最新扬州中学2015-2016高二下学期期中考试 数学(理)

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：每题5分，14小题，满分70分1．（5分）已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．2．（5分）已知复数z=（1+i）（2﹣i），则|z|=．3．（5分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=．4．（5分）函数f（x）=+的定义域是．5．（5分）命题“∀x∈[1，2]，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的范围是．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．7．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=e x时，上述结论中正确结论的序号是．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＞0的解集是．9．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的值范围是．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2016）=．11．（5分）当x∈（﹣∞，1]，不等式1+2x+4x•a＞0恒成立，则实数a的取值范围为．12．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=6，则实数t的值为．13．（5分）如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=．14．（5分）设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．当a=时，g（x）=t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围．二、解答题：6小题，满分90分.15．（14分）已知复数，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若z1∈R，求a的值；（2）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．16．（14分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）成立②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立（1）求f（1）的值．（2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤x．19．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：每题5分，14小题，满分70分1．（5分）已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】12：元素与集合关系的判断．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．2．（5分）已知复数z=（1+i）（2﹣i），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z=（1+i）（2﹣i）=3+i，则|z|==，故答案为：．3．（5分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=﹣1．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【解答】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）=﹣2=∴∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x=∴∴f（3）=﹣1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x令2x+1=3则x=1此时x2﹣2x=﹣1∴f（3）=﹣1故答案为：﹣14．（5分）函数f（x）=+的定义域是{2}．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：要使函数有意义，则，解得：x=2．函数的定义域为：{2}．故答案为：{2}．5．（5分）命题“∀x∈[1，2]，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的范围是（﹣∞，1]．【考点】2H：全称量词和全称命题．【解答】解：命题p：a≤x2在[1，2]上恒成立，y=x2在[1，2]上的最小值为1；∴a≤1；故答案为：（﹣∞，1]．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．【考点】EF：程序框图．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：47．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=e x时，上述结论中正确结论的序号是（1）、（3）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：∵f（x）=e x时，f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），∴f（x1+x2）===f（x1）f（x2），故（1）正确；f（x1x2）=≠+=f（x1）+f（x2），故（2）不正确；∵f（x）=e x是增函数，∴，故（3）正确．故答案为：（1）、（3）．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＞0的解集是（﹣，）．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：当x≤0时，∵2f（x）﹣1＞0，即2x+4﹣1＞0，解得x＞﹣，∴﹣＜x≤0．∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴当0时，2f（x）﹣1＞0仍成立．∴2f（x）﹣1＞0的解集为（﹣，）．故答案为：．9．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的值范围是（0，1]．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，∴单调减区间为[a，+∞）又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1∵在区间[1，2]上是减函数，∴a＞0综上得0＜a≤1故答案为（0，1]10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2016）=．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足，∴f（2016）=f（﹣2016+3×672）=f（0）=30﹣1=．故答案为：．11．（5分）当x∈（﹣∞，1]，不等式1+2x+4x•a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（，+∞）．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由题意：设2x=t，则不等式1+2x+4x•a＞0转化为1+t+at2＞0恒成立，∵x∈（﹣∞，1]，∴0＜t≤2，令函数f（t）=a•t2+t+1，当a=0时，函数f（t）=t+1在（0，2]恒大于0．当a≠0时，要使函数f（t）在（0，2]大于0恒成立，则：，解得：，∴实数a的取值范围为（+∞）．故答案为（，+∞）．12．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=6，则实数t的值为3．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：由题意，f（x）==t+，函数y=是奇函数，函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=6，∴2t=6，∴t=3，故答案为：3．13．（5分）如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=﹣1．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：从图中得出：第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依此类推每一次边上是60度，转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以x sin180°+cos180°=﹣1．故答案为：﹣114．（5分）设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．