含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子

西南大学

硕士学位论文

含加法扰动的随机Boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸

引子

姓名：曾雪萍

申请学位级别：硕士

专业：应用数学

指导教师：李扬荣

20080401含加法扰动的随机Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程解的存在唯一性

与方程的吸引子

应用数学专业硕士研究生曾雪萍

指导教师李扬荣教授

摘要

吸引子是最近兴起的数学热点问题之一．全局吸引子已经成为描述一些偏微分方程

的解所产生的动力系统的渐近行为的有力工具．在１９９４年，Ｈ．ｃｒ肌ｅｌ和Ｆ．Ｆｌ锄ｄｏｌｉ在【３１

中通过吸引集的定义为随机动力系统定义了随机吸引子．由此，吸引子理论得到更进一

步的发展．

本文中，我们研究的是含加法扰动的二维随机Ｂｏｕ鼹ｉ舶ｓｑ方程解的存在唯一性与方

程的随机吸引子问题．非随机情况的Ｂｏｕ鼹ｉｎｅｓｑ方程已经被许多作者研究过了（参见文献

【１·５】）．现在我们有必要给ＢｏＵ啜ｉｎｅｓｑ方程增添—个随机部分一一加法白噪声，研究非随

机的情形．Ｂｏｌ螂ｉｎｅｓｑ方程是一个关于热力学的数学模型，它包含有温度，速度与压力这

些流体的参量．在本文的第二章中，我们证明了方程全局解的存在唯—性，并且证明依赖

于初始值的解的连续性和正则性．在本文的第三章中，我们将利用第二章中得到的方程

的解与解的性质产生了一个随机动力系统，并且通过该系统进一步考虑方程的随机吸引

子．在研究随机方程的时候，通常使用一个适合的变量代换．这里一般的变换ｕ＝ｆ＋ｕ

（其中ｕ＝∑呜（ｚ）ｄ％）对方程没有作用，我们将介绍一个包含Ｏｒ地ｔｅｎＵＩＩｌｅｎｂｅｄ【过

Ｊ＝ｌ

程的新变化，利用它将方程化为非随机的情况，并对非随机情况里面涉及到的算子进行

Ｓ０ｂｏｌｅ、，范数估计，在第二章中我们得到如下结论ｓ

引理２．３．１双线性算子ＪＥＩ：ｙ×ｙ＿∥且且：Ｄ（Ａ）×Ｄ（Ａ＞一日是连续的并满足。

（ｉ）（口（“，ｕ），ｕ）＝０，Ｖｕ，ｕ∈ｙ；

∞）Ｉ（Ｂ（ｕ，ｕ），ｕ）Ｉ≤ｃｌＩｔ‘ｒ１ＩＩｔ‘８１—９１０ｕ…Ｉｕ０９１Ｉｕｌｌ一仉，Ｖｕ，ｕ，ｕ∈ｙ；

（ｉｉｉ）ＩＢ（ｕ，ｕ）Ｉ＋ＩＢ扣，ｕ）Ｉ≤ｃ２０ｔ‘¨¨ｕ０卜如ｌＡ训如，ｖｔｌ∈Ｋｕ∈Ｄ（Ａ）；

（ｉｖ）ＩＢ（ｕ，ｕ）Ｉ≤ｃ３ｌ训如０ｔ‘０１一如０ｕ０１一如ＩＡ训如，Ｖｕ∈Ｖｕ∈Ｄ（Ａ】；

其中ｃｌ，ｃ２，ｃ３是常数，巩∈【ｏ，１），ｌ＝１，２，３．引理２．３．２Ｒ（￡）：ｙ＿∥且冗（￡）：Ｄ（Ａ）＿日满足

ＩＲ（￡）ｕｌ≤仍（￡）０ｔ‘４＋仍（ｔ），Ｖｕ∈１吒Ｖｔ≥０，

其中ａ（ｔ）＝ｐｌ姜９（驯，Ｑ（￡）＝４以ａ（ｔ）＋讵，仍（ｔ）＝４研（￡）＋（Ｑ＋３）ｑ（巩ａ（咄仍（ｔ），

伤（ｔ）关于￡是连续的且当￡＿∞时．是至多多项式增长的．以及

