2020-2021学年山西省八校联考高考数学一模试卷及答案解析

山西省 高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数21iz i=+，则z z =g （ ）． A ． 2 B ． 2i C ． 4 D ．4i2.已有角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则sin2α=（ ）． A ． 45-B ． 35-C ．35D ．453.已知函数()()2,31,32x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩则()4f -=（ ）．A ．116 B ．18 C ．14 D ．124.现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽.若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ）． A ．512 B ．12 C ．712 D ．235.定义：a b ad bc c d=-，如121423234=⨯-⨯=-，则21312xdx =⎰（ ）． A ．0 B ．32C ．3D ．6 6.在()()()()23111111x x x x ++++++++L 的展开式中，2x 的系数是（ ）． A ． 55 B ． 66 C ．165 D ．2207.若1,a b c ==，且1a b =-g ，则a c b c +g g 的最大值是（ ）． A ．1 BCD ．28.如果,x y 满足21010250x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则231x y z x +-=+的取值范围是（ ）．A ．[)8,3,5⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB ． 11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(][)1,03,-⋃+∞D ．(][),17,-∞-⋃+∞9.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(Q ，射线FQ 与C 交于点E ，与C 的准线交于点P ，且2PE EF =u u u r u u u r，则点E 到y 轴的距离是（ ）．A ．14 B ．13 C ．12D ．1 10.已知,A B是半径为AB 作互相垂直的两个平面α、β，若,αβ截该球所得的两个截面的面积之和为16π，则线段AB 的长度是（ ）． AB ．2 C． D ．411.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点()33,3A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(),x y ，其纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+0,0,2t πωϕ⎛⎫≥><⎪⎝⎭.则下列叙述错误的是（ ）．A ．6,,306R ππωϕ===-B ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当[]10,25t ∈时，函数()y f t =单调递减D ．当20t =时，63PA =12.若关于x 的不等式()1ln 2x x k kx ++>的解集为A ，且()2,A +∞⊆，则整数k 的最大值是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知集合(){}31|log 5,|22xA x Z y xB x R ⎧⎫=∈=+=∈<⎨⎬⎩⎭，则A B =I ____________． 14.过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的右焦点且垂直于x 轴的直线与C 的渐近线相交于,A B两点，若AOB ∆（O 为原点）为正三角形，则C 的离心率是 ____________．15. 现有若干（大于20）件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品.如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中m 表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填的整数分别是____________．16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为线段11A B 的中点，点,F G 分别是线段1A D 与1BC 上的动点，当三棱锥E FGC -的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 满足*153618,n n a a n n N ++=+∈，且14a =.（1）写出{}n a 的前3项，并猜想其通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想.18.某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y （单位：元）与印刷册数x （单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：()14ˆ 1.1yx =+，方程乙：()226.4ˆ 1.6yx=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务. ①完成下表（计算结果精确到0.1）；1及2，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）19.如图（1），五边形ABCDE 中，0,//,2,150ED EA AB CD CD AB EDC ==∠=.如图（2），将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -.点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值． 20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为32，且过点31,2⎛ ⎝⎭． （1）求E 的方程；（2）若直线():0l y kx m k =+>与E 相交于,P Q 两点，且OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2，求O 到直线l 距离的取值范围． 21. 已知函数()xf x e =.（1）讨论函数()()g x f ax x a =--的单调性； （2）证明：()3ln f x x x x++> 请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线1cos :sin x t l y t αα=+⎧⎨=⎩（其中t 为参数，α为倾斜角）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin θρθ=. （1）求C 的直角坐标方程，并求C 的焦点F 的直角坐标；（2）已知点()1,0P ，若直线l 与C 相交于,A B 两点，且112PA PB+=，求FAB ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()22f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集A ；（2）若,m n A ∈，试证：115322m n -≤.参考答案一、A 卷选择题1－5 AAADA 6－10 DCDBD 11－12 CB 二、填空题13. {}4,3,2--- 14. 15. 14，19 16. 2 三、解答题17.解：（1）1234,10,16a a a ===，猜想62n a n =-； （2）①当1n =时，14612a ==⨯-成立；②假设,n k k N +=∈时，猜想成立，即有62k a k =-，由153618k k a a k ++=+，，及62k a k =-，得()164612k a k k +=+=+-，即当1n k =+时猜想成立， 由①②可知，62n a n =-对一切正整数n 均成立. 18.解：（1）①经计算，可得下表：②22212120.10.10.10.03,0.10.01,Q Q Q Q =+-+===>，故模型乙的拟合效果更好；（2）若二次印刷8千册，则印刷厂获利为()5 1.7800026400-⨯=（元），若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为26.41.6 1.66410+=（元） 故印刷总成本为16640（元），设新需求量为X （千册），印刷厂利润为Y （元），则0.28.4⨯=,故5100016640420001664025360EY EX =⨯⨯-=-=， 故印刷8千册对印刷厂更有利.19.（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1//,2MN CD MN CD =， 又1//,2AB CD AB CD =，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ，又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，由（1）可得090PDC ∠=，∴1tan 2PD PCD CD ∠==，∴2CD PD =， 设1PD =，则2,1CD PA AD AB ====，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则111,0,0,,1,0,,2,0,0,0,2222D B C P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1,1,44M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()131,1,0,,1,,24DB PB BM ⎛⎛===- ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u u r ， 设(),,n x y z =v 为平面PBD 的法向量，则00n DB n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r v g u u u r v g，即0102x y x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取3x =，则(3,3,n =-v 为平面PBD 的一个法向量，∵cos ,n BM n BM n BM ===u u u u r v u u u u r v g v u u u u v ， 则直线BM 与平面PDB. 