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随机Hopfield神经网络渐进行为的变互式凸组合方法

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TSP的几种求解方法及其优缺点

TSP的几种求解方法及其优缺点

TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。

TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。

混合时滞随机Hopfield神经网络的均方渐近 稳定性

混合时滞随机Hopfield神经网络的均方渐近 稳定性
LV ( x (t ),t )= Vt ( x,t ) +Vx ( x,t ) −Cx (t ) + Af ( x (t )) + Bg ( x (t −τ ))
+
D
t
∫−∞
K
(t
−
s
)
h
(
x
(
s
))
ds

dt
( ) +
1 2
trace
σ
T
x
(
t
)
,
x
(t
−
τ
)
,
t
∫−∞
K
(
t
−
s
)

其中 i = 1, 2,, n ， n (n > 1) 是网络中神经元的数量， xi 是在时间 t 第 i 个神经元的状态变量，
= x (t ) x1 (t= ), x2 (t ),, xn (t )T ∈ Rn ， f ( x (t )) f1 ( x1 (t )), f2 ( x2 (t )),, fn ( xn (t ))T ∈ Rn ，

( ) ∑ ∫ +
( ) d n
j =1 ij
t
−∞ kij
t−s
hj
x j (s) ds dt
(1)

( ( ) ( ) ) ∑ +
σ n
j =1 ij
xj (t), xj
t −τ j
∫,
( ) t
−∞ kij
t−s
ϕj
xj (s) ds
dω j (t ),
= xi (u) ξi (u), − ∞ < u < 0,

一种非线性凸优化的神经网络算法

一种非线性凸优化的神经网络算法

一种非线性凸优化的神经网络算法作者：吴炎翰来源：《科学与财富》2019年第01期摘要：在日常生活、工程应用和研宄数学中，优化问题普遍存在。

对于优化问题的高效求解一直为学者探究，自1986年Hopfield 和Tank 提出优化问题可以利用神经网络求解之后，人们广泛关注并不断研究这样一种高效的优化求解方法[1][4]。

本文在凸优化理论，Lyapunov 稳定性理论的背景前提下，利用Karush-Kuhn-Tucker （KKT）条件转换并构造了一个递归神经网络模型，研究了如何利用神经网络求解含等式与不等式约束条件的凸优化问题。

关键词：递归神经网络；非线性凸优化；KKT条件1 论述凸优化问题和Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件1.1 凸优化，由于其已经证明的性质——局部最优解即为全局最优解——以及拉格朗日对偶性[2]被广泛用于线性回归、插值拟合等问题。

将无法求解或难以求解的优化问题（如Linear-Fractional规划，整数规划）转化为凸优化问题是近年来学者和业界工程师广泛研究并使用的解决手段。

接下来，我们看如下带有等式和不等式（非线性）约束条件的凸优化问题：其中，f（x）是可微凸函数， G（x）≤0 ， Hx=0分别是凸优化问题的等式约束条件和不等式约束条件，不失一般性地，令H是一个行满秩矩阵（ rank（H）=m1.2 Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件，是非线性优化问题下对Lagrange乘数法的推广。

可以将含等式约束优化问题扩展至含有不等式约束条件的问题。

那么，对于上述凸优化问题，其KKT条件为：定义拉格朗日函数L（x）=f（x）+g（x）Ta+h（x）Tb，若x是该优化问题的一个最优解，那么存在a∈Rm， b∈Rl，使得下面的式子成立：1）aTg（x）=02）L（a，b，x）对x求导为零3）h（x）=02 针对上述凸优化，欲通过神经网络求解，我们需要将其转换为一个动力系统，通过对KKT条件的推导，我们构造了递归神经网络模型：其中y=[y+g（x）]+易证该神经网络动力系统是李雅普诺夫（Lyapunov）稳定的，且可以从任意初始点收敛于上述凸优化的最优解。

人工神经网络

人工神经网络

摘要人工神经网络（Artificial Neural Network，即ANN ），是20世纪80 年代以来人工智能领域兴起的研究热点。

它从信息处理角度对人脑神经元网络进行抽象，建立某种简单模型，按不同的连接方式组成不同的网络。

在工程与学术界也常直接简称为神经网络或类神经网络。

神经网络是一种运算模型，由大量的节点（或称神经元）之间相互联接构成。

每个节点代表一种特定的输出函数，称为激励函数（activation function）。

每两个节点间的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值，称之为权重，这相当于人工神经网络的记忆。

