通用版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十四空间几何体的三视图直观图表面积与体积

课时跟踪训练(四十一)[基础巩固]一、选择题1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是()A．8 B．20＋8 2C．16 D．24＋8 2[解析]由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋22×4＋12×2×2×2＝20＋8 2.[答案] B2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A.312B.34C.612D.64[解析] V B 1－ABC 1＝V C 1－ABB 1＝13×12×1×1×32＝312. [答案] A3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛[解析] 米堆的体积为14×13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫8×42π2×5＝3203π.将π＝3代入上式，得体积为3209立方尺．从而这堆米约有3209×1.62≈22(斛)．[答案] B4．(2017·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A ．24－πB ．24－3πC ．24＋πD ．24－2π[解析] 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方18球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π，故选A.[答案] A5．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3[解析] 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.[答案] A6．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16[解析] 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为(2＋4)×22×2＝12，故选B. [答案] B 二、填空题7．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3.设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为4π3R 3＝4π3×278＝9π2.[答案] 9π28．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．[解析] 该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，∴该几何体的表面积为：S ＝16＋12×4π×12－π×12＝16＋π.[答案] 16＋π9．(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析] 由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其体积V 1＝2×1×1＝2；两个14圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝1，故其体积V 2＝12×π×12×1＝π2.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝2＋π2. [答案] 2＋π2 三、解答题10．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．[解]由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V＝V圆台－V圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.[能力提升]11．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64π C．144π D．256π[解析]如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝12R2，要使V O－ABC＝13·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(V O－ABC )max＝13×12R2×R＝16R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S球＝4πR2＝144π.故选C.[答案] C12．(2017·重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532 D ．3 3[解析] 该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB 1DC 1C ，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A －A 1C 1D 的体积，即33－13×3×32＝532.[答案] C13．(2017·河南南阳一中四模)球O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，AB ＝2，E ，F 分别为棱AD ，CC 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．[解析]设EF与球面交于M，N两点，因为AB＝2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，所以EF＝6，OE＝OF＝2，取EF中点O′，则O′F＝62，所以OO′＝(2)2－⎝⎛⎭⎪⎫622＝22.由球O为正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，可得ON＝1，由勾股定理得O′N＝2 2，故MN＝ 2.所以直线EF被球O截得的线段长为 2.[答案] 214．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2，P A＝PC＝22，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是__________．[解析]由已知得，△P AD，△PDC，△P AB，△PBC都是直角三角形．设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP ，易知V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －P AD ＋V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即13×22×2＝13×22×R ＋13×12×22×R ＋13×12×22×2×R ＋13×12×22×2×R ＋13×12×22×R ，解得R ＝2－2，所以此球的最大半径是2－2.[答案] 2－ 215．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，△ABC 为等边三角形，AA ′⊥平面ABC ，AB ＝3，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)三棱锥C －MNP 的体积．[解] (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如下图，设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又∵NC ∥AM ，故PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.(3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M －PCN 中，M 到面PCN 的距离，即h ＝32×3＝332.∴V C －MNP ＝V M －PCN ＝13·h ·S △PCN ＝13×332×45＝235.16．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ADC 是正三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．[解] (1)证明：取AC 的中点O ，连接BO 、DO ，如图所示．因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .(2)连接EO .由(1)及题设知，∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO .在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.[延伸拓展](2017·安徽蚌埠一模)如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )A.22＋12B.62＋12C.32D.32＋12[解析] 蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝1－14＝32，而截面到底面的距离即为三角形的高12，所以球心到底面的距离为32＋12.[答案] D合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系一、填空题1. 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是____________．(用符号表示)答案：AB⊂α解析：由公理1可知AB⊂α.2. 已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．答案：P∈l解析：因为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l.3. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a∥b，b⊥c，则a⊥c.上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①④解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b 与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；根据异面直线所成角的定义知④正确．4. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________．(填序号)① l与l1，l2都不相交；② l与l1，l2都相交；③ l至多与l1，l2中的一条相交；④ l至少与l1，l2中的一条相交．答案：④解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2是异面直线相矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．故④正确．5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有__________条．答案：4解析：∵ EF是△OB1C1的中位线，∴ EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴与EF平行的棱共有4条．6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的有________对．答案：3解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方体，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是________．(填序号)① A，M，C1三点共线；② M，O，A1，A四点共面；③ A，O，C，M四点共面；④ B，B1，O，M四点共面．答案：①④解析：作出图形，可知②③正确．8. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．答案：60°解析：如图，取A 1C 1的中点E ，连结B 1E ，ED ，AE ，在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求，设AB ＝1，则AA 1＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，故∠AB 1E ＝60°.9. 如图，点G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案：②④解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以图②④中GH 与MN 异面．10. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M, N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)① MN 与CC 1垂直；② MN 与AC 垂直； ③ MN 与BD 平行；④ MN 与A 1B 1平行．答案：①②③解析：连结B 1C ，B 1D 1，则MN 是△B 1CD 1的中位线，∴ MN ∥B 1D 1.∵ CC 1⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1，BD ∥B 1D 1，∴ MN ⊥CC 1，MN ⊥AC ，MN ∥BD ，故①②③正确． ∵ A 1B 1与B 1D 1相交，∴ MN 与A 1B 1不平行，因此④错误． 二、 解答题11. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q. (1) 求证：D ，B ，E ，F 四点共面；(2) 作出直线A 1C 与平面BDEF 的交点R 的位置．(1) 证明：由于CC 1和BF 在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O ，则OC 1＝C 1C.同理直线DE 与CC 1也相交，设交点为O′，则O′C 1＝C 1C ，故O′与O 重合．由此可证得DE∩BF ＝O ，故D ，B ，F ，E 四点共面(设为α)．(2) 解：由于AA 1∥CC 1，所以A 1，A ，C ，C 1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD ⊂α，故P∈α. 又P∈AC，而AC ⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ. 因为A 1C ⊂β，所以A 1C 与平面α的交点就是A 1C 与PQ 的交点，连结A 1C ，则A 1C 与PQ 的交点R 就是所求的交点． 12. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形EBFD 1是菱形．证明：如图，取B 1B 的中点G ，连结GC 1，EG ， ∵ GB ∥C 1F ，且GB ＝C 1F ，∴ 四边形C 1FBG 是平行四边形，∴ FB ∥C 1G ，且FB ＝C 1G. ∵ D 1C 1∥EG ，且D 1C 1＝EG ，∴ 四边形D 1C 1GE 为平行四边形， ∴ GC 1∥D 1E ，且GC 1＝D 1E ， ∴ FB ∥D 1E ，且FB ＝D 1E ，∴ 四边形EBFD 1为平行四边形．∵ FB ＝FD 1，∴ 四边形EBFD 1是菱形．13. 已知空间四面体ABCD ，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH＝13DC.求证： (1) E ，F ，G ，H 四点共面；(2) 三条直线FH ，EG ，AC 共点．证明：(1) 如图，连结EF ，GH.∵ 点E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴ EF ∥BD.∵ CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴ GH ∥BD ，∴ EF ∥GH ， ∴ E ，F ，G ，H 四点共面．(2) 易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴ 设FH∩AC＝M ，∴ M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC. ∵ 平面EFHG∩平面ABC ＝EG ，∴ M ∈EG ，∴ 直线FH ，EG ，AC 共点．第2课时 直线与平面的位置关系(1)一、 填空题1. 直线a ，b 为异面直线，关于过直线a 且与直线b 平行的平面的情况，下列说法正确的是________．(填序号)① 有且只有一个；② 有无数多个；③ 至多一个；④ 不存在． 答案：①解析：在直线a 上任选一点A ，过点A 作b′∥b，则b′是唯一的，又a∩b′＝A ，所以a 与b′确定一平面并且只有一个平面，故①正确．2. 对于不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫n∥αm ⊂α⇒m ∥n ；②⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m∥β⇒n ∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 不共面；④⎭⎪⎬⎪⎫n∥βm∥α⇒m ∥n. 其中假命题的个数是__________． 答案：4解析：①中m 与n 可能平行，也可能异面；②中可能n ⊂β；③中可能m∥n 或m 与n 相交；④中不知道α与β的位置，无法判断m 与n 的位置关系．故四个命题都不正确．3. 若直线l 与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)① α内的所有直线都与直线l 异面；② α内不存在与l 平行的直线；③ α内的直线与l 都相交；④ 直线l 与平面α有公共点．答案：④解析：直线l 与平面α不平行，则直线l 与平面α有如下关系：l ⊂α或l∩α＝A ，故①②③均不正确，④正确．4. 下列命题正确的是________．(填序号)① 若a ，b 是两条直线，且a∥b，那么a 平行于经过b 的任何平面； ② 若直线a 和平面α满足a∥α，那么a 与α内的任何直线平行； ③ 若直线a ，b 和平面α满足a∥α，b ∥α，那么a ∥b ； ④ 若直线a ，b 和平面α满足a∥b，a ∥α，b ⊄α，则b∥α. 答案：④解析：根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．