1大学物理例题
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∆s = (s t=1.73 − s t=0 ) + (s t=1.73 − s t=0 ) = 100.8m
小结：本题中，速度 v = 0 表示速度方向的转折点，从而求得了小球返回处的时间。
【例 1-3】 一质点在 x 轴上作加速运动，开始时 x = x 0 , v = v 0 。
（1） a = kt + c ，求任意时刻 t 的速度和位置，其中 k , c 均为常量；
【讨论】（1）作图时，应在图上标明特殊位置的坐标值。如本题标明图线与横坐标和纵 坐标的交点值。
dr = 0 （2） dt 表示质点的径向速度为 0，它实际上是速度由正变负（或者由负变正）的 转折值，因此此时所对应的 r 值应该是局部最大或最小。在数学中，为确定是极大值还
是极小值，需进一步求二阶导数。此题中，已经确定必无极大值，故将“驻点”代入比 较就可求出极小值。 【例 1-2】 有一小球沿斜面向上滚动，小球离开初位置向上滚动的距离与时间 t 的关
⇒
k
=
−
4u0 l2
u
=
u0
−
4u0 l2
(x
−
l )2 2
=
−
4u0 l2
(x2
− lx)
（1） （3） 汽船相对于岸的速度
vv = vv′ + uv = v0 iv + [ v0 + 4u0 (x2 − lx)] vj
2
2 l2
即
消去时间参量得
vx
=
dx dt
=
v0 2
vy
= dy dt
=
v0 2
切向加速度为
v = ds = b − ct dt
法向加速度为
aτ
=
dv dt
= −c
an
=
v2 R
=
( b − ct ) 2 R
【讨论】 对于圆周运动，无论求切向加速度还是法向加速度，应首先速率的表达式。
【例 1-6】 热气球在无风时以速度 v 0 从地面匀速上升。但由于风的影响，随着高度的
增加，气球的水平速度按 v x = by 的规律增大（ b 为大于 0 的常数），求任一时刻气球的 切向加速度、法向加速度和轨道的曲率分别与气球高度的关系。
【解】由题意： v x = by , v y = v 0 可知 y = v 0 t , v x = bv 0 t 又 a x = dv x / dt = bv 0 , a y = dv y / dt = 0 所以在任一时刻（高度），加速度的大小为 bv 0 ，方向沿 x 轴，与高度无关。
任一时刻气球的速度大小为
时不必用矢量形式。
【例 1-9】 宽为 l 的大江，江水由北向南流动。江中心水流速为 u0 ，两岸水流速为 0，
江中任一点处的流速与江中心流速之差和江中心到该点的距离的平方成正比。今有汽船以速
北
V
0
0 u
南
L
例1-9图
度 v0 由西岸出发，向东偏北 450 航行，求其航线轨迹方
程及到达东岸的地点。
+ c ) dt
⇒
v
=
v0
+
ct
+
1 2
kt
2
v = dx
由速度的定义式
dt 得：
dx
= vdt
=
(v0
+
ct
+
1 2
kt
2 ) dt
两边积分，并代入初始条件得：
∫ ∫ x
dx =
x0
t
0 ( v 0 + ct
+
1 kt 2 ) dt 2
⇒
x
=
x0
+ v0t +
1 ct 2 2
+
1 6
kt 3
（2） 两边积分：
（2） a = −kv ，求任意时刻 t 的速度和位置，其中 k 均为常量； （3） a = kx ，求任意位置 x 的速度其中 k 均为常量。
a = dv
【解】（1）由加速度的定义式
dt
得 dv
= adt
= ( kt + c ) dt
两边积分，并代入初始条件得：
∫ ∫ v dv =
v0
t
( kt
0
a = dv = − kv
dv = − kdt
由
dt
可得 v
∫ ∫ v dv
v v 0
=
t
− kdt
0
，可得 v = v 0 e − kt
