导数相关概念练习

第 1 页 共 1 页 导数练习（二） 一、知识点

导数的概念 1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y

相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此

极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或； 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

一些基本初等函数的导数表 （1）； （2）；与此有关的如下： 第 2 页 共 2 页

； （3）； （4）；

（5）； （6）； （7）； （8）； 导数的运算法则：

（1）； （2）； （3）；

（4）； （5）； （6）若则。

二、经典范例及练习 （一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点） （求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线

方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．） 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） 第 3 页 共 3 页

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例3 求过曲线上的点的切线方程．

故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以

为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例4 求过点且与曲线相切的直线方程．

解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 第 4 页 共 4 页

则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。 （二）判断分段函数的在段点处的导数

例 已知函数，判断在处是否可导？ 分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．

解：

∴在处不可导． 说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即，当；包括；，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数． 第 5 页 共 5 页

三、课外练习 1、(1)设函数在处可导，且，求； (2)已知，求.

2．求下列函数的导数 (1) (2) (3) (5)

3．已知曲线. （1） 求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程。 第 6 页 共 6 页

4、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 5、已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线．若和有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的方程．

5、已知函数为偶函数，它的图象过点，且在处的切线方程为，求函数的解析式．

7、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

8、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( ) A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0, 3)C．(-∞,- 3)∪(3,+∞) D．(-∞,- 3)∪(0, 3)

9、已知向量若函数在区间上是增函数，求的取值范围． 第 7 页 共 7 页

10、已知函数， （1）如，求的单调区间； （2）若在单调增加，在单调减少，证明.

11、已知函数． （1）求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值．

12、.已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间. 第 8 页 共 8 页

13、设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。 小结 1．当时，是增函数；当时，是减函数．用导数法研究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的． 2．利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间．同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点．

3．或仅是在某区间上为增函数或减函数的充分条件．在某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是（）在该区间上恒成立． 4．本专题易错点主要有： ①函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；

②求函数的单调区间实际上是不等式（）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式（或）恒成立问题． 第 9 页 共 9 页

导数练习（二） 一、知识点

导数的概念 1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y

相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此

极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或； 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

一些基本初等函数的导数表 （1）； （2）；与此有关的如下： 第 10 页 共 10 页

； （3）； （4）；

（5）； （6）； （7）； （8）； 导数的运算法则：

（1）； （2）； （3）；

（4）； （5）； （6）若则。

二、经典范例及练习 （一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点） （求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线

方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．）

类型一：已知切点，求曲线的切线方程 例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为 第 11 页 共 11 页

，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例3 求过曲线上的点的切线方程．

解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，或． 故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以 第 12 页 共 12 页

为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例4 求过点且与曲线相切的直线方程．

解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一