北师大版数学高一必修4例题与探究 1.8函数yAsin ωxφ的图像

一、选择题1．已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω，0)2πϕ<<的部分图象如图所示.为了得到函数()f x 的图象，可以将函数2sin y x =的图象（ ）A ．先向右平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变 B ．先向左平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C ．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变2．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 3．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ） A ．35B ．45-C ．23-D ．34．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 6．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）A ．76πB ．56π C ．2πD ．3π 7．函数()3sin 22xf x x =-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④9．:sin 31p x x +>的一个充分不必要条件是（ ） A ．02x π<<B ．203x π<<C ．32x ππ-<<D ．566x ππ<<10．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠<⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-11．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．3π D ．18π 12．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．()0,πB ．5,2⎫⎛⎪⎝⎭ππe C ．50,2⎫⎛ ⎪⎝⎭πe D ．5,2⎫⎛∞⎪⎝⎭π+e二、填空题13．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________． 14．以下关于函数()()21sin 324f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的结论： ①()y f x =的图象关于直线2x π=-对称； ②()f x 的最小正周期是4π；③()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数； ④()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）．15．已知函数()f x x ω=-（0>ω）的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值为______.16．已知tan22α=，则sin()2πα+=_______. 17．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 18．已知如下变换：①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变； ③将图像整体向右平移3π个单位长度； ④将图像整体向右平移6π个单位长度；⑤将图像整体向左平移3π个单位长度； ⑥将图像整体向左平移6π个单位长度； 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序） 19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.20．在①()f x 的图像关于直线56x πω=对称，②()cos 3sin f x x x ωω=-，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的？三、解答题21．已知函数()()1sin 226f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭． （1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；26x π+6π 136πxπ()f x（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位，横坐标缩短为原来的2，再将得到的图象上所有点向右平移4π个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴方程． 22．已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.23．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点()0,3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 24．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．25．已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求3sin sin 3cos ααα-的值．26．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω）的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到的.（1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的与y 轴距离最近的对称轴方程；（2）若()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，求ω的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先根据函数图象求出函数()f x 的解析式，由三角函数图象的变换即可求解. 【详解】 由图可知，1741234A T πππ==-=，， 所以T π=，即2ππω=，解得2ω=.当712x π=时，73π22π,122k k Z πϕ⨯+=+∈, 所以 2,3k k Z πϕπ=+∈又2πϕ<，所以3πϕ=.所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将y x =的图象先向左平移3π个单位长度，得到)3y x π=+，.再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到())3f x x π=+. 故选：D 【点睛】易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由sin y x =的图象，利用图象变换作函数()()()sin 0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 2．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.3．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．4．C解析：C 【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 22424g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈，解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）． 当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误； 当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.6．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=，所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 7．A解析：A 【分析】求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数()3sin 22xf x x =-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.()()()sin 2sin 222x xf x f x x x --==-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 选项； 又02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断． 【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．9．A解析：A 【分析】首先求解命题p 表示的集合，再根据集合关系表示充分不必要条件，判断选项. 