完全平方公式的变形及其应用

完全平方公式的6种变形
完全平方公式的6种变形
完全平方公式是数学中用于求解一元二次方程的根的一种公式，它可以表示为：$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
它有六种变形，即：
（1）$$ ax^2 = -bx - c $$
（2）$$ ax^2 = bx + c $$
（3）$$ ax^2 + c = bx $$
（4）$$ ax^2 - c = bx $$
（5）$$ ax^2 + bx = -c $$
（6）$$ ax^2 - bx = c $$
从上述六种变形来看，式子中的$a$,$b$,$c$是变形过程中，满足方程一定性
质的参数，一般情况下$a$,$b$都不能为0，改变其值，可以使方程更好地求解。

当$a$，$b$，$c$具有确定的值时，可以利用完全平方公式来求解方程的根。

例如，方程 $$ x^2+7x+10=0 $$ 的运行结果为$x=-2.5$和$x=-3.5$，可以用完全
平方公式$x^2-7x+10=0$，来检验结果是否正确：
$$ x^2-7x+10=（x-2.5）（x-3.5） $$
从计算结果可以看出，完全平方公式计算的结果是正确的。

总之，完全平方公式是一种重要的数学工具，它可以将一元二次方程改写成特
殊的形式，以便更容易地解决方程。

六种变形使用不同的参数，因此，在求解一元二次方程的过程中，可以根据实际情况选用最合适的形式，从而更容易地获得正确的解。

初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。

它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。

首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。

它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。

其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。

首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。

其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。

最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。

最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。

首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。

其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。

最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。

这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。

总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。

完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形及常见题型是数学学习中最基本的内容，在考试中也是经常出现的题型。

完全平方公式的变形和常见的题型可以大大提高学生在数学考试中的表现，也可以帮助学生更好地理解这些概念。

本文将对完全平方公式变形公式及常见题型进行讨论，包括它们的定义、变形公式以及常见题型。

完全平方公式是一类特殊的二次公式，其标准形式为：
ax2+bx+c=0
其中a、b和c分别为系数，可以为整数、分数或者其他数学表
示形式。

在完全平方公式中，b=0，a和c为正数或者负数，此时x2
的系数为a，而常数项的系数为c。

完全平方公式的一般形式为：
ax2+c=0
要将完全平方公式一般形式变形为标准形式，可以使用变形公式，其中b系数的变形公式为：
b=±√(ac)
通过使用变形公式，可以在给定的条件下变形完全平方公式，使其达到标准形式。

完全平方公式变形后常常会出现一些常见的题型，这些题型包括： 1.全平方公式求解题：此类题型一般要求学生使用完全平方公式求解某类问题，例如求解一元二次方程；
2.全平方公式变形题：此类题型要求学生运用变形公式将完全平方公式从一般形式变换到标准形式；
3.全平方公式的图像分析题：此类题型要求学生分析完全平方公式的图像特征，如顶点、极值、开口方向等；
4.全平方公式在实际问题中的应用题：此类题型要求学生将完全平方公式运用到实际问题中，如几何问题或投资问题，求解问题的最佳解。

以上就是完全平方公式变形公式及常见题型的基本内容，下面我们将对它们进行更深入的介绍。

完全平方公式是初中数学中的一个重要概念，它描述了一个二项式的平方的展开形式。

在七年级下册的数学学习中，我们通常会接触到完全平方公式的变形和应用。

下面，我将就完全平方公式的变形进行详细的阐述。

首先，我们来回顾一下完全平方公式的基本形式。

对于一个二项式a+b或a-b的平方，其展开形式分别为(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²。

这两个公式揭示了二项式平方后各项系数之间的关系。

接着，我们来探讨完全平方公式的变形。

变形通常涉及到对公式中的各项进行重新组合或调整，以适应不同的解题需求。

例如，我们可以将公式中的2ab项拆分为两个相等的部分，得到(a+b)²=a²+b²+2ab。

这样的变形有助于我们更直观地理解公式中各项之间的关系，并方便我们在解题时进行运用。

除了对公式本身的变形外，我们还需要关注完全平方公式在实际问题中的应用。

在实际问题中，我们往往需要根据题目的要求，对公式进行适当的变形和调整。

例如，在求解某个代数式的值时，我们可能需要将给定的代数式转化为完全平方的形式，然后利用完全平方公式进行计算。

在变形和应用完全平方公式的过程中，我们需要注意以下几点：首先，要熟练掌握公式的基本形式；其次，要理解公式中各项的意义和作用；最后，要根据题目的要求灵活运用公式进行变形和计算。

