2019届人教A版(文科数学) 基本不等式 单元测试 (1)

5 不等式与线性规划（2）第1卷一、选择题1、对于实数,若,规定,则不等式的解集是( )A.B.C.D.2、已知是坐标原点,点,若点为平面区域上的一个动点, 则的取值范围是( )A.B.C.D.3、已知点的坐标满足,则的取值范围是( )A.B.C.D.4、若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5、已知二次不等式的解集为,则的值为( )A.B.C.D.6、不等式的解集是( )A.B.C.D.7、设变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是( )A.B.C.D.8、设变量满足约束条件则的最小值是( )A.-2B.-4C.-6D.-89、不等式的解集为( )A.B.C.D.10、函数的递减区间为( ).A.B.C.D.11、不等式的解集为( )A.B.C.D.12、不等式的解集为( )A.或B.或C.或D.或13、若实数,满足,则的最小值为( )A.B.C.D.二、填空题14、不等式对一切恒成立,则实数的取值范围是.15、在中,三内角所对边的长分别为,已知,不等式的解集为,则.16、若不等式的解集为,则实数.17、不等式的解集为 .18、若实数满足不等式组,则的最大值为.19、不等式的解集是.20、设,满足约束条件,则的最小值为.21、已知不等式的解集为,则不等式的解集为.三、解答题22、若不等式的解集是.1.求的值;2.求不等式的解集.23、解关于的不等式.24、设,关于的一元二次方程有两个实数根,且求的取值范围。

25、若方程的两实根都大于,求实数的取值范围.26、已知,设命题:,使得不等式能成立;命题:不等式对恒成立,若为假,为真,求的取值范围.参考答案一、选择题1.答案：C解析：首先正确理解“对于实数,若,,规定",是本题的关键所在.即为取整函数.然后由后边的不等式解除的取值范围,然后把不等式的两边取整.即得到答案.正确理解"对于实数,若,规定",是本题的关键所在. 先解得,因为,时,,所以,即不等式的解集是.所以答案为C.2.答案：C解析：作出可行域,如图中的阴影部分所示,,.设点,因点,则.由图可知:当目标函数过点时,;当目标函数过点时,,故的取值范围为,即泣的取值范围为,故选C.3.答案：A解析：因为点的坐标满足,因此所求的表示为区域内的点到点的距离的平方的范围,可知为,选A.4.答案：C解析：∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴或.5.答案：B解析：由题意得,且,是方程的两根,∴∴∴.考点:1.一元二次方程根与系数的关系;2.三个二次关系6.答案：D解析：或,则不等式的解集为.7.答案：A解析：约束条件,所表示的平面区域如图中阴影部分,直线的斜率为.由图像知当直线经过时,取最大值为;当直线经过时,取最小值,∴的取值范围是,故选A.8.答案：D解析：根据题意,画出可行域与目标函数如图所示,由图可知,目标函数在点处取最小值,故选D.9.答案：A解析：不等式,∴不等式的解集为.故选A.10.答案：B解析：的对称轴为,在上是减函数,令,得或,再由复合函数的单调性知的递减区间为.11.答案：B解析：∵,故不等式的解集为.12.答案：B解析：不等式,则相应方程的根为,,,由穿针法可得原不等式的解为或.13.答案：D解析：如图,的最小值为,选D.二、填空题14.答案：解析：不等式对一切恒成立,即对一切恒成立.若,显然不成立;若,则,即,解得.15.答案：解析：由得,所以由题意知.由余弦定理得,所以.16.答案：2解析：∵,∴,即,∵不等式的解集为,∴和是方程的两根,∴,∴.故答案为.17.答案：解析：由,得,从而不等式的解集为.18.答案：6解析：可行域为一个三角形及其内部,其中,所以直线过点时取最大值6.考点:线性规划求最值19.答案：或解析：原不等式或解集为或.20.答案：-5解析：不等式组表示的平面区域如图所示由得,求的最小值,即求直线的纵截距的最大值,当直线过图中点时,纵截距最大,由解得点坐标为,此时.21.答案：或解析：根据题意可得,,∴,,∴可化为,∴不等式的解集为或.三、解答题22.答案：1.依题意,可知方程的两个实数根为和,由韦达定理得:,解得:.2..23.答案：由得或.当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为。

新人教2019版必修一基本不等式精选练习（含答案）预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制新人教2019版基本不等式精选练习(含答案)一．选择题（共30小题）1．若直线过点（1，2），则a+b的最小值等于（）A．3B．4C．D．2．若x＞0，y＞0，且+＝1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣8，1）B．（﹣∞，﹣8）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）D．（﹣1，8）3．直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是（）A．10B．20C．30D．404．如果b＜a＜0，那么下列不等式错误的是（）A．a2＞b2 B．a﹣b＞0C．a+b＜0D．|b|＞|a|5．已知实数a，b∈R+，且a+b＝2，则的最小值为（）A．9B．C．5D．46．若正数a，b满足＝，则当ab取最小值时，b的值为（）A．B．C．D．7．已知x，y＞0，，则x+2y的最小值为（）A．9B．12C．15D．8．已知正实数满足a+2b＝1，则+的最小值为（）A．8B．9C．10D．119．设a＞0，b＞0，若2a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．8C．9D．1010．已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A．4B．6C．9D．1011．已知a＞0，b＞0，且满足ab＝a+b+3，则a+b的最小值是（）A．2B．3C．5D．612．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则13．已知x＞0，y＞0，2x﹣＝﹣y，则2x+y的最小值为（）A．B．2C．3D．414．两个正实数a，b满足3a+b＝1，则满足，恒成立的m取值范围（）A．[﹣4，3]B．[﹣3，4]C．[﹣2，6]D．[﹣6，2] 15．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d16．已知a＞﹣1，b＞0，a+2b＝1，则的最小值为（）A．