《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华 李建平 毛志强 著))第六章 定积分

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x
x
ar
1
1 (b3 a 3 ) (b a) 3
1+x.所以
4. 估计下列各积分值的范围:
1
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n.
2 3 1
x
n b 1 S ( x 2 1)dx lim f (i )Δxi (b a)[a 2 (b a) 2 a(b a) 1] a n 3 i 1
t
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(1)

4
1
( x 2 1)dx ; e x dx (a>0);
2
2
(2)


3 1 3 0
x arctan xdx ;
2
(3) 解
a
a
(4)
2
ex
x
dx .
(1)在区间[1,4]上,函数 f ( x) x 1 是增函数,故在[1,4]上的最大值 M f (4) 17 ,最
2
w.
f (a ) f ( a ) e a ,a>0 时, e a 1 ,故 f ( x) 在[-a,a]上的最大值 M=1,最小值
m e a ,所以
ww
2
tt
2
le
2
2ae a e x dx 2a .
2
ar
a
,令 f ( x) 0 得驻点 x=0,又 f (0) 1 ,
2
0
(1)

4
le
1
所以当 x=0 时,I(x)有极小值,且极小值为 I(0)=0. 5. 计算下列定积分:
3
ar
(2)
I ( x) xe x ,令 I ( x) 0 得驻点 x 0 ,又 I ( x) e x (1 2 x 2 ), I (0) 1 0 ,
d x2 1 t 2 dt ; 0 dx
sin x
cos x
(2)
d x 5 3t t e dt ; dx ln 2 d 2 sint dt (x>0). d 2 x x t
(3) 解
cos(t 2 )dt ;
(4)
πsin 2 x) cos x cos( πsin 2 x) sin x cos(
0
n.

2

x
te t dt 有极值?
2
(4)
1
(3) f ( x)dx xdx π sin xdx
0 2
π
π 2 0
π
x 2
π 2 2
0
2 π π cos x π 1 2 8
ne
1
cos x cos x . y e sin x 1
x 2 x dx ;
e dx (1 x)dx .
0 0
ne
1
i2 i 1 2a (b a ) 1] 2 n n n i 1 1 1 1 n(n 1) 1 (b a )[na 2 (b a ) 2 2 n(n 1)(2n 1) 2(b a)a n] n 6 n n 2 (b a ) [a 2 (b a ) 2

2
2
max 1, x 2 dx .
t
2
x sin t 0 0 ,即 e y 1 sin x sin 0 0
4
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x2
sin 3tdt
ne
e t dt
2 2
0
te 2 t d t
t

2
d x2 1 t 2 dt 1 x 4 ( x 2 ) 2 x 1 x 4 0 dx d x (2) t 5e3t dt x5e3 x dx ln 2 (1)
.
3
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第六章
习题 6-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线 y=x +1,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成的图形的面积. 解 因 y=x2+1 在[a,b]上连续,所以 x2+1 在[a,b]上可积,从而可特殊地将[a,b]n 等分,并取
小值 m f (1) 2 ,所以 2(4 1) 即

4
1 4
( x 2 1)dx 17(4 1) ,
6 ( x 2 1)dx 51 .
1
(2) 令 f ( x) x arctan x , 则 f ( x) arctan x
x 1 , 3] 时 , f ( x) 0 , 从 ,当 x [ 2 1 x 3
2
x dx ;
w.
(3)

0
x, 0 x , 2 f ( x)dx ,其中 f ( x) sin x, x 2
4 4
tt
0

(1)
ww
3
3 2 3 2 3 xdx 2 x 2 (4 2 3 2 ) (8 3 3) 3 3 3 3 2

x
et dt
2

2
lim

x

3. 求由方程 解

y
0
et dt cos tdt 0 所确定的隐函数 y=y(x)的导数.
0
x
方程两边对 x 求导数得:
e y y cos x 0 , y
又由已知方程有 et
y
y 0
cos x . ey
即 e 1 sin x ,于是有 y 4. 当 x 为何值时,I(x)= 解
a
n.
x2 x
1 π ) ,所以 3 6 3
(4)令 f ( x ) e
x2 x
,则 f ( x) (2 x 1)e
,令 f ( x) 0 得驻点 x
1 1 1 f ( ) e 4 , f (2) e2 ,从而 f ( x) 在[0,2]上的最大值 M e2 ,最小值 m e 4 ,所以 2
0
1
(2)

a
0
a 2 x 2 dx (a>0).
1 0
(1)根据定然积分的几何意义知,
1
w.
的面积,而此三角形面积为 1,所以
(2)根据定积分的几何意义知, 轴所围成的
3. 根据定积分的性质,比较积分值的大小: (1) 解
ww
a 1 1 1 1 2 2 2 2 圆的面积,而此 圆面积为 πa ,所以 a x dx πa . 0 4 4 4 4
2
i a
于是
n n
ba ba ba 2 , f (i ) (a i,Δxi i) 1 , n n n

i 1
f (i )Δxi [(a
i 1 n
ba 2 ba i ) 1] n n
故面积
2. 利用定积分的几何意义求定积分: (1) 解
2 xdx ;
值m f (
3 π π 1 π 1 2 π ( 3 ) 1 x arctan xdx ( 3 ) 9 6 3 3 3 3 3 3 3 π 2 π . 1 x arctan xdx 9 3 3
x2

(3)令 f ( x) e
x2
,则 f ( x) 2 xe
ww
(1) lim
x 0

0
x
arctan tdt x2
0
;
sin 3tdt t 2 e t dt
0

(1) lim
x 0
x
arctan tdt x2
1 0 arctan tdt 2 x arctan 1 lim lim x lim 1 x x 0 x 0 x 0 2x 2 2 x 2

1
0
x 2 dx 与 x 3dx ; (2)
0 2
1
(1)∵当 x [0,1] 时, x x x (1 x) 0 ,即 x x ,
3 2
tt
0

0
le
2 xdx =1.
a 0
2 xdx 表示由直线 y=2x,x=0,x=1 及 x 轴所围的三角形
a 2 x 2 dx 表示由曲线 y a 2 x 2 , x 0, x a 及 x
1
e x dx 与 (1 x)dx .
0
又x
2
x3 ,所以 x 2dx x3dx .
0 0
x x
1
1
(2)令 f ( x) e 1 x, f ( x) e 1 ,因 0 x 1 ,所以 f ( x) 0 , 从而 f ( x) f (0) 0 ,说明 e 1 x ,又 e
x
2. 求下列极限:
w.
tt
(2) lim
x 0
d2 (4) 2 dx

π
sin t d d π sin t d sin x dt dt t dx dx x t x dx x cos x sin x sin x x cos x . x2 x2
(2) x 2 x dx ( x 2 x)dx ( x x 2 )dx ( x 2 x)dx 0 1 1 1