5. 已知三条直线a ，b ，c 和平面β，则下列推论正确的是________．(填序号) ① 若a∥b，b ⊂β，则a∥β； ② 若a∥β，b ∥β，则a∥b；③ 若a ⊂β，b ∥β，a ，b 共面，则a∥b； ④ 若a⊥c，b ⊥c ，则a∥b. 答案：③解析：对于①，可能有a ⊂β，故①错；对于②，a 与b 可能平行、相交或异面，故②错；对于④，a 与b 可能平行、相交或异面，故④错；根据线面平行的性质定理知，③正确．6. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________．答案： 2解析：因为EF∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以 EF∥AC.又点E 是AD 的中点，所以点F 是DC 的中点．所以EF ＝12AC ＝ 2.7. 过三棱柱ABCA 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条． 答案：6解析： 四条棱AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点中任意两点连线均与平面ABB 1A 1平行，所以共有6条直线符合题意． 8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是________．(填序号)答案：②③④解析：因为点M ，N ，Q 分别为对应棱的中点，所以在①中AB 与平面MNQ 相交，在②③中均有AB∥MQ，在④中，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB 与平面MNQ 平行．9. 如图，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，H 分别是棱C 1C ，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，点N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则点M 只需满足条件________________时，就有MN∥平面B 1BDD 1.(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部的可能情况)答案：点M 与点H 重合(或点M 在线段FH 上) 解析：当点M 在线段FH 上时，MN ∥平面B 1BDD 1. 二、 解答题10. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点．求证：EF∥平面PAB.证明：因为点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点， 所以EF∥CD.又在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，所以EF∥AB， 又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF∥平面PAB.11. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．求证：BF∥平面A 1EC.证明：如图，连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.因为点F 为AC 的中点，所以OF∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为点E 为BB 1的中点，所以BE∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形， 所以BF∥OE.又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF∥平面A 1EC.12. 如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G.求证：四边形EFHG 是平行四边形．证明：∵ AB∥α，平面ABC∩α＝EG ，∴ EG ∥AB. 同理FH∥AB，∴ EG ∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH. ∴ GH∥CD. 同理EF∥CD， ∴ GH ∥EF.∴ 四边形EFHG 是平行四边形．13. 如图，在斜三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的中点．求证： (1) AD 1∥平面BDC 1； (2) BD∥平面AB 1D 1.证明：(1) 因为点D 1，D 分别为A 1C 1与AC 的中点，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以C 1D 1∥DA ，C 1D 1＝DA ， 所以四边形ADC 1D 1为平行四边形， 所以AD 1∥C 1D.又AD 1⊄平面BDC 1，C 1D ⊂平面BDC 1， 所以AD 1∥平面BDC 1. (2) 如图，连结D 1D ，因为BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，所以BB1∥D1D.又D1，D分别为A1C1与AC的中点，所以BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1.第3课时直线与平面的位置关系(2)一、填空题1. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．答案：充分不必要解析：l⊥α⇒l⊥m，l⊥n.反之，因为 m，n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.2. 下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．(填序号)① l与平面α内的两条直线垂直；② l与平面α内的无数条直线垂直；③ l与平面α内的某一条直线垂直；④ l与平面α内的任意一条直线垂直．答案：④解析：由线面垂直的定义及判定定理可知④正确．3. 下列说法正确的是________．(填序号)①若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线；③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面．答案：②解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，①错误；②正确；③中垂直于这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，③错误．4. 已知平面α，β和直线m，给出条件：① m∥α；② m⊥α；③ m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填序号)答案：②④解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.5. 已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.其中真命题是____________．(填序号)答案：②③6. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝________．答案：12解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF.由已知，得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h.又2×2＝h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等，得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，解得x ＝12.即线段B 1F 的长为12.7. 如图，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．答案：4 解析：⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴ 直角三角形有△PAB，△PAC ，△ABC ，△PBC.8. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．答案：12解析：如图，在平面ADD 1A 1中作A 1E ⊥AD 1于点E ，连结C 1E ，因为正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，所以A 1E ⊥AB.因为AD 1 ∩AB ＝A ，AD 1，AB ⊂平面ABC 1D 1，则A 1E ⊥平面ABC 1D 1，所以∠A 1C 1E 就是A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角，在Rt △AA 1D 1中，AA 1＝A 1D 1，A 1E ⊥AD 1，所以点E 为AD 1的中点，且A 1E ＝12AD 1＝12A 1C 1，所以sin ∠A 1C 1E＝A 1E A 1C 1＝12.9. 设α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同的直线．从“① m⊥n；② α⊥β；③ n ⊥β；④ m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)答案：①③④⇒②或②③④⇒① 解析：因为当n⊥β，m ⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m ，n 所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．10. 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF.答案：a或2a解析：由题意可得B1D⊥平面A1ACC1，∴ CF⊥B1D，∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴ x2－3ax＋2a2＝0，∴ x＝a或x＝2a.二、解答题11. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，PA＝AC，点E是PA的中点，点F 是PC的中点，求证：(1) PC∥平面BDE；(2) AF⊥平面BDE.证明：(1) 连结OE，因为点O为菱形ABCD对角线的交点，所以点O为AC的中点．因为点E为PA的中点，所以OE∥PC.因为OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2) 因为PA＝AC，△PAC是等腰三角形，又点F是PC的中点，所以AF⊥PC.又OE∥PC，所以AF⊥OE.因为PA⊥底面ABCD，BD ⊂平面ABCD，所以PA ⊥BD.因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC⊥BD.又PA∩AC＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，所以AF⊥BD .又OE∩BD＝O，OE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，所以AF⊥平面BDE.12. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.(1) 求证：AD⊥平面BCC1B1；(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1.证明：(1) 因为ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥C1D，CC1，C1D⊂平面BCC1B1，CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BCC1B1.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，点E是B1C1的中点，所以A 1E ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1E ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1E.又因为B 1C 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1，B 1C 1∩CC 1＝C 1， 所以A 1E ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD⊥平面BCC 1B 1，所以A 1E ∥AD. 又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1， 所以A 1E ∥平面ADC 1.13. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝2AB ，D 是AB 的中点．若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1.求证：AP⊥平面A 1CD.证明：∵ CA＝CB ，D 是AB 的中点，∴ CD ⊥AB.∵ 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面ABC⊥侧面A A 1B 1B ，交线为AB ，又CD ⊂平面ABC ，∴ CD ⊥平面AA 1B 1B. ∵ AP ⊂平面A 1B 1BA ，∴ CD ⊥AP.∵ BB 1＝2BA ，BB 1＝AA 1 ，BP ＝14BB 1，∴ BP BA ＝24＝AD AA 1， ∴ Rt △ABP ∽Rt △A 1AD ，∴ ∠AA 1D ＝∠BAP， ∴ ∠AA 1D ＋∠A 1AP ＝∠BAP＋∠A 1AP ＝90°， ∴ AP ⊥A 1D.∵ CD ∩A 1D ＝D ，CD ⊂平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ， ∴ AP ⊥平面A 1CD.第4课时 平面与平面的位置关系一、 填空题1. 设α，β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ① 若m∥n，n ⊂α，则m∥α；② 若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③ 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥n；④ 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n⊥β. 其中正确的命题是____________．(填序号) 答案：④解析：①中没有强调m 在平面α外；②中没有强调m ，n 相交；③中m 与n 有可能异面；④正确． 2. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中正确的是________．(填序号) ① AD 1∥BC 1；② 平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③ AD 1∥DC 1；④ AD 1∥平面BDC 1. 答案：①②④解析：由四边形ABC 1D 1是平行四边形可知AD 1∥BC 1，故①正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，②④正确；AD 1与DC 1是异面直线，故③错误．3. 已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列说法中正确的序号是________． ① 若m∥α，α∩β＝n ，则m∥n； ② 若m⊥α，n ⊥m ，则n∥α；③若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β.答案：③解析：对于①，如图，m∥α，α∩β＝n，此时m，n异面，故①错误；对于②，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；对于③，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴ m⊥n，故③正确；对于④，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m也可能与β相交、平行或在β内，故④错误．4. 已知α和β是两个不重合的平面．在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线的三点到β的距离相等；③ l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β；④ l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.答案：④解析：由面面平行的判定定理可以推出．5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)①若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.答案：②解析：②选项，由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β.6. 设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出四个论断：① α∩β＝b；② a⊂β；③ a∥b；④ a∥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的命题：__．答案：①②③⇒④或①②④⇒③解析：若α∩β＝b，a⊂β，a∥b，则a∥α，即①②③⇒④；若α∩β＝b，a⊂β，a∥α，则a∥b，即①②④⇒③.7. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的序号是________．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.答案：①④解析：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，又由n⊥β得m⊥β，故④正确．8. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．答案：5解析：由PA⊥平面ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD.又AD⊥PA，且AD⊥AB，PA∩AB ＝A，∴DA⊥平面PAB，∴平面DPA⊥平面PAB.又BC∥ AD，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB，同理DC ⊥平面PDA，∴平面PDC⊥平面PDA.9. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；② α⊥β⇒l∥m；③ m ∥α⇒l ⊥β；④ l⊥β⇒m ∥α. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①④解析：①是面面平行的性质的应用，正确；②α⊥β，l ⊥α，l ，m 可平行，可相交，可异面，命题错误；③m∥α，l ⊥α⇒ l ⊥m ⇒ l 与β可平行，l 可在β内，l 可与β相交，命题错误；④l ⊥β，l ⊥α⇒β∥α⇒m ∥α，命题正确．10. 在棱长均相等的正四棱锥PABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，有下列结论：① PC∥平面OMN ；② 平面OMN⊥平面PAB ；③ OM ⊥PA ；④ 平面PCD∥平面OMN.其中正确结论的序号是________．答案：①③④解析：如图所示，其中E ，F 分别为AD ，BC 的中点，连结OE ，OF ，G 为OE 的中点，连结EM ，MG ，AC ，BD ，平面OMN 即平面MNOE.因为M 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以PC∥OM，所以PC∥平面OMN ，同理PD∥平面OMN ，所以平面PCD∥平面OMN ，故①④正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以PA 2＋PC 2＝AB 2＋BC 2＝AC 2，所以PC⊥PA.又PC∥OM，所以OM⊥PA，故③正确．因为OM ＝12PC ＝12PD ＝ME ，所以MG⊥OE.又MN∥OE，所以GM ⊥MN.假设平面OMN⊥平面PAB ，则GM⊥平面PAB ，则MG⊥PA，设四棱锥的棱长为4，则MA ＝2，AG ＝5，MG ＝3，三边长度不满足勾股定理，所以MG 不垂直PA ，与假设矛盾，故②不正确．二、 解答题11. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．求证： (1) B 1C 1∥平面A 1DE ；(2) 平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.证明：(1) 因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以DE∥BC. 又因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，B 1C 1∥BC ，所以B 1C 1∥DE. 又B 1C 1⊄平面A 1DE ，DE ⊂平面A 1DE ，所以B 1C 1∥平面A 1DE. (2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ， 又DE ⊂底面ABC ，所以CC 1⊥DE. 又BC⊥AC，DE ∥BC ，所以DE⊥AC.又CC 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC ＝C ，所以DE⊥平面ACC 1A 1. 又DE ⊂平面A 1DE ，所以平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.12. 如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD, BC ⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E ，F(E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF⊥AD.求证：(1) EF∥平面ABC ； (2) AD⊥AC.证明：(1) 在平面ABD 内，因为AB⊥AD，EF ⊥AD ，所以EF∥AB. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF∥平面ABC.(2) 因为平面ABD⊥平面BCD ，平面ABD∩平面BCD ＝BD ， BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD ⊂平面ABD ， 所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以A D⊥平面ABC. 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD⊥AC.13. 如图，在四面体ABCD 中，平面ABC⊥平面ACD ，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC ＝BC ，∠ACD ＝90°.(1) 求证：AB⊥平面EDC ；(2) 若P 为FG 上任一点，求证：EP∥平面BCD.证明：(1) 因为平面ABC⊥平面ACD ，∠ACD ＝90°，即CD⊥AC， 平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，CD ⊂平面ACD ， 所以CD⊥平面ABC. 又AB ⊂平面ABC ， 所以CD⊥AB.因为AC ＝BC ，E 为AB 的中点， 所以CE⊥AB.又CE∩CD＝C ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ， 所以AB⊥平面EDC.(2) 连结EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF∥BD.又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ， 所以EF∥平面BCD.同理可证EG∥平面BCD ，且EF∩EG＝E ，EF ⊄平面BCD ，EG ⊄平面BCD ， 所以平面EFG∥平面BCD. 又P 为FG 上任一点， 所以EP ⊂平面EFG ，所以EP∥平面BCD.第5课时 空间几何体的表面积和体积一、 填空题1. 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积为________．答案：22π3解析：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，因为3π＝13πl 2，所以l ＝3，由2πr ＝120°×π×l 180°，得r ＝1，所以圆锥的高是22，所以圆锥的体积是13×π×12×22＝22π3.2. 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.答案：32解析：三棱锥D 1A 1BD 的体积等于三棱锥BA 1D 1D 的体积，因为三棱锥BA 1D 1D 的高等于AB ，△A 1D 1D 的面积为矩形AA 1D 1D 的面积的12，所以三棱锥BA 1D 1D 的体积是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积的16，所以三棱锥D 1A 1BD 的体积为16×32×1＝32. 3. 若正四棱锥的底面边长为2 cm ，侧面积为8 cm ，则它的体积为________cm 3.答案：433解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c ＝8，12ch ′＝8，所以斜高h ′＝2，所以正四棱锥的高h ＝3，所以正四棱锥的体积为13×22×3＝433.4. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．答案：43解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.5. 设M ，N 分别为三棱锥P ABC 的棱AB ，PC 的中点，三棱锥P ABC 的体积记为V 1，三棱锥P AMN 的体积记为V 2，则V 2V 1＝________．答案：14解析：设△AMN 的面积为S ，点P 到平面AMN 的距离为h ，则V 2＝13Sh ，而V 1＝2×13×2S ×h ，则V 2V 1＝14.6. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥PABA 1的体积为________．答案：934解析：三棱锥的底S △ABA 1＝12×3×3＝92，点P 到底面ABA 1的距离为△ABC 的高：h ＝32 3，故三棱锥的体积V ＝13Sh ＝934.7. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1ADE 的体积为________．答案：112解析：三棱锥B 1ADE 的体积＝三棱锥DB 1AE 的体积＝13×1×12×1×12＝112.8. 若一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．答案：2解析：底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积为8，则该正方体的棱长为2.9. 已知正四棱锥OABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．答案：24π解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π. 10. 将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．答案：4解析：因为将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥OEFG 的高为圆柱的高，即高为AB ，所以当三棱锥OEFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且点G 在EF 的垂直平分线上时，(S △EFG )max ＝12×4×2＝4，所以三棱锥OEFG 体积的最大值V max ＝13×(S △EFG )max ×AB ＝13×4×3＝4.二、 解答题11. 如图，在三棱锥DABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝a ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF ＝3FC.(1) 求三棱锥DABC 的体积；(2) 若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且CN ＝38CA ，求证：MN∥平面DEF.(1) 解：因为△BCD 是正三角形，且AB ＝BC ＝a ，所以S △BCD ＝34a 2.因为AB⊥平面BCD ，所以V DABC ＝V A BCD ＝13×S △BCD ×AB ＝13×34a 2×a ＝312a 3.(2) 证明：连结CM ，设CM∩DE＝O ，连结OF.则O 为△BCD 的重心，CO ＝23CM.因为CN ＝38CA ，AF ＝3FC ，所以CF ＝23CN ，所以MN∥OF.因为OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所以MN∥平面DEF.12. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，点D 为线段AC 的中点，点E 为线段PC 上一点．(1) 求证：PA ⊥BD ；(2) 求证：平面BDE⊥平面PAC ；(3) 当PA∥平面BDE 时，求三棱锥EBCD 的体积．(1) 证明：因为PA⊥AB，PA ⊥BC ，所以PA⊥平面ABC.因为BD ⊂平面ABC ，所以PA⊥BD.(2) 证明：因为AB ＝BC ，点D 为AC 的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知，PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BD⊥平面PAC.又BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE⊥平面PAC.(3) 解：因为PA∥平面BDE ，平面PAC∩平面BDE ＝DE ， 所以PA∥DE.因为点D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE⊥平面ABC ，所以三棱锥E BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.13. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，BD ∩AC ＝O ，现将其沿菱形对角线BD 折起得到四面体EBCD ，使EC ＝ 2.(1) 求证：EO⊥CD.(2) 求点O 到平面EDC 的距离．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD. ∵ BD ∩AC ＝O ，∴ EO ⊥BD.∵ 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∴ AD ＝CD ＝BC ＝2，AO ＝OC ＝1. ∵ EC ＝2，CO ＝EO ＝1，∴ EO 2＋OC 2＝EC 2，∴ EO ⊥OC.又BD∩OC＝O ， ∴ EO ⊥平面BCD ，∴ EO ⊥CD.(2) 解：设点O 到平面ECD 的距离为h ，由(1)知EO⊥平面OCD.V 三棱锥OCDE ＝V 三棱锥EOCD ，即13S △OCD ·EO ＝13S △ECD ·h.在Rt △OCD 中，OC ＝1，OD ＝3，∠DOC ＝90°，∴ S △OCD ＝12·OC ·OD ＝32.在△CDE 中，ED ＝DC ＝2，EC ＝2，∴ S △CDE ＝12×2×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝72，∴ h ＝S △OCD ·EO S △ECD ＝217，即点O 到平面EDC 的距离为217.第6课时 空间向量在立体几何中的应用一、 填空题1. 已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →＝________．答案：12(b ＋c －a )解析：MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )．2. 若直线l⊥α，且l 的方向向量为(m ，2，4)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，则m 为________． 答案：1解析：∵ (m，2，4)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，∴ m ＝1.3. 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________．答案：－2或255解析：由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，解得λ＝－2或255.4. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点．若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)，则给出下列结论：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③ AP →是平面ABCD 的一个法向量；④ AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号)答案：①②③解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，即AP⊥AB； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP⊥AD.又AB∩AD＝A ，∴ AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD的一个法向量．由于BD →＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)，∴ 2－1≠32≠4－1，∴ AP →与BD →不平行．5. 已知正四棱柱ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．答案：23解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0.令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →|n||DC →||＝23.6. 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．答案：85解析：AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝50＋20＋15＝85，即 |AC 1→|＝85.7. 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1­ ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点，则异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为________．答案：31010解析：以A 为坐标原点，以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A ­xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4) ，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.8. 已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动．当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：∵ 点Q 在直线OP 上，∴ 设点Q(λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23.当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23，此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 9. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．答案：23解析：如图，以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，D(0，1，0)， 所以A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12.