三角函数与平面向量

三角函数与平面向量图象是函数个个个个）上是增函数的个数是，（，且在其中周期在四个函数个单位右移个单位左移个单位右移个单位左移的图象的图象，只需将要得到函数的是下列各式中值为一、选择题)2,230(cos |tan |.44.3.2.1.20|,|sin )4(2cos2tan )3(|sin |)2(sin )1(.34.4.8.8.2sin )42cos(.25.22tan 15.22tan .26cos 1.12sin 12cos .15cos 15sin .21.12222ππππππππππππ≠<≤⋅===-====-=︒-︒--︒︒x x x x y D C B A T x y x x y x y xy D C B A x y x y D C B A)22,2.()2,2.()22,22.()22,232.(0)(,cos )(],0[),()()(.7},434|.{},44|.{},45242|.{},42432|.{,cos sin .63.3.6..)3sin()3cos(3)(.522ππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππθθθ+++-+->=∈-=+∈+<<+∈+<<-∈+<<+∈+<<->-++---=k k D k k C k k B k k A x f x x f x x f x f x f R Z k k x k x D Z k k x k x C Z k k x k x B Z k k x k x A x x x k D k C k B k A x x x f 集是的解则时解析为若满足上的偶函数定义在的取值范围是则若等于是奇函数，则函数8.(2,8),(8,16),cos 636363....6565659.(cos ,sin )(cos ,sin ),..()()..10.60|3|.4a b a b a b A B C D a b A a b B a b a b C a bD a b a b a b C D ααββαβ+=--=-<⋅>-±==⊥+⊥-+︒+已知则等于其他已知则∥与夹角为已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于二2311.sin(),cos 22512.14sin sin ,sin cos 333sin(2)[,]()4881sin cos ()1sin cos 1tan 2sin 13.1,x y y x y x k k k Z x xf x x x x y xAB AB a BC πααππππππ+==+=-=--+∈+-=++=-= 、填空题若则下列命题正确的是①若则的最大值是，②函数的单调增区间是③函数是奇函数④函数的最小正周期是已知正方形的边长为，,,||14.||2||4515.16.0,cos 2sin 22,[0,],[51]2b ACc a b c a b a b kb a a k y a y a x x a b x a b π==++===︒-==≠=--++∈-则若，与的夹角为，要使与垂直，则三、解答题求函数已知函数若函数值域为，，求常数、的值。

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

平面向量在三角函数中的应用平面向量是二维空间中的一种数学概念，它是一个有方向的线段，由一个起点和一个终点构成。

平面向量可以用一对有序坐标来表示，例如(x,y)表示横坐标为x，纵坐标为y的向量。

在三角函数中，平面向量常常被用来表示空间中的线段或向量。

例如，在极坐标系中，可以使用极角和极径来表示平面向量，极角表示向量与正半轴之间的夹角，极径表示向量的长度。

在极坐标系中，可以使用三角函数来计算向量的横坐标和纵坐标。

例如，设向量的极角为θ，极径为r，则向量的横坐标为r * cosθ，纵坐标为r * sinθ。

此外，平面向量还可以用来描述空间中的旋转关系，例如可以使用向量的旋转角来描述向量的旋转情况。

[析考情·明重点]第一讲 小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( ) A ．4 B ．－5 C ．6D ．－6(2)(2018·浙江三模)已知向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则x －y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(3)(2019届高三 ·浙江名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.故选D.(2)∵向量e 1＝(1,2)，e 2＝(3,4)，且x ，y ∈R ，x e 1＋y e 2＝(5,6)，则(x ＋3y,2x ＋4y )＝(5,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝5，2x ＋4y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴x －y ＝－3.故选B. (3)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)B (3)C[方法技巧]掌握平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．[演练冲关]1．(2019届高三·台州检测)已知e 1，e 2是平面内两个不共线向量，AB ―→＝e 1－k e 2，CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．2B ．－3C ．－2D ．3解析：选A ∵CB ―→＝2e 1－e 2，CD ―→＝3e 1－3e 2， ∴BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(3e 1－3e 2)－(2e 1－e 2)＝e 1－2e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB ―→与BD ―→共线，∴存在唯一的实数λ，使得e 1－k e 2＝λ(e 1－2e 2)．即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－k ＝－2λ，解得k ＝2. 2.(2018·浙江模拟)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则1x ＋4y的最小值为( )A ．