当a=时，g（x）=t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0，∵g（x）=a f（x）﹣1=（a2）x﹣1，①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1；②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，∴g（x）最大值为g（﹣1）=﹣1，∴g（x）max=；由②得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为g（1）=﹣1=1，∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立，令h（m）=﹣2mt+t2，∴即，∴t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．二、解答题：6小题，满分90分.15．（14分）已知复数，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若z1∈R，求a的值；（2）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】A1：虚数单位i、复数；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）复数，z1∈R，可得a2﹣3=0，解得：；（2）由条件复数，z2=2+（3a+1）i得，因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有，∴，解得﹣2＜a＜﹣1．16．（14分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2E：复合命题及其真假．【解答】解（1）由x2﹣7x+10＜0，解得2＜x＜5，所以p：2＜x＜5；又x2﹣4mx+3m2＜0，因为m＞0，解得m＜x＜3m，所以q：m＜x＜3m．当m=4时，q：4＜x＜12，又p∧q为真，p，q都为真，所以4＜x＜5．（2）由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，¬p≠＞¬q，其逆否命题为p⇒q，q≠＞p，由（1）p：2＜x＜5，q：m＜x＜3m，所以，即：．17．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒﹣1+b=0，解得b=1，又由f（1）=﹣f（﹣1）⇒，解得a=2．（2）不等式f（x）＜，即不等式＜，化简可得2x＞，∴x＞，∴不等式的解集为{x|x＞}；（3）f（x）=﹣+，∵2x+1＞1，∴﹣＜f（x）＜，∴f（x）的值域是（﹣，）．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）成立②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立（1）求f（1）的值．（2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤x．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立，∴当x=1时，1≤f（1）≤2|1﹣1|+1；∴f（1）=1；（2）∵f（x﹣1）=f（﹣x﹣1），∴函数f（x）=ax2+bx+c的图象关于x=﹣1对称，又∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，∴f（x）=a（x+1）2，a＞0；又∵f（1）=4a=1；∴a=；故f（x）=（x+1）2；（3）∵f（x+t）=（x+t+1）2≤x，∴x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1≤0；设g（x）=x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1，则g（1）=t2+4t≤0，g（m）=m2+（2t﹣2）m+t2+2t+1≤0；则﹣4≤t≤0，1﹣t﹣2≤m≤1﹣t+2，所以m≤1+4+2•=9，故m的最大值为9．19．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．20．（16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4E：指数函数综合题．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…（4分）（2）∵函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0，∴1＞a＞0．…（6分）由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，…（8分）∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…（10分）（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或a=﹣（舍去）．…（12分）∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x﹣2﹣x，显然是增函数．∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）…（15分）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2…（16分）若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…（17分）综上可知m=2．…（18分）。

2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．2．（5分）命题“x=π”是“sin x=0”的条件．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是．（用数字作答）5．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要（以求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．数字作答）．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x 轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）复数z=的共轭复数为．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．2．（5分）命题“x=π”是“sin x=0”的充分不必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：x=π⇒sin x=0，反之不成立，例如取x=0，满足sin x=0．∴“x=π”是“sin x=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．3．（5分）设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：∵异面直线l 1，l2的方向向量分别为，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴异面直线l1，l2所成角的大小为．故答案为：．4．（5分）的二项展开式中，x3的系数是﹣10．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【解答】解：T r+1=，令5﹣2r=3得r=1，所以x3的系数为（﹣2）1•C51=﹣10．故答案为﹣105．（5分）某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p（A）=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．6．（5分）已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式的解集是（1，+∞）．【考点】63：导数的运算．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（x）＞f（1）e x，得：，即g（x）＞g（1），因为函数不等式，所以g（x）＞g（1），所以，x＞1．故答案为（1，+∞）．7．（5分）设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵f（k）=+++…+（k∈N*），∴f（k+1）=++…++；（k∈N*），则f（k+1）﹣f（k）=++…++﹣（+++…+）=；故答案为：8．（5分）若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．【考点】8B：数列的应用；8H：数列递推式；F1：归纳推理．【解答】解：∵∴又∵f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）∴，…由此归纳推理：∴===故答案为：9．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是336．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：336．10．