Kuramoto-Sivashinsky方程乘法白噪音Wiener过程随机动力系统随机吸收集随机吸引子教学内容

非线性动力系统混沌运动的分析方法摘要混沌是近20多年来由于计算机的发展而新兴起来的学科。

它一出现，就很快在许多领域得到广泛应用，开阔和加深了人们对许多自然现象的认识。

混沌被誉为是继相对论和量子力学问世以来,二十世纪物理学中的第三次革命。

由于混沌是非线性动力学方程解的一种类型，混沌理论自然与非线性动力学理论紧密相关。

本论文在概述非线性系统和混沌运动特性的基础上，总结了混沌运动的研究方法：时程曲线、相平面图、Poincare映射、功率谱图、Lyapunov 指数和分岔。

以Van der Pol方程为数学模型，编制了计算机程序，利用时程曲线、相平面图、功率谱图和分岔的方法，研究了混沌现象在动力系统中的存在，分析了混沌现象演化的过程。

关键词:非线性系统, 混沌, 相平面, Poincare映射Analysis Methods Of Chaotic Motion InNonlinear Dynamic SystemSpecialty: Information and computing scienceStudent: Yang YadiAdvisor: Zhao FengqunABSTRACTChaos is a new and developing subject with the development of computer in recent more than twenty years. Once appears, it has been generally used in lots of fields. It widens and deepens people’s knowledge to many natural phenomena. Chaos is considered to be the third revolution in physics of the 20th century after the Theory of Relativity and quantum mechanics came out. Because chaos is a type of the solution of nonlinear dynamic equation, chaos theory has a close relation with nonlinear dynamic theory naturally.Nonlinear system and the chaotic motive Characteristics are briefly introduced; the research methods of chaotic motion are summed up in this paper: response curve, phase position map, Poincare mapping, power spectrum map, Lyapunov exponents and the bifurcation. Given an example of the Van der Pol equation, the computer programs are presented in this paper. The existence of the chaotic phenomenon in the dynamic system is proved by using the methods of response curve, phase position map, power spectrum map and the bifurcation, and the evolutionary process of the chaotic phenomenon is also analyzed.KEY WORDS: nonlinear system, chaos, phase position, Poincare mapping目录中文摘要 (i)英文摘要 (ii)1. 绪论 (1)1.1非线性系统与混沌 (1)1.2非线性系统与混沌研究的目的和意义 (2)1.3非线性系统与混沌研究的发展情况 (4)2.混沌及其特征 (6)2.1混沌的定义 (6)2.2混沌运动的特征 (6)2.3奇怪吸引子 (7)3.混沌的研究方法 (9)3.1时程曲线 (9)3.2相平面 (9)3.3庞加莱（Poincare）截面 (11)3.4功率谱 (12)3.5 Lyapunov指数 (17)3.6分岔 (20)4.混沌典型实例分析 (28)5. 结论 (31)致谢.................................................................................. 错误！未定义书签。

实验名称线性系统对随机过程的响应一、实验目的通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。

二、实验平台MATLAB R2014a三、实验要求(1)运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。

(2)设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。

(3)随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。

(4)根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。

(5)根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。

(6)依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率，观察二者是否基本一致。

四、实验代码及结果A、运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。

代码实现：波形图：分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为0，根方差σ=1的白色噪声样本序列。

B、设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。

代码实现：波形图：分析：正态随机序列通过离散时间线性系统生成的仍是正态随机序列。

C、随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。

第六章 平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。

Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。

传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。

随着时间序列分析理论和方法的发展,美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象,米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。

就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。

因此，本章从基本的平稳时间序列讲起.第一节 基本概念一、随机过程在概率论和数理统计中,随机变量是分析随机现象的有力工具.对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等.对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了,而需要用若干个随机变量来加以刻画。

例如平面上的随机点,某企业一天的工作情况(产量、次品率、耗电量、出勤人数等)都需要用多个随机变量来刻画。

还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。

例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量.若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，{t ξ｝就是一个随机过程。

第五章非线性动力学和线性系统分析W. B. J. ZIMMERMANDepartment of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United KingdomE-mail: w.zimmerman@有限元方法中的线性运算特征系统分析（刚度矩阵）是表征偏微分方程非线性动力学系统瞬态稳定性和非线性问题变量稳态稳定性的一个强有效工具。