32B ．2C ．52D ．92解析：选D 设AD ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. ∵AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＋y ＝2， ∴1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝92.则1x ＋4y 的最小值为92. 3．(2018·衢州期中)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在DC 上满足5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 因为D 是AB 的中点，所以AB ―→＝2AD ―→， 因为5AM ―→＝AB ―→＋3AC ―→，所以2AM ―→－2AD ―→＝3AC ―→－3AM ―→，即2DM ―→＝3MC ―→， 所以5DM ―→＝3DM ―→＋3MC ―→＝3DC ―→，所以DM ―→＝35DC ―→，设h 1，h 2分别是△ABM ，△ABC 的AB 边上的高， 所以S △ABM S △ABC ＝12×AB ×h 112×AB ×h 2＝h 1h 2＝DM DC ＝|DM ―→||DC ―→|＝35.[典例感悟][典例] (1)(2018·遂宁模拟)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ―→＝3 BD ―→，|AD ―→|＝1，则AC ―→·AD ―→的值为( ) A ．23 B ．32C ．33D ． 3(2)向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0.若|λa －b |的最小值为2(λ∈R )，则a ·b ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8D ．16(3)(2018·杭州二模)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2，则( )A ．|a －c |max ＝3＋72 B ．|a ＋c |max ＝7－32 C ．|a －c |min ＝3＋72D ．|a ＋c |min ＝7－32[解析] (1)∵在△ABC 中，AD ⊥AB ， ∴AB ―→·AD ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·AD ―→ ＝AB ―→·AD ―→＋BC ―→·AD ―→ ＝BC―→·AD ―→ ＝ 3 BD ―→·AD ―→ ＝3(AD ―→－AB ―→)·AD ―→＝ 3 AD ―→·AD ―→－ 3 AB ―→·AD ―→ ＝ 3.(2)法一：由已知得a ·b ＝b 2，则|λa －b |＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b (λ∈R )，当且仅当λ＝a ·b 16时，|λa －b |有最小值2，所以16⎝⎛⎭⎫a ·b 162－2⎝⎛⎭⎫a ·b 16a ·b ＋a ·b ＝4，所以(a ·b －8)2＝0，故a ·b ＝8.故选C.法二：向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0，即a ·b ＝b 2.由题意知|λa －b |＝a 2λ2－2λa ·b ＋b 2＝16λ2－2λa ·b ＋a ·b ≥2(λ∈R )，即16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4≥0对于λ∈R 恒成立，所以对于方程16λ2－2λa ·b ＋a ·b －4＝0，Δ＝4(a ·b )2－64(a ·b －4)≤0，即(a ·b －8)2≤0，所以(a ·b －8)2＝0，所以a ·b ＝8.故选C.(3)由a ·b ＝2×2cos 〈a ，b 〉＝2， 可得cos 〈a ，b 〉＝12，sin 〈a ，b 〉＝32，设OA ―→＝a ＝(2,0)，OB ―→＝b ＝(1，3)，OC ―→＝c ＝(x ，y )， 可得(x ，y )·(4－2x,23－2y )＝2， 即x (4－2x )＋y (23－2y )＝2， 可化为x 2＋y 2－2x －3y ＋1＝0， 则C 在以圆心P ⎝⎛⎭⎫1，32，半径r ＝32的圆上运动，且|a －c |表示点A 与点C 的距离， 显然最大值为|AP |＋r ＝1＋34＋32＝3＋72， 最小值为|AP |－r ＝1＋34－32＝7－32. 设D (－2,0)，则|a ＋c |＝|OA ―→＋OC ―→|＝|－OD ―→＋OC ―→|＝|DC ―→|， 则|a ＋c |表示点D (－2,0)与点C 的距离， 显然最大值为|DP |＋r ＝9＋34＋32＝39＋32，最小值为|DP |－r ＝39－32.[答案] (1)D (2)C (3)A[方法技巧]在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意对结论(a ±b )2＝|a |2＋|b |2±2a ·b ，(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )的灵活运用．另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度．[演练冲关]1．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC ―→＝13AB ―→，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，若AO ―→·AE ―→＝8，则AC ―→·BD ―→＝( )A ．－9B ．－293 C ．－10D ．－323解析：选D 由DC ―→＝13AB ―→，可得DC ∥AB ，且DC ＝2，则△AOB ∽△COD ，AO ―→＝34AC ―→＝34⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→ ＝34AD ―→＋14AB ―→，又E 是BD 的中点，所以AE ―→＝12AD ―→＋12AB ―→，则AO ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫34AD ―→＋14AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫12AD ―→＋12AB ―→ ＝38AD 2―→＋18AB 2―→＋12AD ―→·AB ―→＝32＋92＋12AD ―→·AB ―→＝8，则AD ―→·AB ―→＝4，则AC ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13AB ―→ ·()AD ―→－AB ―→＝AD 2―→－13AB 2―→－23AD ―→·AB ―→＝4－13×36－23×4＝－323.2．