（Ｒ（ｔ）仳，ｕ）ｌ≤ｌ一２（ｔ）０ｔ１０Ｉｔ‘Ｉ＋ｃ§＠）１ｕＩ，Ｖｕ∈ＫＶｔ≥ｏ．

引理２．３．３定义在ｙ×ｙ上的双线性形式口满足。

ｃ４０ｔ正８２≤口（ｔＩ，仳）≤ｃ５０ｔｔ０２，Ｖｕ∈矿

其中ｃ４，ｃ５是常数．

利用上述引理，我们可以证明方程依赖于初始值的解的存在唯一性以及解的一些正

则性与连续性，

定理２．４对几乎处处可测的ｕ∈Ｑ和ｔｏ∈Ｒ，当方程（１５）有初始值ｔｌ（￡ｏ）＝ｔｌｏ时，方

程存在唯一的解ｔ‘（￡），满足。

（ｉ）若ｔ１０∈月，则

缸∈ｃ（‰，∞），日）ｎ￡乙（幻，∞；ｙ）；

且映射ｔｌｏ＿缸（ｔ）对任意的ｔ＞ｔｏ是从日到Ｄ（Ａ）上的连续映射．

（ｉｉ）若ｔｌｏ∈ｙ，则

ｕ∈ｃ（【￡ｏ，∞），ｙ）ｎＬ乙（￡ｏ，∞；Ｄ（Ａ））．

由定理２．４，我们可以通过方程的解来定义刻画方程的随机动力系统，并在第三章中

得到如下结论：

引理３．２．１设ｔＩ＝｛ｆ，刀，是方程（１１）的解，则

ｌ叩（ｔ）Ｉｓ（Ｉ叩（ｔｏ）Ｉ＋矗）ｅ２（幻一。’＋‘，耽≥幻．

其中ｉ＝２乃ＩＤ峥是确定的常数．

引理３．２．２对任意的ｐ＞ｏ，存在￡（ｕ，ｐ）≤一１，使得ｔ对任意的６０＝｛伽，，７０）∈汀，

ｔ０≤￡（ｕ，力，１６０ｌ≤ｐ，下面不等式几乎处处成立，

Ｉ’７０，ｕ；ｔｏ，伽）ｌ≤ＧＶ￡∈【一１，０】；

Ｉｆ（ｔ，ｕ；ｚｏ，ｔ帕一ｚ（ｔｏ）Ｉ≤７（ｕ），Ｖｔ∈【一１，０】．

ＩＩ其中ｃ是常数，，ｙ（ｕ）是随机变量．特别的，Ｂ（ｏ，ｃ＋７∞）＋Ｉｚ（ｏ）Ｉ）是日中关于动力系

统妒的随机吸收集．

引理３．２．３在与引理３．２．２相同的假设和条件下，存在两个随机变量，ｙｌ（ｕ），仇∞）使

得对任意的ｔｏ≤ｔ（ｕ，ｐ），有下面式子成立·

￡懈，州。，酬阳≤７ｔ（毗

仁憾（ｓ，ｕ；妣Ⅶ一名（￡。）１１２ｄｓ≤７２ｐ）．

引理３．２．４存在两个随机变量铂（ｕ），铂（ｕ）满足下面性质ｔ对任意的ｐ＞ｏ，存在

ｔ（ｕ，力≤一１使得对任意的ｔｏＳｔ（ｕ，ｐ）与６０＝｛Ⅶ，’】ｏ】Ｉ∈日且Ｊ６０ｌ＜ｐ，有下面式子成立。

０叩（ｏ，ｕ；幻，珈）０≤１３（ｕ）；

０∈（ｏ，ｕ；ｔｏ，ｔ帕一ｚ（ｔｏ）０≤７４（ｕ）．

引理（３．２．２）证明了Ｂ（ｏ，ｃ＋，ｒ∞）＋Ｉ石（ｏ）１）是日中关于动力系统妒的随机吸收集，引

理（３．２．４）证明了该吸收集在ｙ中取ｔ＝ｏ时是吸收的，即证明了日中的吸收集是紧的．

于是由引理（３．２．１．３．２．４）与预备知识中的定理１．３．１８，我们得到了下面有用的结论：

定理３．２．５随机Ｂ０ｕ鹃ｉｒ嗍方程（１．２）产生的随机动力系统有一个紧的全局吸引子，

它包含在ｙ中的一个随机球里并且吸引口中的所有确定有界集．

关键词：随机偏微分方程；随即动力系统；全局吸引子；Ｂ０ｕ蹈ｉｒ螨ｑ方程；白噪音；

ｗｉｅｎ盱过程；正则性．

ＩＩＩＳｔａｃｈａＳｔｉｃＢｏｕｓｓｉｎｅｓｑＥｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＡｄｄｉｔｉＶｅＮｏｉｓｅ