网络的输出则依网络的连接方式，权重值和激励函数的不同而不同。

而网络自身通常都是对自然界某种算法或者函数的逼近，也可能是对一种逻辑策略的表达。

【关键词】人工智能、计算智能、神经科学1.人工神经网络的基本特征人工神经网络是由大量处理单元互联组成的非线性、自适应信息处理系统。

它是在现代神经科学研究成果的基础上提出的，试图通过模拟大脑神经网络处理、记忆信息的方式进行信息处理。

人工神经网络具有四个基本特征：1）非线性非线性关系是自然界的普遍特性。

大脑的智慧就是一种非线性现象。

人工神经元处于激活或抑制二种不同的状态，这种行为在数学上表现为一种非线性人工神经网络关系。

具有阈值的神经元构成的网络具有更好的性能，可以提高容错性和存储容量。

2）非局限性一个神经网络通常由多个神经元广泛连接而成。

一个系统的整体行为不仅取决于单个神经元的特征，而且可能主要由单元之间的相互作用、相互连接所决定。

通过单元之间的大量连接模拟大脑的非局限性。

联想记忆是非局限性的典型例子。

3）非常定性人工神经网络具有自适应、自组织、自学习能力。

神经网络不但处理的信息可以有各种变化，而且在处理信息的同时，非线性动力系统本身也在不断变化。

经常采用迭代过程描写动力系统的演化过程。

4）非凸性一个系统的演化方向，在一定条件下将取决于某个特定的状态函数。

[学习笔记]Hebb学习规则和Hopfield网络

[学习笔记]Hebb学习规则和Hopfield网络

[学习笔记]Hebb学习规则和Hopfield⽹络Hebb 学习规则和Hopfield⽹络Hebb学习规则是Donald Hebb在1949年提出的⼀种学习规则，⽤来描述神经元的⾏为是如何影响神经元之间的连接的，通俗的说，就是如果相链接的两个神经元同时被激活，显然我们可以认为这两个神经元之间的关系应该⽐较近，因此将这两个神经元之间连接的权值增加，⽽⼀个被激活⼀个被抑制，显然两者间的权值应该减⼩。

此外，Hebb还有⼀句⾮常注明的话，我在很多资料中都见到这句话的引⽤：“neurons that fire together, wire together”，这句话就是对权值如何更新的⼀个解释，同被激活者连接的权重理应增加。

公式表⽰为：W_{ij}(t+1) := W_{ij}(t) + \alpha x_i x_j即表明神经元xi和xj的连接权重由两者输出决定。

尽管已经给出了⽣物学上的解释(或者说是启发)，但其实仅看这么⼀个公式是不可能完全理解的，需要⼀个例⼦来说明，到底什么⽹络才需要这样的权值更新。

下⾯将以离散Hopfield⽹络为例说明这种权值更新的具体实现。

定义和作⽤Hopfield⽹络是⼀个有向完全图(仅仅以我看到的资料去定义，并⾮严谨或者官⽅定义)，是⼀种递归神经⽹络。

有向完全图可以理解，每两个节点之间都有连接，递归即⼀个输⼊经过多次训练最终收敛。

本⽂仅讨论离散Hopfield⽹络，即节点取值为离散的。

(下⼀篇尝试⽤连续Hopfield⽹络解决⼀下旅⾏商问题)离散Hopfield⽹络的作⽤是：存储⼀个或更多的patterns，并且能够根据任意的输⼊从存储的这些patterns中将对应的原始数据还原。

例如，我们的任务是⼀个⼿写数字分类，我们将数字1对应的图⽚作为⼀种pattern让⽹络存储起来，如果将数字1遮挡⼀半，我们希望⽹络利⽤存储的记忆将这个数字1恢复，并得到最接近的pattern，也就完成了⼀个分类任务。