20.解：（1）由已知得2213124c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k x kmx m +++-=，其判别式()2216410k m ∆=-+>，①设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++，② 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，③把②代入③得()()2222811801414k m km k k---=++， 即21m k +=，④把④代入①及0k >知240k k +>，又210m k =-≥，∴01k <≤，点O 到直线l 的距离为d ，当1k =时，0d =；当1k ≠时，d ===令()10,1k t -=∈，则d =， 设22y t t =+-，则2222210t y t t -'=-=<，∴22y t t=+-在()0,1单调递减， ∴当()0,1t ∈时，()0,1d ∈，综上，点O 到直线l 的距离的取值范围为[)0,1.21.（1）解：()()(),1x xg x f ax x a e x a g x ae '=--=--=-， ①若0a ≤时，()()0,g x g x '<在R 上单调递减；②若0a >时，当1ln x a a<-时，()()0,g x g x '<单调递减； 当1ln x a a>-时，()()0,g x g x '>单调递增； 综上，若0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；若0a >时，()g x 在1,ln a a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减； 在1ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）证明：要证()3ln f x xx ++>()ln 30x x x e +->， 由（1）可知当1a =时，10x e x --≥，即1x e x ≥+，当10x +>时，上式两边取以e 为底的对数，可得()()ln 11x x x +≤>-， 用1x -代替x 可得()ln 10x x x ≤->，又可得()11ln 10x x x≤->， 所以()1ln 10x x x≥->， ()1ln 3113x x x e x x x ⎛⎫+->-+++- ⎪⎝⎭ ()222211x x x =++-=+-(()22110≥-=≥， 即原不等式成立.22.解：（1）原方程变形为22sin cos ρθρθ=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴C 的直角坐标方程为2y x =，其焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）把l 的方程代入2y x =得22sin cos 10t t αα--=， 则121222cos 1,sin sin t t t t ααα+==-，① 1122PA PB PA PB PA PB+=⇔+=g ， 即12122t t t t -=，平方得()22212121244t t t t t t +-=，② 把①代入②得2424cos 44sin sin sin αααα+=，∴2sin 1α=， ∵α是直线l 的倾斜角，∴2πα=，∴l 的普通方程为1x =，且2AB =，∴FAB ∆的面积为34S =. 23.（1）解：不等式226x x ++-≤可以转化为()()2226x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩或()()22226x x x -<≤⎧⎨+--≤⎩或()()2226x x x >⎧⎨++-≤⎩， 解得33x -≤≤，即不等式的解集{}|33A x x =-≤≤.（2）证明：因为111111323232m n m n m n -≤+=+， 又因为,m n A ∈，所以3,3m n ≤≤，所以111153332322m n+≤⨯+⨯=，当且仅当3m n=-=±时，等号成立，即115322m n-≤，得证.。

最新高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z=（）A．﹣+i B．+i C．D．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，1] B．（1，2）C．（﹣3，0] D．[1，2）3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=14．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90 B．115 C．210 D．3855．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68根据如表可得线性回归方程=x+．其中=﹣20，=﹣b，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为（）A．82 B．84 C．86 D．886．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（） B．f（1）＜f（﹣）＜f（） C．f（﹣）＜f（）＜f （1）D．f（）＜f（1）＜f（﹣）7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．1008．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣19．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，e）C．（，e）D．（，1）12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ= ．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为．16．已知直线y=x与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e= ．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z=（）A．﹣+i B．+i C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z，再由求得答案．【解答】解：∵z==，∴z=|z|2==．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，1] B．（1，2）C．（﹣3，0] D．[1，2）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：3x＞1=30，解得：x＞0，即B=（0，+∞），∴∁R B=（﹣∞，0]，∵A=（﹣3，2），∴A∩（∁R B）=（﹣3，0]，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得a，c，进而得到b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：椭圆+y2=1的焦点为（±1，0）和顶点（±，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得a=1，c=，b==1，可得x2﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．4．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90 B．115 C．210 D．385【分析】根据黑球的个数分为三类，根据根据分类计数原理可得．【解答】解：分三类，两个黑球，有C42C62=90种，三个黑球，有C43C61=24种，四个黑球，有C44=1种，根据分类计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．5．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68根据如表可得线性回归方程=x+．其中=﹣20，=﹣b，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为（）A．82 B．84 C．86 D．88【分析】根据题意，计算、，利用线性回归方程过样本的中心点，求出线性回归方程，再计算x=8.3时的值，从而得出预测结果．【解答】解：根据题意，计算=×（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，=×（90+84+83+80+75+68）=80，线性回归方程=x+中=﹣20，=﹣b=80﹣（﹣20）×8.5=250，所以线性回归方程=﹣20x+250，当x=8.3时，=﹣20×8.3+250=84，可预测单价定为8.3元时，销售件数为84．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了利用线性回归方程进行预测的应用问题，是基础题目．6．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（） B．f（1）＜f（﹣）＜f（） C．f（﹣）＜f（）＜f （1）D．f（）＜f（1）＜f（﹣）【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化，结合函数单调性的性质进行比较即可得到结论．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），∴由f（x+1）=f（x﹣1），得f（x+2）=f（x），则f（﹣）=f（﹣+2）=f（），f（）=f（﹣2）=f（﹣）=f（），∵f（x）在区间[0，1]内单调递增，∴f（﹣）＜f（）＜f（1），即f（）＜f（）＜f（1），故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性，周期性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．100【分析】由题意列关于等比数列的首项和公比的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q≠1，由a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，且a1+a2+a3=1，得，即：，解得．