【详解】:sin 2sin 13p x x x π⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，即1sin 32x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得：522,636k x k k Z πππππ+<+<+∈， 得22,62k x k k Z ππππ-+<<+∈，设22,62M x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+<<+∈⎨⎬⎩⎭经分析，只有选项A 的集合是集合M 的真子集， 故选：A 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．10．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-，∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意； 综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 11．D解析：D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要满足题意，则332ππθ+≥，即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，则θ的最小值为18π. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.12．C解析：C 【分析】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点， 可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点， 作出两个函数的图象如图所示，由sin y x ω=可得其周期2T πω=，当x e =时，ln 1y e ==sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫⎪⎝⎭所以若恰有一个交点，只需要5ln 12πω>，即52e πω>， 解得：52e πω<，又因为0>ω，所以502eπω<<， 故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的解析：2 【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点， 所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =-，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点， 因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.14．①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误【详解】对于①所以的图象关于直线对称①正确；对于②的最小正周期是②正解析：①②③ 【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误. 【详解】 对于①，212sin 232243f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()y f x =的图象关于直线2x π=-对称，①正确； 对于②，()f x 的最小正周期是2412T ππ==，②正确； 对于③，当23x ππ≤≤时，3154244x πππ≤-≤， 所以，函数()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数，③正确； 对于④，由①可知，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.15．【分析】根据函数图像的对称点得到的表达式根据在区间上单调得到的范围从而得到的范围再得到的值【详解】函数的图像关于点对称所以即得到在区间上单调所以即所以所以而所以故答案为：【点睛】本题考查根据余弦型函解析：23【分析】根据函数图像的对称点，得到ω的表达式，根据()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，得到T 的范围，从而得到ω的范围，再得到ω的值. 【详解】函数()f x x ω=-的图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以304πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即342k ππωπ=+，k ∈Z ，得到4233k ω=+，k ∈Z ， ()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 所以223T π≥，即43T π≥， 所以243ππω≥，所以32ω≤，而0>ω，所以0k =，23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值，根据余弦型函数的周期求参数的值，属于中档题.16．【分析】先切化弦再诱导公式化简后运用余弦二倍角公式得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系诱导公式二倍角公式同角三角函数的基本关系本身是恒等式也可以看作是方程对于一些题可利用已知解析：19-【分析】先切化弦，再诱导公式化简后，运用余弦二倍角公式得解. 【详解】2tan|cos |,|sin |2232ααα∴=∴== 22451sin()cos cos sin 222999παααα∴+==-=-=-故答案为：19-. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 应用诱导公式化简求值的关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．17．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间解析：①②③ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=， 所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以③正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以④错误.故答案为：①②③ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.18．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3y x π=-;或者sin y x =经过变换③可得到sin()3y x π=-,再经过变换②可得sin 2y x =.故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.19．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：解析：②③ 【分析】根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案. 【详解】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确； 所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20．见解析【分析】任选一个条件求出的取值结合单调性分析的情况即可得解【详解】若选①令代入解得因为所以当时当时若函数在上单调则有解得所以存在正整数时使得函数在上是单调的若选②所以当时若函数在上单调则有解得解析：见解析 【分析】任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ≤≤，所以当1k =时，6π=ϕ，()2cos()6f x x πω=+，当[0,]2x π∈时，[,]6626x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有26πωππ+≤，解得503ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选②，()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+，所以3πϕ=，当[0,]2x π∈时，[,]3323x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有23πωππ+≤，解得403ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=， 因为02πϕ≤≤，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，当[0,]2x π∈时，[0,]2x πωω∈，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有2πωπ≤，解得02ω<≤，所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）34k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】（1）分别令x 等于0、6π、512π、23π、1112π、π，求得对应的纵坐标，确定点的坐标，列表、描点、作图即可；（2）利用放缩变换与平移变换法则可得到()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再令5462x k k Z πππ-=+∈，可得答案. 