设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.二、 解答题 10. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ ＝λBB 1(λ≠0)．(1) 若λ＝12，求AP 与AQ 所成角的余弦值；(2) 若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．解：以A 点为坐标原点，{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.(1) 因为AP →＝(1，2，2)，AQ →＝(2，0，1)，所以cos 〈AP →，AQ →〉＝AP →·AQ →|AP →||AQ →|＝1×2＋2×0＋2×19×5＝4515.所以AP 与AQ 所成角的余弦值为4515.(2) 由题意可知，AA 1→＝(0，0，2)，AQ →＝(2，0，2λ)． 设平面APQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2z ＝0，2x ＋2λz ＝0.令z ＝－2，则x ＝2λ，y ＝2－λ. 所以n ＝(2λ，2－λ，－2)．因为直线AA 1与平面APQ 所成角为45°，所以|cos 〈n ，AA 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AA →1|n ||AA →1|＝ 42（2λ）2＋（2－λ）2＋（－2）2＝22， 化简得5λ2－4λ＝0.又λ≠0，所以λ＝45.11. 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1) 求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2) 求二面角BA 1DA 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE⊥AD，交BC 于点E. 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD.如图，以A 点为原点，{AE →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，所以A(0，0，0)，B(3，－1，0)，D(0，2，0)，E(3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)．(1) A 1B →＝(3，－1，－3)，AC 1→＝(3，1，3)，则cos 〈A 1B →，AC 1→〉＝A 1B →·AC 1→|A 1B →||AC 1→|＝3×3＋（－1）×1－3×3（3）2＋（－1）2＋（－3）2×（3）2＋12＋（3）2＝－17， 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2) 平面A 1DA 的一个法向量为AE →＝(3，0，0)． 设m ＝(x ，y ，z)为平面BA 1D 的法向量， 又A 1B →＝(3，－1，－3)，BD →＝(－3，3，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，所以cos 〈AE →，m 〉＝AE →·m |AE →||m |＝3×3－0×3＋0×23×32＋（3）2＋22＝34. 设二面角BA 1DA 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 所以二面角BA 1DA 的正弦值为74. 12. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝∠CBA＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1) 求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值．(2) 若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)． ∵ 点E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12， ∴ EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，12，DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，12.设EF 与DG 所成角为θ，则cos θ＝||EF →·DG→|EF →||DG →|＝26633. ∴ EF 与DG 所成角的余弦值为26633. (2) 存在．设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ BC →＝(0，1，0)，PB →＝(1，0，－1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝y ＝0，n ·PB →＝x －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，0，1)．M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN⊥平面PBC ，则MN →∥n .设M(x 1，y 1，z 1)，N(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＝z 2－z 1，y 2－y 1＝0 ①， ∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ EM →＝λEF →，DN →＝tDG →.∵ EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1，y 1－12，z 1，DN →＝(x 2，y 2－2，z 2)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝－λ，y 1－12＝12λ，z 1＝12λ，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12t ，y 2－2＝－32t ，z 2＝12t ②， 把②代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧－32t －12λ＋32＝0，12t ＋λ－1＝12t －12λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝79， ∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56，13，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫718，56，718. 13. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，点M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.(1) 求证：MN∥平面BDE ；(2) 求二面角CEM N 的正弦值；(3) 已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．(1) 证明：如图，以A 点为坐标原点，分别以AB →，AC →，AP →方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)．DE →＝(0，2，0)，DB →＝(2，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z)为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1，0，1)．又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →·n ＝0.因为MN ⊄平面BDE ，所以MN∥平面BDE.(2) 解：由题可知n 1＝(1，0，0)为平面CEM 的一个法向量． 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM →＝0，n 2·MN →＝0.因为EM →＝(0，－2，－1)，MN →＝(1，2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2－z 2＝0，x 2＋2y 2－z 2＝0. 取y 2＝1，可得n 2＝(－4，1，－2)．因此cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－42121， 所以sin 〈n 1，n 2〉＝10521， 所以二面角CEMN 的正弦值为10521. (3) 解：依题意，设AH ＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，NH →＝(－1，－2，h)，BE →＝(－2，2，2)．由已知，得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →|NH →||BE →|| ＝|2h －2|h 2＋5×23 ＝721， 整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12， 所以线段AH 的长为85或12.。

第八章　立体几何初步第1课时　空间点、直线、平面之间的位置关系一、填空题1. 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是____________．(用符号表示)答案：AB⊂α解析：由公理1可知AB⊂α.2. 已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．答案：P∈l解析：因为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l.3. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a∥b，b⊥c，则a⊥c.上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①④解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；根据异面直线所成角的定义知④正确．4. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________．(填序号)①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．答案：④解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2是异面直线相矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．故④正确．5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有__________条．答案：4解析：∵ EF是△OB1C1的中位线，∴EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴与EF平行的棱共有4条．6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的有________对．答案：3解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB 与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方体，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是________．(填序号)① A，M，C1三点共线；② M，O，A1，A四点共面；③ A，O，C，M四点共面；④ B，B1，O，M四点共面．答案：①④解析：作出图形，可知②③正确．8. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是AC 的中点，AA 1∶AB＝∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的2角为________．答案：60°解析：如图，取A 1C 1的中点E ，连结B 1E ，ED ，AE ，在Rt△AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求，设AB ＝1，则AA 1＝，AB 1＝，B 1E ＝，故∠AB 1E ＝60°.23329. 如图，点G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案：②④解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG ，GM∥HN，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以图②④中GH 与MN 异面．10. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M, N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)　① MN 与CC 1垂直；② MN 与AC 垂直；③ MN 与BD 平行；④ MN 与A 1B 1平行．答案：①②③解析：连结B 1C ，B 1D 1，则MN 是△B 1CD 1的中位线，∴ MN∥B 1D 1.∵ CC 1⊥B 1D 1，AC⊥B 1D 1，BD∥B 1D 1，∴ MN⊥CC 1，MN⊥AC，MN∥BD，故①②③正确．∵ A 1B 1与B 1D 1相交，∴ MN 与A 1B 1不平行，因此④错误．二、 解答题11. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，AC∩BD＝P ，A 1C 1∩EF＝Q.(1) 求证：D ，B ，E ，F 四点共面；(2) 作出直线A 1C 与平面BDEF 的交点R 的位置．(1) 证明：由于CC 1和BF 在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O ，则OC 1＝C 1C.同理直线DE 与CC 1也相交，设交点为O′，则O′C 1＝C 1C ，故O′与O 重合．由此可证得DE∩BF＝O ，故D ，B ，F ，E 四点共面(设为α)．(2) 解：由于AA 1∥CC 1，所以A 1，A ，C ，C 1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD ⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC ⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ.因为A 1C ⊂β，所以A 1C 与平面α的交点就是A 1C 与PQ 的交点，连结A 1C ，则A 1C 与PQ 的交点R 就是所求的交点．12. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形EBFD 1是菱形．证明：如图，取B 1B 的中点G ，连结GC 1，EG ，∵ GB∥C 1F ，且GB ＝C 1F ，∴ 四边形C 1FBG 是平行四边形，∴ FB∥C 1G ，且FB ＝C 1G.∵ D 1C 1∥EG，且D 1C 1＝EG ，∴ 四边形D 1C 1GE 为平行四边形，∴ GC 1∥D 1E ，且GC 1＝D 1E ，∴ FB∥D 1E ，且FB ＝D 1E ，∴ 四边形EBFD 1为平行四边形．∵ FB ＝FD 1，∴ 四边形EBFD 1是菱形．13. 已知空间四面体ABCD ，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝BC ，CH ＝DC.求证：1313(1) E ，F ，G ，H 四点共面；(2) 三条直线FH ，EG ，AC 共点．证明：(1) 如图，连结EF ，GH.∵ 点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴ EF∥BD.∵ CG ＝BC ，CH ＝DC ，1313∴ GH∥BD，∴ EF∥GH，∴ E ，F ，G ，H 四点共面．(2) 易知FH 与直线AC 不平行，但共面，∴ 设FH∩AC＝M ，∴ M∈平面EFHG ，M∈平面ABC.∵ 平面EFHG∩平面ABC ＝EG ，∴ M∈EG，∴ 直线FH ，EG ，AC 共点．第2课时　直线与平面的位置关系(1)一、 填空题1. 直线a ，b 为异面直线，关于过直线a 且与直线b 平行的平面的情况，下列说法正确的是________．(填序号)① 有且只有一个；② 有无数多个；③ 至多一个；④ 不存在．答案：①解析：在直线a 上任选一点A ，过点A 作b′∥b，则b′是唯一的，又a∩b′＝A ，所以a 与b′确定一平面并且只有一个平面，故①正确．2. 对于不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题：① Error!⇒m∥n；② Error!⇒n∥β；③ Error!⇒m ，n 不共面；④ Error!⇒m∥n.其中假命题的个数是__________．答案：4解析：①中m 与n 可能平行，也可能异面；②中可能n ⊂β；③中可能m∥n 或m 与n 相交；④中不知道α与β的位置，无法判断m 与n 的位置关系．故四个命题都不正确．3. 若直线l 与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)① α内的所有直线都与直线l 异面；② α内不存在与l 平行的直线；③ α内的直线与l 都相交；④ 直线l 与平面α有公共点．答案：④解析：直线l 与平面α不平行，则直线l 与平面α有如下关系：l ⊂α或l∩α＝A ，故①②③均不正确，④正确．4. 下列命题正确的是________．(填序号)① 若a ，b 是两条直线，且a∥b，那么a 平行于经过b 的任何平面；② 若直线a 和平面α满足a∥α，那么a 与α内的任何直线平行；③ 若直线a ，b 和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④ 若直线a ，b 和平面α满足a∥b，a∥α，b ⊄α，则b∥α.答案：④解析：根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．5. 已知三条直线a ，b ，c 和平面β，则下列推论正确的是________．(填序号)① 若a∥b，b ⊂β，则a∥β；② 若a∥β，b∥β，则a∥b；③ 若a ⊂β，b∥β，a ，b 共面，则a∥b；④ 若a⊥c，b⊥c，则a∥b.