数值分析第三次作业及答案
1． （P201(4)）用梯形方法解初值问题 '0;(0)1,
y y y ⎧+=⎨=⎩ 证明其近似解为2,2n
n h y h -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭并证
明当0h →时，它收敛于原初值问题的准确解.x
y e -=
111112
1
110
00 [(,)(,)]
2(,)()
22222222 1,.
2,.lim l n n n n n n n n n n n n n n n
n n n h h
y y f x y f x y h
f x y y y y y y h h h y y y y h h h h y y h h n y nh x y +++++++-→=++=-⇒=+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⇒
===
= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
-⎛⎫
=⇒= ⎪+⎝⎭
=⇒=证：梯形公式为由因用上述梯形公式以步长经步计算到故有0022im lim 22x n
h
x h h h h e h h -→→--⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
2． (P202(6)) 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：
''3,01;,01;(1)1)2)(0)1;
(0) 1.
y y x y x y x x y y ⎧=<<⎧=+<<⎪+⎨
⎨=⎩⎪=⎩ 12113224330.2
(,)
(,) 1.1()0.1 22221)(,) 1.11()0.11
2222
(,) 1.n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n h k f x y x y h h h h k f x y k x y k x y h h h h k f x y k x y k x y k f x h y hk x h y hk ===+=++=+++=++=++=+++=++=++=+++=解：令1123412
132431222()0.222
(22)0.2214 1.22140.02146
3/(1)
3(0.1)/(10.1)2)3(0.1)/(10.1)3(0.2)/(10.2)0.2
(6
n n n n n n n n n n
n n n n n n x y h
y y k k k k x y k y x k y k x k y k x k y k x y y k ++⎧⎪
⎪⎪⎨
⎪⎪⎪++⎩=++++=++=+⎧⎪=+++⎪⎨=+++⎪⎪=+++⎩=+
123422).k k k +++
3． (P202(7)) 证明对任意参数t ，下列龙格库塔－公式是二阶的：
1
2312131();2
(,);
(,);((1),(1)).
n n n n
n n n n h y y K K K f x y K f x th y thK K f x t h y t hK +⎧
=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩
'''2'
''
31'123'2'()()()()[(,())(,())(,())]23!
()[((,)(,)22
(,)(,)())((,)(,n n n n x n n y n n n n n n n n n x n n y n n n n n n x n n y h y x y x hy x f x y x f x y x f x y x h
h h
y y K K y f x y f x y th f x y thf x y O h f x y f x y ζ++=++++=++=+++
+++证：由一元函数的泰勒展开有
又由二元函数的泰勒展开有'22'
'32'
'311)(1)(,)(1)(,)())]
(,)[(,)(,)(,)]()
2
(),(,())[(,())(,())(,())]()
2
()y n n n n n n n x n n y n n n n n n n n n n x n n y n n n n n n t h f x y t hf x y O h h y hf x y f x y f x y f x y O h y y x h y y hf x y x f x y x f x y x f x y x O h y x y +++-+-+=++++==++++为考虑局部截断误差，设上式有
比较与31111 ()()n n n R y x y O h t +++=-=两式，知其局部误差为故对任意参数，公式是二阶的。
4． (P203（11）) 导出具有下列形式的三阶方法：
'
''10112201122
()n n n n n n n y a y a y a y h b y b y b y +----=+++++
'''101122011221'10121201223''12121213 ()
()()()()[()()()]()()()(2)()(424)()(8312)2!3!n n n n n n n n n n n n n n n y y x y x a y x a y x a y x h b y x b y x b y x y x x y a a a y x a a b b b hy x h h a a b b y x a a b b y +----++==+++++=+++--+++++--+--++解：假设则将在处展开
'''
34(4)
512120121
2012
12121213()
(16432)()()
4!
1
21424183121
n x h a a b b y x O h a a a a a b b b a a b b a a b b ++--+++=⎧⎪--+++=⎪⎨+--=⎪⎪--++=⎩该公式的三阶方程为 取任一组满足方程组的参数均可。