【详解】（1）由题意可得表格如下：26x π+6π 2π π32π 2π136πx6π 512π 23π 1112ππ()f x141212- 014（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位得到1sin 2126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再横坐标缩短为原来的12可得到1sin 4126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移4π个单位可得115sin 41sin 412626y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 即()15sin 4126g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令5462x k πππ-=+，解得34k x k Z ππ=+∈，， 所以()g x 的对称轴方程是34k x ππ=+，k Z ∈． 【点睛】方法点睛：“五点法”作一个周期上的图象，主要把握三处主要位置点：1、区间端点；2、最值点；3、零点.22．（1）2π；（2）2，5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期；（2）利用图像变换得到()y g x =的解析式，利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时 x 的取值 【详解】（1）∵函数1cos 1()22x f x x +=++ sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数的周期为2π（2）依题意：函数()f x sin 16x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的各点向左平移32π个单位，得到y 3sin +1= -cos 1626x x πππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y = -cos 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭； 所以()cos 216g x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令226t x k πππ=+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈ 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =使函数()g x 取得最大值的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．【注意】取得最大值的集合为7,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭也可以． 【点睛】 ：(1)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；(2)求y =Asin (ωx +φ)+B 的值域通常用换元法； 23．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件； 当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296， 所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦． 【分析】(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3x π=代入计算得=3πϕ即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可；(3)先由()32fx ≥可得sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范围，结合正弦函数性质得到不等式中23x π+的范围，再计算x 范围即可.【详解】解：（1）由题中图象可知：A =，741234T πππ=-=， 2T ππω∴==，即2ω=，又由图象知，3x π=时，223k πϕππ⋅+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又02ϕπ≤<，∴=3πϕ，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，故()2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）由题意知：()3232f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图象性质可知，22333x πππ≤+≤或2233x πππ+=+ 即06x π≤≤或x =π，又,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦．【点睛】 方法点睛：求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解.25．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3sin 3cos 25ααα=--.【分析】（1）利用诱导公式可得出12cos sin 25αα=，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值；（2）将所求代数式变形为()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+，在分式的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】 （1）712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0αααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因此，sin 3tan cos 4ααα==； （2）()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+()()332223sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos ααααααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式. 26．（1）12x π=-；（2）512ω≤<. 【分析】（1）由函数的()f x 的最小正周期求得ω，再根据图象的平移得出函数()f x 的解析式，由正弦函数的性质可得答案；（2）由图象平移得出：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，建立不等式组，解之可得范围. 【详解】解：（1）因为()f x 的最小正周期为π，2ππω∴=，2ω∴=，()f x的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到，()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，得()f x 的对称轴方程为212k x π5π=+，k Z ∈， 要使直线212k x π5π=+（k Z ∈）与y 轴距离最近，则须5212k ππ+最小，1k ∴=-，此时对称轴方程为12x π=-，即所求对称轴方程为12x π=-.（2）由已知得：()33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()0f x =得：33x k ππωωπ+-=，k Z ∈，即33k x πππωω+-=，k Z ∈，。

第一章 三角函数1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像测试题知识点一: 利用图象变换法作y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的图象1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )A.A ＝4B.ω＝1C.φ＝π6 D.B ＝42.(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间的简图列表：作图：图1－3－5(2)并说明该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到的.知识点二: 正弦型函数的性质3.要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度4． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度5． 为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度6． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是 ( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数7． 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos 2x －18.(2014·洛阳高一检测)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A.3或0B.－3或0C.0D.－3或39.