B．C．7D．917．若a，b＝R*，ab+2a+b＝4，则a+b的最小值为（）A．2B．﹣1C．2﹣2D．2﹣318．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为（）A．﹣9B．9C．10D．019．若实数x，y满足x2y2+x2+y2＝8，则x2+y2的取值范围为（）A．[4，8]B．[8，+∞）C．[2，8]D．[2，4]20．若mn＝1，其中m＞0，则m+3n的最小值等于（）A．B．2C．D．21．已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式≥4恒成立，则m的取值范围是（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．（0，]D．（，2] 22．已知0＜x＜1，当取得最小值时x＝（）A．2﹣B．﹣1C．D．23．设a＞0，b＞0，且a+b＝4，则的最小值为（）A．8B．4C．2D．124．ab＞0，则的最小值为（）A．B．C．3D．2 25．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab﹣1，则a+2b的最小值为（）A．B．C．5D．9 26．设x＞0，y＞0，不等式++≥0恒成立，则实数m的最小值是（）A．﹣2B．﹣4C．1D．2 27．当x＞4时，不等式x+≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≤8B．m＜8C．m≥8D．m＞8 28．已知非负数x，y满足xy+y2＝1，则x+2y的最小值是（）A．B．2C．D．29．若正数a，b满足4a+3b﹣1＝0，则的最小值为（）A．B．C．2D．30．若a，b都是正数，且a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值为（）A．B．2C．D．4二．填空题（共12小题）31．已知正数x，y满足x+2y＝3，则的最大值为．32．当x＜﹣1时，f（x）＝x+的最大值为．33．已知m＞0，n＞0，且m+n＝4，则+的最小值是34．已知x＞3，那么函数y＝+x﹣3的最小值是；35．若正实数a，b满足a+b＝4，则+的最小值是．36．已知正数a，b满足a2+b2＝6，则b的最大值为．37．已知正数x，y满足2x+y＝1，则的最小值是．38．已知m＞0，n＞0，且m+n＝2，则的最小值为．39．已知正数x，y满足x+y＝5，则的最小值为．40．设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则的最小值为．41．已知正实数x，y满足x+2y＝4，则xy的最大值为，的最大值为．42．已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是；的最小值是．三．解答题（共8小题）43．设x，y∈R+，+＝3，求2x+y的最小值．44．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）45．已知x＞0，y＞0，2xy＝x+4y+a．（1）当a＝16时，求xy的最小值；（2）当a＝0时，求x+y+的最小值．46．已知x，y∈R*，且．（1）求xy的最小值；（2）求4x+6y的最小值．47．（1）已知x＞1，求2x+的最小值；（2）已知x＞y＞0，求x2+的最小值．48．若正数a，b满足a+b＝1，求+的最小值．49．（1）已知a＞0，b＞0，比较与a+b的大小；（2）已知正实数x，y满足x+y＝1，求的最小值．50．已知实数x，y，若x≥0，y≥0且x+y＝3，则的最大值．基本不等式精选练习答案一．选择题（共30小题）1．故选：C．2．故选：A．3．故选：B．4．故选：A．5．故选：B．6．故选：A．7．故选：D．8．故选：B．9．10．故选：C．11．故选：D．12．故选：C．13．故选：C．14．．故选：B．15．故选：D．16．故选：B．17．故选：D．18．故选：B．19．故选：A．20．故选：C．21．故选：B．22．故选：D．23．故选：D．24．故选：A．25．故选：A．26．故选：B．27．故选：A．28．故选：B．29．故选：A．30．故选：C．二．填空题（共12小题）31．．32．﹣3．33．1．34．2 35．．36．5．37．25．38．．39．．40．441．2；3 42．3，3三．解答题（共8小题）43．最小值为．44．45．（1）∴xy的最小值为16．（2）最小值为．46．（1）最小值24；（2）最小值50．47．（1）最小值为2+2；（2）最小值为8．48．最小值为．49．（1）∴≥a+b（当且仅当a＝b时取等号）（2）当且仅当x ＝y＝时有最小值为1．50．的最大值为．。

人教A 版必修一基本不等式同步练习题一 选择题1.已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合M ＝，N ＝，P ＝，则M ，N ，P 满足（ ）A ．P ＝M ∩（∁R N ）B ．P ＝（∁R M ）∩NC ．P ＝M ∪ND ．P ＝M ∩N2.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ） A ．＜＜B ．＜＜ C ．＜＜D ．＜＜3.若x ＞0，y ＞0，且x+y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是（ ） A ．当且仅当x ＝y 时S 有最小值2B ．当且仅当x ＝y 时P 有最大值C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值2D ．若S 为定值，当且仅当x ＝y 时P 有最大值4.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z ＝0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．35.已知m ，n ∈R ，m 2+n 2＝100，则mn 的最大值是（ ）A ．100B ．50C ．20D ．10 6.下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以22a =•≥+a b b a a b bB ．因为x ∈R ，所以1112 +xC ．a ＜0，所以4424=•≥+a aa a D ．因为x 、y ∈R ，xy ＜0，所以2)()(2)()(x -=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x yy x x y yx x x y 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10 8.