BP神经网络及深度学习研究 - 综述

BP神经网络及深度学习研究 - 综述
2.1
BP网络的基本结构如图21所示，其模型拓扑结构包括输入层（input）、隐层(hidden layer)和输出层(output layer)三层结构。
输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求。中间层可以设计为单隐层或者多隐层结构；最后一个隐层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程，由输出层向外界输出信息处理结果。隐层节点一般采用Sigmoid型函数，输入和输出节点可以采用Sigmoid型函数或者线性函数。
(3)网络的结构设计,即隐节点数的选择，尚无理论指导，具有很大的盲目性。
(4)新加入的样本对已经学好的样本影响较大，且每个输入样本的特征数目要求相同，泛化能力较差。
针对BP算法存在的缺陷，目前国内外已有不少人对BP网络进行了大量的研究，提出了各种不同的改进方案，如优化训练输入参数，加入动量参数，以及学习步长的适应调整，采用带动量的自学习率BP算法，动态全参数自调整学习算法，记忆式初值权值和阀值方法，快速自适应学习算法等，这些方案均提高BP神经网络收敛速度。
作用函数是反映下层输入对上层节点刺激脉冲强度的函数又称刺激函数，一般取为(0，1)内连续取值Sigmoid函数：
它反映了神经元的饱和特性。上式中，Q为表示神经元非线性的参数，称增益值(Gain)，也称调节参数。Q值越大，S形曲线越陡峭；反之，Q值越小，S形曲线越平坦；一般取Q=1。
(3)误差计算模型
关键词：BP神经网络、算法分析、应用
1
人工神经网络（Artificial Neural Network，即ANN），作为对人脑最简单的一种抽象和模拟，是人们模仿人的大脑神经系统信息处理功能的一个智能化系统，是20世纪80年代以来人工智能领域兴起的研究热点。人工神经网络以数学和物理方法以及信息处理的角度对人脑神经网络进行抽象，并建立某种简化模型，旨在模仿人脑结构及其功能的信息处理系统。

了解Hopfield神经网络算法的实现原理

了解Hopfield神经网络算法的实现原理

了解Hopfield神经网络算法的实现原理Hopfield神经网络算法是一种基于神经网络的求解最优化问题的算法。

它可以用于解决诸如图像处理、模式识别、最优化问题等应用领域。

Hopfield神经网络算法最初由J. J. Hopfield在1982年提出，其理论基础来源于生物学领域中的神经元行为研究。

Hopfield神经网络算法的实现原理主要包括四个方面：神经元模型、神经网络结构、网络训练方法以及应用场景。

1. 神经元模型在Hopfield神经网络算法中，每个神经元都是一个二值状态（取值为+1或-1）的模型。

这种模型通常称为McCulloch- Pitts模型。

其原理是在神经元内部通过大量的来自其他神经元的输入，进行累加、加权、激活等操作后产生输出。

在Hopfield神经网络中，每个神经元之间的连接按照一定的权重系数进行连接，这些权重系数通常由网络训练时产生。

2. 神经网络结构Hopfield神经网络结构通常是一个全连接的反馈神经网络。

这种结构下的每个神经元都被连接到其他所有神经元，并且这些连接是双向的。

当网络被激活时，输入信号的影响被传递给其他所有神经元，并且这些神经元的状态也会影响到其他神经元的状态。

由于Hopfield神经网络具有全连接的属性，因此在处理较大规模的问题时，网络的计算量非常大，这是其计算效率相对较低的原因之一。

3. 网络训练Hopfield神经网络的训练通常是指对神经元之间的连接权重进行调整，使得网络在接收到输入时能够达到预期的输出。

这种训练方法被称为Hebbian学习规则。

在Hopfield神经网络中，权重矩阵W的元素一般由下式计算：W(i，j) = ∑( xi *xj )其中，xi和xj分别表示神经元i和神经元j的状态，可以取值为+1或-1。

通过反复进行这种权重更新，最终可以得到一个合理的网络权重矩阵W。

4. 应用场景Hopfield神经网络算法被广泛应用于图像处理、模式识别以及最优化问题的求解。

基于Hopfield神经网络的作战对策模糊决策方法

基于Hopfield神经网络的作战对策模糊决策方法

基于Hopfield神经网络的作战对策模糊决策方法摘要：为解决作战博弈对抗中由于策略集较大，变量多出现的求解难度指数型增长等问题，如何在复杂条件下有效获取作战博弈对抗中的混合策略解还需进一步研究。

