)1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.一、课前准备（预习教材P 45 ~ P 46，找出疑惑之处）复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课导学 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 典型例题例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法. （1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 动手试试练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝； 1S n S n +偶奇＝.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（ ）. A. 2n a n = B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？。
2.2.2等差数列的前n 项和一、学习目标：1．探索并掌握等差数列的前n 项和公式，在推导公式的过程中，体会从特殊到一般、从一般到特殊的思想方法。
2．能熟练运用等差数列前n 项和公式解决等差数列的有关问题，在具体解题过程中体会等差数列方程和函数思想。
3、在解决实际问题的过程中，进一步体会等差数列模型的作用，培养从实际问题中抽象出数列模型的能力。
二、学习重点重点：探索并掌握等差数列的前n 项和公式．三、学习难点难点：从求1+2+3+…+100的过程中概括出推导等差数列前n 项和公式的思想方法．四、学习过程（一）复习回顾：1.等差数列定义：2.通项公式：n a =3.等差数列性质：若m+n=2p 则若m+n=p+q 则（二）新知探究实例引入，学习数列前n 项和的概念（1）数列{n a }前n 项和n S 的定义2．引导探究，发现公式（2）：计算1+2+3+…+100的结果。
你是如何计算的？数列1，2，3，4，…，100是否是等差数列？首项、公差、通项公式分别是什么？（3）由上述计算过程，你能否得出等差数列{n}前n项和S的计算方法？具体秀n一下吧！（4）由（2）和（3）计算过程，你能否得出等差数列{a n}前n项和S的计算方n法？展示你的智慧吧！结论1：已知等差数列{}n a的首项1a和最后一项n a，则n S=（5）思考：若已知等差数列{}n a的首项1a和公差d，你能否直接用它们表示出S？写出推导过程前n相和n结论2：已知等差数列{}n a的首项1a和公差d，则n S=公式记忆：可以类比梯形面积公式及推导方式记忆等差数列前n项和公式公式辨析:1.公式相同点：不同点2.“知三求二”3.公式结构特征：。
2.2.2 等差数列的前 N项和 课堂探究 一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题 剖析：(1)当等差数列{an}有偶数项时，设项数为 2n， 设 S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，① S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②
①－②，得 S 偶－S 奇＝nd． ①＋②，得 S 偶＋S 奇＝S2n． n (a2＋a2n) ① S偶 2 2an＋1 an
＋
1
，得 ＝ ＝ ＝ ． ② S奇 n 2an an
(a1＋a2n－1)
2
(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为 2n＋1， 设 S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③ S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④
③－④，得 S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an＋1． ③＋④，得 S 偶＋S 奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an+1． n＋1
(a1＋a2n＋1) ③ S奇 2 (n＋1)an＋1 n＋1 ，得 ＝ ＝ ＝ ． ④ S偶 n nan＋1 n (a2＋a2n)
2
综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： S偶 an
＋
1
(1)项数为 2n 时，S 偶－S 奇＝nd，S 偶＋S 奇＝S2n， ＝ ． S奇 an
S奇 (2)项数为 2n＋1时，S 奇 －S 偶 ＝a1＋nd＝an+1，S 偶 ＋S 奇 ＝S2n+1＝(2n＋1)an+1， ＝ S偶
(n＋1)an＋1 n＋1 ＝ ． nan＋1 n
熟练运用这些性质，可以提高解题速度． 知识链接：除了上述性质外，与前 n 项和有关的性质还有： ①等差数列的依次连续每 k 项之和 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为 k2d 的等差数列． Sn
②若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}
为等差数列等价于{n }是等差数列．
am S2m－1
③若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前 n 项和，则 ＝ ． bm S′2m－1
二、教材中的“？” 如果仅利用通项公式，能求出使得 Sn 最小的序号 n 的值吗？ 剖 析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号 n 的值．因为该数列的通项公式为 an＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4，0，4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其 和最小时，n 的值为 7或 8． 三、教材中的“思考与讨论” 1．如果已知数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么 如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
剖 析：确定了，由公式 an＝ S ,n 1,
1
S S n n n 1,
来求解，求解时注意要分类讨论，然后对 n＝ 2,
1的情况进行验证，能写成统一的形式就将 a1合进来，否则保留分段函数形式． 2．如果一个数列的前 n 项和的公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列 一定是等差数列吗？ d 剖 析：等差数列前 n 项和公式变形为 Sn＝ n2＋()n．当 d≠0 时，是关于 n 的二次函数，如 2
果一个数列的前 n 项和公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是
an＝
a b c,n
1,
2an a b,n 2.