若实数x ，y 满足2x+y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．C ．D ．9.若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值B ．+有最小值C ．+有最小值4D ．a 2+b 2有最小值10已知0＜x ＜4，则的最小值为（ ）A ．2 B ．3C ．4D ．8二 填空题11.函数f （x ）＝a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 ．12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．13.已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里＝300步）里．15.已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．16.已知x、y都为正数，且x+y＝4，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是．17.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于．18.一批物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要h．19.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．20.若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是．三解答题21.已知a，b，c均为正实数，求证：若a+b+c＝3，则．22.已知a，b，c∈R，满足a＞b＞c．（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意a＞b＞c恒成立，试写出一个p，并证明之．23.已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？24.已知，求函数的最大值．25.函数的最小值为多少？26.求下列函数的最值．（1）求函数的最小值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．27.若x，y为正实数，且2x+8y﹣xy＝0，求x+y的最小值．28.若﹣4＜x＜1，求的最大值．29.若x＞0，求函数y＝x+的最小值，并求此时x的值．30.设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．31.已知x＞2，求x+的最小值．32.x＞0，y＞0且＝1，求x+y的最小值．33.已知x∈（0，+∞），求的最大值．34.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？35.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润＝销售额﹣成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．38.已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．39.已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．40.已知a，b∈R，求证：ab≤（）2．41.（1）已知x＞1，求x+的最小值；（2）求的最大值．42.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？43.如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．人教A版必修一基本不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:利用不等式的性质，判断得到，集合集合的交集、并集、补集的定义依次判断四个选项即可．解：因为a＞b＞0，所以，对于A，因为N＝，则，因为集合M＝，所以M∩（∁RN）＝＝P，故选项A正确；对于B，因为∁R M＝{x|x≤b或}，则（∁RM）∩N＝≠P，故选项B错误；对于C，因为M∪N＝{x|b＜x＜a}≠P，故选项C错误；对于D，M∩N＝≠P，故选项D错误．故选A．2.分析:根据基本不等式的性质，进行判断即可．解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选B．3.分析:利用均值不等式及其变形进行解答．解：∵x，y∈R+，x+y＝S，xy＝P，∴S＝x+y≥2＝2①，当且仅当x＝y时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x＝y时S的值最小，故A、C错误；由①得，P≤＝，当且仅当x＝y时取等号；∴如果S是定值，那么当且仅当x＝y时P的值最大，故D正确，B错误．故选D．4.分析:依题意，当取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）＝+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．5.分析:利用重要不等式的性质即可得出．解：由m2+n2＝100，可得：100≥2mn，解得mn≤50，当且仅当m＝n＝±5时取等号．则mn的最大值是50．故选B．6.分析:利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，因为a、b为正实数，所以，故，当且仅当，即a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，则，故选项B错误；对于C，当a＜0时，，故选项C错误；对于D，因为xy＜0，则，所以，当且仅当，即x＝﹣y时取等号，故选项D正确．故选AD．7.分析:由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题．解：由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，所以m≤（+）（a+4b）恒成立，转化成求y＝（+）（a+4b）的最小值，y＝（+）（a+4b）＝8++≥16，所以m≤16．故选C．8.分析:根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选C．9.分析:由a+b＝1，根据逐一判断即可．