第五章正态分布

高中数学教案精选-正态分布教学目标：1. 理解正态分布的概念及其特点；2. 学会计算正态分布的概率密度函数；3. 掌握正态分布的性质，并能应用到实际问题中。

教学内容：第一章：正态分布的概念1.1 引入正态分布的概念1.2 了解正态分布的图形特征第二章：正态分布的性质2.1 掌握正态分布的概率密度函数2.2 理解正态分布的期望和方差第三章：正态分布的计算3.1 学会计算正态分布的概率密度值3.2 掌握正态分布的累积分布函数第四章：正态分布的应用4.1 了解正态分布在实际问题中的应用场景4.2 学会利用正态分布解决实际问题第五章：正态分布的进一步研究5.1 了解正态分布的变形5.2 学会处理正态分布的极端值问题教学过程：第一章：正态分布的概念1.1 引入正态分布的概念通过举例引入正态分布，如学生的身高、考试的成绩等。

1.2 了解正态分布的图形特征引导学生观察正态分布的图形，理解其对称性、渐进线等特征。

第二章：正态分布的性质2.1 掌握正态分布的概率密度函数通过讲解和示例，让学生理解正态分布的概率密度函数的定义和性质。

2.2 理解正态分布的期望和方差解释正态分布的期望和方差的含义，并学会计算。

第三章：正态分布的计算3.1 学会计算正态分布的概率密度值通过练习，让学生掌握如何计算正态分布的概率密度值。

3.2 掌握正态分布的累积分布函数解释正态分布的累积分布函数的定义，并学会计算。

第四章：正态分布的应用4.1 了解正态分布的实际应用场景通过实例，让学生了解正态分布在实际问题中的应用场景。

4.2 学会利用正态分布解决实际问题通过练习，让学生学会如何利用正态分布解决实际问题。

第五章：正态分布的进一步研究5.1 了解正态分布的变形解释正态分布的变形，如对数正态分布、正偏态分布等。

5.2 学会处理正态分布的极端值问题讲解如何处理正态分布的极端值问题，如大数和小数的处理方法。

教学评价：通过课堂讲解、练习和实际应用，评价学生对正态分布的理解和应用能力。

N (123.02，4.792)
（2）身高在120~128者占该地8岁男孩总数的百分比；
解析：
58.65%
58.65%
120cm 128cm N (123.02，4.792)
-0.63 1.46 N (0，1)
（3）该地80%男孩的身高集中在哪个范围？
解析：
80%
10%
10%
10% Z1
80%
10% Z2
任意正态分布曲线 X~N(μ,σ2)
标准正态分布曲线 X~N(0,1)
采用定积分的办法，对函数式 (1) 或 (2) 定积分， 算得从 -∞ 到 x累计面积，从而推算出该区间事件发 生的概率值。 .
j(Z )
1 2

Z

e
Z
2
/ 2
dZ
图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积
1.2 正态概率密度曲线下的面积 1.3 正态分布的应用
1.4 正态分布的判断
一、正态分布的概念
正态分布(normal distribution)
德莫佛最早发现了二项概率
的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面。
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为 高斯分布(Gauss distribution)。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
若按左单侧算，则是 97.5% 参考值范围
按左单侧算，是 95% 参考值范围
举例2： 某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通 气量得均数 X =4.2(L), 标准差S =0.7(L)，试据此估 计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。 解析： 分布近似正态 1. 2. 仅过低为异常 3. 求下界值

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数.一、正态分布的定义若r.v X 的概率密度为),(~2σμN X 记作f (x )所确定的曲线叫作正态曲线.∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ其中和都是常数，任意，>0，则称X 服从参数为和的正态分布.σ2σμμ2σμ正态分布有些什么性质呢？由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点.正态分布的图形特点),(2σμN正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.μ特点是“两头小，中间大，左右对称”.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.μσ正态分布的图形特点),(2σμN能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ容易看到，f (x )≥0即整个概率密度曲线都在x 轴的上方;故f (x )以μ为对称轴，并在x =μ处达到最大值:∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ令x =μ+c ,x =μ-c (c >0),分别代入f (x ),可得f (μ+c )=f (μ-c )且f (μ+c ) ≤f (μ), f (μ-c )≤f (μ)σπμ21)(=f这说明曲线f (x )向左右伸展时，越来越贴近x 轴. 即f (x )以x 轴为渐近线.∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ当x→ ±∞时，f (x ) →0,用求导的方法可以证明，∞<<∞-=--x ex fx, )()(22221σμπσ为f(x)的两个拐点的横坐标.x = μ±σ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下.根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图.从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布.下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布.人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点.请同学们想一想，实际生活中具有这种特点的随机变量还有那些呢？除了我们在前面遇到过的年降雨量外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ服从正态分布的随机变量X 的概率密度是),(2σμN X 的分布函数P (X ≤x )是怎样的呢？设X ~,),(2σμN X 的分布函数是∞<<∞-=⎰∞---x dt e x F xt ,)()(22221σμπσ正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布.下面我们介绍一种最重要的正态分布标准正态分布dt e x x t ⎰∞--=Φ2221)(π二、标准正态分布1,0==σμ的正态分布称为标准正态分布.∞<<∞-=-x e x x ,21)(22πϕ其密度函数和分布函数常用和表示：)(x ϕ)(x Φ)(x Φ它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.),(~2σμN X σμ-=X Y ,则~N (0,1)设定理1书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.三、正态分布表)(1)(x x Φ-=-Φdt e x x t ⎰∞--=Φ2221)(π表中给的是x >0时, Φ(x )的值.当-x <0时x -x),,(~2σμN X 若σμ-=X Y ~N (0,1)若X ～N (0,1),)(σμσμ-≤≤-=b Y a P )(b X a P <<)()()(a b b X a P Φ-Φ=<<)()(σμσμ-Φ--Φ=a b由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X ～N (0,1)时，P (|X | 1)=2 (1)-1=0.6826≤Φ≤ΦP (|X | 2)=2 (2)-1=0.9544≤ΦP (|X | 3)=2 (3)-1=0.9974四、3准则σ将上述结论推广到一般的正态分布, ),(~2σμN Y 时，6826.0)|(|=≤-σμY P 9544.0)2|(|=≤-σμY P 9974.0)3|(|=≤-σμY P 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在]3,3[σμσμ+-区间内.这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）.σ上一讲我们已经看到，当n很大，p接近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明，二项分布近似于正态分布.下面我们不加证明地介绍有关二项分布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫佛－拉普拉斯定理. 它是第五章要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况.五、二项分布的正态近似定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）})1({lim x p np np Y P n n ≤--∞→设随机变量服从参数n, p (0<p <1)的二项分布，则对任意x ，有n Y dt e x t ⎰∞--=2221π定理表明，当n 很大，0<p <1是一个定值时（或者说，np (1-p )也不太小时），二项变量的分布近似正态分布N (np ,np (1-p )).n Y≥≥实用中，n30，np10时正态近似的效果较好.例1将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理? 试说明理由.解: 设X 为10000次试验中出现正面的次数，采用正态近似, np =5000, np (1-p )=2500,若硬币是均匀的，X ~B (10000，0.5),505000)1(-=--X p np np X 近似正态分布N (0,1).即=1-Φ(16))5050005800(1-Φ-≈≈0此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的.P (X ≥5800)=1-P (X <5800)505000)1(-=--X p np np X 近似正态分布N (0,1).再看一个应用正态分布的例子:例2公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解: 设车门高度为h cm,按设计要求P(X≥ h)≤0.01或P(X< h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.因为X ～N (170,62),)1,0(~6170N X -)6170(-Φh ≥故P (X < h )=0.99Φ查表得(2.33)=0.9901>0.996170-h 所以=2.33,即h =170+13.98 184≈设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X < h ) 0.99≥求满足的最小的h .。

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像: