第11章稳恒电流磁场解读
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11-1 求图中各种情况下O点处的磁感应强度。
解：（a）连接A和D两点，电流a可以看成是由直线电流和矩形电流合成的。
直线电流在O点产生的磁感应强度，方向垂直纸面向外。
矩形电流由两条长度为a、两条长度为b的直线电流组成，在O 点产生的磁感应强度为：
方向垂直纸面向内。
O点的磁感应强度为：
（b）电流b由两条直线电流和一个圆弧电流组成：
（c）电流c中两条直线电流的延长线都过圆心，由毕-萨定律知道在圆心处产生的磁感应强度为0，圆弧产生的磁感应强度为
由于两端的电压相同，有带入上式得到B=0
11-2．如图所示，一扇形薄片，半径为，张角为，其上均匀分布正电荷，电荷密度为，薄片绕过角顶O点且垂直于薄片的轴转动，角速度为，求O点处的磁感应强度。
解答1：将扇形薄片分割成半径为r的圆弧形面积元，电荷量为：
转动时相当于园电流，对应的电流强度为：
产生的磁场为
圆心处的磁场为
解答2：以o为圆心，采用极坐标系将扇形薄片分割成小的面积元
利用运动电荷产生磁场的公式
对上式积分得：
11-3 在半径的无限长半圆柱形金属薄片中，自下而上地通有电流，求圆柱轴线上任一点处的磁感应强度。
（这里把自上而下改为自下而上，求解时对应右图。
如不改时方向相反。
）
解：从电流的顶上看是个半圆形，在其上取一段圆弧（对应于一无限长载流直导线），电流强度为：
产生的磁场方向如图，由此可见合磁场方向沿水平向右为：
磁感应强度为：
=6.37×10-5T 方向沿x轴正向。
11-4 图中所示为实验室中用来产生均匀磁场的亥姆霍兹圈。
它由两个完全相同的匝数为N的共轴密绕短线圈组成（N匝线圈可近似视为在同一平面内）。
两线圈中心间的距离等于线圈半径，载有同向平行电流J。
以连线中点为坐标原点，求轴线上在和之间、坐标为的任一点处的磁感应强度的大小，并算出进行比较。
解：由圆电流在轴线上一点的磁感应强度公式：
线圈1产生的磁感应强度
线圈2产生的磁感应强度
两个圆环之间的磁场变化缓慢。
11-5 有一半径为的半圆形电流，求在过圆心垂直于圆面的轴线上离圆心距离为处点的磁感应强度。
解：如右图利用毕-萨定律分析可知z方向的B分量为0：
x轴分量为：
y轴分量为：
这里是圆环到轴线的距离。
11-6 半径为的均匀带电球面的电势为，圆球绕其直径以角速度转动，求球心处的磁感应强度。
解：由球面的电势表示式
得到球面电荷量
电荷面密度
取球坐标系，将圆球分割成圆环，圆环带电量为
圆环转动产生的等效电流为
利用圆电流轴线上一点的磁感应强度公式，得到分割出的圆环在圆心处产生的磁场的磁感应强度为
（本题中圆环半径为，待求点球心到圆环中心的距离为）
11-7 地球上某处的磁感应强度水平分量为，试计算该处沿水平方向的磁场强度。
解：
11-8 螺线环中心周长，环上线圈匝数匝，线圈中通有电流。
（1）求管内的磁感应强度，及磁场强度；（2）若管内充满相对磁导率的铁磁质时，管内的磁感应强度和磁场强度为多大?（3）铁磁质内由传导电流产生的磁场，与由磁化电流产生的磁场各为多大?
