微积分初步

微积分初步课程教学设计方案《微积分初步》是数控技术专业的一门必修的重要基础课程，通过本课程的学习，使学生对微分、积分有初步认识和了解，使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学习本专业其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。

二、课程的目的与要求1．微积分是研究变量变化的一门科学，它所研究的对象是事物运动、变化过程中变量间相互依赖的函数关系。

通过本课程的学习使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系对于描述工科专业课程中物理现象的重要性。

2.使学生对极限的思想和方法有初步认识，对极限在描述工科专业课程中某些物理现象、几何现象的应用有所了解。

3.使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，会求解简单的常系数微分方程，能够变通的理解微积分、常系数微分方程在工科课程知识体系中模型建立和描述等方面的应用。

三、课程的学时、学分1．学时分配（54学时）2.学分本课程共3学分第二部分教学内容与教学要求一、函数、极限与连续 (9学时)（一）教学内容1．函数常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。

2.极限极限的定义，极限的四则运算。

3.连续函数连续函数的定义和四则运算，间断点。

（二）教学要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念。

熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。

2.了解极限概念，会求简单极限。

3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。

（三）教学建议1．基本初等函数中删去反三角函数。

2．第二个重要极限不要求。

二、导数与微分（15学时）（一）教学内容1.导数导数定义，导数的几何意义。

2.导数公式与求导法则导数的基本公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则，隐函数求导方法，3.微分的定义与计算4.高阶导数的概念及求法(二)教学要求1.了解导数概念，会求曲线的切线。