∴数列{}是常数列1，1，1，…，则a12+a22+…+a102=10．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查方程组的解法，是基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣1【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，n的值，观察规律可得a的取值以3为周期，从而有当i=2017时，不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=1，满足条件n≤2016，a=，n=3满足条件n≤2016，a=﹣1，n=4满足条件n≤2016，a=2，n=5…观察规律可知，a的取值以3为周期，由2016=672×3，从而有：满足条件n≤2016，a=，n=2016满足条件n≤2016，a=﹣1，n=2017不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．9．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得ω的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin2（ωx+）=2=1﹣cos（2ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，故y=cos（2ωx+）在区间[，]内单调递减，∴2ω+≤π，∴ω≤，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的单调性，属于基础题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）【分析】根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，由正方形的性质求棱长、判断位置关系，由三角形的面积公式求出该四面体的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，PC=PA=AC=2，PB=，∴BC⊥PC，AB⊥PA，∴该四面体的表面积：S=+=2（1+2+），故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图冰借助于正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，e）C．（，e）D．（，1）【分析】由题意得，y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由f'（x）=e x（x≥0），得切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），由此能求出结果．【解答】解：由题意得，∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，∴y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由图可得a1＜a＜a2，由题意得，，∵f'（x）=e x（x≥0），设切点横坐标为m，∴切线斜率k=f'（m）=e m=a2，切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），且过点（﹣1，0）解得m=0，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和数形结合思想的合理运用．12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出+的最小值m，从而求出b1与通项公式b n，再求出以及b1+++…+的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4=a p+a q得，p+q=6，因为+=（+）（p+q）=（1+9++）=+（+）≥+2=，当且仅当q=3p时取得最小值，此时p=，q=（不合题意，舍去）；应取p=2，q=4，此时+取得最小值是，所以m=，b1=；又由2b n+1﹣b n b n+1=1，可归纳出b n=，所以=；所以b1+++…+=+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与数列求和的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是综合性题目．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ= ．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量，夹角为120°，||=5，||=2，∴=||||cos120°=5×2×（﹣）=﹣5，∵=+λ，⊥，∴（+λ）=（+λ）（﹣）=0，即﹣+λ﹣λ=0，∴﹣5﹣25+4λ+5λ=0解得λ=，故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为 5 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=x2+y2的几何意义求出其最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，1），z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，故z=z=x2+y2=4+1=5，故答案为：5．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为12π．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC 的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的表面积：4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．16．已知直线y=x与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e= ．【分析】联立直线y=x和椭圆方程，求得A，B的坐标，以及|OA|2，将直线OP方程为，代入椭圆方程，求得P的坐标及|OP|2，再由|OP|2=3|OA|2，结合离心率公式，可得e．【解答】解：因为，所以；由题设直线OP方程为，所以，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．【分析】（I）根据正弦定理将边化角，化简得出cosC；（II）根据三角形的面积公式列方程解出CD．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，因为0＜C＜π，所以，故；（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴．∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴2=a+=（a+b）CDsin．解得．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接EF、DF，则EF∥PB，由∠CBD=∠FDB=30°，得DF∥BC，从而平面DEF∥平面PBC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连接EF、DF，…（1分）∵E为棱PA的中点，∴EF∥PB，∵∠CBD=∠FDB=30°∴DF∥BC∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC∴平面DEF∥平面PBC，…（4分）∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面PBC．…（6分）解：（2）∵PA=PB=2，∴PF⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，∴PF⊥平面ABCD，且PF=1，连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．…（7分）则点，B（，0，0），，D（0，3，0），P（0，0，1），E（﹣，0，），…（8分）设平面BCP的法向量为则，∴，即，∴y=0，x=1，即…（10分）设平面BCE的法向量为，，则，∴，∴…（11分）∴cos＜＞==，∴二面角P﹣BC﹣E的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．【分析】（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布B（4，），由此能求出在同一时刻需用人操控的平均台数．（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数，当n=1时，X服从两点分布；当n=2时，P（X）=，k=0，1，2；当n=3时，，k=0，1，2，3．由此得到一个工作人员操控2台机器符合要求．【解答】解：（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布：，k=0，1，2，3，4，∴在同一时刻需用人操控的平均台数EX==1．…．（4分）（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数．①当n=1时，X服从两点分布：X 0 1P此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为＞0.60．…（6分）②当n=2时，P（X）=，k=0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=，即X的分布列为：X 0 1 2P此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）2=0.526＜0.60．…．（8分）③当n=3时，，k=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）3=，即X的分布列为：X 0 1 2 3P此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为：3×（）2×+（）3=，故一人操控的3台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）3==0.421875＜0.60．…（10分）综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求．