本文提出一种基于Hopfield神经网络的作战对策模糊决策方法，利用Hopfield神经网络模型进行混合策略的求解；并将作战对策的双边冲突局势下的决策问题，转化为单边风险决策问题，通过模糊决策方法来对作战对策问题进行处理，选出最优策略。

关键词：Hopfield神经网络；矩阵决策；模糊决策方法1 引言作战决策是指作战指挥员为实现一定的作战企图或目标，对所属部队未来作战行动的决定，即定下作战决心的过程及结果。

作战指挥员在进行作战决策时，需要根据作战实际情况，拟制多种可行的作战方案，并对所有方案进行综合评估，选出最优方案，这实质上是一个多属性决策问题。

因此作战首先要对策略进行优化选取，对对抗双方来说一方的赢得就是另一方的损失，则可以用对策论[1]来研究作战决策问题。

矩阵对策是对策论的基础，由于在不确定条件下赢得矩阵中的元素难以精确表示，很多文献探讨了改进的模糊矩阵对策方法[2-7]，特点是策略集、赢得矩阵由模糊集描述。

但是存在的问题是当策略数量较大时，运算效率和准确性明显降低。

本文针对这些方法的不足，提出了一种基于Hopfield神经网络的作战对策模糊决策方法，并给出了求解算法流程。

2基于Hopfield的模糊决策方法针对作战博弈对抗中混合策略求解出现指数性质的“爆炸”现象。

本文利用Hopfield神经网络具有的优化计算能力，通过构造能量函数进行混合策略的求解，然后以模糊决策方法来对带有混合策略的决策矩阵进行处理，从而选出最优策略。

2.1决策矩阵假设在一次作战行动中存在个作战步骤，决定本次作战的作战步骤是双方信息和所做策略，在第个步数时，D（Defend）方所作策略集合为,A(Attack)方所作策略集合为，当D选定的策略为，A选定的策略为双方局势为，以防御方D位例，此时防御方D的效用矩阵为（1）其中，分别为A方和D方在第步的效用。

基于改进型Hopfield神经网络的盲检测新算法研究

基于改进型Hopfield神经网络的盲检测新算法研究

Key words: Hopfield Neural Networks, Blind detection, Activation function,Universal applicability
III
目录
专用术语注释表 ....................................................................................................................................................... 1 第一章 绪论 ............................................................................................................................................................. 2 1.1 研究背景与意义 ....................................................................................................................................... 2 1.2 盲检测与盲均衡技术概述 ....................................................................................................................... 3 1.2.1 盲检测与盲均衡技术简介 ........................................................................................................... 3 1.2.2 盲检测与盲均衡算法 ................................................................................................................... 4 1.2.3 基于人工神经网络的盲检测与盲均衡算法 ............................................................................... 5 1.3 本文的工作 ............................................................................................................................................... 6 1.4 本文的结构 ............................................................................................................................................... 6 第二章 基于连续 Hopfield 神经网络的信号盲检测 ............................................................................................. 8 2.1 连续 Hopfield 神经网络概述 .................................................................................................................... 8 2.2 Hopfield 神经网络的能量函数及其在优化问题中的应用 ................................................................... 10 2.3 基于连续 Hopfield 神经网络的盲检测 ...................................................................................................11 2.3.1 盲检测优化问题的建立 ...............................................................................................................11 2.3.2 连续 Hopfield 神经网络的建立 .................................................................................................. 12 2.3.3 权矩阵配置与网络终止条件设置 .............................................................................................. 13 2.3.4 仿真实验 ...................................................................................................................................... 14 2.4 改进激活函数的连续 Hopfield 盲检测算法 .......................................................................................... 18 2.4.1 激活函数的改进 .......................................................................................................................... 18 2.4.2 网络的能量函数与稳定性证明 .................................................................................................. 20 2.4.3 仿真实验 ...................................................................................................................................... 22 2.5 本章小结 .................................................................................................................................................. 25 第三章 基于迟滞 Hopfield 神经网络的信号盲检测 ........................................................................................... 26 3.1 迟滞 Hopfield 神经网络概述 .................................................................................................................. 26 3.2 迟滞 Hopfield 神经网络的构建及其稳定性证明 .................................................................................. 28 3.3 激活函数参数的调节机制 ...................................................................................................................... 30 3.4 权矩阵配置及噪声对实验的影响 .......................................................................................................... 32 3.5 仿真实验 .................................................................................................................................................. 33 3.6 本章小结 .................................................................................................................................................. 38 第四章 基于暂态混沌神经网络的信号盲检测 ................................................................................................... 39 4.1 暂态混沌神经网络概述 .......................................................................................................................... 39 4.2 暂态混沌神经网络的构建及其模拟退火机制 ...................................................................................... 40 4.2.1 暂态混沌神经网络的模型 .......................................................................................................... 40 4.2.2 暂态混沌神经网络中的模拟退火机制及参数设计 .................................................................. 41 4.2.3 暂态混沌神经网络与 Hopfield 神经网络的比较 ...................................................................... 42 4.3 仿真实验 .................................................................................................................................................. 44 4.4 本章小结 .................................................................................................................................................. 49 第五章 总结与展望 ............................................................................................................................................... 50 5.1 本文总结 .................................................................................................................................................. 50 5.2 研究展望 .................................................................................................................................................. 51 参考文献 ................................................................................................................................................................. 53 附录 1 攻读硕士学位期间撰写的论文 ................................................................................................................ 56 附录 2 攻读硕士学位期间申请的专利 ................................................................................................................ 57 致谢 ......................................................................................................................................................................... 58