解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；+，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选AC．10.分析:可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当，即x＝1时取等号．故选C．11.分析:利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．解：由指数函数的性质可得 A（1，﹣1），点在直线上，则：m+n﹣1＝0，m+n＝1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．12.分析:先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x+,∵5x+≥＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元,故答案为：2，2013.分析:由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（•+•+ ）2＝（1+1+）2＝6+4，当且仅当a＝b＝c，即a2+b2＝c2时，上式取得等号．则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，所以m≤6+4，即m的最大值为6+4，故答案为：6+4．14.分析:由题意知，BE＝4里，AG＝2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF•FG＝10里，再利用均值不等式求出EF+FG的最小值，进而得解．解：由题意知，BE＝1200步＝4里，AG＝750步＝2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以＝，所以EF•FG＝BE•AG＝4×2.5＝10里，所以EF+FG≥2＝2，当且仅当EF＝FG＝时，等号成立，而该小城的周长为4（EF+FG）≥8，所以该小城的周长的最小值为8里．故答案为：8．15.分析:a，b∈R+，且a+b++＝5，利用基本不等式的性质可得：5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解出即可得出．解：∵a，b∈R+，且a+b++＝5，则5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解得1≤t≤4．∴a+b的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．16.分析:利用基本不等式的结论求出，然后将不等式恒成立转化为，即可得到答案．解：因为x、y都为正数，且x+y＝4，所以，当且仅当时取等号，故，因为不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是．故答案为：．17.分析:根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S ＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为：．18.分析:由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，因此，t＝＝+≥2＝10．当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．故答案为：1019.分析:首先右边是xy的形式，左边是2x+y和常数的和的形式，考虑把左边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的不等式，可把xy看成整体换元后，求最小值．解：由条件利用基本不等式可得，令xy＝t2，即 t＝＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．20.分析:利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解：∵x2+y2+xy＝1,∴（x+y）2＝1+xy,∵xy≤,∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤,∴x+y的最大值是,故答案为：21.分析:利用基本不等式可得，同理，，三式相加即可得证．证明：∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a+1＝2，即a＝1时取等号；同理，当且仅当b+1＝2，即b＝1时取等号；，当且仅当c+1＝2，即c＝1时取等号．以上三个不等式相加，可得．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．22.分析:（1）由分析法，只可证明（a﹣c）（）＞0，再由基本不等式证明；（2）只需（a﹣c）（）＞0，左边＝2﹣p+≥4﹣p，即可求得p值．解:（1）证明：由a＞b＞c，得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只要证（a ﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝1+＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立；（2）解：要使，只需（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b ﹣c）]（）＝2﹣p+≥4﹣p＞0，则p＜4，∵p∈N*，∴可取p＝2或3．取p＝2，问题转化为＞0．证明如下：要证＞0，只需证明（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝≥＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立．23.分析:根据基本不等式即可求出．解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）≤×（）2＝，当且仅当3x＝4﹣3x时，即x＝时取等号，故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．24.分析:先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．解：∵∴5﹣4x＞0,∴＝﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3＝1,当且＝1．