《微积分初步》辅导8----定积分与无穷积分一、学习重难点解析（一）关于定积分1. 定积分的概念 定积分⎰bax x f d )(是一个数值, 这个数值为=ba x F )()()(a Fb F -, 这里F (x )是被积函数f (x )的任意一个原函数. 即⎰bax x f d )(=ba x F a Fb F )()()(=-这个数值与积分区间[a ,b ]有关, 与被积函数和积分变量上、下限有关, 但与积分变量选取什么字母无关. 因此有⎰⎰-=abb ax x f x x f d )(d )(0)d )((d d =⎰b ax x f x定积分不同于不定积分. 不定积分⎰x x f d )(是f (x )的全体原函数, 即无穷多个函数, 而定积分⎰bax x f d )(是一个确定的数值.2. 定积分的计算由牛顿——莱布尼茨公式知, 定积分在计算上是完全依赖于不定积分的. 在定积分计算中也有换元积分法和分部积分法, 它们与不定积分中的换元积分法和分部积分法的区别在于：（1）在使用定积分的换元积分法时, 换元一定要换限, 积分变量必须与自己的积分上、下限相对应. 换元换限后, 对新的积分变量求得的原函数, 可直接代入新变量的上、下限求值, 而不必再还原到原来的变量在求值.（2）定积分的分部积分法所处理的函数类型与u , v d 的选择与不定积分完全相同只是在定积分中每一项都必须带积分上、下限.（二）关于无穷限积分无穷限积分的处理方法是将其转化为有限区间积分的极限, 计算时先求有限区间积分（即定积分）得到一个新变量的函数⎰=Φbax x f b d )()(在令+∞→b , 由)(lim b b Φ+∞→的存在与否, 确定⎰∞+ax x f d )(是否收敛. 若收敛则积分值等于极限值.二、典 型 例 题例1 判断下列等式是否正确. （1）21d ln d de 1=⎰x x x x 分析：根据定积分的定义进行判断.解（1）由定积分定义,)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式21d ln d d e 1=⎰x x x x 错误, 正确的结果应为0d ln d d e 1=⎰x xxx . 例2 计算下列积分： （1）x x d sin 20⎰π分析：注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[π上有⎩⎨⎧≤<-≤≤=πππ2sin 0sin sin x x x xx 利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.解 (1)⎰⎰⎰-+=ππππ2020d sin d sin d sin x x x x x x)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=πππx x4=.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例3 计算下列积分：（1）x xxd ln e12⎰（2）x x d sin 203⎰π分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数x x 2)(ln 看成x u 2, 其中x u ln =, 且x xu d 1d =, 于是x x u d 2u u d 2=, 这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分.（2）将被积函数x 3sin 分解成x x x x x x x sin cos sin sin )cos 1(sin sin 222-=-=即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为x u sin 2, 其中x u cos =, x x u d sin d -=解（1）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有 31)01(3131d d ln 3313102e12=-===⎰⎰u u u x x x [方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.)d(ln ln d ln e 12e12x x x xx⎰⎰=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x(2) 因为x x d sin 203⎰π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202⎰⎰⎰-=-πππ对于积分1cos d sin 2020=-=⎰ππx x x对于积分x x x d sin cos 202⎰π用凑微分法,[方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2π=x 时, 0=u , 于是有3131d d sin cos 1312202==-=⎰⎰u u u x x x π[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 20320222=-=-=⎰⎰πππx x x x x x说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分⎰u u f d )(容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着⎰u u f d )(容易求积分的方向进行.在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（1）（2）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（2））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例4 计算下列积分：（1）⎰22d e x x x； （2）⎰e e1d ln x x分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及v u ',的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为x v d ', 即v x v d d =', 使积分变为⎰v u d ； 2．代公式,⎰⎰-=u v uv v u d d , 计算出x u u d d '= 3．计算积分⎰u v d . 在定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba ba u v uv v u d d , 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中ba uv 是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解(1) 设2e ,x v x u ='=, 则2e 2x v =, 由定积分分部积分公式有44e 4e 4e4e 4d e 2e2d e 20222202202=+-=-=-=⎰⎰x x x x x x x x（2）因为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=e1ln 1e1ln ln x x x x x , 利用积分区间的可加性得到⎰⎰⎰+-=e11e1e e1d ln d ln d ln x x x x x x其中第一个积分为⎰⎰-=1e 11e 11e 1d ln d ln x x x x x x x 1e2e 11e 1-=+-= 第二个积分为11e e d ln d ln e 1e1e1=+-=-=⎰⎰x x x x x ,最后结果为e221e 21d ln d ln d ln e 11e1e e1-=+-=+-=⎰⎰⎰x x x x x x . 例5 计算下列无穷限积分：（1）x x d )1(113⎰∞++； （2）⎰∞+-02d e x x ； （3）⎰∞+0d ln 1x xx 分析 对于无穷限积分⎰+∞ax x f d )(的求解步骤为：（1）求常义定积分⎰-=baa Fb F x x f )()(d )(；（2）计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）])1(21[lim d )1(1lim d )1(1121313bb b b x x x x x -+∞→+∞→∞++-=+=+⎰⎰=)41()21(])11()1[(lim 2122-⨯-=+-+---+∞→b b 81=（2）]e 31[lim d elimd e30303bx b bxb xx x -+∞→-+∞→∞+--==⎰⎰31]e e[31[lim 03=--=-+∞→bb (3)+∞===+∞→+∞→∞+⎰⎰bb b b x x x x xx e e e)ln(ln lim )d(ln ln 1lim d ln 1说明此无穷积分发散.注意：正如中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）81])1(21[d )1(11213-=+-=++∞-∞+⎰x x x （2）31]e 31[d e 0303=-=+∞-∞+-⎰xx x （3）+∞===∞+∞+∞+⎰⎰e x x xx x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e.。