(2018·温州二模)已知向量a ，b 满足|a |＝1，且对任意实数x ，y ，|a －x b |的最小值为32，|b －y a |的最小值为3，则|a ＋b |＝( ) A.7 B.5＋2 3C.7或 3D.5＋23或5－2 3解析：选C 取a ＝(1,0)，b ＝(c ，d )， 则|a －x b |＝(1－xc )2＋x 2d 2＝(c 2＋d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c c 2＋d 22＋1－c 2c 2＋d 2≥32， ∴1－c 2c 2＋d 2＝34，又|b －y a |＝(c －y )2＋d 2≥3，可得d 2＝3，解得c 2＝1. ∴|a ＋b |＝(1＋c )2＋d 2＝5＋2c ＝3或7.3．(2019届高三·湖州五校模拟)设a ，b 满足|a |＝1，|a ＋2b |＝2，则|2a －b |的取值范围是________．解析：设|2a －b |＝t ，则4a 2－4a ·b ＋b 2＝t 2， ∵|a ＋2b |＝2，则a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4， ∴5a 2＋5b 2＝t 2＋4， ∵|a |＝1，∴t 2＝1＋5b 2， ∵|a ＋2b |＝2，|a |＝1，∴由|a ＋2b |≤|a |＋2|b |＝1＋2|b |，得|b |≥12，由|2b ＋a |≥2|b |－|a |＝2|b |－1，得|b |≤32，∴14≤b 2≤94， ∴t 2＝1＋5b 2∈⎣⎡⎦⎤94，494， ∴32≤t ≤72， ∴|2a －b |∈⎣⎡⎦⎤32，72. 答案：⎣⎡⎦⎤32，72[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R )，则m n ＝________.解析：如图，∵AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF ―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn ＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R )，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b ·c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B ．23C ．38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．(2019届高三·杭州六校联考)已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．13解析：选D ∵向量a 和b 的夹角为120°， 且|a |＝2，|b |＝5，∴a ·b ＝2×5×cos 120°＝－5，∴(2a －b )·a ＝2a 2－a ·b ＝2×4＋5＝13， 故选D.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→ C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→解析：选A 作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. 4．设向量a ＝(－2,1)，a ＋b ＝(m ，－3)，c ＝(3,1)，若(a ＋b )⊥c ，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A ．－35B ．35C ．55D ．－255解析：选D 由(a ＋b )⊥c 可得，m ×3＋(－3)×1＝0，解得m ＝1.所以a ＋b ＝(1，－3)，故b ＝(a ＋b )－a ＝(3，－4)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝－2×3＋1×(－4)(－2)2＋12×32＋(－4)2＝－255，故选D. 5．P 是△ABC 所在平面上一点，满足|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选B ∵P 是△ABC 所在平面上一点，且|PB ―→－PC ―→|－|PB ―→＋PC ―→－2PA ―→|＝0， ∴|CB ―→|－|(PB ―→－PA ―→)＋(PC ―→－PA ―→)|＝0， 即|CB ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|， ∴|AB ―→－AC ―→|＝|AB ―→＋AC ―→|，两边平方并化简得AB ―→·AC ―→＝0， ∴AB ―→⊥AC ―→，∴∠A ＝90°， 则△ABC 是直角三角形．6.(2018·浙江二模)如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO ―→·CB ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,3]C ．[－3，－1]D ．[－3,1]解析：选A 建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0,0)，A (－2,0)，C (－1,0)，设B (2cos θ，2sin θ)．θ∈[0,2π)． 则CO ―→·CB ―→＝(1,0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1,3]． 故选A.7．