∴函数的最大值仅当5﹣4x＝，即x＝1时，上式成立，故当x＝1时，ymax为1．25.分析:先利用换元法得到f（t）＝t++2，然后结合基本不等式可求．解：设x﹣1＝t（t＞0），则x＝t+1，∴f（t）＝＝t++2+2，当且仅当t＝时取等号，∴函数的最小值为2+2．26.分析:（1）将所求的式子进行化简变形，转化为乘积为定值的结构，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）将已知的等式变形为，然后利用“1”的代换将所求式子进行变形，再利用基本不等式求解最值即可．解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，所以函数＝＝≥＝，当且仅当，即x＝时取等号，所以函数的最小值为．（2）因为x+3y＝5xy，则，又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）＝≥＝5，当且仅当且，即时取等号，所以3x+4y的最小值为5．27.分析:把已知2x+8y﹣xy＝0，变形为，而x+y＝，展开再利用基本不等式的性质即可．解：由2x+8y﹣xy＝0，及x＞0，y＞0，得．∴x+y＝＝10+2＝18，当且仅当，，即x＝12，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为18．故答案为18．28.分析:化简＝＝﹣[（1﹣x）+]，根据基本不等式即可求出．解：∵﹣4＜x＜1，∴1﹣x＞0,∴＝＝[（x﹣1）+]＝﹣[（1﹣x）+]≤﹣×2＝﹣1，当且仅当1﹣x＝时，即x＝0时取等号，故的最大值为﹣1．29.分析:由于x＞0，利用基本不等式可得y＝x+≥4，满足等号成立的条件，于是问题解决．解：∵x＞0，∴y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”．故y＝x+的最小值为4，当x＝2时，有最小值．30.分析:根据题意，由0＜x＜可得3﹣2x＞0，则可以将4x（3﹣2x）变形为2[2x（3﹣2x）]，再由基本不等式的性质可得2[2x（3﹣2x）]≤2（）2，即可得答案．解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0，则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝，当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立，答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为．31.分析:直接利用基本不等式的应用求出结果．解：由于x＞2，所以x﹣2＞0；故+2+2≥6，当且仅当x＝4时，等号成立．故最小值为6．32.分析:利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，所以x+y＝（x+y）（）＝10++≥10+2＝16,当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号，所以x+y的最小值为16．33.分析:先利用基本不等式求出的最小值，然后将所求函数转化为，即可得到答案．解：因为x∈（0，+∞），所以，当且仅当，即x＝时取等号，则＝，所以的最大值为．34.分析:（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m＝0时，x＝1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴；每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝＝21（万元）．所以，该厂家8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．35.分析:（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，∴y＝，则S＝＝38000+（0）；（2）S＝38000+≥38000+2＝38000+2＝118000（0＜x ＜），当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．故当AD的长为米时，总造价S有最小值118000元．36.分析:（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W（x）关于x的解析式即可．（2）根据（1）求出的利润W（x）的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，①当0＜x＜40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（10x2+100x+1000）﹣250＝﹣10x2+600x﹣1250，②当x≥40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（701x+﹣8450）﹣250＝﹣（x+）+8200，所以W（x）＝．（2）①当0＜x＜40时，W（x）＝﹣10x2+600x﹣1250，此时函数W（x）为开口向下的二次函数，所以当x＝30时，W（x）取得最大值，最大值为W（30）＝7750（万元），②当x≥40时，W（x）＝﹣（x+）+8200，因为x＞0，所以x+＝200，当且仅当x＝即x＝100时，等号成立．即当x＝100时，W（x）取得最大值﹣200+8200＝8000（万元），综上所述，当x＝100时，W（x）的值最大，最大值为8000（万元），故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．37.分析:由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求解：∵1＜2x＜8,∴p：0＜x＜3,∵￢p是￢q的必要条件,∴p是q的充分条件即p⇒q,∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵＝4，当且仅当x＝即x＝2时等号成立.∴m≤438.分析:（1）根据基本不等式的性质即可求解m的最小值；（2）根据a+b≤m恒成立，由（1）可得a+b的最大值为m，取绝对值即可求解；解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥（a+b）2，∴（a+b）2≤16，∴（a+b）≤4，故m≥4；（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4,故只需2|x﹣1|+|x|≥4，即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；x,故得实数x的取值范围是．