微积分中的对数微积分初步认知微积分是一门非常重要的学科，它涵盖了许多数学领域。

其中，对数微积分是微积分的一个重要分支。

在微积分中，对数微积分是一种研究对数函数和它们的导数的数学方法。

本文将从对数微积分的基本概念及其应用方面进行探讨。

一、对数函数的基本概念在对数微积分中，对数函数是重要的数学概念之一。

对数函数的定义如下：对于 $x>0$，$a>0$，且且 $a \neq 1$，那么以 $a$ 为底的对数函数 $log_a(x)$ 是一个满足以下条件的函数：$log_a(x) = y$ 当且仅当 $a^y = x$对数函数的定义可以被推广到任意底 $b$ 上：$log_b(x) = \frac{log_a(x)}{log_a(b)}$其中，$a$ 通常被取为 $e$，称为自然对数，所以 $log_e(x)$ 通常简写为 $ln(x)$。

二、对数函数的导数在微积分中，我们经常需要求函数的导数。

对于对数函数，我们可以通过以下公式来求导：$(log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)}$这个公式说明了对于任意底 $a$ 的对数函数，其导数的形式都是相同的。

例如，当 $a=e$ 时，对数函数的导数为：$(ln(x))' = \frac{1}{x}$三、对数函数的应用对数函数的应用范围非常广泛，它在自然界、工程学、科学研究等方面都有广泛的应用。

在下面的部分，我们将介绍对数函数在一些具体领域中的应用。

1、生物学在生物学中，消化率以及其他一些相关参数可以被表示为对数函数。

这是因为生物体中的量通常是一种指数函数，而对于一些复杂的生理变量而言，采用对数函数可以简化计算过程。

例如，血液的 pH 值可以表示为：$pH = -log_{10}(H^+)$由此可见，对数函数在生物学领域中起着重要的作用。

2、金融学对数函数在金融学中也有广泛的应用。

例如，股票价格的波动率可以通过对数函数来计算。

电大【微积分初步】 形考作业1-4答案作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2[+∞ 提示：对于)2ln(1-x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠-x ，也就是3≠x ； 对于)2ln(-x ，要求02>-x ，即2>x ；所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2[+∞2．函数xx f -=51)(的定义域是 ． 答案：)5,(-∞ 提示：对于x-51，要求分母不能为0，即05≠-x ，也就是5≠x； 对于x -5，要求05≥-x ，即5≤x ；所以函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ． 答案：]2,1()1,2(--- 提示：对于)2ln(1+x ，要求分母不能为0，即0)2l n (≠+x ，也就是1-≠x ； 对于)2ln(+x ，要求02>+x ，即2->x ； 对于24x -，要求042≥-x ，即2≤x 且2-≥x ； 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(---4.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f． 答案：62+x提示：因为6)1(72)1(22+-=+-=-x x x x f ，所以6)(2+=x x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x，则=)0(f ． 答案：2 提示：因为当0=x是在0≤x 区间，应选择22+x 进行计算，即220)0(2=+=f6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f． 答案：12-x 提示：因为1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，所以1)(2-=x x f7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ． 答案： 1-=x提示：若)(x f 在0x 有下列三种情况之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x → 存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。

高等数学第四版电子版高等数学第四版是一本经典的数学教材，被广泛应用于大学高等数学教学。

本书内容包括微积分、数列、级数、多元函数等，涵盖了数学的许多重要领域。

下面给出本书的章节列表和简要概述。

第一章微积分初步本章主要介绍微积分的基础知识，包括极限、导数、微分等。

其中对于极限的深入阐述是本章的重点。

通过本章的学习，读者可以对微积分的概念有初步的认识和应用。

第二章函数及其图形本章主要介绍函数的概念和性质，包括函数的基本性质、初等函数及其性质、函数的图形等。

通过本章的学习，读者可以建立起对于函数的基本认知和应用。

第三章函数的极限与连续本章主要介绍函数的极限和连续的概念及其性质，包括标准极限、无穷极限、单侧极限、函数的连续性等。

这些概念在微积分中是相当常见的，对于理解微积分的性质和规律非常关键。

第四章导数与微分本章主要介绍导数和微分的概念及其性质，包括导数的定义、导数的基本性质、高阶导数、微分的定义和性质等。

通过本章的学习，读者可以更加深入地理解导数和微分在微积分中的重要应用。

第五章微分中值定理及其应用本章主要介绍微分中值定理的概念和应用，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