总之，完全平方公式的变形是七年级下册数学学习的重要内容之一。

通过掌握公式的基本形式和变形方法，我们可以更好地理解和应用完全平方公式，提高解题能力。

同时，我们也需要不断练习和巩固所学知识，以便在实际问题中能够灵活运用完全平方公式进行解题。

完全平方公式4个变形
五年级数学课程中，求解完全平方公式是经常涉及到的一个技能，它有四种变形：
1、一元二次一般式。

这个式子有ax^2+bx+c=0，是含有一个未知数x就可以完成完全平方公式，这里是求ax^2+bx+c=0的解，用二次完全平方公式可以写成：x=（-b±√(b^2-4ac))/2a，从这个公式可以看出，在求解的时候只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根就可以求得x的解。

2、展开完全平方式。

展开完全平方式包括
ax^2+2bx+c=0，这是当b≠0时完全平方式可以分解为两个完全平方和的形式，其公式可以表示为x=(-
b±√(b^2-ac))/a，只要把常数的值代入公式里，计算出完全平方根，就可以求得x的解。

3、完全平方比例定理。

这个定理是说，当
y=ax^2+bx+c=0时，x的取值范围是(-
c/b)±√(c^2/b^2−a/b)，所以只要根据这个公式计算出x
的取值范围，就可以求得坐标，并通过坐标表示法确定图形的位置，也可以在图形上做出一些判断。

4、棱锥面完全平方式。

高中数学中最常用的是棱锥面
完全平方式，它的式子有：
z=ax^2+2bxy+y^2+2cx+2dy+e，要是把其中的常数代入
到完全平方的比例定理中去求解，可以求得x和y的值，而且它可以用来画出棱锥面的三维图形。

上述是完全平方公式的四种变形，它们分别有不同的求解方法，每种变形又能应用于不同的场景，学生学习完整括这四种变形，可以更快更有效地完成各种应用题，既可以在计算数学机器上求解，也可以使用绘图系统求解。

完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。

完全平方公式9种变形一元二次方程ax²+bx+c=0 是高中数学中最基本也是最重要的方程之一，它的根也就是求解此类方程的结果叫做完美平方公式。

大家经常接触的一般格式完美平方公式就是：x²+bx+c=0，其它的变形形式有：ax²+bx+c=0ax²-bx+c=0ax²+bx-c=0ax²-bx-c=0ax²-c=0x²+c=0x²-c=0ax²=bx+cax²=bx-c从属性上来分析，完全平方公式一共有三类，它们分别是：一次项系数为零的公式，一次项系数非零的公式和不存在一次项的公式。

首先，一次项系数为零的完美平方公式有x²+bx+c=0、x²+bx-c=0、x²-bx+c=0、x²-bx-c=0、x²-c=0、x²+c=0、x²-c=0，在这几种完全平方公式中，系数a的值都是零，它们可以简化为bx±c=0，由于没有一次项，计算起来比较容易，只要将定义式中的常数向两边移动，然后利用算术平方根来计算结果即可。

其次，一次项系数不为零的完全平方公式有ax²+bx+c=0、ax²-bx+c=0、ax²+bx-c=0、ax²-bx-c=0、ax²-c=0，这几种公式系数a的值不为零，因此如果要对它们进行求解，就需要用到一次项来解决，具体操作是将一次项移动到右边，然后将方程化为二次常系数齐次方程形式，最后利用求根公式来求解即可；此外，不存在一次项的公式一共有两种，分别为ax²=bx+c和ax²=bx-c，不存在一次项的话，计算过程会复杂一点，那么就需要先将方程变为一次项系数为零的形式，然后再使用简化的求根公式来进行求解。

总的来说，完全平方公式共有9种变形形式，它们有自己的性质，在求解的时候也需要有相应的操作步骤。