上海市行知中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

上海市行知中学2014—2015学年度第一学期期中考试

高三年级 数学试卷

一、 填空题（本大题满分56分，每小题4分）

1．若3cos5，且3,2，则tan=________.

2．直线l的方程为10223012xy，则l的一个方向向量是____________.

3．等差数列na中,34259,18aaaa, 则16aa=_______________.

4．ABC的三边,,abc所对角分别是,,ABC,若33,1,4ABCacS，则cosB=_________.

5．已知ai2，ib（其中Rba,）是实系数一元二次方程02qpxx的两个根，则qipbia的值为____________.

6. 已知定义在R上的函数fx，满足115f，且对任意的x都有13fxfx，则2014f=_________.

7．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是_________.（结果用分数表示）

8．设a为函数2arcsin2xxy的最大值，则二项式6)1(xxa的展开式中含2x项的系数是 ．

9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中实数a的取值范围是 _________ ．

ka

10. 数列na的前n项和为nS，12a，且*1323,nnaSnN记12SaaL

naL，则S的值是__________.

11．设1a，若对于任意的[,2]xaa，都有2[,]yaa满足方程loglog3aaxy，这时a的取值范围为_____________.

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1，此时圆上一点P的位置在0,0，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于2,1时，OPuuur的坐标为________．

13．设实数dcba,,,满足：1001dcba,则dcba取得最小值时，dcba ___ .

14．已知函数()()yfxxR，对函数ygxxI，定义gx关于fx的“对称函数”为函数yhxxI，yhx满足：对任意xI，两个点,,,xhxxgx关于点,xfx对称，若hx是24gxx关于3fxxb的“对称函数”，且hxgx恒成立，则实数b的取值范围是___________.

二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）

15．已知aR，则“2a”是“2||xxa恒成立”的 （ ）.

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

16．函数)380(),sin(2)02(,1xxxkxy)20(的图像如下图，则（ ）.

（A）6,21,21k

（B）3,21,21k

（C）6,2,21k （D）3,2,2k 2

17．函数1211111(),(),,(),,()()nnfxfxfxxxfxxfxLL则函数2014()fx是（ ）.

（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数

18．设Q是有理数，集合|2,,,0XxxababQx，在下列集合中：

（1）2|xxX （2）|2xxX （3）1|xXx （4）2|xxX

与X相同的集合是（ ）.

（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

三、解答题（本大题满分74分）

19．（本题满分12分）

已知在正四棱锥P－ABCD中（如图），高为1，其体积为4，求异面直线PA与CD所成角的大小.

20．（本题满分14分,第一小题6分，第二小题8分）

已知函数2()[2sin()sin]cos3sin3fxxxxx．

（1）若函数)(xfy的图像关于直线(0)xaa对称，求a的最小值；

（2）若函数2ymfx在5[0,]12x存在零点，求实数m的取值范围.

21．（本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东45方向，距A地1502海里处的M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．

⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；

⑵问：①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）

22．（本题满分16分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分）

已知函数1log1axfxx（其中0a且1a），gx是2fx的反函数.

（1）已知关于x的方程log17amfxxx在2,6x上有实数解，求实数m的取值范围；

（2）当01a时，讨论函数fx的奇偶性和单调性；

（3）当01a，0x时，关于x的方程2230gxmgxm有三个不同的实数解，求m的取值范围.

23．（本题满分18分，第一小题4分，第二小题7分，第三小题7分）

对于数列nu，若存在常数0M对任意*nN恒有：

1121nnnnuuuuuuML, 则称nu是B-数列.

（1）首项为1，公比为12的等比数列是否是B-数列？请说明理由.

（2）若数列na是B-数列,

①证明：2na也是B-数列；

②令12nnaaaAn，求证：数列nA是B-数列.

上海市行知中学2014—2015学年度第一学期期中考试（答案）

一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）

1．若3cos5，且3,2，则tan=________43

2．直线l的方程为10223012xy，则l的一个方向向量是____2,1（不唯一）___

3．等差数列na中,34259,18aaaa, 则16aa=_______________14

4．ABC的三边,,abc所对角分别是,,ABC,若33,1,4ABCacS，则cosB=____32_____

5．已知ai2，ib（其中Rba,）是实系数一元二次方程02qpxx的两个根，则qipbia的值为____________41314i

6. 已知定义在R上的函数fx，满足115f，且对任意的x都有13fxfx，则2014f=____-5_____

7．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是____115_____（结果用分数表示）

8．设a为函数2arcsin2xxy的最大值，则二项式6)1(xxa的展开式中含2x项的系数是 -192 ．

9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中实数a的取值范围是____10,11 ．

10. 数列na的前n项和为nS，12,a且*1323,nnaSnN记12Saa

na，则S的值是_____32_____

11．设1a，若对于任意的[,2]xaa，都有2[,]yaa满足方程loglog3aaxy，这时a的取值范围为_____________[2,)

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1，此时圆上一点P的位置在0,0，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于2,1时，OPuuur的坐标为___2sin2,1cos2_____．

【解析】如图，连结AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C点，过A作AD⊥PC于D点．由题意知BP的弧长为2.

∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－2.

∴DP＝AP·sin22＝－cos 2，∴PC＝1－cos 2，

DA＝APcos22＝sin 2. ∴OC＝2－sin 2.故OP＝(2－sin 2,1－cos 2)． ka

13．设实数dcba,,,满足：1001dcba,则dcba取得最小值时，dcba 121

【解析】当a最小d最大，即100,1da时dcba相对较小，

此时bcbccb5110021001，当且仅当1001cb时取“=”

又cb，所以bc1，当cb时bc最小为1，所以10cb

从而121,100,10,1dcbadcba

14．已知函数()()yfxxR，对函数ygxxI，定义gx关于fx的“对称函数”为函数yhxxI，yhx满足：对任意xI，两个点,,,xhxxgx关于点,xfx对称，若hx是24gxx关于3fxxb的“对称函数”，且hxgx恒成立，则实数b的取值范围是 。102b

二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）

15．已知aR，则“2a”是“2||xxa恒成立”的 （ C ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

16．函数)380(),sin(2)02(,1xxxkxy)20(的图像如下图，则（ A ）

A、6,21,21k

B、3,21,21k

C、6,2,21k

D、3,2,2k

17．函数1211111(),(),,(),,()()nnfxfxfxxxfxxfx则函数2014()fx是（ A）