这些定理在微积分中广泛应用，具有重要的作用。

第六章不定积分本章主要介绍不定积分的概念和性质，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

这些知识点对于理解微积分的应用和解题有重要的帮助。

第七章定积分本章主要介绍定积分和定积分的性质，包括定积分的概念、定积分的计算、变量代换积分法等。

通过本章的学习，读者可以对定积分的概念和应用有深入的认识。

第八章微积分基本定理及其应用本章主要介绍微积分基本定理的概念和应用，包括微积分基本定理第一、第二部分、物理应用等。

这些知识点在微积分中有着广泛的应用，对于理解微积分的应用和解题有重要的帮助。

以上是高等数学第四版的主要章节列表及简要概括，该教材内容丰富、系统完整，是一部非常优秀的数学教材。

分数阶微积分学初步介绍在微积分学中，我们通常学习的是求导和积分这两个主要的概念。

但是如果我们向更深入的方向探索，会发现其中还有一种微积分学，即分数阶微积分学。

分数阶微积分学的核心概念是分数阶导数和分数阶积分。

与传统微积分学不同的是，分数阶微积分学使用的是分数阶导数和积分，而不是整数阶的。

分数阶导数和积分的概念可能对我们来说比较陌生，所以我们需要从它们的定义开始学起。

对于n次导数，我们通常使用记号f^(n)(x)来表示，表示对函数f(x)进行n次求导。

那么对于分数阶导数，在定义上与整数阶导数类似，只不过指数改为分数形式。

具体地，我们可以表示为：D^αf(x) = 1/Γ(1-α)∫(x-t)^(0-α)f(t) dt其中D^αf(x)表示对函数f(x)进行α阶导数，Γ(x)为阶乘函数，即Γ(x) = (x-1)!，Γ(1-α)为Gamma函数，即Γ(1-α) = π/√(1-α) Γ(1/2-α)。

与导数类似，分数阶积分的定义也与整数阶积分类似，只是指数改为分数形式。

具体地，我们可以表示为：∫^αf(x)dx = 1/Γ(α)∫x^(α-1)f(x) dx其中∫^αf(x)dx表示对函数f(x)进行α阶积分。

通过上述定义，我们可以看出，分数阶导数和积分需要对函数进行积分运算，而不是简单的运用求导或积分公式。

这也意味着，在计算过程中需要考虑更多的数值计算问题。

由于分数阶导数和积分的引入，分数阶微积分学的应用范围也更加广泛。

例如，在经济学、自然科学和工程学等领域中，经常需要处理具有分数阶特性的数据。

通过分数阶微积分学，我们可以更准确地描述和分析这些数据。

除了应用价值，分数阶微积分学的理论分析也具备较高的价值。

分数阶微积分学中的导数和积分不仅具有更广泛的定义范围，还与复杂系统、非线性振动、混沌现象等领域密切相关。

这些研究将有助于进一步拓展我们对微积分学的理解和应用。

总之，分数阶微积分学是微积分学领域新兴的学科，具有广泛的应用前景和深入的理论研究价值。

微积分初步在新中国高中数学课程中的历史变迁
微积分，作为一门关于无穷小的数学理论，可以使我们用更深入的理解和研究
自然现象。

新中国从一九五○年开始正式加入高中数学课程，这种学科在教学上得到广泛的应用，并得到持续的发展与完善，深刻影响了现即时间的学界，特别是在最近几年，微积分可以说是完全被普及开来，成为不可或缺的学习课程，扮演着极其重要的角色。

追溯到一九五○年，微积分已经开始出现在新中国的高中数学课程中，初步推
出了算术积分、微分、函数极限和微分方程等相关基础内容，极大地促进了数学理论的发展与发挥，同时也成为新中国教育新阶段中至关重要的数学课程。