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP ―→＝1a AC ―→＋a －1a AD ―→，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－72解析：选C 由AP ―→＝1a AC ―→＋a －1a AD ―→知点P 在直线CD 上，以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0,0)，A (0,2)，B (23，0)，D (3，1)，∴直线CD 的方程为y ＝33x ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，33x ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎫－x ，2－33x ，PB ―→＝⎝⎛⎭⎫23－x ，－33x ，PC ―→＝⎝⎛⎭⎫－x ，－33x ，∴PB ―→＋PC ―→＝⎝⎛⎭⎫23－2x ，－233x ，∴PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝－x (23－2x )＋23x 2－433x ＝83x 2－1033x ＝83⎛⎭⎫x －5382－258，∴当x ＝538时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值－258. 8．已知单位向量a ，b ，c 是共面向量，a ·b ＝12，a ·c ＝b ·c <0，记m ＝|λa －b |＋|λa －c |(λ∈R )，则m 2的最小值是( )A ．4＋ 3B ．2＋ 3C ．2＋ 2D ．4＋ 2解析：选B 由a ·c ＝b ·c ，可得c ·(a －b )＝0，故c 与a －b 垂直，又a ·c ＝b ·c <0，记OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设OD ―→＝λa ，则|λa －b |＋|λa －c |＝|BD ―→|＋|CD ―→|≥|b －c |＝|BC ―→|，由图可知最小值为BC ，易知∠OBC ＝∠BCO ＝15°，所以∠BOC ＝150°，在△BOC 中，BC 2＝BO 2＋OC 2－2BO ·OC ·cos ∠BOC ＝2＋ 3.所以m 2的最小值是2＋ 3.9．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.10．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD ―→·BC ―→＝m ，AC ―→·BD ―→＝n .若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )A ．2m －n ＝1B ．2m －2n ＝1C ．m －2n ＝1D ．2n －2m ＝1解析：选D AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(－AB ―→＋AD ―→)＝－AB ―→2＋AB ―→·AD ―→－AB ―→·BC ―→＋AD ―→·BC ―→＝－AB ―→2＋AB ―→·(AD ―→－BC ―→)＋m ＝－AB ―→2＋AB ―→·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→－BC ―→)＋m ＝AB ―→·CD ―→＋m .又EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→，EF ―→＝ED ―→＋DC ―→＋CF ―→，两式相加，再根据点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，化简得2EF ―→＝AB ―→＋DC ―→，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB ―→·DC ―→，所以AB ―→·DC ―→＝－12，则AB ―→·CD ―→＝12，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，故选D.二、填空题11．(2018·龙岩模拟)已知向量a ，b 夹角为60°，且|a |＝1，|2a －b |＝23，则|b |＝________. 解析：∵|2a －b |＝23，∴4a 2－4a ·b ＋b 2＝12， ∴4×12－4×1×|b |cos 60°＋|b |2＝12， 即|b |2－2|b |－8＝0， 解得|b |＝4. 答案：412.(2019届高三·宁波效实模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，则(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝________.解析：∵在平面四边形ABCD 中，|AC |＝3，|BD |＝4，∴AB ―→＋DC ―→＝AC ―→＋CB ―→＋DB ―→＋BC ―→＝AC ―→＋DB ―→＝AC ―→－BD ―→， BC ―→＋AD ―→＝BD ―→＋DC ―→＋AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋BD ―→，∴(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝(AC ―→－BD ―→)(AC ―→＋BD ―→)＝AC ―→2－BD ―→2＝9－16＝－7. 答案：－713．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝2|a －b |，|a |＝3，则|b |的最大值是________；最小值是________．解析：由|a ＋b |＝2|a －b |两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)，化简得到3a 2＋3b 2＝10a ·b ≤10|a ||b |，|b |2－10|b |＋9≤0，解得1≤|b |≤9.答案：9 114．(2018·嘉兴期末)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且ADBD ＝2，则CD ―→·CA ―→＝________；若CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，则xy ＝________.解析：以A 为坐标原点，AB ―→，AC ―→分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，D ⎝⎛⎭⎫43，0，所以CD ―→·CA ―→＝⎝⎛⎭⎫43，－2·(0，－2)＝4.