ａｎｄｉｔ’ｓｇｌｏｂａｌＡｔｔ．ｒａｃｔｏｒｓ

Ｍａｊｏｒ：ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅ眦ｔｉ馏

’Ｉ、ｌｔｏｒ：Ｌｉ１仇ｎｇｒｏｎｇ

Ａｕｔｈｏｒ：ＺｅｎｇＸｕｅｐｉｎｇ

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

ＡｔｔｒａｃｔｏｒｉｓｏｎｅｏｆｔＩｌｅｍ０８ｔｉｍｐｏｒｔ棚眦ｐｒｏｂｌｅｍｓｒⅨ－ｅ】吐ｌｙ．Ｔｈｅｏｏｎｃｅｐｔｏｆｇ知ｂａＪａｔｔｒ瓢地ｏｒｈａ８

ｂｅｃｏｒＩｌｅａＶ盯ｙｕ弛ｆｕｌｔ００ｌｔ０ｄｅ∞ｒｉｂｅｔｈｅｌｏⅡｇ－ｔｉｍｅｂｅｈａＶｉｏｒｏｆｔｈｅｄｙｎ咖ｉｃａｌｓｙｓｔｅｍｓｇｅｎ盯ａｔｅｄ

ｂｙｃｅｒｔａｉｎ衄ｂｒｅｎｔｉａｌｅｑ＿ｕａｔｉ咄．ＩＩｌ１９９４’ｌＩ．Ｃｒ锄ｄ锄ｄＦ．ｎａｎｄｏｌｉｄｅ铀ｅｄｒ缸ｄｏｍａｔｔｒａｃｔｏｒｆｏｒ

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ａｔｔｒａｃｔｏｒ．Ｔｈｌｌｓ，ｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆａｔｔｒａｃｔｏｒ９０ｔ、，ｅｒｙ

ｇ（）ｏｄｄｅＶｅｌｏｐ加．ｅｌ吐．

Ｉｎｔｈｉｓｐａｐ盱，Ｗ．ｅ’Ｕ∞璐ｉｄ盱ｔｈｅｓｔｏｄｈ蠲ｔｉｃ胁ｄｉ玎１岛咖ａｌ

Ｂｏ班画ｈｅＢｑｅｃｍａｔｉｏｎｐｅｒｔｕ工ｂｅｄ

ｂｙ蛆ａｄｄｉｔｉｖｅｗｈｉｔｅｎｏｉｓｅ．Ｔｈｅｄｅｔ盯ｍｉｎ哦ｉｃｃａ∞０ｆＢｏｕ鹤ｉｎｅｓｑｅｑｕａｔｉ∞ｈ蠲ｂ∞ｎ＆ｔｕｄ埘

ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｕｙ坶ｍ柚ｙａｕｔｈｏｒ＆（ｓ篦ｆｌ一５胁Ｉｔｉｓ饿船穗弛ｒｙｔ０ａｄｄｔｏｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎａｒ卸ｄ锄

ｆｂｒｃｅ－ａｄ出ｔｉｖｅｗｈｉｔｅｎｏｉ∞，ｗｅ伽ｓｔｕｄｙｔｈｅｓｔａｃｌｌ鹊ｔｉｃｃａ船．ＴｈｅＢ‘）ｕｓｓｉｎｅｓｑｅｑｕａｔｉｏｎｉ８ｍａｔｈ．

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ｔｈｅ百ｏｂａｌ∞ｌｕｔｉ∞，锄ｄｓｈａｗｔｈａｔｔｈｅ鲥ｕｔｉ０１１ｃｏｎｔｉｎｕｏ璐ｌｙｄｅｐｅｎｄｅｄ∞ｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｖａＪｕｅ．Ｗ．ｅ

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ａｄ印ｔｉｖｅｃｈ衄ｇｅｏｆＶ嘶ａｂｌｅ．Ａｓｉｍｐｌｅｃｈ哪ｅｏｆＶ盯ｉａｂｌｅｕ＝∈＋ｕ（ｈｅｒｅｕ＝∑呜扛）ｗｊ（ｔ）

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（ｉｉｉ）ＩＢ（ｔ‘，ｕ）Ｉ＋ＩＢ（＿Ｕ，ｔ‘）Ｉ≤ｃ２Ｉｌｔ‘…Ｉ训１１一如ｌＡｕＩ如，Ｖｕ∈Ｋｔ，∈Ｄ（Ａ）；

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Ⅳhttp://www.taobao43.net/list.php/50011699.html

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