解：（1）由安培环路定律
选择螺线环中心为环路路径：得到磁场强度
磁感应强度
（2）管内充满相对磁导率的铁磁质时磁场强度不变，磁感应强度为
（3）传导电流产生的磁场为：
磁化电流产生的磁场为：
11-9 在半径为的长圆柱导体内与轴线平行地挖去一个半径为的圆柱形空腔．两圆柱形轴线之间的距离为。
电流在截面内均匀分布，方向平行于轴线。
求：（1）实心圆柱轴线上磁感应强度的大小；（2）空心部分中任一点的磁感应强度。
解：（1）这个电流可以看成是：在空腔内补上同样电流密度的电流，在于同一位置再加上一条方向相反的电流，这时磁场是这两个电流各自产生的磁场的矢量和。
柱体的电流密度为。
在实心圆柱轴线上大圆柱产生的磁感应强度为0，小圆柱产生的磁感应强度由安培环路定律求解。
求得：
（2）空心部分的磁感应强度由大圆柱与小圆柱各自产生的磁感应强度的矢量和。
大圆柱产生的磁感应强度由安培环路定律求解
得到
同样可得小圆柱的磁感应强度
如下图，合场强为：
11-10、半径为R的无限长半圆柱形金属棒中，通有自下而上沿长度方向电流I，且横截面上电流分布均匀。
试求该半圆柱轴线上的磁感应强度。
解：
电流密度：
利用11-3的结果，磁感应强度在x轴方向，选择如右图所示的半圆弧电流元
在圆心处产生的磁感应强度为：
11-11根据安培环路定理，求得磁感应强度为：
方向垂直纸面向里，取矩形法线方向为垂直纸面向里
11-12 把圆盘割成许多圆环，其中对单个小圆环，设它的半径
为r，宽为dr，带电为dq ，则
则整个圆盘的磁矩为
垂直纸面向外，所以
平行于纸面且垂直于B向上
11-13 据霍尔效应
电场强度
11-14 ，说明A端电势比A’电势高，A端积累正电荷、A’端积累负电荷。
根据洛仑兹力公式，可以判断这块导体的载流子带负电荷，所以这块导体是n型。
又，带入数据，得
11-15：由安培力公式可知，当两条导线电流方向相同时，两导线相互吸引，如下图，导线2对导线1单位长度的引力的大小为：
，导线3对导线1单位长度的引力，引力和
正好在等边三角形的两条边上，它们之间的夹角为，而且在数值上大小相等，
所以合力的大小为方向
如图
11-16.在线圈的上下两段弧da和bc上，因长直电流产生的磁场与和电流方向平行，所以圆弧da和bc受力为零。
长直电流在线圈的直线
部 ab和cd处产生的磁场的方向别沿着y轴的正向和负向，磁感应强度的大小为。
因此，作用在线圈上的合力为
沿着x轴负向
11-17. 载流导线中两段直线部分所受安培力大小相等，方向相反，两力平衡。
整个载流导线受力就是半圆形导线所受的磁场力。
我们知道，载流导线在匀强磁场中受力，等于从起点到终点连接的一根直导线通过相同电流时受到的磁场力。
因此整个载流导线受力的大小为, 方向竖直朝上。
11-18载流的半圆形铅丝环受到磁力的大小为：, 沿着水平向右，用T表示圆弧两端a，b受到另外半圆弧的张力，在平衡时有：
相应的拉应力为：
11.19矩形回路的上下两段导线所受安培力的矢量和为零，则回路所受的总安培力等于左右两段所受的安培力的矢量和，它的大小为
方向水平向左。
11-20金属圆环径向电阻，径向电流。
金属环受到的磁力矩，等于沿径向电流所受的安培力的力矩之和。
在范围内圆环上到处的小电流元为，该电流元所受的安培力为
，对转轴的力矩为，因此圆环所受安培力矩为
方向垂直纸面朝外。
11-21 线圈的磁矩为
方向垂直纸面朝里，与B垂直。
因此，线圈所受的磁力矩的大小为：
磁力矩的方向为竖直向下。
11-22 假设摩擦力足够大，圆柱不向下滑动。
重力绕过切点0的轴的力矩为：
绕组所受的磁力矩
磁力矩应大于或等于重力矩，圆柱才不至于沿斜面向下滚动，即
11-23 因为,则通有电流I的长直导线在小线圈位置的磁感应强度近似为
方向垂直纸面朝外。
线圈正法线方向与B的方向成角时，线圈所受磁力矩为
线圈平面转至与纸面重叠时，线圈正法线方向与B的夹角减为0。
转动方向与的增加方向相反，因此磁力做功为
由刚体转动动能定理（其中），有
11-24 在离子加速过程中，由动能定理知
离子在磁场中受洛伦兹力作圆周运动时，由牛顿定律知联立上面两式可证。
