- 1 -知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/ 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得等.EFBCDEABDFEFACBCDFEFABBCDFDEACABEFDEBCAB或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E
- 2 - B C由DE∥BC可得：.此推论较原定理应ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。知识点5、两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”知识点6、三边对应成比例的两个三角形相似。这种方法和前两种方法一样是判定两个三角形相似的另一种方法，这种方法利用了三角形的三边，而没有用到角，这种方法类似于三角形全等的条件“SSS”补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。ABCDEABCDE
相似三角形
定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；
性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。相似比为k。
判定：
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
直角三角形相似判定定理:
1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·AB， BC²=BD·BA
(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).
补充二：三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 ABCDDABCDABCEABCDE推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1. 勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2. 毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行 如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形三边成比例证明
相似三角形指的是两个三角形，其中它们的外角相等，而内角比例也相等。如果两个三角形的三边成比例，则它们必定是相似的。
证明：设$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$两个三角形，且满足$\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}=\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=k$，证明$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$两个三角形相似。
由于$\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}=\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=k$，所以有$AB=kA^{\prime}B^{\prime}$,$BC=kB^{\prime}C^{\prime}$和$AC=kA^{\prime}C^{\prime}$，
由此可得$\triangle ABC \sim \triangle
A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$，
即$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$两个三角形相似。 综上所述，若两个三角形的三边成比例，则它们必定是相似的，即证明命题成立。
