函数及其图像
一、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
第一象限(+,+)第二象限(-,+)第三象限(-,-)第四象限(+,-)
2、坐标轴上的点的特征
在x轴上纵坐标为0,在y轴上横坐标为,原点坐标为(0，0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p'关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p'关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p'关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
(1)到x轴的距离等于y(2)到y轴的距离等于x(3)到原点的距离等于
三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数的三种表示法(1)解析法(2)列表法(3)图像法
3、由函数解析式画其图像的一般步骤(1)列表(2)描点(3)连线
4、自变量取值范围
四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做x的正比例函数。
正弦曲线的图像
细品教材
众所周知，海⽔会发⽣潮汐现象，⼤约在每⼀昼夜的时间⾥，潮⽔会涨落两次，因此潮汐是周
期现象．当潮汐发⽣时，⽔的深度会发⽣周期性的变化，这种周期性的变化，与正弦函数的周
期性变化有什么联系吗？
⼀、⼀、正弦函数的图象正弦函数的图象1．正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象
利⽤单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]的图象．如下图，在直⾓坐标系的x轴的负半轴上
任取⼀点O1，以O1为圆⼼作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过⊙O1上各分
点分别作x轴的垂线，得到对应于⾓等分点的正弦线．相应地，再把x轴上从0到2π这⼀段分成12等份，再把⾓x所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，最后⽤光滑曲线把
这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
2．正弦曲线
(1)任意给定⼀个实数x，有唯⼀确定的值sinx与之对应．由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫
做正弦函数，其定义域是R．(2)根据诱导公式⼀，终边相同的⾓的三⾓函数值相等，可知函数
y=sinx，x∈[2kπ，2(k+1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0，2π)的图象的形状完全
⼀致，只是位置不同．我们只需把y=sinx，x∈[0，2π)的图象左、右平移(每次2π个单位长度)，
就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(如下图)．
正弦函数的图象叫做正弦曲线．
技术提⽰(1)利⽤单位圆和三⾓函数线画三⾓函数图象的⽅法称为⼏何法作图，其优点是图象精确，缺点
是画图⽐较⿇烦，影响解题速度．(2)作图象时，函数的⾃变量要⽤弧度制，这样⾃变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可
以统⼀单位，作出的图象较为准确．
【⽰例】【⽰例】函数y=1-sinx，x∈[0，2π]的⼤致图象为下图中的( )
思路分析：思路分析：令x=0，则y=1-sinx=1，因此图象过(0，1)，可排除C、D，⼜令，则y=1-sinx=2，
导函数图像类型题
类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。
1. （福建卷11）如果函数)(xfy的图象如右图，那么导函数的图象可能是 ( )
2. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为( )
3. 函数的图像如下右图所示，则的图像可能是 （ ）
4. 若函数2()fxxbxc的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()fx的图象是（ ）
类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5. (2007年广东佛山)设)(xf是函数)(xf的导函数,)(xfy的图象如右图所示，则)(xfy的图象最有可能的是（ ）
O 1 2 x y
x y y
O 1 2 y
O 1 2 x O 1 2
x
A B C D O 1 2 x y
6. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数的导函数的图象如右图，则的图象可能是( )
7. 函数的定义域为开区间3(,3)2，导函数在3(,3)2内的图象如图所示，则函数的单调增区间是_____________
类型三：利用导数的几何意义判断图像。
8. （2009湖南卷文）若函数的导函数．．．在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
( )
A ． B． C． D．
9.若函数)('xfy在区间),(21xx内是单调递减函数，则函数)(xfy在区间),(21xx内的图像可以是（ ） a b a b a o x o x y
b a o x y
o x y
b y )(xfy x o y
A B C D
1
161412108642105510sx() = 10xrx() = 2xqx() = 1.25xhx() = 11.25()xgx() = 12()xfx() = 110()x指数函数图像.gsp
2
1086422465101520sx() = logx()log11.25()rx() = logx()log12()qx() = logx()log110()hx() = logx()log1.25()gx() = logx()log2()fx() = logx()对数函数的图像.gsp
3
86422468105510x=1f1x() = x1311wx() = x83vx() = x32ux() = x83()tx() = x74()sx() = x35()rx() = x0qx() = xhx() = x79gx() = x916fx() = x25幂函数的图像.gsp
4
非奇非偶的幂函数的图像.gsp
1614121086425101520hx() = x74()gx() = x916fx() = x32
5
奇函数的幂函数的图像
86422468105510qx() = x35()hx() = x1311gx() = xfx() = x79
6
偶函数的幂函数的图像.gsp
8642105510tx() = x0qx() = x25hx() = x83fx() = x83()