只有当 c＝0时，a1＝a＋b＋c 才满足 an＝2an－a＋b．因此，当数列的前 n 项和公式为 Sn ＝an2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差 d＝2a．
题型一 等差数列的前 n 项和公式的直接应用 【例 1】 在等差数列{an}中， (1)已知 a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求 n； (2)已知 S8＝24，S12＝84，求 a1和 d； (3)已知 a6＝20，S5＝10，求 a8和 S8； (4)已知 a16＝3，求 S31． 分析：在等差数列的前 n 项和公式中有五个基本量 a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个 量，就可以求出其他两个量． a a 9d 30, 10 1 解：(1)由 得 a a 19d 50.
20 1
a1
12,
d 2. n(n－1)
∵Sn＝242，∴12n＋ ×2＝242． 2
解得 n＝11或 n＝－22(舍去)． ∴n＝11．
2 S a d 8 28 24, 8 1 (2)由 得
S 12a 66d 84
12 1
1 4,
a
d 2.
∴a1＝－4，d＝2． a a 5d 20, 6 1 (3)由 S 5a 10d 10 5 1 a1
10,
得
d 6.
8(a1＋a8) ∴a8＝a6＋2d＝32，S8＝ ＝88．
2
a1＋a31
(4)S31＝ ×31＝a16×31＝93． 2
反思：在等差数列{an}中，首项 a1与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题， 均可化成有关 a1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2) 合理利用等差数列的有关性质． 题型二 Sn 与 an 的关系问题 【例 2】 (2013·广东高考，文 19改编)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 4Sn ＝a2n＋1－4n－1，n∈N＋，且 a2＝3． (1)证明：a2＝ 4a1＋5； (2)求数列{an}的通项公式． 分析：(1)对条件中的等式赋值 n＝1即可； (2)由 an＝Sn－Sn－1(n≥2)这一关系得出数列中项之间的关系即可． (1)证明：当 n＝1时，4a1＝ a2 －5，∴ a2 ＝4a1＋5．
2 2
∵an>0，∴a2＝ 4a1＋5． (2)解：当 n≥2 时，4Sn－1＝ a －4(n－1)－1，①
2 n 4Sn＝ a －4n－1，
② 2 n 1
由②－①，得 4an＝4Sn－4Sn－1
＝
a － a －
4， 2 2 n 1 n ∴ a2 ＝
n 1
a ＋4an＋4＝(an＋2)2．
2 n
∵an>0，∴an+1＝an＋2， ∴当 n≥2 时，{an}是公差 d＝2的等差数列． ∵a2，a5，a14构成等比数列， ∴ a2 ＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得 a2＝3． 5
由(1)可知，4a1＝ a －5＝4，∴a1＝1．
2 2
∵a2－a1＝3－1＝2， ∴{an}是首项 a1＝1，公差 d＝2的等差数列． ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1．
3 反思：利用 an＝ S ,n 1,
1
S S ,n 2
n n 1
求 an 时，切记验证 n＝1时的情形是否符合 n≥2 时 an
的表达式． 题型三 等差数列前 n 项和性质的应用 【例 3】 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的中间项 及项数． 分 析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数 项的和与特殊项及项数的关系． 解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有 n 项，中间项是第(n ＋1)项，即 an+1． 1 (a1＋a2n＋1) × (n＋1) S奇 2 (n＋1)an＋1 n＋1 44 4
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，得 n＝3． S偶 1 nan＋1 n 33 3
(a2＋a2n) × n
2
∴2n＋1＝7． 又∵S 奇＝(n＋1)·an+1＝44， ∴an+1＝11． 故这个数列的中间项为 11，共有 7项． S奇 n＋1
反思：在等差数列{an}中，(1)若项数为 2n＋1(n∈N+)，则 ＝ ，其中 S 奇＝(n＋ S偶 n
1)an+1，S 偶＝n·an+1；(2)若数列项数为 2n(n∈N＋)，则 S 偶－S 奇＝nd． 题型四 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn 的最大值． 分 析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求 n，使 an≥0，an＋1＜0或利用等差数列的 性质求出大于或等于零的项． 解：解法一：由 S17＝S9，得 17 9 25×17＋ (17－1)d＝25×9＋ (9－1)d， 2 2
解得 d＝－2， n ∴Sn＝25n＋ (n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169， 2
由二次函数的性质得当 n＝13时，Sn 有最大值 169． 解法二：先求出 d＝－2(解法一)． ∵a1＝25＞0，