(2014·北大附中高一月考)函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象的一条对称轴是( )A.x ＝－π4B.x ＝π4 C.x ＝π2 D.x ＝3π410.把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )A.y ＝cos 2xB.y ＝－sin 2xC.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π411.(2014·大同高一检测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )图1－3－4A.向右平移π4个单位长度 B.向右平移π12个单位长度 C.向左平移π4个单位长度 D.向左平移π12个单位长度12.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，则φ的值是________.13.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是________.14.关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )是奇函数；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.15.(2014·许昌高一检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，ω＞0，φ∈(0，π)，x ∈R ，同时满足：f (x )是偶函数，且关于⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求函数f (x ). 11.(2014·合肥高一检测)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间.(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【参考答案】的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到。

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质1 性质(1) 简谐运动可用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，A是振幅，周期T=2πω，频率f=1T=ω2π，相位ωx+φ ，初相φ.(2) A,ω,φ对f(x)=Asin(ωx+φ)的影响A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.2 函数的变换(1) 平移变换①y=f(x)⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；② y=f(x)⟶y=f(x)± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)，而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].(2) 伸缩变换①y=f(x)⟶ y=A f(x)(A>0)将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).②y=f(x)⟶ y=f(ω x)(ω>0)将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；问题怎么理解呢？例：若将f(x)=3sin(x+π3)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那得到的函数是f(x)=3sin(2x+π3)还是f(x)=3sin(12x+π3)呢？解析我们把f(x)=3sin(x+π3)的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=2πω,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是f(x)=3sin(2x+π3).【题型一】函数图象的变换【典题1】将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是() A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3，2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到ℎ(x)＝Asin[2ω(x−π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较(利用诱导公式转化同函数名)又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．故选：B．巩固练习1(★)将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为()A．y=sin(2x+π4)B．y=sin(12x+3π4)C．y=sin(12x+π4)D．y=sin(2x+3π4)【答案】D【解析】函数y =cosx =sin(x +π2)，其图象先左移π4个单位，得y =sin(x +3π4)的图象；再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y =sin(2x +3π4)的图象； 所以函数y 的解析式为y =sin(2x +3π4)．故选：D ． 2(★) 将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|<π2 )的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(π3)=32，则φ=( ) A ．−π4B ．−π3C ．π6D ．π3【答案】 C【解析】将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，可得g(x)=3sin[12(x +π3)−φ]=3sin(12x +π6−φ) 的图象， 因为g(π3)=32，所以3sin(π3−φ)=32，即sin(π3−φ)=12， 所以π3−φ=2kπ+π6(k ∈Z)或π3−φ=2kπ+5π6(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以，φ=π6，故选：C ． 3(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位【答案】 D【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x =sin(2x +π2)的图象向左平移π8个单位,sin(2(x +π8)+π2)=sin(2x +3π4)．故选：D ． 4(★★) 已知函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y =sin(ωx +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( ) A ．3π4 B ．π4C ．0D ．−π4【答案】B【解析】函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2，现将y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x +π4+φ)为偶函数， 则φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k ∈Z)， 当k =0时，φ=π4．故选：B ．5(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象( ) A ．关于点(5π12,0)对称 B ．关于直线x =π6对称C ．在[−π12，5π12]单调递增 D ．在[π12,7π12]单调递减【答案】 C【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T =2πω=π，得ω=2， 此时f(x)=sin(2x +φ)， 图象向右平移π12个单位后得到y =sin[2(x −π12)+φ]=sin(2x +φ−π6)，若函数为偶函数，则φ−π6=kπ+π2，k ∈Z ，得φ=kπ+5π6， ∵|φ|＜π2，∴当k =－1时，φ=−π6， 则f(x)=sin(2x −π3)，则f(5π12)=sin(2×5π12−π3)=sin π2≠0，故f(x)关于点(5π12,0)不对称，故A 错误， f(π6)=sin(2×π6−π3)=sin0≠1，故关于直线x =π6不对称，故B 错误， 当−π12≤x ≤5π12时，−π6≤2x ≤5π6，−π2≤2x −π3≤π2， 此时函数f(x)为增函数，故C 正确，当−π12≤x ≤7π12时，−π6≤2x ≤7π6，−π2≤2x −π3≤5π6， 此时函数f(x)不单调，故D 错误，故选：C ．6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx +π6)(A >0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x +φ)的图象，则下列说法正确的是( )A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【答案】 B【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．