Hopfield神经网络综述

Hopfield神经网络综述

题目：Hopfield神经网络综述一、概述：1.什么是人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN)人工神经网络是一个并行和分布式的信息处理网络结构，该网络结构一般由许多个神经元组成，每个神经元有一个单一的输出，它可以连接到很多其他的神经元，其输入有多个连接通路，每个连接通路对应一个连接权系数。

人工神经网络系统是以工程技术手段来模拟人脑神经元（包括细胞体，树突，轴突）网络的结构与特征的系统。

利用人工神经元可以构成各种不同拓扑结构的神经网络，它是生物神经网络的一种模拟和近似。

主要从两个方面进行模拟：一是结构和实现机理；二是从功能上加以模拟。

根据神经网络的主要连接型式而言，目前已有数十种不同的神经网络模型，其中前馈型网络和反馈型网络是两种典型的结构模型。

1）反馈神经网络(Recurrent Network)反馈神经网络，又称自联想记忆网络，其目的是为了设计一个网络，储存一组平衡点，使得当给网络一组初始值时，网络通过自行运行而最终收敛到这个设计的平衡点上。

反馈神经网络是一种将输出经过一步时移再接入到输入层的神经网络系统。

反馈网络能够表现出非线性动力学系统的动态特性。

它所具有的主要特性为以下两点：（1）.网络系统具有若干个稳定状态。

当网络从某一初始状态开始运动，网络系统总可以收敛到某一个稳定的平衡状态；（2）.系统稳定的平衡状态可以通过设计网络的权值而被存储到网络中。

反馈网络是一种动态网络，它需要工作一段时间才能达到稳定。

该网络主要用于联想记忆和优化计算。

在这种网络中，每个神经元同时将自身的输出信号作为输入信号反馈给其他神经元，它需要工作一段时间才能达到稳定。

2.Hopfield神经网络Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。

由美国加州理工学院物理学家J.J.Hopfield 教授于1982年提出，是一种单层反馈神经网络。

Hopfield神经网络是反馈网络中最简单且应用广泛的模型，它具有联想记忆的功能。

Hopfield求解TSP报告

Hopfield求解TSP报告

Hopfield求解TSP报告基于Hopfield技术的TSP 问题求解1Hopfield原理综述：⾸先，⽹络结构上，Hopfield神经⽹络是⼀种单层互相全连接的反馈型神经⽹络。

每个神经元既是输⼊也是输出，⽹络中的每⼀个神经元都将⾃⼰的输出通过连接权传送给所有其它神经元，同时⼜都接收所有其它神经元传递过来的信息。

即：⽹络中的神经元在t时刻的输出状态实际上间接地与⾃⼰t-1时刻的输出状态有关。

神经元之间互连接，所以得到的权重矩阵将是对称矩阵。

同时，Hopfield神经⽹络成功引⼊能量函数的概念，使⽹络运⾏的稳定性判断有了可靠依据。

基本的Hopfield神经⽹络是⼀个由⾮线性元件构成的全连接型单层递归系统。

其状态变化可以⽤差分⽅程来表⽰。

递归型⽹络的⼀个重要特点就是它具有稳定状态，当⽹络达到稳定状态的时候，也就是它的能量函数达到最⼩的时候。

这⾥的能量函数不是物理意义上的能量函数，⽽是在表达形式上与物理意义上的能量概念⼀致，即它表征⽹络状态的变化趋势，并可以依据Hopfield⽹络模型的⼯作运⾏规则不断地进⾏状态变化，最终能够到达具有某个极⼩值的⽬标函数。