（5分）已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=1024．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：∵[1+（x+1）]8=a0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…8）为实常数，两边分别对x求导数，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得则a1+2a2+…+7a7+8a8=8•27=1024，故答案为：1024．11．（5分）某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要（以求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为312．数字作答）．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：分两类，数学科排在第一节，或不排在第一节，第一类，当数学课排在第一节时，其它课任意排有种，第一类，当数学课排在第二或第三节课时，第一节从语文、政治、英语、艺术四门科种任排一节，再排数学，然后排其它节次，共有=192种，根据分类计数原理得不同的排法种数为120+192=312种．故答案为：312．12．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（2，2，0），=（0，1，1），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面DEC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是（﹣16，10]．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：由题意，f′（x）=x2+ax+b，∵f（x）的两个极值点分别是x1，x2，x1∈（﹣1，1），x2∈（1，3），∴，对应的平面区域如图所示：令z=a﹣4b，得：b=a﹣z，平移直线b=b=a﹣z，显然直线过A（﹣4，3）时，z最小，最小值是﹣16，过B（﹣2，﹣3）时，z最大，最大值是10，故答案为：（﹣16，10]．14．（5分）我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x 轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积a2hπ．【考点】F3：类比推理．【解答】解：由题意，图形是一个圆环，圆环的半径为AC，BC，其面积S=π（AC2﹣BC2）∵⇒，同理∴AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为a2hπ．故答案为：a2hπ．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2K：命题的真假判断与应用；73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得16．（14分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴；（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆．∴在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．17．（14分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：的展开式的通项，由已知，得出化简，解得（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和为37=2187．所有项的二项式系数之和27=128．（2）当为整数时，项为有理项．所以r=0，2，4，6．有理项分别为1，22C72x=84x，24C74x2=560x2，26C76x3=448x3．18．（16分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）19．（16分）某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得…4分（2）因为lnE n=2lnn!，F n=n（n+1），所以lnE1=0＜F1=2，lnE2=ln4＜F2=6，lnE3=ln36＜F3=12，…，由此猜想：当n∈N*时，都有lnE n＜F n，即2lnn!＜n（n+1）…6分下用数学归纳法证明2lnn!＜n（n+1）（n∈N*）．①当n=1时，该不等式显然成立．②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），则当n=k+1时，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），要证当n=k+1时不等式成立，只要证：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），只要证：ln（k+1）≤k+1…8分令f（x）=lnx﹣x，x∈（1，+∞），因为，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，从而f（x）＜f（1）=﹣1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln （k+1）≤k+1成立，则当n=k+1时，不等式也成立．综合①②，得原不等式对任意的n∈N*均成立…10分20．（16分）已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．【考点】63：导数的运算；8B：数列的应用．【解答】解：（1）证明：设ϕ（x）=f（x）﹣f（x0）﹣f'（x0）（x﹣x0），则ϕ'（x）=f'（x）﹣f'（x0）∵g'（x）＜0故g（x）=f'（x）为减函数，则x=x0为ϕ（x）的极大值点．∵ϕ（x）≤ϕ（x0）=0，即f（x）≤f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）（当且仅当在x=x0取到）（2）证明：由（1）可知：f（x1）≤f（x0）+f'（x0）（x1﹣x0），两边同乘以λ1得λ1f（x1）≤λ1f（x0）+λ1f'（x0）（x1﹣x0），λ2f（x2）≤λ2f（x0）+λ2f'（x0）（x2﹣x0），…λn f（x n）≤λn f（x0）+λn f'（x0）（x n﹣x0），上式各式相加，得λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤（λ1+λ2+…+λn）f （x0）+f'（x0）•[λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）]，因为λ1+λ2+…+λn=1，设x0=λ1x1+λ2x2+…+λn x n，则λ1（x1﹣x0）+λ2（x2﹣x0）+…+λn（x n﹣x0）=0，由此，λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n））等号当且仅当在x1=x2=…=x n时成立，（3）证明：记公比为q，q＞0，则f（a）=aq，f[f（a）]=aq2，f{f[f[f（a}}=aq3，取x1′=a，，λ=∈（0，1），则λx1+（1﹣λ）x2=aq，f[λx1+（1﹣λ）x2]=f（aq）=f[f（a）]=aq2，又∵λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）=λf（a）+（1﹣λ）f（aq2），=λf（a）+（1﹣λ）f{f[f（a）]}，=λaq+（1﹣λ）aq3，=aq3+λaq﹣λaq3，=aq3+λaq（1﹣q2），=aq3+aq（1﹣q2），=aq2，即aq3+λaq（1﹣q2）=aq2=f[λx1+（1﹣λ）x2]，在（2）中取n=2，λ1=λ，λ2=1﹣λ，即λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）≤f[λx1+（1﹣λ）x2]，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2⇒q=1，∴f（a）=a．。