由CD ―→＝x CA ―→＋y CB ―→，得⎝⎛⎭⎫43，－2＝x (0，－2)＋y (2，－2)，所以43＝2y ，－2＝－2x －2y ，解得x ＝13，y ＝23，所以xy ＝29.答案：42915．(2018·温州二模)若向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3，且|b |≥2，则a ·b ＝________，a 在b 方向上的投影的取值范围是________．解析：向量a ，b 满足(a ＋b )2－b 2＝|a |＝3， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2－b 2＝3， ∴9＋2a ·b ＝3，∴a ·b ＝－3；则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b|＝－3|b|，又|b |≥2，∴－32≤－3|b |<0，∴a 在b 方向上的投影取值范围是⎣⎡⎭⎫－32，0. 答案：－3 ⎣⎡⎭⎫－32，0 16．(2018·温州适应性测试)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，向量x ＝λa ＋(1－λ)b ，向量y ＝m a ＋n b ，其中λ，m ，n ∈R ，且m >0，n >0.若(y －x )·(a ＋b )＝6，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：法一：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b )＝6，所以[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b )＝6，因为|a |＝|b |＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6， 所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝m 2＋(2－m )2＝2m 2－4m ＋4＝2(m －1)2＋2≥2，当且仅当m ＝1时取等号， 所以m 2＋n 2的最小值为2.法二：依题意得，[ma ＋nb －λa －(1－λ)b ]·(a ＋b )＝6， 即[(m －λ)a ＋(n －1＋λ)b ]·(a ＋b )＝6，因为|a |＝|b |＝a ·b ＝2，所以4(m －λ)＋4(n －1＋λ)＋2[(m －λ)＋(n －1＋λ)]＝6，所以m ＋n －1＝1，即m ＋n ＝2，所以m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以m 2＋n 2的最小值为2.答案：217．已知在△ABC 中，AC ⊥AB ，AB ＝3，AC ＝4.若点P 在△ABC 的内切圆上运动，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为________，此时点P 的坐标为________．解析：因为AC ⊥AB ，所以以A 为坐标原点，以AB ，AC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，C (0,4)．由题意可知△ABC 内切圆的圆心为D (1,1)，半径为1.因为点P 在△ABC 的内切圆上运动，所以可设P (1＋cos θ，1＋sin θ)(0≤θ<2π)．所以PA ―→＝(－1－cos θ，－1－sin θ)，PB ―→＋PC ―→＝(1－2cos θ，2－2sin θ)，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－1－cos θ)(1－2cos θ)＋(－1－sin θ)(2－2sin θ)＝－1＋cos θ＋2cos 2 θ－2＋2sin 2 θ＝－1＋cos θ≥－1－1＝－2，当且仅当cos θ＝－1，即P (0,1)时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取到最小值，且最小值为－2.答案：－2 (0,1)B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF ―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝⎛⎭⎫12AB ―→＋34AC ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14×|AC ―→|×|AB ―→|×cos ∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.2.如图，在等腰梯形ABCD 中，已知DC ∥AB ，∠ADC ＝120°，AB ＝4，CD ＝2，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝12λBC ―→，DF ―→＝λDC ―→，则AE ―→·BF ―→的最小值是( ) A ．46＋13 B ．46－13 C ．46＋132D ．46－132解析：选B 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，∠ADC ＝120°，易得AD ＝BC ＝2.由动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上得，⎩⎪⎨⎪⎧0<12λ<1，0<λ<1，所以12<λ<1.所以AE ―→·BF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(BC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·BC ―→＋BE ―→·BC ―→＋AB ―→·CF ―→＋BE ―→·CF ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|cos 120°＋|BE ―→|·|BC ―→|－|AB ―→|·|CF ―→|＋|BE ―→|·|CF ―→|cos 60°＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＋1λ×2－4×(1－λ)×2＋1λ×(1－λ)×2×12＝－13＋8λ＋3λ≥－13＋28λ×3λ＝46－13，当且仅当λ＝64时取等号．