第十七章第一节：勾股定理1 人教版教案

教学设计内容及流程教师与学生活动备注实施目标二、自主预习梳理新知阅读教材，梳理知识点，并标注在教材中。

（1）勾股定理的内容（2）勾股定理的证明三、合作探究生成能力目标导学一：勾股定理例1：探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝21c2＋21(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即21b2＋21ab＝21c2＋21a(b －a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．内容及流程教师与学生活动备注实施目标目标导学二：勾股定理与图形例2：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；(2)S△ABC＝21CB·AC＝21×5×12＝30(cm2)；方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．例3：如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．四、课堂总结勾股定理，在生活中的应用是非常广泛的，大家还需要熟记一些常见的勾股数。

17.1《勾股定理》（第1课时）教学设计一、教材分析（一）地位和作用本节课是人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理第一课时。

本节之前学生已经学习了三角形一些知识，勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系，将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据，在生产和生活实际中应用广泛。

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程。

证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明。

（二）教学目标1、知识与技能：掌握一个定理——勾股定理，并会用定理解决简单问题。

2、过程与方法（1）经历一次由特殊到一般的探索过程，通过观察、思考、尝试猜想结论，发展合情推理能力。

（2）体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想，感受数学思维的严谨性。

3、情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增添一份民族自豪感。

在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。

（三）重点、难点重点：探究并证明勾股定理。

难点：勾股定理的探究和证明。

二、教法分析勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论。

在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系。

但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难。

学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积。

因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理。

本节课主要采用启发式、探究式教学，由浅入深，由特殊到一般的提出问题，引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，使学生主动获得知识并发展能力．三、学法分析八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力，已经学习了一些几何图形的面积的计算方法，但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.四、教学过程设计（一）、创设情景，引入新课国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．2022年在北京召开了第24届国际数学家大会．上图就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？这个图案有什么特别的意义？师生活动：教师引导学生观察，指出这个图案与勾股定理有关，勾股定理是我们要研究的问题．设计意图：从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题。

师活动、学生活动、设计意图、技术应用等）一、创设情境，引入新课1、国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会。

如图就是大会的会徽的图案。

你见过这个图案吗？它由哪些基本图形组成？2、相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反应了直角三角形三边的某种数量关系。

我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系呢？二、探究新知思考：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系？可以发现，以等腰直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。

即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。

看似平淡无奇的现象有时却蕴含着深刻的道理。

探究：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2证明：（教师讲解）这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”。

赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）。

赵爽利用弦图证明命题的基本思路如下，把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2十b2；另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)。

把图17.1-6(1)中左、右两个三角形移到图17.1-6(2)中所示的位置，就会形成一个以c 为边长的正方形(图17.1-6(3))。

因为图17.1-6(1)与图17.1-6(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)组成，所以它们的面积相等。