本章我们将讨论如何分析两个复杂系统——Benard对流和粘性指进非稳定性。

后者通过对基本流动增加“空白噪声”初始条件的方法来模拟。

线性稳定性理论假设这两种情况下的噪声初始条件都包含了所有频率，所以每个特征值都有最大实部，对应于增长最快的特征模式。

这里使用了有限元特征分析方法，证明能够很好的符合线性稳定性理论，且在实际应用中更为常见。

1．简介建模与模拟到目前为止，我们已经提到了应用有限元方法的计算建模。

模型可以用一个构造良好的数学系统来表达，且通常具有偏微分方程形式的边界条件和初始条件，这些条件也可能是几何约束。

该系统理论上具有确定性，也就是说能够确定系统任意时刻、任意精确性的状态。

通过模拟可以把握整个系统物理场，包括任意基元随时间的变化情况。

所以我们不指望模拟能够在所有细节方面都能够极其精确。

模拟主要用来再现复杂系统的细微表现，通常通过对各个子系统施加交互作用规则而得到整个系统的整体配合性能表现。

如果系统交互规则不能很好的符合实际物理过程，就需要对整体性能进行实验验证，甚至模拟结果可能只是半经验性的符合。

等价吗？根据以上分类方式，计算建模和模拟过程看起来似乎完全不同——模型基于物理场，具有确定性；而模拟则具有随机性和半经验性。

但是根据目前对复杂系统的认识，发现两者间的区别较为模糊。

例如，Billings等人[1]针对空间－时间系统提出一种数据分析技术，可以在候选类型中确定最好的偏微分方程系统，捕捉到实验系统的非线性动力学特性。

研究生参加学术活动总结报告篇一：研究生参加学术活动总结报告参加学术活动总结报告0、前言随着科学技术的迅猛发展，传统的研究生教育在观念、内容和方法上都发生了深刻的变化，研究范围不断拓展和深化。

重庆师范大学为了促进研究生自主开展学术交流活动，达到开阔视野、启迪智慧、提高创新能力的目的，营造敢于探索、勇于创新的学术氛围，每年都邀请很多大师来我校进行学术交流。

与研讨，还有不同学术背景的知识观点、成了一派欣欣向荣的景象，动拓宽学术思路与领域，些笔记总结和心得体会。

1、学术活动之一：XX阳博士关于院教师，主要的研究方向是泛函微分方程，几何学的由来，习如何开始自己的学术研究。

其中我对芬斯勒空间产生了极大的兴趣，系坐标xi(i=1义起来的（其中，把黎曼空间的一些结果拓广到这个空间来。

射联络的确定，其渊博的知识，学生时不时还给以热烈的掌声以示鼓励。

2、学术活动之二：XX我校为研究生作题为《不确定性推理与量化》的学术专题报告。

王洪春副教授首先介绍了不确定性的概念及其应用领域，可看出不同图像的漫画入手，定性的四种类型以及不确定性推理与量化的两种方法：分别对两种方法性中常见理论作了详细阐述。

述了留学的注意事项，鼓励同学们努力学习、开阔视野。

王洪春副教授来我校讲学正值我读研究生二年级，资料，构思论文的框架结构，很大的启发意义。

3、学术活动之三：中国计算机学会青年计算机科技论坛XX4月7日，当时我还是研究生一年级的学生，我在沙坪坝然后讲了芬斯勒空间和嘉当空间以及，2，，n)ρ>0)。

这时，称曲率论的建立等研究，都是以后才发展起来的。

在讲座的过程中，诙谐的语言，11月24日，美国12月12日上午，中国计算机学会青年计算机科技论坛（这些学术活动有跨区域、思想相互碰撞与融合。

提高研究生创新能力。

《广义仿射表面积》学术讲座的学术报告。

朱先阳博士是湖南湘潭人，井冈山大学数理学凸几何分析。

在报告中朱博士讲了一般空间微分K展空间，朱博士讲得也很仔细，n维集合，并且它的曲线xi=xi(t)M为芬斯勒空间。

第2章-随机过程习题及答案第二章随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。

如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。

如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)?=L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。