…．（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．【分析】（1）利用梯形的中位线定理和抛物线的性质列出方程解出p即可；（2）设l斜率为k，联立方程组解出AB的中点即M的坐标，根据切线的性质列方程解出k 即可得出l的方程和圆的圆心与半径．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=y1+y2+p，又∵以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切，∴|AB|=y1+y2+2，故p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y．（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y中，化简整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∴，∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），∵圆M与直线相切于点Q，∴|MQ|=|MN|，∴，解得，此时直线l的方程为，即x﹣2y+2=0，圆心，半径，∴圆M的方程为．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，切线的性质，属于中档题．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y=f（x）的解析式；（2）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值即可证明：＜1．【解答】解：（1）因为，所以f′（1）=1+a=﹣1，所以a=﹣2又点（1，f（1））在切线x+y﹣2=0上，所以1+b﹣2=0，所以b=1所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x﹣2）lnx+1．…．（4分）（2）令g（x）=x﹣e x，（x＞0）因为g′（x）=1﹣e x所以当x＞0时，g′（x）＜0所以g（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以g（x）＜g（0）=﹣1＜0所以等价于f（x）﹣1＞g（x）．…．（6分）我们如果能够证明f（x）﹣1＞﹣1，即f（x）＞0即可证明目标成立．下面证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．由（1）知，令则，所以h（x）在（0，+∞）内单调递增，又h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x0∈（1，2）使得h（x0）=0．当0＜x＜x0时，h（x）＜0即f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x＞x0时，h（x）＞0即f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1．由f′（x0）=0得所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1=（x0﹣2）（﹣1）+1=5﹣（x0+）．令，则r′（x）=1﹣=＜0所以r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）=5所以f（x）＞5﹣（x+）＞5﹣5=0．综上，对任意x∈（0，+∞），．…．（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【分析】（1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明：=；（2）证明△EAD∽△FED，利用比例关系求DF的长．【解答】（1）证明：∵EB=BC∴∠C=∠BEC∵∠BED=∠BAD∴∠C=∠BED=∠BAD…（2分）∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB∴∠EAB=∠EBA=2∠C，又∠C=∠BAD∴∠EAD=∠C∴∠BAD=∠EAD…（4分）∴．…（5分）（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，又∠EDA=∠EDA∴△EAD∽△FED…（8分）∴又∵DE=4，AD=8，∴DF=2．…（10分）【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，考查等角对等弧，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，把，代入即可得出直角坐标方程．根据（t为参数），消去t得普通方程．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．由参数的几何意义，可知：|PM|2+|PN|2==﹣4t1t2即可得出．【解答】解：（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∵，∴y2=2x；根据（t为参数），消去t得，x﹣y﹣3=0，故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2x，x﹣y﹣3=0．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．设t1，t2是该方程的两根，则，由参数的几何意义，可知．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，①或②或③，解①得；解②得；解③得x=2，综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|=2x+2，故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[﹣3，5]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

山西省太原市2021届高三数学一模试题文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁U B）＝（）A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5} 2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（）A．B．2 C．D．44．函数y＝cos（sin x）的图象大致是（）A．B．C．D．5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（）A．B．C．D．6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（）A．B．C．D．27．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，且{S n}是等差数列，则下列结论错误的是（）A．{a n+S n}是等差数列B．{a n•S n}是等比数列C．{a n2}是等差数列D．{}是等比数列8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]C．[1，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A．B．3πC．D．11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．φ＝B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增二、填空题（每小题5分）.13．函数f（x）＝（x﹣1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为．15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3c sin A＝4b sin C，cos C＝，点D 在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝，CD＝．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a n+a n+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意12 1 18 4 15 6一般 2 1 6 4 4 12不满意 1 1 6 2 3 2 （Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．20．已知函数f（x）＝cos x+x sin x．（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P 是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁U B）＝（）A．{2，3，4} B．{2} C．{1，5} D．{1，3，4，5} 解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，所以∁U B＝{2，4}，所以A∪（∁U B）＝{2，3，4}．故选：A．2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i解：∵复数z满足z•（1﹣i）＝2i，∴z＝＝＝＝﹣1+i，故选：B．3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（）A．B．2 C．D．4解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝＝＝2．故选：B．4．函数y＝cos（sin x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（sin x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∵﹣1≤sin x≤1，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∴y＝cos（sin x）在x＝2kπ时有最大值，且y＞0，故选：B．5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（）A．B．C．D．解：圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径为1．要使直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则圆心到直线y＝kx的距离≤1，解得：﹣≤k≤．在区间[﹣1，1]中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点”发生的概率为：＝．故选：C．6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（）A．B．C．D．2解：，为单位向量，且满足|﹣|＝，可得＝2，解得＝0，所以|2+|＝＝．故选：C．7．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，且{S n}是等差数列，则下列结论错误的是（）A．{a n+S n}是等差数列B．{a n•S n}是等比数列C．{a n2}是等差数列D．{}是等比数列解：由{S n}是等差数列，可得：2（a1+a2）＝a1+a1+a2+a3，∴a2＝a3，∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1．∴a n＝a1＞0，∴a n+S n＝（n+1）a1，∴数列{a n+S n}是等差数列，因此A正确．＝，∴{a n2}是常数列，为等差数列，因此C正确．＝a1＞0，∴{}是等比数列，因此D正确．a n S n＝n，∴{a n•S n}不是等比数列，因此B不正确．故选：B．8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪（2，4] B．[1，2）∪（2，4]C．[1，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），由图可知，B（1，0），z＝＝2+，其几何意义为可行域内的动点与定点（2，﹣1）连线的斜率加2．由图可知，，，∴z＝的取值范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．故选：D．9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c解：∵a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，∴＝，＝，＝，设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝e，当x∈（0，e），f（x）在（0，e）上递增，当x∈（e，+∞），f（x）在（e，+∞）递减，∵4＞π＞3＞e，∴f（4）＜f（π）＜f（3），即＜＜，∴a＞c＞b．故选：A．10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A．B．3πC．D．解：如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R＝，R＝，cos∠OAB＝，∵OA＝R＝，AE＝AB＝，∴＝3，则截面圆的半径r＝，∴截面面积的最小值为S＝πr2＝3π．故选：B．11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（）A．B．C．D．解：由焦点的坐标可得＝，所以p＝1，所以抛物线的方程为：y2＝2x，设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，设m＞0，联立整理可得：y2﹣2my﹣1＝0，y1+y2＝2m①，y1y2＝﹣1②，由题意＝＝2，可得y1＝﹣2y2，代入①②可得：8m2＝1，解得：m＝，将m的值代入①可得y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）+1＝，由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+p＝+1＝，故选：A．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f（）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．φ＝B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增解：由于函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，∴ω×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，①．∵f（）＝0，∴ω×+φ＝kπ，k∈Z，②．将代入①②，无解，故A错，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx﹣+φ）的图象，则g（x）的图象关于y轴对称，故g（x）为偶函数，故B错；∵由题意，﹣（﹣）＝（）T，k1＝0，1，2，…，∴ω＝1+2k1，则ω≥1，C选项错，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分．13．函数f（x）＝（x﹣1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣1 ．解：由题意可得f'（x）＝xe x，则f'（0）＝0．因为f（0）＝﹣1，所以所求切线方程为y+1＝0，即y＝﹣1．故答案为：y＝﹣1．14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为90 ．解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q的等比数列，且a3＝10，S3＝130，所以，消去a1，解得q＝，或q＝﹣（不合题意，舍去），当q＝时，a1＝90，即被抽取的初级职工的人数为90．故答案为：90．15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3c sin A＝4b sin C，cos C＝，点D 在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝ 4 ，CD＝．解：由正弦定理及3c sin A＝4b sin C得3ac＝4bc，故a＝，由余弦定理得cos C＝＝＝，整理得b＝c，因为cos C＝，所以sin C＝，因为△ABC的面积S＝＝＝2，所以b＝3，c＝3，a＝4，因为BD＝2DA，所以，即，整理得，＝＝4+＝，故CD＝．故答案为：4，．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是．解：设右焦点为F'，由题意可得直线l的方程为：y＝，设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），连接MF'，NF'，因为∠MFN＝，所以四边形FMF'N为平行四边形，则∠FMF'＝，而S△MFF'＝b2tan＝b2＝•cy0，（焦三角形面积公式S＝b2tan，θ为焦顶角），所以可得y0＝，代入直线l的方程可得：x0＝，将M的坐标代入椭圆的方程可得：+＝1，整理可得：4a4﹣14a2c2+c4＝0，即e4﹣14e2+4＝0，解得：e2＝7±3，由椭圆的离心率e∈（0，1），所以e＝＝，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a n+a n+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．解：选条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；（Ⅰ）证明：当n＝1时，4S1+2a2＝32，因为S1＝a1＝，所以a2＝，所以b1＝a1+a2＝3，当n≥1时，4S n+2a n+1＝3n+1，①4S n+1+2a n+2＝3n+2，②②﹣①可得a n+2+a n+1＝3n+1，即b n＝a n+a n+1＝3n（n∈N*），则{b n}是首项、公比均为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n＝3n（n∈N*），所以T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得T n＝[（2n﹣1）•3n+1]．选条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：由a n+2＝a n+2×3n（n∈N*），可得a n+2+a n+1＝a n+a n+1+2×3n，因为b n＝a n+a n+1，所以b n+1＝b n+2×3n，则b n+1﹣3n+1＝b n﹣3n，所以b n﹣3n＝b1﹣3＝a1+a2﹣3＝0，所以b n＝3n（n∈N*），则{b n}是首项、公比均为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n＝3n（n∈N*），所以T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得T n＝[（2n﹣1）•3n+1]．18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意12 1 18 4 15 6一般 2 1 6 4 4 12不满意 1 1 6 2 3 2 （Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：（Ⅰ）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：P1＝＝，P2＝，P3＝，∵P1＞P2＞P3，∴老年人更倾向于选择报团游．（Ⅱ）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a，中年人有2人，记为b，c，青年人有2人，记为d，e，从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），∴这2人中有老年人的概率为P＝＝．（Ⅲ）根据表中的数据，得到：报团游的满意率为P4＝＝，自助游的满意率为P5＝＝，∵P4＞P5，∴建议他选择报团游．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．解：（Ⅰ）证明：连结BG，由题意可得BG与GD共线，且BG＝2GD，∵E是BC的中点，BF＝3FC，∴F是CE的中点，∴，∴GE∥DF，GE⊂平面PGE；DF⊄平面PGE；∴DF∥平面PGE，∵H是PC的中点，∴FH∥PE，PE⊂平面PGE，FH⊄平面PGE；∴FH∥平面PGE，∵DF∩FH＝F，DF⊂平面DEF，FH⊂平面DEF，∴平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）∵AB＝AC＝2，BC＝，∴AB2+AC2＝8＝BC2，∴AB⊥AC，∵PB⊥AC，AB∩PB＝B，∴AC⊥平面PAB，∵△PAB是正三角形，∴S△PAB＝＝，∴V P﹣DEG＝V E﹣PDG＝＝＝＝＝.20．已知函数f（x）＝cos x+x sin x．（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．解：（Ⅰ）因为f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣x sin（﹣x）＝cos x+x sin x＝f（x），x∈R，所以f（x）是R上的偶函数，也是[﹣2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，2π]时，f′（x）＝x cos x，令f′（x）≥0，则0≤x≤或≤x≤2π，令f′（x）＜0，则＜x＜，所以f（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，因为f（x）是偶函数，所以f（x）在[﹣2π，﹣]和[﹣，0]上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增．综上所述，f（x）在[﹣2π，﹣]、[﹣，0]和（，）上单调递减，在（﹣，﹣）、[0，]和[，2π]上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2﹣1＝g（x），所以g（x）是R上的偶函数，（1）当x∈[0，2π]时，g′（x）＝x（cos x﹣），令g′（x）＞0，则0＜x＜或＜x＜2π，令g′（x）＜0，则＜x＜，所以g（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，因为g（）＞g（0）＝0，g（）＝×（﹣）﹣（）2﹣＜0，g（2π）＝﹣π2＜0，所以g（x）在（0，）上有一个零点，所以g（x）在[0，2π]上有两个零点；（2）当x∈（2π，+∞）时，g（x）＝cos x+x sin x﹣x2﹣1≤x﹣x2＜0，所以g（x）在（2π，+∞）上没有零点．由（1）（2）及g（x）是偶函数可得g（x）在R上有三个零点．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P 是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．解：（Ⅰ）设△PF1F2内切圆的半径为r，则，∴r＝＝，∴当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2内切圆的半径r最大，显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为＝bc，∴r的最大值为，即＝，由，解得：，∴椭圆C的标准方程为：．（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为x＝m1y﹣1，x＝m2y+1，由得：，∴，∵x0＝m1y0﹣1，∴，∴，同理，由可得，∴＝﹣﹣＝，②当y0＝0时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得：＝3+＝，综上所述，+为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得，转换为普通方程为；曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0，根据，转换为直角坐标方程为；（Ⅱ）把直线转换为（t为参数），代入，得到：，所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，∵|x+2|+|x﹣1|≥|（x+2）﹣（x﹣1）|＝3，故当且仅当（x+2）（x﹣1）≤0，即当﹣2≤x≤1时，f（x）取最小值3；（Ⅱ）由题意得存在x∈（0，1）使得x++|x﹣m|≤3，（1）当m≥1时，x++|x﹣m|≤3等价于+m≤3，解得：1≤m≤2；（2）当0＜m＜1时，令g（x）＝x++|x﹣m|，0＜x＜m时，g（x）＝+m，m≤x＜1时，g（x）＝2x+﹣m，故g（x）min＝+m，故+m≤3，故1≤m≤2，与0＜m＜1矛盾，此时m无解，综上：实数m的取值范围是[1，2]．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

最新高三第八次模拟考试数学文科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U C A B U 为 A. {}1,2,4B. {}2,4,5C. {}0,2,4D. {}0,2,3,42.已知复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z+= A. 1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +3.双曲线221102x y -=的焦距为 A. 23B.42C.22D. 434.“0m =”是“方程22420x y x y m +-++=表示圆”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是 A. 3B. 4 C.5D. 66.函数cos 42xxy =的图象大致是7.函数2()2,[5,5]f x x x x =--∈-，在定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是A.110B.23C.310 D.458.若圆()()22235x y r -++=上有且有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r的取值范围是A. ()4,6B. [4,6)C. (4,6]D. []4,6 9.数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立,则实数a 的最小值为A.12B. 23C. 32D. 2 10.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为A.()n n Z ∈B.()2n n Z ∈C.2n 或()124n n Z -∈ D.n 或()14n n Z -∈第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11.函数22()1f x x =-的定义域是.12.若,x y 满足约束条件210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值是.13.已知ABC ∆满足()(sin sin )()sin c b C B c a A -+=-，则角B =.14.设x R ∈，向量(,1),(1,2)a x b ==-r r，且||5a b +=r r ，则向量,a b r r 夹角的所有可能的余弦值之积为.15.如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE.若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列命题正确的是.（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值； ②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④存在某个位置，使MB //平面A 1DE.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数2()sin 23(12sin )1f x x x =---+. (Ⅰ)求()f x 的单调减区间； (Ⅱ)当[,]66x ππ∈-时，求()f x 的值域.17.（本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X (单位：盒，100200X ≤≤)表示这个开学季内的市场需求量，Y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(Ⅰ)根据直方图估计这个开学季内市场需求量X 的众数和平均数； (Ⅱ)将Y 表示为X 的函数；(Ⅲ)根据直方图估计利润不少于4800元的概率．18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等边三角形，D 为AC 的中点，16AA AB ==．(Ⅰ)求证：直线1AB ∥平面1BC D ； (Ⅱ)求证：平面1BC D ⊥平面1ACC A ； (Ⅲ)求三棱锥1C BC D -的体积．19.（本小题满分13分）已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，满足24(1)n n S a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 通项公式； (Ⅱ)设数列{}n b 满足1(*)1n n n b n N a a +=∈，求证：1212n b b b ++<+L .20.（本小题满分13分）设函数()2ln (0)af x ax x a x=-->. (Ⅰ)若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值；(Ⅱ)若()f x 在定义域上是单调函数，求a 的取值范围．21.（本小题满分13分），P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q. (Ⅰ)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(Ⅱ)设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于A 、B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >），若12,,k k k 恰好构成等比数列，求OAB ∆面积S 的最大值.数学（文科）参考答案一、选择题：1.B2.C3.D4.A5.B6.D7.C8.A9.A10.C二、填空题：11. 12.13.14.15.①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）解: (Ⅰ)………………………3分原函数的单调减区间即是函数+1的单调增区间………5分由正弦函数的性质知，当，即时，函数+1为单调增函数，所以函数的单调减区间为，．…………7分（Ⅱ）因为，所以，…8分所以…10分所以的值域为[-1，1]． (12)分17.（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由频率直方图得到可知，需求量为的频率最大，∴这个开学季内市场需求量的众数估计值是，可求；……4分(Ⅱ)∵每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元，∴； (8)分(Ⅲ)∵利润不少于元，∴，解得，∴由知利润不少于元的概率．