⽹络收敛就是指能量函数达到极⼩值。

在使⽤递归⽹络时，必须对其稳定性进⾏专门的分析与讨论，合理选择⽹络的参数变化范围，才能确保递归⽹络的正常⼯作。

Hopfield神经⽹络模型有离散型和连续性两种，离散型适⽤于联想记忆，连续性适合处理优化问题。

2建模⽅法TSP问题就是在⼀城市集合{A,B,C,…}中找出⼀个最短且经过每个城市各⼀次并回到起点的路径。

为了将TSP问题映射到⼀神经⽹络的动态演化过程，⾸先必须找到⼀合适的表⽰⽅法。

任⼀城市在最终路径上的次序可⽤⼀N维⽮量表⽰。

以10城市为例，如果城市A是第6个访问，则可以⽤0000010000，即只有第6个神经元的输出为1，其余都是0。

为了表⽰表⽰所有城市，就需要N×N阶矩阵。

例如5个城市，访问顺序顺序是CAEBD，那么可以⽤这样的⽅阵表⽰。

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2. 模型建立与解决
随机 Hopfield 神经网络描述为下面的非线性积分型微分方程：
dx ( t ) = −Cx ( t ) + AG ( x ( t ) ) + BG x ( t − τ ( t ) ) + J dt + σ t , x ( t ) , x ( t − τ ( t ) ) dω ( t ) , x ( v ) ϕ ( v ) , v ∈ ( −τ D , 0] =
Φ11 ∗ ∗ ∗ ∆ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 Φ 22 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 e − βτ D U Φ 33 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 e − βτ D S e − βτ D S Φ 44 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Φ15 −τ D R1 0 0 Φ 55 ∗ ∗ ∗ ∗
T
(
)
(
)
(1)
其中，连接权矩阵 A，B，C 为适当维数的已知常数矩阵， = x (t ) x1 ( t ) , , xn ( t ) ∈ R n 是神经元的状态 T T 函数： G ( x ( t ) ) = G1 ( x1 ( t ) ) , Gn ( xn ( t ) ) 是神经元的激励函数向量， J = [ J1 , , J n ] 是神经网络的常 值外 部 输入 ， σ ( t ) = σ ij ( t )
(5)
定理 2.6：对于常值 a > 0 ，如果存在正定矩阵 P = diag ( p1 , p2 , , pn ) ,
Di = diag ( Di1 , Di 2 , , Din ) ， i = 1, 2, , Q1 , Q2 , R1 , R2 , M 1 , M 2 , S ，使得下面的线性矩阵不等式成立，
70
收稿日期：2014年4月1日；修回日期：2014年4月30日；录用日期：2014年5月6日
随机 Hopfield 神经网络渐进行为的变互式凸组合方法
摘
要
本文通过构造合适Lyapunov-Krasovskii泛函，采用变互式凸组合方法、自由权矩阵方法、随机分析技 巧、线性矩阵不等式(LMI)方法，研究了一类随机Hopfield神经网络的随机一致最终有界性、随机吸引子 的存在性以及均方指数的稳定性。 我们得到了随机Hopfield神经网络的新的结果和时滞依靠的充分条件。 最后，应用MATLAB数值模拟检验来得到了理论的有效性。
T
(
)
n× n
是噪 声强 度矩 阵 ， ω ( x ( t ) ) = ω1 ( x1 ( t ) ) , , ωn ( xn ( t ) )
T
是定义 在由
始条件 x ( v ) = ϕ ( v ) ， −τ D < v ≤ 0 ，初始值函数0] 上取值于 R n 的随机过程 ϕ ( v ) 的全体，并且 ϕ ( v ) 是 F0 可测的，满足
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2014, 3, 70-77 Published Online May 2014 in Hans. /journal/aam /10.12677/aam.2014.32011
min = fi ( t ) ∑ fi ( t ) + max ∑ gi , j ( t ) ， ∑α g (t )
i
i, j
1
(4)
i≠ j
从而有
∆ fi ( t ) gi , j ( t ) m = g i , j : R R, g j , i ( t ) g i , j ( t ) ≥ 0 . g t f t ( ) ( ) j i, j
(3)
>0， 定义 2.3 [7]： 系统(1)是随机一致最终有界的， 如果对任意的 ρ > 0 ， 有 t′ t′( ρ ) > 0 ， 存在常值 B =
当 t ≥ t0 + t ′ ， t0 > 0 ， ϕ < ρ ,系统(1)的解 x ( t , t0 , ϕ ) 满足
, E x ( t , t0 , ϕ ) < B
Keywords