故sin(2x−π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式【典题1】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=−π3；③f(x+π12)是奇函数；④f(x−π12)是偶函数中，其中所有正确结论的编号是.【解析】由函数图象的最值可得A=1，由34T=π6−(−7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，此时f(x)=sin (2x+φ)代入(−7π12,1)得f(−7π12)=sin(−7π6+φ)=1，∴−7π6+φ=π2+2kπ⇒φ=5π3+2kπ，又∵0<|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，∴①、②正确；∵f(x+π12)=sin[2(x+π12)−π3]=sin(2x−π6)不是奇函数，∴③错误；∵f(x−π12)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cos2x，∴f(x−π12)为偶函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．【点拨】由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分图象求解析式的方法(1) 求A,B：通过函数最值求解，由{f max=A+Bf min=−A+B得A=f max−f min2， B=f max+f min2；(2) 求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；(3) 求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.【典题2】已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=−f(π3)，且f(x)在(π6,4π9)上单调，则函数y=f(x)的解析式是.【解析】对于函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)，由f(0)=f(2π9)，可得函数的图象关于直线x=12(0+2π9)=π9对称；又f(2π9)=−f(π3)，可得函数的图象关于点(2π9+π32，0)对称，即(5π18,0)；∴T4+kT=5π18−π9=π6，k∈Z, 解得T=2π3(4k+1)，∴ω=2πT=3(4k+1)；∵f(x)在(π6,4π9)上单调∴T 2≥4π9−π6，解得T >5π9，(由单调区间得到周期范围)∴0<ω≤185，又ω=2πT=3(4k +1)， ∴ω=3，∵(5π18，0)是对称中心，∴f (5π18)=0， 即sin (3×5π18+φ)=0，又∵0<φ<π ∴φ=π6，∴f(x)=sin (3x +π6). 【点拨】① 对于函数y =Asin( ωx +φ)， 若f (a )=f(b)，则x =a+b 2是其对称轴；若f (a )=−f(b)，则(a+b 2,0)是其对称中心；② 处理三角函数f(x)=Asin( ωx +φ)，多注意其对称性，结合图象进行分析.巩固练习1(★) 函数f(x)=Asin( ωx +φ) (其中A >0,ω>0，|φ|<π2 )的图象如图，则此函数表达式为 .【答案】 f(x)=3sin(12x +π4)【解析】如图所示，A =3，T4=π，可得T =4π，2πω=4π，解得ω=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)， 因为函数过(3π2,0)，代入f(x)， 得3sin(12x +φ)=0，即12×3π2+φ=kπ，φ=kπ−3π4(k ∈z)，当k =1时，φ=π4．所以f(x)=3sin(12x +π4)，故选：B ．2(★★) 如图，函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P(1,0)，∠PQR =π4，M 为QR 的中点，PM =√342，则A 的值为 .【答案】 5√2【解析】由∠PQR =π4，所以OQ =OR ，设Q(m,0)，则R(0,－m)， 又M 为QR 的中点，所以M(m 2,−m2)； 又|PM|=√342，即√(1−m 2)2+(0+m2)2=√342； 整理得m 2－2m －15=0，解得m =5或m =－3(不合题意，舍去)； 所以R(0,－5)，Q(5,0)； 所以12T =4，解得T =8，所以2πω=8，解得ω=π4；把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x +φ)，即Asin(π4+φ)=0， 由|φ|≤π2，得φ=−π4；把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π4x −π4)， 得Asin(−π4)=－5，解得A =5√2．3 (★★) 已知函数f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点A(0,√3)，B(π3,0)，则下列说法中错误的是( )A ．直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴B ．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位而得到 C ．f(x)的最小正周期为πD ．f(x)在区间(−π3，π12)上单调递增 【答案】 B【解析】由函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0＜φ＜π)部分图象，点A(0,√3)，B(π3,0)， ∴2sinφ=√3，∴sinφ=√32，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx +π3)．再根据五点法作图可得ω•π3+π3=π，求得ω=2，故 f(x)=2sin(2x +π3)． 令x =π12，求得f(x)=2，为最大值，故直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴，故A 正确； 把g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位，可得y =2sin(2x +2π3)的图象，故B 不正确； f(x)=2sin(2x +π3)的最小正周期为 2π2=π，故C 正确；在区间(−π3,π12)上，2x +π3∈(−π3,π2)，故f(x)=2sin(2x +π3)单调递增，故选：B ． 4 (★★★) 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y =g(x)在x ∈[0,7π6]上的最大值和最小值．【答案】 (1)f (x )=2sin (2x +π3)−1(2) 单调递增区间[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ，对称中心坐标 (kπ2−π6,−1),k ∈Z (3)最小值−2 ,最大值√3.【解析】(1)由图象可知{A +B =1−A +B =−3，可得：A =2，B =－1，又由于T2=7π12−π12，可得：T =π，所以ω=2πT =2， 由图象及五点法作图可知：2×π12+φ=π2，所以φ=π3， 所以f(x)=2sin(2x +π3)－1． (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x +π3)－1，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z，令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=kπ2−π6，k∈Z，所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2−π6,－1),k∈Z．(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π3)，因为0≤x≤7π6，所以2π3≤x+2π3≤11π6，所以当x+2π3=3π2，得x=5π6时，g(x)取得最小值g(5π6)=－2，当x+2π3=2π3，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=√3．5 (★★★) 如图是函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为π4，点F(0,1)是线段DM的中点．(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间；(2)若x∈[−π12,5π12]时，函数ℎ(x)=f2(x)−af(x)+1的最小值为12,求实数a的值．【答案】(1) f(x)=2sin(x+π4),[5π4,2π]，(2) 32【解析】(1)取MN的中点为H，则DH⊥MN，因为F为DM的中点，且F在y轴上，则OF//DH且OF=12DH，则OM=OH，所以D(π4,2)，M(−π4,0)，则A=2，T=2πω=4[π4−(−π4)]=2π，所以ω=1所以f(x)=2sin(x+φ)，由f(π4)=2，解得φ=2kπ+π4,k ∈z ， 由0<φ<π2，所以φ=π4， 即f(x)=2sin(x +π4)， 令−π2+2kπ≤x +π4≤π2+2kπ,解得−3π4+2kπ≤x ≤π4+2kπ， 又x ∈[π,2π]，所以函数f(x)在[π,2π]上的单调增区间为:[5π4,2π]； (2)因为−π12≤x ≤5π12，所以π6≤x +π4≤2π3，所以12≤sin(x +π4)≤1，所以1≤f(x)≤2，令t =f(x)，则t ∈[1,2]，则g(t)=t 2－at +1=(t −a 2)2+1−a 24，①当a2≤1，即a ≤2时，g (t )min =g(1)=12，解得:a =32，②当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )min =g(a 2)=1−a 24=12，解得:a =±√2(舍)， ③当a 2≥2即a ≥4时，g (t )min =g(2)=12，解得a =94(舍)， 综合①②③得实数a 的值为32．