……………………12分18.（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：连接交于点，连接，则点为的中点．∵为中点，得为中位线，∴∥．因为平面平面∴直线∥平面；………………4分(Ⅱ) 证明：∵底面，∴，∵底面正三角形，是的中点∴∵，∴平面，∵平面，∴平面平面； (8)分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，中，，∴，∴………………12分19.（本小题满分13分）(Ⅰ)令因为，所以，是等差数列； (6)分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，则……………………13分.20.（本小题满分13分）设函数.(Ⅰ)若是的极值点，求的极大值；(Ⅱ)若在定义域上的单调函数，求的取值范围．20.(Ⅰ)∵在时有极值，∴有，又，∴有，∴，则∴由，得列表如下：∴当时，取得极大值，极大值为.……………………7分(Ⅱ)易知在定义域为，，若在定义域上的单调函数，且∴若在定义域上是增函数, 则在时恒成立，∴需时恒成立，化为恒成立，∵，∴. ……………………13分21.（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，，则b=1，∴点Q的轨迹Γ的方程为为．……………………6分（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=．∵k1，k，k2构成等比数列，∴k2=k1k2=，化为：km（x1+x2）+m2=0，∴+m2=0，解得k2=．∵k＞0，∴k=．此时△=16（2﹣m2）＞0，解得．又由A、O、B三点不共线得m≠0，从而．故S==|x1﹣x2|=|m|=故当时，的面积的最大值为1.……………………13分。

太原市高三模拟试题（一） 数学试卷（文史类）第I 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21|log ,1,|12A y y x x B x y x ⎧⎫==>==⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ） A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2. 设复数z 满足11zi z-=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9 C. 18 D ．276. 函数()2241x x x f x =-g 的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，则动点(),P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A ． 4B ． 8 C. 16 D ．328.抛物线28y x =的焦点为F ，设,A B 是抛物线上的两个动点，233AF BF AB +=，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．3πB ．34π C. 56π D ．23π9. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（ ）A 6B 5 C. 2 D ．1 10.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()02f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω=（ ） A ．23 B ． 2 C. 143 D ．26311.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ） A 3 B 3 C. 13D 312.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．4第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.若双曲线()222:x 10y C b b-=>的离心率为2，则b =___________．14.函数sinx xy e =+在点()0,1处的切线方程是 ___________．15.在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则实数λμ+=___________．16.已知数列{}n a 满足()*1112,2,2018,2017n n n a a a n N n a a +-=-∈≥==，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则100S 的值为__________．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+．（1）求角B ； （2）若b =ABC ∆的面积最大值．18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金． （1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？（2）假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率．附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y b ay bx x x==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，060,2BAD PA PD AD ∠====，点M 在线段PC 上，且2,PM MC N =为AD 的中点． （1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为()22,0F ，点(2,2B -在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于,E F 两点，直线,AE AF 分别与y 轴交于点,M N ，在x 轴上，是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()2ln 2,2xxf x x ax a xg x e =-+-=-． （1）求函数()f x 的极值；（2）若对任意给定的(]00,x e ∈，方程()()0f x g x =在(]0,e 上总有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为212x a ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDD 6-10: AADAC 11、12：BB 二、填空题13.14.210x y -+= 15.4316. 2016 三、解答题17.解：（1）利用正弦定理得：sin cos sin cos sin cos A C CC B C+=，sin cos sin sin sin cos cos sin B C B C B C B B +=+，又sinB 0≠，所以tan 1,4B B π==；（2）由正弦定理得：22sin 2b R B===，∴1R =，max111222S ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 18.解：（1）由题意可求得回归方程为ˆˆ2026yx =+，据此预算售出8箱水时，预计收入为206元； 766561651421481251506,14655x y ++++++++====，()()()1211900210ˆˆˆ20,1462062610010niii ni i x x y y bay bx x x==--++++===-=-⨯=++++-∑∑，∴ˆˆ2026y x =+， 当9x =时，ˆ20926206y=⨯+=，即某天售出9箱水的预计收益是206元； （2）设事件1A ：甲获一等奖；事件2A ：甲获二等奖；事件1B ：乙获一等奖，事件2B ：乙获二等奖， 事件1C ：丙获一等奖；事件2C ：丙获二等奖， 则总事件有：()()()()()()()()111112121112211212221222,,C ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ，8种情况．甲、乙、丙三人奖金不超过1000的事件有()222,,A B C 1种情况，则求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率18P =． 19．解：（1）∵,PA PD N =为AD 的中点， ∴PN AD ⊥，又∵底面ABCD 是菱形，060BAD ∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴BN AD ⊥，又∵PN BN N ⋂=，∴AD ⊥平面PNB ， ∵2PA PD AD ===，∴PN NB ==又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面,ABCD AD PN AD =⊥， ∴PN NB ⊥，∴1322PNB S ∆==， ∵AD ⊥平面,AD//BC PNB ， ∴BC ⊥平面PNB ，又2PM MC =， ∴22132233323P NBM M PNB C PNB V V V ---===⨯⨯⨯=． 20.解：（1）依题意，2c =，∵点(2,B 在C 上， ∴22421a b +=， 又∵222a b c =+，∴228,4a b ==，∴椭圆方程为22184x y +=； （2）假设存在这样的点P ，设()()011,0,,P x E x y ，则()11,F x y --，()22221280184y kxk x x y =⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩g，解得11x y ==，()A -，∴AE所在直线方程为(y x =+，∴M ⎛⎫ ⎝，同理可得N ⎛⎫ ⎝，00,PM x PN x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎝⎝u u u u r u u u r ， 20040PM PN x =⇒-=u u u u r u u u r g ，∴02x =或02x =-，∴存在点P ，使得无论非零实数k 怎么变化，总有MPN ∠为直角，点P 坐标为()2,0或()2,0-． 21.