39.分析:（1）由题意利用基本不等式求得u＝xy的最大值为10．（2）由题意利用基本不等式求得+的最小值为，可得 m2+4m≤，由此求得m的范围．解：（1）∵正实数x，y满足等式2x+5y＝20≥2，∴≤10，∴xy≤10，∴u＝xy的最大值为10．（2）∵＝1，∴+＝+＝1+++≥+2＝，当且仅当＝时，等号成立，故+的最小值为．∵不等式恒成立，∴m2+4m≤，求得﹣≤m≤，即m的范围为[﹣，]．40.分析:利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出．证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号．41.分析:（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）直接利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，因此x+的最小值为3．（2）由x（10﹣x）≥0，解得0≤x≤10．∴≤＝5，当且仅当x＝5时取等号．∴的最大值是5．42.分析:设底面的长为x，宽为y，则y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3600x++5800，再利用基本不等式即可得x＝8时，f（x）的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．解：如图所示，设底面的长为x，宽为，则xy＝48，∴y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3x•1200+3××800×2+5800＝3600x++5800≥+5800＝63400，当且仅当，即x＝8时，等号成立，故当房屋底面的长为8m，宽为6m 时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．（2）43.分析:（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．解：（1）由题意可得：，则，∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x＜）．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知＝，当且仅当时，不等式等号成立，所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．。

课时规范练A 组　基础对点练1．若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )xx 2＋3x ＋1A ．a ≥ B ．a >1515C ．a <D ．a ≤1515解析：因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(xx 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315当且仅当x ＝时等号成立，∴a ≥.1x 15答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <<　B ．a <<<bab a ＋b2ab a ＋b2C ．a <<b <D.<a <<bab a ＋b2ab a ＋b2解析：因为0<a <b ，所以a －＝(－)<0，故a <；b －＝>0，故b >ab a a b ab a ＋b2b －a2；由基本不等式知>，综上所述，a <<<b ，故选B.a ＋b2a ＋b2ab ab a ＋b2答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2 B ．3C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得＝＋＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·(＋)＝(4＋9＋＋3x ＋yxy 3y 1x 153y 1x 153yx )≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小12xy 15363yx 12xy 值为5.答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2 B.＋>ab 1a 1b 1abC.＋≥2D ．a 2＋b 2>2abb a ab 解析：因为ab >0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．ba ab b a ab b a ·a b 答案：C5．下列不等式一定成立的是( )A ． lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z)1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)D.>1(x ∈R)1x 2＋1解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋－x ＝2≥0，∴lg ≥lg x ，故不成立；对选项14(x －12)(x 2＋14)B ，当sinx <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．1x 2＋1答案：C6．若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( )1a 2b ab A. B ．22C ．2D ．42解析：法一：由已知得＋＝＝，且a >0，b >0，1a 2b b ＋2aab ab ∴ab ＝b ＋2a ≥2，∴ab ≥2.ab 2ab 2法二：由题设易知a >0，b >0，∴＝＋≥2，即ab ≥2，选C.ab 1a 2b 2ab 2答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )abA ．6＋2B ．7＋233C ．6＋4D ．7＋433解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且Error!ab 即a >0，b >0，所以＋＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(＋)＝7＋＋≥7＋2 4a 3b 4a 3b 4ba 3ab ＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.4b a ·3a b 34b a 3a b 答案：D8．