答案：③解析：对于①，可能有a ⊂β，故①错；对于②，a 与b 可能平行、相交或异面，故②错；对于④，a 与b 可能平行、相交或异面，故④错；根据线面平行的性质定理知，③正确．6. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________．答案：2解析：因为EF∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面AB 1C∩平面ABCD ＝AC ，所以 EF∥AC.又点E 是AD 的中点，所以点F 是DC 的中点．所以EF ＝AC ＝.1227. 过三棱柱ABCA 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案：6解析： 四条棱AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点中任意两点连线均与平面ABB 1A 1平行，所以共有6条直线符合题意．8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是________．(填序号)答案：②③④解析：因为点M ，N ，Q 分别为对应棱的中点，所以在①中AB 与平面MNQ 相交，在②③中均有AB∥MQ，在④中，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB 与平面MNQ 平行．9. 如图，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，H 分别是棱C 1C ，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，点N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则点M 只需满足条件________________时，就有MN∥平面B 1BDD 1.(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部的可能情况)答案：点M 与点H 重合(或点M 在线段FH 上)解析：当点M 在线段FH 上时，MN∥平面B 1BDD 1.二、 解答题10. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点．求证：EF∥平面PAB.证明：因为点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF∥CD.又在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，所以EF∥AB，又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF∥平面PAB.11. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．求证：BF∥平面A 1EC.证明：如图，连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.因为点F 为AC 的中点，所以OF∥CC 1且OF ＝CC 1.12因为点E 为BB 1的中点，所以BE∥CC 1且BE ＝CC 1.12所以BE∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF∥OE.又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF∥平面A 1EC.12. 如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E ，AD∩α＝F ，BD∩α＝H ，BC∩α＝G.求证：四边形EFHG 是平行四边形．证明：∵ AB∥α，平面ABC∩α＝EG ，∴ EG∥AB.同理FH∥AB，∴ EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH.∴ GH∥CD.同理EF∥CD，∴ GH∥EF.∴ 四边形EFHG 是平行四边形．13. 如图，在斜三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的中点．求证：(1) AD 1∥平面BDC 1；(2) BD∥平面AB 1D 1.证明：(1) 因为点D 1，D 分别为A 1C 1与AC 的中点，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以C 1D 1∥DA，C 1D 1＝DA ，所以四边形ADC 1D 1为平行四边形，所以AD 1∥C 1D.又AD 1⊄平面BDC 1，C 1D ⊂平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1.(2) 如图，连结D1D，因为BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，所以BB1∥D1D.又D1，D分别为A1C1与AC的中点，所以BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1.第3课时　直线与平面的位置关系(2)一、填空题1. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．答案：充分不必要解析：l⊥α⇒l⊥m，l⊥n.反之，因为 m，n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.2. 下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．(填序号)① l与平面α内的两条直线垂直；② l与平面α内的无数条直线垂直；③ l与平面α内的某一条直线垂直；④ l与平面α内的任意一条直线垂直．答案：④解析：由线面垂直的定义及判定定理可知④正确．3. 下列说法正确的是________．(填序号)①若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线；③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面．答案：②解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，①错误；②正确；③中垂直于这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，③错误．4. 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填序号)答案：②④解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.5. 已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.其中真命题是____________．(填序号)答案：②③6. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝________．答案：12解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF.由已知，得A 1B 1＝.设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝h.212又2×＝h ，所以h ＝，DE ＝.222＋（2）223333在Rt△DB 1E 中，B 1E ＝ ＝.(22)2－(33)2 66由面积相等，得×＝x ，解得x ＝.即线段B 1F 的长为.66x2＋(22)2 2212127. 如图，PA⊥平面ABC ，在△ABC 中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．答案：4解析：Error!⇒Error!⇒BC⊥平面PAC ⇒BC⊥PC，∴ 直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.8. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．答案：12解析：如图，在平面ADD 1A 1中作A 1E⊥AD 1于点E ，连结C 1E ，因为正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB⊥平面ADD 1A 1，所以A 1E⊥AB.因为AD 1 ∩AB＝A ，AD 1，AB ⊂平面ABC 1D 1，则A 1E⊥平面ABC 1D 1，所以∠A 1C 1E 就是A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角，在Rt△AA 1D 1中，AA 1＝A 1D 1，A 1E⊥AD 1，所以点E 为AD 1的中点，且A 1E ＝AD 1＝A 1C 1，所以sin∠A 1C 1E ＝＝.1212A1E A1C1129. 设α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同的直线．从“① m⊥n；② α⊥β；③ n⊥β；④ m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)答案：①③④⇒②或②③④⇒①解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m ，n 所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．10. 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF⊥平面B 1DF.答案：a或2a解析：由题意可得B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴ x2－3ax＋2a2＝0，∴ x＝a或x＝2a.二、解答题11. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，PA＝AC，点E是PA的中点，点F是PC的中点，求证：(1) PC∥平面BDE；(2) AF⊥平面BDE.证明：(1) 连结OE，因为点O为菱形ABCD对角线的交点，所以点O为AC的中点．因为点E为PA的中点，所以OE∥PC.因为OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2) 因为PA＝AC，△PAC是等腰三角形，又点F是PC的中点，所以AF⊥PC.又OE∥PC，所以AF⊥OE.因为PA⊥底面ABCD，BD ⊂平面ABCD，所以PA ⊥BD.因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC⊥BD.又PA∩AC＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，所以AF⊥BD .又OE∩BD＝O，OE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，所以AF⊥平面BDE.12. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.(1) 求证：AD⊥平面BCC1B1；(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1.证明：(1) 因为ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥C1D，CC1，C1D⊂平面BCC1B1，CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BCC1B1.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，点E是B1C1的中点，所以A 1E⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1E ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1E.又因为B 1C 1，CC 1⊂平面BCC 1B 1，B 1C 1∩CC 1＝C 1，所以A 1E⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD⊥平面BCC 1B 1，所以A 1E∥AD.又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1，所以A 1E∥平面ADC 1.13. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝AB ，D 是AB 的中点．若点P 在线段BB 1上，且2BP ＝BB 1.求证：AP⊥平面A 1CD.14证明：∵ CA ＝CB ，D 是AB 的中点，∴ CD⊥AB.∵ 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面ABC⊥侧面A A 1B 1B ，交线为AB ，又CD ⊂平面ABC ，∴ CD⊥平面AA 1B 1B.∵ AP ⊂平面A 1B 1BA ，∴ CD⊥AP.∵ BB 1＝BA ，BB 1＝AA 1 ，BP ＝BB 1，214∴ ＝＝，BPBA 24AD AA1∴ Rt△ABP∽Rt△A 1AD ，∴ ∠AA 1D ＝∠BAP，∴ ∠AA 1D ＋∠A 1AP ＝∠BAP＋∠A 1AP ＝90°，∴ AP⊥A 1D.∵ CD∩A 1D ＝D ，CD ⊂平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ，∴ AP⊥平面A 1CD.第4课时　平面与平面的位置关系一、 填空题1. 设α，β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：① 若m∥n，n ⊂α，则m∥α；② 若m ⊂α，n ⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③ 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥n；④ 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n⊥m，则n⊥β.其中正确的命题是____________．(填序号)答案：④解析：①中没有强调m 在平面α外；②中没有强调m ，n 相交；③中m 与n 有可能异面；④正确．2. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中正确的是________．(填序号)① AD 1∥BC 1；② 平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③ AD 1∥DC 1；④ AD 1∥平面BDC 1.答案：①②④解析：由四边形ABC 1D 1是平行四边形可知AD 1∥BC 1，故①正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，②④正确；AD 1与DC 1是异面直线，故③错误．3. 已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列说法中正确的序号是________．①若m∥α，α∩β＝n，则m∥n；②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；③若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β.答案：③解析：对于①，如图，m∥α，α∩β＝n，此时m，n异面，故①错误；对于②，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；对于③，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故③正确；对于④，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m也可能与β相交、平行或在β内，故④错误．4. 已知α和β是两个不重合的平面．在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线的三点到β的距离相等；③ l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β；④ l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.答案：④解析：由面面平行的判定定理可以推出．5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)①若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.答案：②解析：②选项，由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β.6. 设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出四个论断：①α∩β＝b；②a⊂β；③a∥b；④a∥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的命题：__．答案：①②③⇒④或①②④⇒③解析：若α∩β＝b，a⊂β，a∥b，则a∥α，即①②③⇒④；若α∩β＝b，a⊂β，a∥α，则a∥b，即①②④⇒③.7. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的序号是________．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.答案：①④解析：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，又由n⊥β得m⊥β，故④正确．8. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．答案：5解析：由PA⊥平面ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD.又AD⊥PA，且AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴DA⊥平面PAB，∴平面DPA⊥平面PAB.又BC∥AD，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB，同理DC⊥平面PDA，∴平面PDC⊥平面PDA.9. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l⊥α，m ⊂β，给出下列命题：① α∥β⇒l⊥m；② α⊥β⇒l∥m；③ m∥α⇒l⊥β；④ l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________．