Hopfield Neural Networks, Boundedness, Mean Square Exponential Stability, Reciprocally Convex Approach
随机Hopfield神经网络渐进行为的 变互式凸组合方法
陈无及，李青松
长沙理工大学数学与计算科学学院，长沙 Email: 510392044@
Reciprocally Convex Approach to Asymptotic Behavior of Stochastic Hopfield Neural Networks
Wuji Chen, Qingsong Li
College of Mathematic and Computing Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha Email: 510392044@ Received: Apr. 1 , 2014; revised: Apr. 30 , 2014; accepted: May 6 , 2014 Copyright © 2014 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
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}
假设 2.2：若 σ ( t , ⋅, ⋅) : R + × R n × R n → R n×m , (σ ( t , 0, 0 ) ) =0 满足 Lipschtiz 条件，并且存在适当维数的任 意矩阵 Π i , ( i = 1, 2 ) ，使得
T T T T T trace σ ( t , x, y ) σ ( t , x, y ) ≤ x Π1 Π1 x + y Π 2 Π 2 y
δ− j ≤
记
Gj ( x) − Gj ( y) x− y
≤δ+ j , ∀x, y ∈ R, x ≠ y
(2)
− + − + δ n− + δ n+ δ1 + δ1 δ 2 + δ 2 − + − + − + δ δ δ δ δ = Ω1 diag δ = Ω , , , , diag , , , . 1 1 2 2 2 n n 2 2 2
0， {ω ( s ) : 0 ≤ s ≤ t} 形成的自然流 {Ft }t ≥o 的完备空间 ( Ω, F , P ) 上的 n 维布朗运动，并且满足 Ε {dω ( t )} = Ε dω 2 ( t ) = dt . 时变时滞 τ ( t ) = τ 1 ( t ) , ,τ n ( t ) 是有界的，且满足： 0 ≤ τ d ≤ τ ( t ) ≤ τ D . 对于系统的初
st th th
Abstract
In this paper, the problems of stochastic uniformly ultimate boundedness, the existence of stochastic attractor and mean square exponential stability for stochastic Hopfield neural networks are studied by constructing proper Lyapunov-Krasovskii functional, utilizing the reciprocally convex approach, the free-weighting matrix method, some stochastic analysis techniques and linear matrix inequalities technique (LMI). We deduce novel results and delay-dependent sufficient conditions for stochastic Hopfield neural networks. Finally, numerical simulations are given on MATLAB to verify the effectiveness of the gained results.
([ −τ , 0] , R ) ，其中 L ([ −τ , 0] , R ) 表示定义在
n D
−τ D ≤ s ≤ 0
sup E ϕ ( s ) < ∞ ，E 定义
2
b F0
n
D
71
随机 Hopfield 神经网络渐进行为的变互式凸组合方法
为概率 P 的期望.
+ 假设 2.1：对任意的 i = 1, 2, , n ，存在常值标量 δ − j 和 δ j ，使得激励函数 G ( ⋅ ) 满足 G ( 0 ) ≠ 0 及
0 0 0 0 0 Φ 66 ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 Φ 77 0 0
PB 0 0 0 0 0 0 Φ88 0
− ZC 0 0 0 ZA < 0 0 0 ZB Φ 99
其中， E = x ( t , t0 , ϕ )
−τ M ≤ s ≤ 0
sup E xi ( t + s, t0 , ϕ ) ， ϕ ∈ Lb F0
([ −τ , 0]; R ) 。