江苏省扬州中学2015—2016学年第一学期期中考试高二数学试卷 2015.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．已知命题"0,:"<∈∀x e R x p ，则p ⌝是 ． 2．命题 “若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为 命题．（填“真”、“假”）3．若椭圆1522=+my x 的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值等于______________． 4．“12<x ”是“10<<x ”成立的 条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）5．在正方体1111D C B A ABCD -中，过B C A 11的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11C A 的位置关系为 .(填“平行”或“相交”或“异面”)6．与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为______________． 7．设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是______________． ①．若l ⊥m ，m ⊥α，则l ⊥α或 l ∥α ②．若l ⊥γ，α⊥γ，则l ∥α或 l ⊂α ③．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或 l 与m 相交 ④．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或 l ⊂β 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的高为______________．9．已知点A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点，F 为椭圆的一个焦点，且x AF ⊥ 轴，=AF c (c 为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率是__________．10．若1F ，2F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且6421=⋅PF PF ，则21PF F ∠=______________． 11．点),(y x P 为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则y x 3+的最大值为______________．12．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计. 如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则每分钟应滴下 滴．13．在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝3，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是______________．A B C D E14．如图所示，,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||||BF CF =，则该双曲线的离心率是______________．二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分14分)设命题:{|}p a y y x R ∈=∈，命题:q 关于x 的方程20x x a +-=有实根． （1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)如图：已知正方形ABCD 的边长为2，且AE ⊥平面CDE ，A D 与平面CDE 所成角为︒30。

2014.4注：本试卷考试时间120分钟，总分值160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==， 则()U C A B ⋃为 ▲ ．2．命题“1x ∀>， 21x >”的否定是 ▲ ．3. 若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ，则f(f(10)= ▲ ．4．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 5.已知()f x 是奇函数，且1)1(=f ，若2()()2g x f x x =+，则=-)1(g ▲ ． 6.曲线xe y 2=在0=x 处的切线方程是 ▲ ．7.满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b +-=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 ▲ ．8. 322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ▲ ．9. 设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ▲ ． 10.利用数学归纳法证明“)(2131211n p n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++”，从k n =推导1+=k n 时原等式的左边应增加的项数．．是 ▲ ． 11.定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为 ▲ ．12.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：3122+= 53132++=753142+++= 5323+= 119733++=1917151343+++=根据上述分解规律，则9753152++++=，若)(*3N n m ∈的分解中最小的数是91，则m 的值为 ▲ ． 13.已知函数1()3xf x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，则函数()n f x 江苏省扬州中学2013—2014学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷的值域为 ▲ ．14.设函数()f x =（a R ∈）．若存在(0,1]b ∈使得(())f f b b =，则a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合A={}2|230x x x --<，B={}|(1)(1)0x x m x m -+--≥， （1）当0m =时，求A B ⋂（2）若p ：2230x x --<，q ：(1)(1)0x m x m -+--≥， 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知n n x x f )1()(+=， （1）若20152015012015()f x a a x a x =+++，求1320132015a a a a ++++的值；（2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数.17.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000元（π为圆周率）. (1)将V 表示成r 的函数)(r V ，并求该函数的定义域；(2)讨论函数)(r V 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.18.已知 n （2,n n N ≥∈）个半圆的圆心在同一条直线l 上，这n 个半圆每两个都相交，且都在直线l 的同侧，设这n 个半圆被所有的交点最多分成()f n 段圆弧.（1）求(2),(3),(4)f f f ；（2）由（1）猜想()f n 的表达式并用数学归纳法证明.19.设集合},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中的元素满足：①任意一个元素各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数字之和不等于9． （1）集合B 中的两位数有多少？集合B 中的元素最大的是多少？ （2）将B 中的元素从小到大排列，求2015是第几个元素．20. 已知0t >，函数()3x tf x x t-=+. (1)1t =时，写出()f x 的增区间；(2)记()f x 在区间[0,6]上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式；(3)是否存在t ，使函数()y f x =在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由．江苏省扬州中学2013～2014学年第二学期期中考试高二数学试卷答题纸成绩一、填空题（每小题5分，计70分）1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．（14分） 16．（14分）17．（14分）考试号________________ 学号_____ 班级___________座位号__________ 姓名_____________…密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………18．（16分） 19．（16分）（请将20题解答写在答题纸反面）高二数学（理）期中试卷参考答案 2014.41.{}0,2,42. 21,1x x ∃>≤ 3.2 4．4 5.1 6.22y x =+ 7.14 8.12 9.a b c >> 10. 2n 11. 116- 12.10 13.2(0,)31n -14.(,0]-∞15、解析（1）：{}{}2|230|13A x x x x x =--<=-<<，{}{}|(1)(1)0|11B x x x x x x =+-≥=≥≤-或{}|13A B x x ∴⋂=≤<（2） p 为：(1,3)-而q 为： (,1][1,)m m -∞-⋃++∞，p q ⇒所以 11m +≤-或13m -≥ ⇒ 4m ≥或2m ≤-即实数m 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞。