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(3) (3) 2(3) 1
F(x)
0.9974
20.99871
0.9974.
X的取值几乎都落入以为 中心，以3为半径的区间内
X 3
3
3 是小概率事件
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P( X ) 2(1) 1 20.84131 68.26% P( 2 X 2 ) 2(2) 1 20.97721 95.44%. P( 3 X 3 ) 2(3) 1 20.99871 99.74%.
7
性质1 (线性性)
若 X ~ N(, 2 ), 则 Y aX b ~ N(aμ b, (aσ)2 ). (a 0)
证：Y的分布函数为
FY ( y) P(Y y) P(aX b y)
①当a>0，有
FY ( y) P(X
y
a
b
)
FX
(
y
a
b
)
上式两边关于y求导，得
fY ( y)
2
(2) ()
1
x2
e 2 dx 1,
2
(3) Φ(x) 1 Φ(x).
Φ(x)
x o
x
x
分布函数 (x)不是初等函数,但它是一个应用非常广泛
的重要分布,一般都将 (x) 的函数值编成表, 见书本末 的附录2,该表给出了 x 0 时 (x) 的数值.
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[例1]已知 N (0,1), 求1) P( 0.2); 2) P( 1.5) 解 :1) P( 0.2) P(0.2 0.2) (0.2) (0.2)
特别地,当 0, 1时, X ~ N (0, 1), 则称N(0,1)
为标准正态分布, 其概率密度为
(x)
且其分布函数：
1
x2
e 2 , x .
2π
y
Φ(x) 1
t2
e 2 dt .
2π
(x)
ox
x
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4
标准正态分布函数Φ( x)的性质： y
(1) (0) 1 ;
0.1
0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2
0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3
0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6386 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
f最大（）
2
1
2
μ,σ对密度曲线的影响
相同，不同
图形相似，位置平移
１
1 21 1 22
2
1 0.75
不同，相同
2 1.25 越小，图形越陡；
越大，图形越平缓
3倍标准差原理: ( 3σ法则)
设 X ~ N (, 2 ), 求X落在( 3 , 3 ) 内的概率.
解:P( 3 X 3 ) ( 3 ) ( 3 )
(
X
,Y
)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
其中1，2,1 0, 2 0, (| | 1)是分布参数.
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结论1 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布
N
(1
,
2
,
12
,
2 2
,
),则X与Y的边缘分布都是
正态分布，且无论参数(| | 1)为何值，都有
X
~
N (1,12 ),
17
推广到更一般的结论。 性质3 线性组合性.
设X1, X 2 ,, X n
相互独立，X i
~
N
(
i
,
2 i
),
i 1,2,, n,
则对于任意不全为零的 常数 C1, C2,, Cn，有
U C1X1 C2 X2 Cn Xn
~ N (C1 μ1 C2 μ2 Cn μn , C12σ12 C22σ22 Cn2σn2 ). 系特别设地随，机取变C量1 X1C, 2X2,,XCnn相互1n独立，且服从同一分布N (, 2 ),
2
奇函数
1
t2 =1
e 2 dt
t2
te 2 dt
2
2
0 μ
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2.方差D(X) D( X ) E[ X E( X )]2
1
(
x
μ)2e
(
x μ )2 2σ2
dx,
2πσ
设 t x μ , dx dt,
则
σ
2
t
e2
t2 2
dt
2
[
t2
(t)de 2 ]
10
( x 440)
10
0.9,
经查表
x
440 10
1.28,
x 452.8分.
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二、正态分布的数字特征
1.期望E(X) 解： E( X )
1
xe
(x μ) 2σ 2
2
dx
2πσ
设 t x μ , dx dt, 则
σ
E( X ) 1
（
t）e
t2 2
dt
1.6
0.9452 0.9436 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7
0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
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2
一、正态分布的定义
1. 正态分布 ( Normal distribution )
定义. 设随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
xμ 2σ 2
)2
,
x
,
2πσ
其中 0, , 为常数, 则称X服从正态分布
或高斯分布 ), 记作 X ~ N (, 2 ).
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3
2. 标准正态分布
1.3
0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4
0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5
0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1 a
f
X
(
y
a
b
)
1
e , [
y
(a b)]2 2(a2 2 )
2 a
(2) 当a<0，有
yb
FY ( y) P( X
) a
fY
(
y)
1 a
f
X
(
y
a
b
)
1 P(X 1
y b) a [ y(a b)]2
1
FX
(
y
a
b
)
e . 2(a2 2 )
2 (a)
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特别地，若X ~ N(, 2),则得将X标准化的随机变量
3 2 2 3
| 68.26% |
| |
95.44% |
99.74%
|
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性质2 可加性.
设X
~ N (1, 12 ),
Y
~
N
(2
,
2 2
),
且X与Y相互独立,
则
Z
X
Y
~
N( μ1
μ2 ,
σ12
σ
2 2
).
证明：特殊地设X和Y相互独立, 且都服从N(0,1)
(0.2) (1 (0.2)) 2(0.2) 1 20.57931 0.1586
2) P( 1.5) 1 P( 1.5) 1 2(1.5) 1
2[1 (1.5)] 0.1336
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6
u
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
则Z=X+Y的概率密度为
1(x2 (zx)2 )
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x)dx
1 2
e
2
dx
z2 (x z )2
1 2
e
4
e
2 dx
(x z )2
e 2 dx
2
1 2
z2
z2
fZ
(z)
1 2
e
4
1 e 4 2
z2
2
e 1
2 2
2 2
即Z服从N(0,2).
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0.7
0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8
0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