(2018·宁夏银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥＝－(|x |＋)，设f (x )＝－(|x |＋)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋≥2(当且－1－|x |2|x |1|x |1|x |1|x |仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B.答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝有( )2xx 2＋1A ．最小值1 B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝≤＝1.当且仅当x ＝，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.2x ＋1x 22x ·1x 1x 答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2 B ．a 2＋b 2>2abab C.＋≥2D ．|＋|≥2a b b a a b ba 解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2不成立；ab 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立；对于C ，当a ，b 异号时，＋≥2不成立；ba ab 对于D ，因为，同号，所以|＋|＝||＋||≥2＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即b a ab b a ab ba ab |b a |·|a b ||＋|≥2恒成立．b a ab 答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f ()，q ＝f ()，r ＝(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确ab a ＋b212的是( )A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >pD ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴>，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f ()<f ()，即a ＋b2ab ab a ＋b2q >p ，∴r ＝(f (a )＋f (b ))＝(ln a ＋ln b )＝ln ＝f ()＝p ，∴p ＝r <q .故选B.1212ab ab 答案：B12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则＋的最小值为1a ＋11b ＋3__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴＋1a ＋11b ＋3＝[(a ＋1)＋(b ＋3)]18(1a ＋1＋1b ＋3)＝18(2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3)≥(2＋2)＝，1812当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴＋的最小值为.1a ＋11b ＋312答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.ax 解析：f (x )＝4x ＋≥2＝4，当且仅当4x ＝，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知ax 4x ·ax a ax a ＝4×32＝36.答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝()y ，则＋的最小值为________．121x 4y 解析：2x －3＝()y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以＋＝(＋)121x 4y 131x 4y (x ＋y )＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝3(当且仅当＝，即y ＝2x 时取等号)．13y x 4xy 13y x ·4x y y x 4x y 答案：3B 组　能力提升练1．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为( )1a 1b 1a －19b －1A ．16 B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足＋＝1，1a 1b ∴a ＋b ＝ab ，＝1－>0，＝1－>0，1a 1b 1b 1a ∴b >1，a >1，则＋≥21a －19b －19(a －1)(b －1)＝2＝69ab －(a ＋b )＋1，(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)∴＋的最小值为6，故选C.1a －19b －1答案：C2．若存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，即存在x 0>1，使不等式lnx 0－<0成立．a (x 0－1)x 0＋1令g (x )＝ln x －(x >1)，则g (1)＝0，a (x －1)x ＋1g ′(x )＝－＝.1x 2a(x ＋1)2x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥0(x >1)，从而g ′(x )≥0，得g (x )在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )>g (1)＝0，不合题意；当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－，(a －1)2－1x 2＝a －1＋，(a －1)2－1由x 2>1和x 1x 2＝1得0<x 1<1，易知当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，此时g (x )<g (1)＝0，即ln x －<0，满足存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x <a (x 0－2)成立．