【题型三】三角函数模型的简单应用一【典题1】已知函数f(x)=sin 2x −2√3sinxcosx +sin(x +π4)sin(x −π4)． (1)求f(x)的最小值并写出此时x 的取值集合； (2)若x ∈[0 ,π]，求出f(x)的单调减区间.【解析】(1)由于f (x )=sin 2x −2√3sinxcosx +sin (x +π4)sin (x −π4)=1−cos2x2−√3sin2x +√22(sinx +cosx)√22(sinx −cosx)（二倍角公式、两角和差公式） =1−cos2x 2−√3sin2x −cos2x 2 =12−(√3sin2x +cos2x) (辅助角公式)=12−2sin(2x+π6)令2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的最小值为−32，此时x的取值集合为{x|x=π6+kπ ,k∈Z}；(2)由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，可得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，所以f(x)的单调减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，因为x∈[0 ,π]，当k=0时，减区间为[0 ,π6 ]；当k=1时，减区间为[2π3,π]．综上，x∈[0 ,π]时的单调减区间为[0 ,π6]和[2π3 ,π]．【点拨】①解析式的化简中用积化和差公式sin(x+π4)sin(x−π4)=12[cosπ2−cos2x]=−12cos2x更简洁些；②本题通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为f(x)= Asin(ωx+φ)+B或f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式求解函数的各性质(单调性、对称性、周期、最值等).【典题2】已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(cosx+sinx)(cosx−sinx)−1．(1)求f(x)的对称中心；(2)设常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间[−π2 ,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)−af(π2−x)−a]−1在区间[−π4 ,π2]上的最大值为2，求a的值．【解析】(1) (函数解析式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B形式)f(x)=2[1−cos(π2+x)]⋅sinx+cos2x−sin2x−1=sinx(2+2sinx)+1−2sin2x−1=2sinx．所以对称中心(kπ ,0),k∈Z，(2)∵f(ωx)=2sinωx，由−π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，解得−π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，∴f(ωx)的增区间为[−π2ω+2kπω ,π2ω+2kπω] ,k ∈Z ， ∵f(ωx)在[−π2 ,2π3]上是增函数， ([−π2 ,2π3]是函数f(ωx)增区间的子集，而0∈[−π2 ,2π3]，故k =0) ∴当k =0时，有[−π2 ,2π3]⊆[−π2ω ,π2ω]， ∴{ω>0−π2ω≤−π2π2ω≥2π3，解得0<ω≤34， ∴ω的取值范围是(0 ,34]．(3)g(x)=2sinxcosx +a(sinx −cosx)−12a −1，(注意(sinx −cosx )2=1−sin2x ，(sinx +cosx )2=1+sin2x ) 令sinx −cosx =t ，则t =sinx −cosx =√2sin(x −π4)，∵x ∈[−π4 ,π2] ，∴x −π4∈[−π2 ,π4]，∴−√2≤t ≤1 而sin2x =1−t 2，则y =1−t 2+at −12a −1=−(t −a 2)2+a 24−12a ， (问题转化为动轴定区间最值问题，分对称轴t =a2在区间[−√2,1]左中右) ①当a2<−√2时，即a <−2√2时，y max=−(−√2−a 2)2+a 24−a 2=−√2a −a2−2，令−√2a −a 2−2=2，解得a =82√2+1(舍)． ②当−√2≤a 2≤1时，即−2√2≤a ≤2时，y max =a 24−a2，令a 24−a 2=2，解得a =−2或a =4(舍)，③当a2>1时，即a >2时，在t =1处，y max =a2−1，由a2−1=2，解得a =6，综上所述a =－2或6．【典题3】已知函数f(x)=sin 4x +cos 4x +asinxcosx(a ∈R)． (1)当a =0时，求函数y =f(x)的单调减区间；(2)设方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，求实数a 的取值范围及x 1+x 2的值； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1) f (x )=sin 4x +cos 4x +asinxcosx =(sin 2x +cos 2x )2－2sin 2x cos 2x +asinxcosx =1−12sin 22x +12asin2x ．当a =0时，f(x)=1−12sin 22x =1−1−cos4x 4=14cos4x +34， (函数化为f (x )=Acos (ωx +φ)+B ) 由2kπ≤4x ≤π+2kπ，得kπ2≤x ≤π4+kπ2，k ∈Z ．∴当a =0时，函数y =f(x)的单调减区间为[kπ2 ,kπ2+π4]，k ∈Z ； (2) (将问题逐步等价转化，化成“最简问题”)方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，即1−12sin 22x +12asin2x −asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 也就是sin 22x +asin2x =0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 当x ∈(0 ,π2)时，sin2x ≠0，即a =−sin2x 在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， (数形结合，y =a 与y =−sin2x 在(0 ,π2)内相交于两点) 易得y =−sin2x 在(0 ,π2)内的值域是(−1,0)， 即－1<a <0，此时x 1+x 2=π2； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立， 则1−12sin 22x +12asin2x ≥0恒成立，即sin 22x −asin2x −2≤0恒成立，(换元法化为二次函数恒成立问题) 令t =sin2x(−1≤t ≤1)，则t 2−at −2≤0恒成立．可得{(−1)2+a −2≤012−a −2≤0，即−1≤a ≤1．∴实数a 的取值范围是[−1 ,1]．巩固练习1(★★) 已知函数f (x )=√3sinxcosx −sin 2x ． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调增区间；(3)求函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值．【答案】(1) π (2) [−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z ) (3) 12【解析】f(x)=√3sinxcosx －sin 2x =√32sin2x −1−cos2x2=√32sin2x +12cos2x −12 =sin(2x +π6)−12， (1)最小正周期T =2π2=π； (2)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，则−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 故单调增区间为：[−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z)，(3)当x ∈[0 ,π2]时，2x +π6∈[π6 ,7π6]，则f(x)=sin(2x +π6)−12∈[－1 ,12]， 所以函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值为12．2(★★) 已知函数f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π． (1)求f(x)图象的对称轴方程；(2)将f(x)图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)，求函数g(x)在[0 ,π2]上的值域． 【答案】 (1)x =kπ2+π4(k ∈Z)．(2)[−√32−12 ,12]． 