(填序号)答案：①④解析：①是面面平行的性质的应用，正确；②α⊥β，l⊥α，l ，m 可平行，可相交，可异面，命题错误；③m∥α，l⊥α⇒ l⊥m ⇒ l 与β可平行，l 可在β内，l 可与β相交，命题错误；④l⊥β，l⊥α⇒β∥α⇒m∥α，命题正确．10. 在棱长均相等的正四棱锥PABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，有下列结论：① PC∥平面OMN ；② 平面OMN⊥平面PAB ；③ OM⊥PA；④ 平面PCD∥平面OMN.其中正确结论的序号是________．答案：①③④解析：如图所示，其中E ，F 分别为AD ，BC 的中点，连结OE ，OF ，G 为OE 的中点，连结EM ，MG ，AC ，BD ，平面OMN 即平面MNOE.因为M 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以PC∥OM，所以PC∥平面OMN ，同理PD∥平面OMN ，所以平面PCD∥平面OMN ，故①④正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以PA 2＋PC 2＝AB 2＋BC 2＝AC 2，所以PC⊥PA.又PC∥OM，所以OM⊥PA，故③正确．因为OM ＝PC ＝PD ＝ME ，所以MG⊥OE.又MN∥OE，所以GM⊥MN.假设平1212面OMN⊥平面PAB ，则GM⊥平面PAB ，则MG⊥PA，设四棱锥的棱长为4，则MA ＝2，AG ＝，MG ＝，三边53长度不满足勾股定理，所以MG 不垂直PA ，与假设矛盾，故②不正确．二、 解答题11. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC⊥AC，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．求证：(1) B 1C 1∥平面A 1DE ；(2) 平面A 1DE⊥平面ACC 1A 1.证明：(1) 因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以DE∥BC.又因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，B 1C 1∥BC，所以B 1C 1∥DE.又B 1C 1⊄平面A 1DE ，DE ⊂平面A 1DE ，所以B 1C 1∥平面A 1DE.(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以CC 1⊥DE.又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC.又CC 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC＝C ，所以DE⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面A 1DE ，所以平面A 1DE⊥平面ACC 1A 1.12. 如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD, 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1) EF∥平面ABC；(2) AD⊥AC.证明：(1) 在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2) 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.13. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°.(1) 求证：AB⊥平面EDC；(2) 若P为FG上任一点，求证：EP∥平面BCD.证明：(1) 因为平面ABC⊥平面ACD，∠ACD＝90°，即CD⊥AC，平面ABC ∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB.因为AC＝BC，E为AB的中点，所以CE⊥AB.又CE∩CD＝C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，所以AB⊥平面EDC.(2) 连结EF，EG，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.同理可证EG∥平面BCD，且EF∩EG＝E，EF⊄平面BCD，EG⊄平面BCD，所以平面EFG∥平面BCD.又P为FG上任一点，所以EP⊂平面EFG，所以EP∥平面BCD.第5课时　空间几何体的表面积和体积一、填空题1. 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积为________．答案：22π3解析：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，因为3π＝πl 2，所以l ＝3，由2πr＝，13120°×π×l180°得r ＝1，所以圆锥的高是2，所以圆锥的体积是×π×12×2＝.213222π32. 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.答案：32解析：三棱锥D 1A 1BD 的体积等于三棱锥BA 1D 1D 的体积，因为三棱锥BA 1D 1D 的高等于AB ，△A 1D 1D 的面积为矩形AA 1D 1D 的面积的，所以三棱锥BA 1D 1D 的体积是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积的，所以三棱锥1216D 1A 1BD 的体积为×32×1＝.16323. 若正四棱锥的底面边长为2 cm ，侧面积为8 cm ，则它的体积为________cm 3.答案：433解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c ＝8，ch′＝8，所以斜高h′＝2，12所以正四棱锥的高h ＝，所以正四棱锥的体积为×22×＝.31334334. 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为________．3答案：43解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为.3435. 设M ，N 分别为三棱锥P ABC 的棱AB ，PC 的中点，三棱锥P ABC 的体积记为V 1，三棱锥P AMN 的体积记为V 2，则＝________．V2V1答案：14解析：设△AMN 的面积为S ，点P 到平面AMN 的距离为h ，则V 2＝Sh ，而V 1＝2××2S×h ，则＝. 1313V2V1146. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥PABA 1的体积为________．答案：934解析：三棱锥的底S△ABA 1＝×3×3＝，点P 到底面ABA 1的距离为△ABC 的高：h ＝，故三棱锥1292323的体积V ＝Sh ＝ .139347. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1ADE 的体积为________．答案：112解析：三棱锥B 1ADE 的体积＝三棱锥DB 1AE 的体积＝×1××1×＝.1312121128. 若一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为310________．答案：2解析：底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8，则该正方体的棱长为2.3109. 已知正四棱锥OABCD 的体积为，底面边长为，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为3223________．答案：24π解析：设正四棱锥的高为h ，则×()2h ＝，解得高h ＝.则底面正方形的对角线长为×＝13332232223，所以OA ＝＝，所以球的表面积为4π()2＝24π.6(322)2＋(62)26610. 将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．答案：4解析：因为将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥OEFG 的高为圆柱的高，即高为AB ，所以当三棱锥OEFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且点G 在EF 的垂直平分线上时，(S △EFG )max ＝×4×2＝4，12所以三棱锥OEFG 体积的最大值V max ＝×(S △EFG )max ×AB ＝×4×3＝4.1313二、 解答题11. 如图，在三棱锥DABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝a ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF ＝3FC.(1) 求三棱锥DABC 的体积；(2) 若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且CN ＝CA ，求证：MN∥平面DEF.38(1) 解：因为△BCD 是正三角形，且AB ＝BC ＝a ，所以S △BCD ＝a 2.34因为AB⊥平面BCD ，所以V DABC ＝V A BCD ＝×S △BCD ×AB ＝×a 2×a ＝a 3.131334312(2) 证明：连结CM ，设CM∩DE＝O ，连结OF.则O 为△BCD 的重心，CO ＝CM.23因为CN ＝CA ，AF ＝3FC ，所以CF ＝CN ，所以MN∥OF.因为OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所以MN∥平3823面DEF.12. 如图，在三棱锥PABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA ＝AB ＝BC ＝2，点D 为线段AC 的中点，点E 为线段PC 上一点．(1) 求证：PA⊥BD；(2) 求证：平面BDE⊥平面PAC ；(3) 当PA∥平面BDE 时，求三棱锥EBCD 的体积．(1) 证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.因为BD ⊂平面ABC ，所以PA⊥BD.(2) 证明：因为AB ＝BC ，点D 为AC 的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，PA∩AC＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BD⊥平面PAC.又BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE⊥平面PAC.(3) 解：因为PA∥平面BDE ，平面PAC∩平面BDE ＝DE ，所以PA∥DE.因为点D 为AC 的中点，所以DE ＝PA ＝1，BD ＝DC ＝.122由(1)知，PA⊥平面ABC ，所以DE⊥平面ABC ，所以三棱锥E BCD 的体积V ＝BD·DC·DE ＝.161313. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC＝60°，BD∩AC＝O ，现将其沿菱形对角线BD 折起得到四面体EBCD ，使EC ＝.2(1) 求证：EO⊥CD.(2) 求点O 到平面EDC 的距离．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC⊥BD.∵ BD∩AC＝O ，∴ EO⊥BD.∵ 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC＝60°，∴ AD ＝CD ＝BC ＝2，AO ＝OC ＝1.∵ EC ＝，CO ＝EO ＝1，2∴ EO 2＋OC 2＝EC 2，∴ EO⊥OC.又BD∩OC＝O ，∴ EO⊥平面BCD ，∴ EO⊥CD.(2) 解：设点O 到平面ECD 的距离为h ，由(1)知EO⊥平面OCD.V 三棱锥OCDE ＝V 三棱锥EOCD ，即S △OCD ·EO ＝S △ECD ·h.1313在Rt△OCD 中，OC ＝1，OD ＝，∠DOC＝90°，∴ S △OCD ＝·OC·OD ＝.在△CDE 中，31232ED ＝DC ＝2，EC ＝，∴ S △CDE ＝××＝，∴ h ＝＝，即点O 到平面EDC 212222－(22)2 72S △OCD·EO S △ECD 217的距离为.第6课时　空间向量在立体几何中的应用217一、 填空题1. 已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且＝a ，＝b ，＝c ，用a ，b ，c 表示OA → OB → OC→ ，则＝________．MN → MN→ 答案：(b ＋c －a )12解析：＝－＝(b ＋c )－a ＝(b ＋c －a )．MN → ON → OM→ 1212122. 若直线l⊥α，且l 的方向向量为(m ，2，4)，平面α的法向量为，则m 为________．(12，1，2)答案：1解析：∵ (m ，2，4)＝λ，∴ ∴ m ＝1.(12，1，2){m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，)3. 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为，则λ＝________．89答案：－2或255解析：由cos〈a ，b 〉＝＝＝，解得λ＝－2或.a ·b |a ||b |6－λ3λ2＋5892554. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点．若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，AB → AD→ ＝(－1，2，－1)，则给出下列结论：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③ 是平面ABCD 的一个法向量；④ ∥AP → AP → AP → .其中正确的是________．(填序号)BD→ 答案：①②③解析：·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，即AP⊥AB；AB → AP → AB → AP→ ·＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则⊥，即AP⊥AD.又AB∩AD＝A ，∴ AP⊥平面ABCD ，故是平AP → AD → AP → AD → AP→ 面ABCD 的一个法向量．由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴ ≠≠，∴ 与不BD → AD → AB → AP → 2－1324－1AP → BD→平行．5. 已知正四棱柱ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．答案：23解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C 1(0，1，2)，则＝(0，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2)．DC → DB → DC1→ 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ⊥，n ⊥，所以有令y ＝－2，得平面BDC 1DB → DC1→{x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0.)的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n ，〉DC → |＝||＝.n ·DC→|n||DC →|236.如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．答案：85解析：2＝(＋＋)AC1→ AB → AD → AA1→ 2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°AB → AD → AA1→ AB → AD → AB → AA1→ AD → AA1→ ＋2×3×5×cos 60°＝50＋20＋15＝85，即 ||＝.AC1→ 857. 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1­ ABC 中，AB⊥AC，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点，则异面直线A 1B与C 1D 所成角的余弦值为________．答案：31010解析：以A 为坐标原点，以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4) ，C 1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．A1B → C1D→ 因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为A1B → C1D → A1B → ·C1D →|A1B →||C1D →|1820×1831010.31010 8. 已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且点OA → OB → OP→ Q 在直线OP 上运动．当·取得最小值时， 的坐标是________．QA → QB → OQ→ 答案：(43，43，83)解析：∵ 点Q 在直线OP 上，∴ 设点Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QA→ ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)QB → QA → QB→ ＝6λ2－16λ＋10＝6－.当λ＝时，·取得最小值－，此时＝.(λ－43)2 2343QA → QB → 23OQ→ (43，43，83)9. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．答案：23解析：如图，以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，(1，0，12)所以＝(0，1，－1)，＝.A1D → A1E→ (1，0，－12)设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z)，则所以所以n 1＝(1，2，2)．{y －z ＝0，1－12z ＝0，){y ＝2，z ＝2.)