数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析

一．知识点回顾：

1、命题：可以判断真假的语句叫命题；

逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；

简单命题：不含逻辑联结词的命题;

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题.

2、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系：

⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3、充分条件、必要条件与充要条件

⇒，那么就说：p是q的充分条件，q是p的必要条⑴、一般地，如果已知p q

件；

⇔，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．

若p q

⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论q之间的关系：

Ⅰ、从逻辑推理关系上看：

⇒，则p是q充分条件，q是p的必要条件；

①若p q

②若p q ⇒，但q p ，则p 是q 充分而不必要条件;

③若p q ，但q p ⇒，则p 是q 必要而不充分条件;

④若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；

⑤若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看： 已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：

①若A B ⊆,则p 是q 充分条件；

②若B A ⊆,则p 是q 必要条件；

③若A B ，则p 是q 充分而不必要条件;

④若B A ，则p 是q 必要而不充分条件;

⑤若A B =，则p 是q 的充要条件；

⑥若A B ⊄且B A ⊄，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

4、复合命题

⑴复合命题有三种形式：p 或q （p q ∨）；p 且q （p q ∧）；非p （p ⌝）. ⑵复合命题的真假判断

“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；

“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；

“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.

5、全称量词与存在量词

⑴全称量词与全称命题

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

⑵存在量词与特称命题

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.

⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定

①全称命题p ：,()x p x ∀∈M ，它的否定p ⌝：00,().x p x ∃∈M ⌝全称命题的否定是特称命题．

②特称命题p ：00,(),x p x ∃∈M ，它的否定p ⌝：,().x p x ∀∈M ⌝特称命题的否定是全称命题.

二．典题训练：

【例1】 判断下列命题的真假．

(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；

(2)若0

(3)设a 、b 为非零向量，如果a⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．

【例2】 若p ：－2

【例3】 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.

q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.

且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

【例4】写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)3＝2；

(2)5>4；

(3)对任意实数x，x>0；

(4)有些质数是奇数．

例5.已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．

例6.判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

例7.已知p ：⎪

⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．

例8.已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

例题解析：

例1解(1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．

(2)∵0

∴0≤|x－2|<3.

原命题为真，故其逆否命题为真．

否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.

例如当x＝－1

2

，

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

－

1

2

－2＝

5

2

<3.

故否命题为假．

(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b⇒a·b＝0为真命题．

逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b为真命题．

否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b⇒a·b≠0也为真．

例2解若a＝－1，b＝1

2

，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实

根，故p⇒q.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个