指数与指数函数知识点

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。

指数与指数函数知识讲解一、指数运算1.根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn．2.幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N*；N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）． 注：上述性质对r s R ∈、均适用．二、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数．2.函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log xa y a y x ==与的图象关于直线y x =对称．f x () =12( = 2x4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=3函数值的变化特征：典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017春•东河区校级期末）函数y=2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）2．（2016秋•黄陵县校级期末）下列函数一定是指数函数的是（）A．y=2x+1B．y=x3 C．y=3•2x D．y=3﹣x3．（2017秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．24．（2017秋•定州市校级期末）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限5．（2017秋•历下区校级期末）已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）A．t≤﹣1 B．t＜﹣1 C．t≤﹣3 D．t≥﹣36．（2018•全国模拟）若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（）A．＞B．m|m|＞n|n|C．ln（m﹣n）＞0 D．πm﹣n＜1 7．（2018•凯里市校级二模）已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b8．（2017秋•天心区校级期末）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（）A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100C．y=50×2x D．y=10x+100二．填空题（共3小题）9．（2016•南昌县自主招生）函数的定义域是．10．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是．11．（2014秋•嘉定区期末）若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是．三．解答题（共3小题）12．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，），求函数的解析式．13．若指数函数的图象经过点（，4），求该函数的解析式及f（﹣）的值．14．比较a=（）0.2与b=2的大小．。

指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。

在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。

本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。

一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。

指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。

底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。

例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。

指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。

指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。

指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。

指数有一些基本的性质。

首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。

其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。

此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。

二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。

以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。

经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。

指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。

2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。

例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。

指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。

3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。

指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。

4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。