因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝＝，23×123即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为.23二、 解答题10. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ ＝λBB 1(λ≠0)．(1) 若λ＝，求AP 与AQ 所成角的余弦值；12(2) 若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．解：以A 点为坐标原点，{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.AB → AD → AA1→(1) 因为＝(1，2，2)，＝(2，0，1)，AP → AQ→所以cos〈，〉＝＝＝.所以AP 与AQ 所成角的余弦值为.AP → AQ → AP → ·AQ →|AP → ||AQ →|1×2＋2×0＋2×19×545154515(2) 由题意可知，＝(0，0，2)，＝(2，0，2λ)．AA1→ AQ→ 设平面APQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则即{n ·AP →＝0，n ·AQ →＝0，){x ＋2y ＋2z ＝0，2x ＋2λz ＝0.)令z ＝－2，则x ＝2λ，y ＝2－λ.所以n ＝(2λ，2－λ，－2)．因为直线AA 1与平面APQ 所成角为45°，所以|cos〈n ，〉|＝＝AA1→ |n ·AA →1|n ||AA → 1||＝，42（2λ）2＋（2－λ）2＋（－2）222化简得5λ2－4λ＝0.又λ≠0，所以λ＝.4511. 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝，∠BAD＝120°.3(1) 求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；(2) 求二面角BA 1DA 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE⊥AD，交BC 于点E.因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE，AA 1⊥AD.如图，以A 点为原点，{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.AE → AD → AA1→ 因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝，∠BAD＝120°，3所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A 1(0，0，)，C 1(，1，)．33333(1) ＝(，－1，－)，＝(，1，)，A1B → 33AC1→ 33则cos〈，〉＝A1B → AC1→ A1B → ·AC1→|A1B →||AC1→ |＝＝－，3×3＋（－1）×1－3×3（3）2＋（－1）2＋（－3）2×（3）2＋12＋（3）217因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为.17(2) 平面A 1DA 的一个法向量为＝(，0，0)．AE→ 3设m ＝(x ，y ，z)为平面BA 1D 的法向量，又＝(，－1，－)，＝(－，3，0)，A1B → 33BD→ 3则即{m ·A1B →＝0，m ·BD →＝0，){3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.)不妨取x ＝3，则y ＝，z ＝2，3所以m ＝(3，，2)为平面BA 1D 的一个法向量，3所以cos〈，m 〉＝＝＝.AE → AE →·m |AE → ||m |3×3－0×3＋0×23×32＋（3）2＋2234设二面角BA 1DA 的大小为θ，则|cos θ|＝.34因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.1－cos 2θ74所以二面角BA 1DA 的正弦值为.7412. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1) 求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值．(2) 若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．∵ 点E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E ，F ，G，(1，12，0)(0，1，12)(12，12，12)∴ ＝，＝.EF → (－1，12，12)DG → (12，－32，12)设EF 与DG 所成角为θ，则cos θ＝＝.|EF → ·DG → ||EF →||DG → |26633∴ EF 与DG 所成角的余弦值为.26633(2) 存在．设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)．∵ ＝(0，1，0)，＝(1，0，－1)，∴BC → PB → {n ·BC →＝y ＝0，n ·PB → ＝x －z ＝0，)取x ＝1，得n ＝(1，0，1)．M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，若存在MN ，使得MN⊥平面PBC ，则∥n .MN → 设M(x 1，y 1，z 1)，N(x 2，y 2，z 2)，则　①，{x2－x1＝z2－z1，y2－y1＝0)∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点，∴ ＝λ，＝t .EM → EF → DN → DG → ∵ ＝，＝(x 2，y 2－2，z 2)，EM → (x1－1，y1－12，z1)DN → ∴ 且　②，{x1－1＝－λ，y1－12＝12λ，z1＝12λ，){x2＝12t ，y2－2＝－32t ，z2＝12t )把②代入①，得解得{－32t －12λ＋32＝0，12t ＋λ－1＝12t －12λ，){λ＝23，t ＝79，)∴ M ，N .(13，56，13)(718，56，718)13. 如图，在三棱锥PABC 中，PA⊥底面ABC ，∠BAC＝90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，点M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.(1) 求证：MN∥平面BDE ；(2) 求二面角CEM N 的正弦值；(3) 已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，求线段AH 的长．721(1) 证明：如图，以A 点为坐标原点，分别以，，方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐AB → AC → AP → 标系．依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)．＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)．DE → DB → 设n ＝(x ，y ，z)为平面BDE 的一个法向量，则即{n ·DE →＝0，n ·DB → ＝0，){2y ＝0，2x －2z ＝0.)不妨取z ＝1，可得n ＝(1，0，1)．又＝(1，2，－1)，可得·n ＝0.MN → MN → 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN∥平面BDE.(2) 解：由题可知n 1＝(1，0，0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EMN 的一个法向量，则{n 2·EM →＝0，n 2·MN → ＝0.)因为＝(0，－2，－1)，＝(1，2，－1)，EM → MN → 所以{－2y2－z2＝0，x2＋2y2－z2＝0.)取y 2＝1，可得n 2＝(－4，1，－2)．因此cos〈n 1，n 2〉＝＝－，n1·n2|n1||n2|42121所以sin〈n 1，n 2〉＝，10521所以二面角CEMN 的正弦值为.10521(3) 解：依题意，设AH ＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，＝(－1，－2，h)，＝(－2，2，2)．NH → BE → 由已知，得|cos〈，〉|＝||NH → BE → NH → ·BE →|NH → ||BE → |。

第八章 立 体 几 何1.立体几何初步 (1)空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.③会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.(2)点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：·公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内.·公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. ·定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理： ·平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.·一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.·一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.·一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.理解以下性质定理，并能够证明：·如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.·两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.·垂直于同一个平面的两条直线平行.·两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.2.空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会简单应用空间两点间的距离公式. 3.空间向量与立体几何 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.(4)理解直线的方向向量及平面的法向量. (5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.(6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图1.棱柱、棱锥、棱台的概念 (1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是A.棱柱的底面一定是平行四边形( 得到图解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，为实线，B 1C 的正投影为A 1D ，且B 1C 被遮挡为虚故选B.(2014·福建)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面________.解：所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故填2π.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________.解：如图所示是实际图形和直观图.由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34在图中作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，则C ′D ′O ′C ′＝68a.各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是三棱柱 C.四棱锥解：该几何体的三视图由一个三角形，两个矩形组成，经分析可知该几何体为三棱柱，故选解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是解：D 选项的正视图应为如图所示的图形.故选积为20cm ________cm 解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三直角边长分别为5cm ，6cm ，三棱锥的高为则三棱锥的体积为V ＝13×12×5×6×h ＝20，解得4.对于空间几何体的考查，从内容上看，锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图、体积和棱长是重点.本题给出了几何体的三视图，要掌握三视图的画法“长对正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到三棱锥.(2014·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为__________.解：该三棱锥的直观图如图所示，易知PB ⊥平面ABC ，则有PA ＝22＋2，故最长棱为P A.类型三 空间多面体的直观图 如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥画法：(1)画轴.如图1，画x 轴、y 使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.图1画底面.利用斜二测画法画出底面′使OO ′等于三视图中相应高度，过的平行线′，Oy 的平行线O ′y ′，利用′画出底面A ′B ′C ′D ′.图2画正四棱锥顶点.在Oz 上截取点等于三视图中相应的高度.连接PA ′，PB ′，PC ′，PD ′D ，整理得到三视图表示的几何体2所示.点拨：根据三视图可以确定一个几何体的长、宽、高，再按照斜二测画法，建立x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴、y 轴、z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A. 2B.6 2C.13D.2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝22.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝22.故选D.类型四 空间旋转体的直观图用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长.解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r ，4r.根据相似三角形的性质得， 33＋l ＝r4r，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm .点拨：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解.(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A.1B.2C.3D.4解：该几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径r ，由等面积法可得12×(6＋8＋10)·r ＝12×6×8，得r ＝2.故选B.1.在研究圆柱、圆锥、圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系.2.正多面体(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成.(2)如图，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a的正四面体A 1­BDC 1，其体积为正方体体积的13.(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体.它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R).3.长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .4.棱长为a 的正四面体(1)斜高为32a ；(2)高为63a ；(3)对棱中点连线长为22a ； (4)外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；(5)正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3.5.三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度.由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等.6.一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”.三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变.三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.1.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )A.六棱锥B.六棱台C.六棱柱D.非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C.2.下列说法中，正确的是( ) A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等 解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A 错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B 错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D 错误；易知选项C 正确.故选C.3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆锥D.一个圆柱、两个圆锥解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥.故选D.4.