时隔几十年，从2000年至今，微积分发展出一系列更加高深的内容，比如：
迭代积分、多元函数积分、Fourier级数及它的应用等。

同时，新的教学方式也被
引入，比如：实验学习法、心理学习法、实践操作法等，可以加深学生对该课程的理解和利用。

经过近几十年的发展，微积分已经成为新中国高中数学课程中不可或缺的重要
科目，也被广泛用作其他学科的理论基础之一，这不仅提升了学界在科研上的素质，也提高了学生们的数学素养，促进了学生在综合素质上的发展，从而有效促进社会的可持续发展。

总之，新中国高中数学课程的微积分从最初的混日子积分到现如今的多元函数
积分，发展速度快速，内容丰富，深受学界欢迎，推荐高中学生把微积分作为学习内容，品读它的美丽与独特，努力钻研，从而不断满足自身知识需求。

微积分中的渐进展开式初步从初等数学到高等数学，微积分是不可或缺的一环。

微积分中有许多重要的概念和方法，渐进展开式便是其中之一。

本文将对微积分中的渐进展开式进行初步介绍。

一、渐进展开式的定义在微积分中，函数的泰勒展开式是一种重要的方法。

但是对于那些无法求导的函数，或者函数以某一点为趋近点时不充分光滑（比如说具有某一处奇点）的函数，无法直接应用泰勒展开式。

渐进展开式便是在这种情况下使用的一种近似方法。

渐进展开式通常使用下面的形式表示：$f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{\alpha_n}$其中$f(x)$为函数，$x_0$为趋近点，$\alpha_n$为一系列实数，$a_n$为系数。

这个式子的意思是，当$x$趋近于$x_0$时，$f(x)$将会以$(x-x_0)$的高阶项为前导项，来逼近真实值。

系数$a_n$通常是通过对函数进行一定的运算得到的，如求导、积分等。

二、渐进展开式的应用渐进展开式在数学上有许多应用，如在物理学、工学、化学等应用中。

下面将介绍几个渐进展开式的应用：1. 在物理学中，渐进展开式被广泛地应用于计算物理量的近似值。

例如，薛定谔方程常常无法求出具体的解析式，但是通过渐进展开式，我们可以得到任意定量近似的函数值。

在计算物理量的测量误差时，渐进展开式也有一定的应用。

2. 在工学中，渐进展开式被用来逼近各种复杂物理现象。

例如，在计算空气动力学中，我们可以对流体运动方程的解进行渐进展开式，来逼近具体的数值。

在计算工程中，对于一些难以精确求解的问题，渐进展开式也可以提供一种求解近似值的方法。

3. 在化学中，渐进展开式被应用于计算化学反应动力学。

渐进展开式可以近似描述化学反应中各种物质的浓度变化，用来计算反应速率和反应平衡常数。

三、渐进展开式的局限性渐进展开式是一种近似方法，其结果与所使用的函数、趋近点和展开式的阶数有关。

展开式的阶数越高，逼近结果越精确，但是当逼近的函数在趋近点处存在奇异性时，渐进展开式是无法使用的。

2437微积分初步习题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线xy e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ．⒋=+⎰e12d )1ln(d d x x x 0．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =．6函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．7.当→x 0时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.=+-⎰-x x x d )135(1132．10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =.11.函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 12-x ．1⒉=∞→xx x 1sinlim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ． 1⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．1⒌微分方程x y xyy cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．16.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x ．17.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．18.函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19.=⎰∞-dx e x 0221． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．21.设函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 12+x ．22.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k =1-． 23.曲线1e )(+=xx f 在)2,0(点的斜率是 1 ．24.=+-⎰-x x x d )235(113 4 ．25.微分方程0)(42=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 答案：2>x 且3≠x .27.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- 28.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f29.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f31.函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x32.=∞→xx x 1sin lim ．答案：133.若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k34.曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 答案：2135.曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=36.已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2xx x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x - 38.若xx x f -=e )(，则='')0(f ．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-39.函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞40.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xxa x a = D.)d(2d 1x x x=⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃ 7.曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（D ）．A ．2B ．2e C ．4e D ．42e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d e x x B ． ⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s10.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 411.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B ）．A ．x cosB ．x -5C ．2x D ． x21⒋ 设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2ln 1xx - D. x 2ln1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程． A ．x y y x y xln e sin ='-'' B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 216.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +118.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠19.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223 B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++232322120.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.)(ln d d y x x y ⋅=； B. x y x y+=e d d ； C. y x x y e e d d +=； D. )ln(d d y x xy += 21.函数x x y ln 41+-=的定义域为（D ）． A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x 22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．A. x y e 1=B. 1e 1-=x yC. 1e 1+=x yD. 1e e1+-=x y23.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xx a x a = D. )d(2d 1x x x=24.下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy += 26.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +28.函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x29.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x30.当=k （D ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．331.当=k （B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1-32.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（A ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点33.若x x f xcos e )(-=，则)0(f '=（ C ）．A. 2B. 1C. -1D. -234.设，则（ B ）．A ．B ．C ．D ．35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos37.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 39.下列结论中（ Ａ ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+='x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx5.计算极限46lim 222----→x x x x ．6.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 7.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 3238.计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 9.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 10.设xx y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x xxy +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x13.计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y xcos 2+=，求y dxx y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=15.计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= ce xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d16.计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e xx x17. 计算极限423lim 222-+-→x x x x解：原式41)2)(2()2)(1(lim2=+---=→x x x x x 18. 计算不定积分x xx d )1(2⎰+解：x xx d )1(2⎰+= c x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(219.计算极限932lim 223---→x x x x ． 解：原式32)3)(3()1)(3(lim3=+-+-=→x x x x x 20.设xy x 1e1+=+，求y '． 解： 2111(21e x x y x -+='+21.计算不定积分x x x d e 112⎰解：cx x xx x x +-=-=⎰⎰1112e 1d e d e 122.计算定积分x x x d cos 2⎰π解：x x x d cos 20⎰π=20sin πx x -x x d sin 20⎰π=20cos 2ππx +=12-π23.423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 24.329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x 25.4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 26.计算极限x x x 11lim0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim 0-=+--=→x x 27.计算极限x x x 4sin 11lim0--→解：x x x 4sin 11lim 0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 28.设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x29.设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=30.设x y x 2e1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+31.设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 32.设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy xy y --='22于是得到x x y xy y d 22d --=33.设2e e cos y x y x =++，求y d ．解：方程两边对x 求导，得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=34.求微分方程yx y +='e 的通解解：将原方程分离变量 x y xy d e ed =x y x y d e d e =-两端积分得通解为C x y +=--e e35.求微分方程y y y x ln ='满足e )1(=y 的特解.解：将原方程分离变量x x yy yd ln d = 两端积分得 lnln y = ln C x通解为 y = e Cx将e )1(=y 代入通解，得1=C ，故特解为y = e x36.求微分方程xx y y ln 1=-'的通解. 解 此方程为一阶线性微分方程，且xx Q x x P ln 1)(,1)(=-=， 则方程的通解为)ln (ln )d ln 1()d e ln 1(e d 1d 1C x x C x xx x C x x y x x xx +=+=+⎰⎰=⎰⎰-37.求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解．解 此方程为一阶线性微分方程，且1)(,1)(2+==x x Q xx P ，则方程的通解为)2141(1)d )1((1)d e)1((e242d 12d 1C x x x C x x x x C x x y xx xx ++=++=+⎰+⎰=⎰⎰-将初始条件47)1(=y 代入通解，得1=C ，于是满足初始条件的为 )12141(124++=x x x y 四、应用题1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h2．用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省. 4.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2rVh π=，则其表面积为 rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V r S -=' 令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x ，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省.6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。