【解析】(1)f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)=sin(2ωx)2−1−sin2ωx 2=sinωx −12， 由于函数的最小正周期为π，故ω=2，所以f(x)=sin2x −12；令2x =kπ+π2，整理得x =kπ2+π4(k ∈Z)， 故函数的对称轴方程为x =kπ2+π4(k ∈Z)． (2)由于g(x)=sin(2x −π3)−12， 由于x ∈[0,π2]，所以2x −π3∈[−π3,2π3]， 故g(x)∈[−√32−12,12]．3(★★★) 已知函数f(x)=12cos2x +sinxcosx ，其中x ∈R ． (1)求使f(x)≥12的x 的取值范围； (2)若函数g(x)=√22sin(2x +3π4)，且对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f (x 1)－f (x 2)<g (x 1)−g(x 2)成立，求实数t 的最大值．【答案】 (1) [kπ ,kπ+π4]，k ∈Z (2)π4【解析】(1)f(x)=12cos2x +sinxcosx =12cos2x +12sin2x =√22sin(2x +π4)，f(x)≥12，即sin(2x +π4)≥√22， 所以2kπ+π4≤2x +π4≤2kπ+3π4，k ∈Z ，解得kπ≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ， 即使f(x)≥12的x 的取值范围是[kπ ,kπ+π4]，k ∈Z ． (2)令F(x)=f(x)－g(x)=√22sin (2x +π4)−√22sin (2x +3π4) =√22sin(2x +π4)−√22cos(2x +π4)=sin2x ，因为对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f(x 1)－f(x 2)<g(x 1 )－g(x 2)成立， 所以当x ∈[0 ,t]时，F(x)=sin2x 为增函数，所以2t ≤π2，解得t ≤π4， 所以实数t 的最大值为π4．4(★★★★) 已知函数f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1(ω>0，−π2<φ<π2 )，函数f(x)的图象经过点(−π12,1)且f(x)的最小正周期为π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y =f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2√33倍，得到函数y =ℎ(x)图象，令函数g(x)=ℎ(x)+1，区间[a ,b](a ,b ∈R 且a <b )满足：y =g(x)在[a ,b]上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a ,b]中，求b −a 的最小值． (3)若m[1+√3(f(x 8−π12)－1)]+12+32cosx ≤0对任意x ∈[0 ,2π]恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】 (1) f(x)=√3sin(4x +π3)+1 (2) 43π3(3) (−∞ ,−2]【解析】(1)∵f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1， 又函数f(x)的最小正周期为π2，∴2π2ω=π2，∴ω=2． ∴f(x)=√3sin(4x +φ)+1．又函数f(x)经过点(−π12 ,1)，所以f(−π12)=√3sin(−π3+φ)+1=1， 于是 (4×(−π12)+φ)=kπ ,k ∈Z 因为−π2<ϕ<π2，所以ϕ=π3． 故f(x)=√3sin(4x +π3)+1．(2)由题意，ℎ(x)=2sin(2x +π3)g(x)=2sin(2x +π3)+1． 令g(x)=0得：sin(2x +π3)=−12， ∴2x +π3=2kπ+7π6或2x +π3=2kπ+11π6，k ∈Z 解得：x =kπ+5π12或x =kπ+3π4 ,k ∈Z ∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3．若b －a 最小，则a ,b 均为g(x)的零点，此时在区间[a ,π+a] ,[a ,2π+a] ,… ,[a ,mπ+a](m ∈N ∗)分别恰有3，5，…，2m +1个零点． ∴在区间[a ,14π+a]恰有2×14+1=29个零点． ∴(14π+a ,b]至少有一个零点．∴b −(14π+a)≥π3，即b −a ≥14π+π3=43π3．检验可知，在[5π12 ,5π12+43π4]恰有30个零点，满足题意(可有可无) ∴b －a 的最小值为43π3．(3)由题意得m(3sin x2+1)≤3sin2x2−2．∵x∈[0 ,2π]，∴x2∈[0 ,π]，∴sin x2∈[0 ,1] ,m≤3sin2x2−2 3sin x2+1．设t=3sin x2+1，t∈[1 ,4]．则sin x2=t−13．设y=3sin2x2−2 3sin x2+1．则y=3⋅19(t−1)2−2t=t2−2t−53t=13(t−5t−2)在t∈[1 ,4]上是增函数．∴当t=1时，y min=－2，∴m≤－2．故实数m的取值范围是(－∞ ,－2]．【题型四】三角函数模型的简单应用二【典题1】如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是()A．f(3)=9B．f(1)=f(7)C．若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D．不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值【解析】方法一几何法图中PB⊥水面，OA⊥PB，(由图f(t)=PA=PA+3，则需了解PA与t的关系，从几何角度求解)∵每分钟转动5圈∴OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6，(角速度)则t秒转过的角度π6t，即∠P0OP=π6t如上图依题意可知∠P0OA=π6，即α=π6t−π6在Rt∆POA中，PA=OPsinα=6sin (π6t−π6)∴f(t)=PB=PA+AB=6sin(π6t−π6)+3对于A，f(3)=6sin(π6×3−π6)+3=3√3+3，即A错误；对于B，f(1)=6sin(π6×1−π6)+3=3，f(7)=6sin(π6×7−π6)+3=3，即B正确；(或确定x=1+72=4是函数对称轴也行)对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t−π6)+3≥6，即sin(π6t−π6)≥12，所以π6t−π6∈[π6+2kπ,5π6+2kπ]，解得t∈[2+12k,6+12k],k∈N，即C错误；对于D，f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin(π6t−π6)+3+6sin[π6(t+4)−π6]+3+6sin[π6(t+8)−π6]+3=6sin(π6t−π6)+6sin(π6t+π2)+6sin(π6t+7π6)+9=6[sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)]+9因为sin(π6t−π6)+cosπ6t－sin(π6t+π6)=0，所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．故选：BD．方法二待定系数法可知f(x)符合三角函数模型，设f(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)，依题意可知f(t)的最大值为9，最小为−3，∴A+B=9，且−A+B=−3，可得A=6，B=3；∵每分钟转动5圈，∴1圈要12秒，即T=12s，则ω=2πT =π6，得f(t)=6sin(π6t+φ)+3，(也可由OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6得ω=π6)依题意可知f(0)=0，得sinφ=−12，取φ=−π6，(得到φ的一个值便可)故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π6t −π6)+3， 接下来如同方法一. 【点拨】① 方法一利用几何性质求出f(t)(即图中的PB )与t 之间的关系；② 方法二是根据题意确定符合三角函数模型，则用待定系数法设函数f(t)=Asin(ωx +φ)+B ，根据题意由最大值和最小值求出A,B 的值，根据周期性由T =2πω求出ω，注意一个特殊情况代入一个点求出φ.【典题2】 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点(异于B,C )，点H 在线段AB 上，且满足CH ⊥AB ．已知∠ACB =90°，AB =1dm ，设∠ABC =θ．(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC =∠PCB ，且CA +CP 达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA =60°，且CH +CP 达到最大．当θ为何值时，CH +CP 取得最大值，并求该最大值．