(2014·江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解：由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成，从上往下看，外层轮廓线是一矩形，矩形内部有一条线段连接两个三角形.故选B.5.(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )A.棱柱B.棱台C.圆柱D.圆台解：由俯视图可知该几何体的上、下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体.故选D.6.(2014·课标Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.6 2B.4 2C.6D.4解法一：如图甲，设辅助正方体棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥D ­ABC ，最长的棱为AD ＝6.解法二：将三视图还原为三棱锥D ­ABC ，如图若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________.解：由正视图知，三棱柱是底面边长为的正三棱柱，所以底面积为2×3×2×1＝6，所以其表面积为3.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球____________.解：由三视图可知该组合体为球内接棱长为∴正方体的体对角线为球的直径，，r＝3.故填是截去一个角的长方体，试按图示的中几何体三视图如图b.如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体.斜二测画法：(1)画轴.如图2，画x轴，xOy＝45°，∠xOz＝∠yOz＝90°画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF 轴上截取O′，使OO′等于正六棱柱的高，过的平行线O′x′，Oy的平行线O′x′与O′y′画出底面A′.画正六棱锥顶点.在Oz上截取点P，使等于正六棱锥的高.成图.连接PA′，PB′，PC′，PD′，′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF理得到三视图表示的几何体的直观图如图3注意：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来..某长方体的一条对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分和b，求ab的最大值.解：如图，则有1＝7，DC1＝6，1＝a，AC＝b，AB＝x，AD＝y，AA1＝z，有图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度解：由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称.故选C.§8.2 空间几何体的表面积与体积1.柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧＝__________，S 正棱锥侧＝__________， S 正棱台侧＝__________(其中C ，C ′为底面周长，h 为高，h ′为斜高).(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S 圆柱侧＝________，S 圆锥侧＝________，S 圆台侧＝________(其中r ，r ′为底面半径，l 为母线长). (3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和. 2.柱体、锥体、台体的体积 (1)棱柱、棱锥、棱台的体积 V 棱柱＝__________，V 棱锥＝__________，V 棱台＝__________ (其中S ，S ′为底面积，h 为高). (2)圆柱、圆锥、圆台的体积V 圆柱＝__________，V 圆锥＝__________，V 圆台＝__________(其中r ，r ′为底面圆的半径，h 为高). 3.球的表面积与体积(1)半径为R 的球的表面积S 球＝________. (2)半径为R 的球的体积V 球＝________,________).自查自纠：1.(1)Ch 12Ch ′ 12()C ＋C ′h ′(2)2πrl πrl π(r ＋r ′)l (3)侧面积 两个底面积 侧面积 一个底面积2.(1)Sh 13Sh 13h ()S ＋SS ′＋S ′(2)πr 2h 13πr 2h 13πh ()r 2＋rr ′＋r ′23.(1)4πR 2 (2)43πR 3圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A.6π(4π＋3)B.8π(3π＋1)C.6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D.6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π，r ＝2，∴S 底＝πr 2＝4π，S 侧＝6π×4π＝24π2，S 表＝2S 底＋S 侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π，r ＝3.∴S 底＝πr 2＝9π，S 表＝2S 底＋S 侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3).故选C. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( ) A.23 2 B. 2 C.23 D.43 2解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为2，V ＝13×12×(2)2×2＝23.故选C.(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是( )A.233B.476C.6D.7 解：如图示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.故选A. 长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则球面面积为________.单位：解：由三视图可知，该几何体为圆柱与圆锥的其体积V ＝π×12×4＋13π×22×.类型一 空间几何体的面积问题 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD 是BC 边上的高，沿AD 把△ABD BDC ＝90°.若BD ＝1，求三棱锥D ­ABC解：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴沿AD 把△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥又∠BDC ＝90°.＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2.从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，ABC ＝12×2×2×sin60°＝32. ∴三棱锥D ­ABC 的表面积S ＝12×3＋. 的矩形，正视图高为4的等腰三角形，侧视图底边长为6，面积S.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥PAD ，PBC 是全等的等腰三角形，边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛2PAB ，PCD 也是全等的等腰三角形，h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622⎝ ⎛12×6×42＋12×8×5空间旋转体的面积问题如图，半径为4的球O 柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为＝2π×4sin α＝π4时，S 取最大值球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.点拨：根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是____________cm 2.解：如图示，设上底面周长为c.∵扇环的圆心角是180°，∴c ＝π·S A. 又∵c ＝2π×10＝20π， ∴SA ＝20.同理SB ＝40. ∴AB ＝SB －SA ＝20，∴S 圆台侧＝π(10＋20)·AB＝600π(cm 2).故填600π.类型三 空间多面体的体积问题如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43 D.32 解：如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于EF ，垂足分别为M ，N ，连接DM ，CN ，可证得DM ⊥EF ，CN ⊥EF ，则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积V ABCDEF ＝V AMD ­BNC ＋V E ­AMD ＋V F ­BN C.依题意知AEFB 为等腰梯形.易知Rt △DME Rt △CNF ，∴EM ＝NF ＝12.又BF ＝1，∴BN ＝32. 作NH 垂直于BC ，则H 为BC 的中点，∴NH ＝22. ∴S △BNC ＝12·BC ·NH ＝24.∴V F ­BNC ＝13·S △BNC ·NF ＝224，V E ­AMD ＝V F ­BNC ＝224，V AMD ­BNC ＝S △BNC ·MN ＝24.∴V ABCDEF ＝23，故选A.点拨：求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.30解：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的.所以该几何体的体积为V ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24.故选C. 类型四 空间旋转体的体积问题已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16 D.2π3＋12解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V ＝12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.点拨：根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算.(2014·课标Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727 B.59 C.1027 D.13解：原来毛坯体积为：π·32·6＝54π(cm 3)，由三视图知该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，故该零件的体积为：π·22·4＋π·32·2＝34π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)，故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027 .故选C.1.几何体的展开与折叠 (1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法.(2)多面体的展开图①直棱柱的侧面展开图是矩形；②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形.(3)旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长.注：①圆锥中母线长l 与底面半径r 和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解.②圆锥和圆台的侧面积公式S 圆锥侧＝12cl 和S 圆台侧＝12(c ′＋c )l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆.2.空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法.(1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱、正棱锥、正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 3.空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题.1.已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角π B.8－π2 D.8－π4解：直观图为棱长为2的正方体割去两个底面14圆柱，其体积V ＝23－2×14×π×故选B.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 折成直二面角，得到四面体A ­BCD ，则四面体的外接球的表面积为( )B.50πC.5πD.10π解：由题设知AC 为外接球的直径，∴，S 表＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π.故选，N 是球O 半径OP 上的两点，且分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )∶6 B.3∶6∶8 ∶9 D.5∶8∶9解：设球的半径为R ，以N ，M 为圆心的圆的半，r 2.由题知M ，N 是OP 的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方比，在球的轴截面的外接圆的半径R 2－r 2＝63，的距离为2d ＝2d ＝13×34×23ABC ×2R ＝36，排除)一个六棱锥的体积为的正六边形，侧棱长都相等，则该________.设该六棱锥的高是h ，则V ，解得h ＝1.∴侧面三角形的高为，∴侧面积S ＝12×由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高BC ⊥OA 于C ，则Rt ′B ＝4x －2x ＝2x ，＋BC 2＝（2x ）2侧＝[π(2x )2∶[π＝2∶8∶9.·上海)底面边长为，其表面展开图是三角形P 1的边长及三棱锥的体积V.解：由正三棱锥P ­ABC 的性质及其表面展开图，B ，C 分别是△P 1P 2P .依三角形中位线定理可得4.易判断正三棱锥P 的正四面体，其体积为V ＝212×四面体体积公式可见8.1名师点津4)一个圆锥的底面半径为R ＝2，高为在这个圆锥内部有一个高为x 的内接圆柱值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？解：如图是圆锥的轴截面，设圆柱的底面半径，解得r ＝R －R H x ＝2－ (图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，4<V 3 B.V 1<V 3<V 2<V 4 3<V 4 D.V 2<V 3<V 1<V 4解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，正方体，棱台，则·π＋4π)＝7π3，V 2＝π×8，V 4＝13×1×(4＋4×16＋<V 1<V 3<V 4.故选C.§8.3 空间点、线、面之间的位置关系1.平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内.它的作用是可用来证明点在平面内或__________________.(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面.公理2的推论如下：①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线.它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题.2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类 错误!(2)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”.②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性.③异面直线所成的角：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).异面直线所成角的范围是____________.若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________.3.平行公理公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性).它给出了判断空间两条直线平行的依据.4.等角定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________.自查自纠：1.(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条2.(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点(2)③⎝⎛⎦⎥⎤0，π2 互相垂直 异面垂直3.同一条直线4.相等或互补(2013·安徽)在下列命题中，不是．．公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解：公理是不需要证明的原始命题，而选项A 是面面平行的性质定理，故选A.若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A.OB ∥O 1B 1且方向相同B.OB ∥O 1B 1C.OB 与O 1B 1不平行D.OB 与O 1B 1不一定平行解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角.故选D.若点P ∈α，Q ∈α，R ∈β，α∩β＝m ，且R ∉m ，PQ ∩m ＝M ，过P ，Q ，R 三点确定一个平面γ，则β∩γ是( )A.直线Q RB.直线P RC.直线R MD.以上均不正确 解：∵PQ ∩m ＝M ，m ⊂β，∴M ∈β.又M ∈平面PQ R ，即M ∈γ，故M 是β与γ的公共点.又R∈β，R ∈平面PQ R ，即R∈γ，∴R 是β与γ的公共点.∴β∩γ＝M R .故选C.给出下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共。