a (x －1)x ＋1综上，a 的取值范围是(2，＋∞)．答案：B3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为9，则λ的值为( )π33A ．8 B ．12C ．16D ．21解析：S △ABC ＝ab sin C ＝ab ≤·()2＝λ2＝9，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得123434a ＋b23163λ＝12.答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则＋的最小值为( )4x ＋21y ＋1A. B ．21315C.D ．394解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则＋＝4x ＋21y ＋114≥＝，当且仅当x ＝，(5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1)14[5＋24(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1]9423y ＝时，＋取最小值.134x ＋21y ＋194答案：C5.(－6≤a ≤3)的最大值为( )(3－a )(a ＋6)A ．9 B.92C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，≤(3－a )(a ＋6)＝，当且仅当a ＝－时等号成立．(3－a )＋(a ＋6)29232答案：B6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥2＝2(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴≤，∴2x ＋y ≤2x ·2y 2x ＋y 2x ＋y 12，x ＋y ≤－2，故选D.14答案：D7．若两个正实数x ，y 满足＋＝1，且不等式x ＋<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围1x 4y y4是( )A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x ＋<m 2－3m 有解，∴min <m2－3m ，∵x >0，y >0，且y4(x ＋y4)＋＝1，∴x ＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即1x 4y y4(x ＋y 4)(1x ＋4y )4x y y4x 4x y ·y 4x 4x y y 4x x ＝2，y ＝8时取等号，∴min ＝4，∴m2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值(x ＋y4)范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )xyz 2x 1y 2z A ．0 B ．1C.D ．394解析：＝＝≤＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时xyz xyx 2－3xy ＋4y 21xy ＋4y x －314－3z ＝2y 2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y 22y (1y －1)值为1.答案：B9．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则的最小值是( )Sn ＋8an A.B.9272C ．2＋D ．2－212212解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝，n (1＋n )2∴＝Sn ＋8an n (1＋n )2＋8n ＝12(n ＋16n＋1)≥12(2n ·16n＋1)＝，92当且仅当n ＝4时取等号．∴的最小值是，故选A.Sn ＋8an 92答案：A10．(2018·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则＋的最小值为( )2m 1n A ．2 B ．42C.D.5292解析：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m ＝n ＝时等2m 1n 2m ＋nm 2m ＋n 2n n m m n 12529223号成立．所以＋的最小值为，故选D.2m 1n 92答案：D11．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝(k 2≠0)，k 2x ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，(5x ＋20x )∵5x ＋≥2＝20，当且仅当5x ＝，20x 5x ×20x 20x 即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．答案：2　2012．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即(x ＋2y2)x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.答案：113．设a >0，b >0.若是3a 与32b 的等比中项，则＋的最小值为__________．32a 1b 解析：因是3a 与32b 的等比中项，3则有3a ×32b ＝()2，即3a ＋2b ＝3，3得a ＋2b ＝1，则＋＝(a ＋2b )2a 1b (2a ＋1b )＝4＋≥4＋2(4ba＋ab )4＝8，(当且仅当a ＝2b ＝12时取等)即＋的最小值为8.2a 1b 答案：814．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 解析：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，C (，)，D (，)．又＝λ，＝，则E (2－λ， λ)，F (＋，)，λ>0，32321232BE → BC → DF → 19λDC→ 12321219λ32所以·＝(2－λ)·(＋)＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，λ>0，当且仅当AE → AF → 121219λ34171829λ12171829λ·12λ2918＝λ，即λ＝时取等号，故·的最小值为.29λ1223AE → AF → 2918答案：2918。