【解析】依题意∠ABC =∠PCB =θ， 则在直角△ABC 中，AC =sinθ,BC =cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ∙cosθ=cos 2θ，PB =BC ∙sinθ=sinθcosθ； (用变量θ表示CA +CP ，利用函数最值方法求解) (1)AC +CP =sinθ+cos 2θ=sinθ+1−sin 2θ =−sin 2θ+sinθ+1，θ∈(0,π2)，所以当sinθ=12，即θ=π6，AC +CP 的最大值为54；(2)在直角△ABC 中，由S △ABC =12CA ⋅CB =12AB ⋅CH ，(等积法)可得CH =sinθ⋅cosθ1=sinθ⋅cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ⋅sin (π3−θ)=cosθ⋅(sin π3cosθ−cos π3sinθ)=√32cos 2θ−12cosθsinθ，所以CH +CP =√32cos 2θ+12cosθsinθ =14sin2θ+√34cos2θ+√34=12sin(2θ+π3)+√34，θ∈(0,π2)，(函数化为f (x )=Asin(ωx +φ)+B 求最值) 所以当θ=π12，CH +CP 达到最大，最大值为12+√34． 【点拨】① 利用直角三角形等几何性质用θ表示各线段长度；② 题目中体现了函数思想，在求解实际问题中，特别要注意自变量θ的取值范围.巩固练习1(★★) 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3√3,−3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y =f(t)=Rsin(ωt +φ)(t ≥0,ω＞0,|φ|<π2)．则下列叙述错误的是( ) A ．R =6,ω=π30,φ=−π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y =f(t)单调递减D ．当t =20时，|PA|=6√3【答案】C【解析】由题意，R =√27+9=6，T =60=2πω，∴ω=π30，点A(3√3,－3)代入可得－3=6sinφ，∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故A 正确；f(t)=6sin(π30t −π6)，当t ∈[35,55]时，π30t −π6∈[π,53π]，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确； 当t ∈[10,25]时，π30t −π6∈[16π,2π3]，函数y =f(t)单调递减，不正确；当t =20时，π30t −π6=π2，P 的纵坐标为6，|PA|=√27+81=6√3，D 正确，故选：C ．2(★★) 某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y (米)随时间t (秒)变化的关系式为 .【答案】 y =30sin(π150t −π2)+35 【解析】设y =Asin(ωt +φ)+B ，由题意可得A =30，ω=2π300=π150，B =30×2+5－30=35，(0,5)为最低点， 代入可得5=30sinφ+35，sinφ=－1， φ=−π2+2kπ，k =0时，φ=−π2， ∴y =30sin(π150t −π2)+35，故选：B ．3(★★) 如图，已知扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，P 为AB ̂上一动点，问：点P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值．【答案】当P 为AB̂中点时，矩形PQRS 的面积取到最大值√36【解析】如图，在Rt △OPS 中，设∠POS =α，则OS =cosα，PS =sinα，在Rt△ORQ中，QROR =tan60°=√3，所以OR=√33QR=√33sinα．∴RS=OS－OR=cosα−√33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=(cosα−√33sinα)sinα=sinαcosα−√33sin2α=12sin2α+√36cos2α−√36=√33(√32sin2α+12cos2α)−√36=√33sin(2α+π6)−√36．由于0<α<π3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S max=√33−√36=√36．因此，当α=π6时，矩形PQRS的面积最大，最大面积为√36．4(★★★) 如图，某正方形公园ABCD，在ABD区域内准备修建三角形花园BMN，满足MN与AB平行(点N在BD上)，且AB=AD=BM=2(单位：百米)．设∠ABM=θ，△BMN的面积为S(单位：百米平方)．(1)求S关于θ的函数解析式(2)求S(θ)的最大值，并求出取到最大值时θ的值．【答案】(1) S(θ)=2sinθ(cosθ−sinθ)，θ∈(0,π4)(2) S(θ)的最大值为√2−1百米平方，此时θ=π8．5(★★★) 某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形OAB的圆心角为π4，半径为80米，点P在AB̂上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1：√3．设∠AOP=θ，0<θ<π4．(1)用θ分别表示△OPC和△OPD的面积；(2)当θ为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？【答案】(1) △OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2) 当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大.【解析】(1)直角三角形OPC中，PC=OPsinθ=80sinθ，OC=OPcosθ=80cosθ，所以△OPC的面积为12×PC×OC=3200sinθcosθ=1600sin2θ，同理△OPD的面积为1600sin2(π4−θ)=1600cos2θ．(2)设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为y，甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t，√3t(t＞0)，则y=1600sin2θ•t+1600cos2θ•√3t=3200tsin(2θ+π3)，∵0<θ<π4∴π3<2θ+π3<5π6．∴当2θ+π3=π2，即θ=π12时，y取得最大值．答：(1)△OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2)当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．6(★★★★) 如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C，D为半圆上的点．(1)请你为C点确定位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；(2)已知AD=DC，设∠ABD=θ，当θ为何值时，①四边形ABCD的周长最大，最大值是多少？②四边形ABCD的面积最大，最大值是多少？【答案】(1) 2√2+2,此时点C是半圆的中点(2)① θ=π6时，最大值是5．② θ=π6时，最大值是3√34.【解析】(Ⅰ)点C在半圆中点位置时，△ABC周长最大；理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB=π2，即△ABC是直角三角形；设BC=a，AC=b，AB=c，显然a，b，c均为正数，则a2+b2=c2；因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2，所以a+b≤√2(a2+b2)=√2c，所以△ABC周长为L=a+b+c≤(√2+1)c=2√2+2，当且仅当a=b时等号成立；即△ABC为等腰直角三角形时，周长取得最大值为2√2+2；此时点C是半圆的中点．(Ⅰ)(Ⅰ)因为AD=DC，所以∠ABD=∠DBC=θ；所以AD=DC=AB•sinθ，CB=AB•cos2θ；设四边形ABCD的周长为p，则p=AD+DC+CB+AB=2ABsinθ+ABcos2θ+2=4sinθ+2(1−2sin2θ)+2=5−4(sinθ−12)2；显然θ∈(0,π4)，所以当θ=π6时，p取得最大值5．(Ⅰ)过O作OE⊥BC于E，设四边形ABCD的面积为s，四边形AOCD的面积为s1，△BOC的面积为s2，则s=s1+s2=12AC⋅OD+12BC⋅OE=12ABsin2θ⋅1+12ABcos2θ⋅sin2θ=sin2θ+cos2θ•sin2θ=sin2θ(1+cos2θ)；所以s2=sin22θ(1+cos2θ)2=(1－cos22θ)(1+cos2θ)2=(1－cos2θ)(1+cos2θ)3=33(1−cos2θ)(1+cos2θ)3≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2]2(1+cos2θ)2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2(1+cos2θ)]2≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2+(1+cos2θ)2]2×2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)+2(1+cos2θ)4]4=13(32)4=2716．当且仅当3(1－cos2θ)=1+cos2θ，即cos2θ=12时，等号成立；显然θ∈(0,π4)，所以2θ∈(0,π2)，所以此时θ=π6；所以当θ=π6时，s=3√34，即四边形ABCD的最大面积是3√34．。