再由 v = dx / dt 可得 dx = vdt = v 0 e − kt dt 两边积分：
∫ ∫ x dx =
x0
t 0
v
0
e
−
kt
dt
⇒
x
=
x0
−
v0 k
v
2 0
而法向加速度可由式 a =
a
2 n
+
a
2 t
求出：
an =
a2
−
a
2 t
=
bv
2 0
/
再由 a n = v 2 / ρ ，可得轨道曲率半径为
b2y2
+
v
2 0
【讨论】
ρ
=
(b 2 y 2
+
v
2 0
)
3
/
2
bv
2 0
对于一般曲线运动，写出速率的表达式，就可以方便地求出切向加速度。但是，
在求法向加速度时，因为曲率半径 ρ
v= 由此可求出切向加速度为：
v
2 x
+
v
2 y
=
( bv
0t ) 2
+
v
2 0
a τ = dv / dt = d (
( bv
0t ) 2
+
v
2 0
)
/
dt
= v0b 2t /
将 t = y / v 0 代入上式，可得 a t 与高度的关系：
b 2t 2 + 1
at = b 2v0 y /
b2y2
+
【例 1-1】一质点的运动方程为 rv = 2tiv + (19 − 2t 2 ) vj ，求：
（1）
轨道方程并画出其轨道；
（2）
t = 1s 及 t = 2s 时质点的速度和加速度；
（3）
第 2 秒内质点的平均速度；
（4）
何时质点离坐标原点最近？并求出这个距离。
【解】（1）运动方程的分量形式为
⎧x = 2t
【解】 建立图示坐标系
（1） 汽船相对于水的速度：
东 x
（2）
水vv的/ 流= 速v0 ：cousv4=5−0 ivuvj+ v0 sin 450 vj
由题意知：
u
− u0
=
k(x −
l )2 2
而： x = 0 或 x = l 时， u = 0 代入上式可求出 k ：
所以，
− u0
=
k(l )2 2
h
以匀速 v 0拉船靠岸（例 1-4 图）。求船距岸边 s 处
时，船的速度和加速度。
O
S
x
【解】以 O 为坐标原点，指向船的方向为 x
轴正方向建立坐标系。由勾股定理有
例图
s2 + h2 = l2
两边对时间求导，得
x ds = l dl dt dt
u
明显，船速
=
ds dt
，绳子速率 v0
=
−
dl dt
an
的数学计算比较复杂，一般不按定义式
=
v2 ρ
来求，
而是根据总加速度、法向加速度和切向加速度的关系进行计算。
【例 1-7】质点作半径为Ｒ的圆周运动，其角运动方程为θ = 3 + 2t 2 ，求质点的法向加
速度和角加速度。
ω = d θ = 4 t ( rad / s )
【解】 角速度：
dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
β = d ω = 4 ( rad / s 2 )
+ 4u0 l2
(x2 − lx)
dy = 1 + 4 2u0 (x2 − lx) ⇒
dx
v0l 2
∫ ∫ y
dy =
x
[1 +
4
2u0 (x2 − lx)]dx ⇒
0
0
v0l 2
此即航线轨迹方程。
y = x−
2u0 v0l
x2
+
4 2u0 3v0l 2
x3
到达东岸时，代入 x = l 有
y = l(1 − 2 2u0 ) 3v0
0
0
切向加速度： aτ
=
dv dt
=
Rβ
= 12t 2
− 6t(m / s 2 )
【讨论】 综合【例 1-7】和【例 1-8】两例题，由θ 求ω 求 β 用微分；反之，由 β 求
ω 求θ 用积分，积分时，要求正确运用初始条件。
注意：对于圆周运动，由于角量的方向均在一直线 (转轴) 上，因此，求角量间的关系
，故
u = l ds = − s dt
h2 + s2
s
v0
式中负号表示船的速度方向与 0x 方向相反。
加速度
a
=
du dt
=
−
1 (h2 2
+
s
2
)
−
1 2
⋅ 2s ⋅