解：（1）()()()()211122x ax f x ax a x x+-+'=-+-=， ①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,+∞单调递增，()f x 无极值；②当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，111ln 1f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大，综上所述，0a ≤时，()f x 无极值；0a >，111ln 1f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大． （2）()()12,x xx xg x g x e e-'=-=，令()()()0,,1,g g x x x '>∈-∞单增；()()(),10,x g x g x '∈-∞<递减．(]0,x e ∈时，()12,2g x e⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．依题意，()()max 10112a f g x a f e ⎧<<⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤-⎪⎩，由()2122f e ae e ea =-+-≤-，得232e a e e +≥+，由1111ln 12f a a a e ⎛⎫=+->-⎪⎝⎭，即11ln 1a a e -+<，令()11ln h a a a e =-+，可知()h a 单增，且()1h e =，∴11ln 1a a e -+<，得()0,a e ∈，综上所述，232e a e e e+≤<+． 22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为212x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a +-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤； 综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

高考考前质量检测（三）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数i R b a bi a z ,,(∈+=为虚数单位）满足12-=z ，则=b （ ）A ．iB ．i ±C ．1D ．1±2.用199,,1,0⋅⋅⋅给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段中被取出的零件编号为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．253.曲线x x y 23-=在点)1,1(-处的切线方程为（ ）A ．0=-y xB ．02=--y xC ．0=+y xD ．02=-+y x4.P 为双曲线1322=-y x 的渐近线位于第一象限上的一点，若点P 到该双曲线左焦点的距离为32，则点P 到其右焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．15.如图所示，将（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）6.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若4,262==S S ，在=4S （ ） A ．22 B ．3 C ．51+ D ．310 7.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+,0,0,0y y x a y x 若y x z 2-=的最小值为1-，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28.若，且，则的值为（ ）9.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ） A ．213 B ．6 C ．211D ．510.已知b a ,为同一平面内的两个向量，且a b a 21),,1(==，若2+与-2垂直，则与的夹角为（ ） A ．0 B ．4πC ．32πD ．π 11.在体积为3的三棱锥ABC S -中，SC SA ABC BC AB ==∠==,120,2ο，且平面⊥SAC 平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．π3520 B ．π328 C ．π20 D ．π8 12.函数116)(243++++=x x x x x f 的最大值与最小值的乘积为（ ）A ．2B ．97 C ．1615 D ．1617 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某公益活动为期三天,现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有_____种.（请用数字作答） 14.已知集合{}{}A x xB A ⊆==,1,0，则A ___B .（用∉∈⊇⊆,,,填空）15.已知21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，Q 为椭圆C 上的一点，且O O QF (1∆为坐标原点）为正三角形，若射线QO QF ,1与椭圆分别相交于点R P ,，则O QF 1∆与QPR ∆的面积的比值为______.16.已知数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1)(11=+++n n n n n a a a a b ，则数列{}n b 的前32项的和为______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，且AD AC 3=，BD CD AC CD 2,23==. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若ABD ∆的外接圆的半径为3，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入x （单位：万元） 12345销售收益y （单位：万元）2 3 2 7表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为x b y a xn xy x n yx b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,1221.19.（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点C 为圆O 上的一点，且AC BC 3=，点D 为线段AB 上一点，且DB AD 31=，PD 垂直圆O 所在的平面.（Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAB ；（Ⅱ）若BD PD =，求二面角A PB C --的余弦值.20.（本小题满分12分）F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 的直线l 与C 交于B A ,两点，C 的准线与x 轴的交点为E ，动点P 满足EA EB EP +=.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB 的面积最小时，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数xe xf =)(.（Ⅰ）当1->x 时，证明：2)1()(2+>x x f ；（Ⅱ）当0>x 时，1)1(ln 2)1(+-≤+-x a x x f 恒成立，求正实数a 的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，AB AC =，连接CE CD ,，分别于⊙O 交于点F ，点G .（Ⅰ）求证：ACE ADC ∆∆~； （Ⅱ）求证：AC FG ∥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C 的方程为为参数）θθθ(,sin 21,cos 21⎩⎨⎧+=+=y x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.（Ⅰ）当3=m 时，判断直线l 与C 的关系；（Ⅱ）当C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2时，求C 上到直线l 距离为22的点的坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知12,11≤-≤-y x . （Ⅰ）求y 的取值范围；（Ⅱ）若对任意实数y x ,，3122≤-+-a y x 成立，求实数a 的值.高考考前质量检测考试（三）理科数学参考答案及评分标准评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每小题5分）1. D2. D3. B4. A5. B6. C7. D8. B9. D 10. D 11. A 12. C 二、填空题（每小题5分） 13. 60 14. ∈15.16. 215三、解答题17．解：（Ⅰ）设AD=a ，则a ，CD=2a ，则222CD AD CA =+.∴90,60,120.CAD CDA ADB ∠=︒∠=︒∠=︒又2,,CD BD DB a =∴=∴ADB∆为顶角为120︒的等腰三角形，30B ∴=︒. ………………6分（Ⅱ）在ADB ∆中，由21sin 2AD aa B ===a =3, 3.AC AB ∴==且120.CAB ∠=︒1332ABC S ∆∴=⨯⨯=. …………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==，故2m =. …………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]， 其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04， 故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………8分 (Ⅲ) 空白栏中填5. 由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.812 1.2555310b-⨯⨯===-⨯$，$ 3.8 1.230.2a =-⨯=， 即回归直线的方程为$1.20.2y x =+. ……………………………………………………12分 19．(Ⅰ)证明：连接CO ，由AD=13DB 知，点D 为AO 的中点．ΘC 为圆O 上的一点，AB 为圆O 的直径，AC BC ⊥∴。