所以AE ―→·BF ―→的最小值是46－13.3．(2018·台州一模)已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 解析：选B ∵单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，∴〈e 1，e 2〉＝120°， ∴|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，∴|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，∴|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，即cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |.∵－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， ∴－1≤|a |－74|a |≤1，解得2－12≤|a |≤2＋12，∴|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 4．(2017·丽水模拟)在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，CA ＝33，若AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，则EF ―→与BC ―→的夹角的余弦值等于________．解析：由题意可得BC ―→2＝(AC ―→－AB ―→)2＝AC ―→2＋AB ―→2－2AC ―→·AB ―→＝33＋1－2AC ―→·AB ―→＝36，∴AC ―→·AB ―→＝－1.由AB ―→·AE ―→＋AC ―→·AF ―→＝2，可得AB ―→·(AB ―→＋BE ―→)＋AC ―→·(AB ―→＋BF ―→) ＝AB ―→2＋AB ―→·BE ―→＋AC ―→·AB ―→＋AC ―→·BF ―→ ＝1－AB ―→·BF ―→＋(－1)＋AC ―→·BF ―→ ＝BF ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝12EF ―→·BC ―→＝2， 故有EF ―→·BC ―→＝4.再由EF ―→·BC ―→＝1×6×cos 〈EF ―→，BC ―→〉，可得6×cos 〈EF ―→，BC ―→〉＝4，∴cos 〈EF ―→，BC ―→〉＝23.答案：235．(2019届高三·镇海中学模拟)已知向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b＋x a |≥|a －b |，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪tb －a2(t ∈R )的最小值为________． 解析：向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，两边平方整理可得x 2a 2＋2x a ·b －(a 2－2a ·b )≥0， 则Δ＝4(a ·b )2＋4a 2(a 2－2a ·b )≤0， 即有(a 2－a ·b )2≤0，即为a 2＝a ·b ， 则(a －b )⊥a ，由向量a ，b 夹角为π3，|b |＝2，由a 2＝a ·b ＝|a |·|b |·cos π3，得|a |＝1，则|a －b |＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，画出AO ―→＝a ，AB ―→＝b ，建立平面直角坐标系，如图所示： 则A (1,0)，B (0，3)，∴a ＝(－1,0)，b ＝(－1，3)； ∴|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪tb －a 2 ＝(1－t )2＋(3t )2＋ ⎝⎛⎭⎫12－t 2＋(3t )2＝4t 2－2t ＋1＋4t 2－t ＋14＝2⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫t －142＋⎝⎛⎭⎫0－342＋ ⎝⎛⎭⎫t －182＋⎝⎛⎭⎫0＋382 表示P (t,0)与M ⎝⎛⎭⎫14，34，N ⎝⎛⎭⎫18，－38的距离之和的2倍，当M ，P ，N 共线时，取得最小值2|MN |. 即有2|MN |＝2⎝⎛⎭⎫14－182＋⎝⎛⎭⎫34＋382＝72. 答案：726．已知定点A ，B 满足|AB ―→|＝2，动点P 与动点M 满足|PB ―→|＝4，AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→(λ∈R )，且|MA ―→|＝|MP ―→|，则AP ―→·AM ―→的取值范围是________；若动点C 也满足|CB ―→|＝4，则AC ―→·AM ―→的取值范围是________．解析：因为AM ―→＝λAB ―→＋(1－λ)AP ―→(λ∈R )，λ＋1－λ＝1，所以根据三点共线知，点M 在直线PB 上，又|MA ―→|＝|MP ―→|，记PA 的中点为D ，连接MD ，如图，则MD ⊥AP ，AP ―→·AM ―→＝AP ―→·(AD ―→＋DM ―→)＝AP ―→·AD ―→＋0＝12AP ―→2，因为|PB ―→|＝4，所以点P 在以B 为圆心，4为半径的圆上，则|AP ―→|∈[2,6]，则AP ―→·AM ―→＝12AP ―→2∈[2,18]． 由于|MA |＋|MB |＝|MP |＋|MB |＝4，所以点M 在以A ，B 为焦点，长轴的长为4的椭圆上，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝16上，A (－1,0)，设M (2cos α，3sin α)，C (4cos β＋1，4sin β)，则AC ―→＝(4cos β＋2,4sin β)，AM ―→＝(2cos α＋1，3sin α)，AC ―→·AM ―→＝(8cos α＋4)cos β＋43sin αsin β＋4cos α＋2 ＝(8cos α＋4)2＋(43sin α)2sin(β＋φ)＋4cos α＋2＝(4cos α＋8)sin(β＋φ)＋4cos α＋2，最大值是(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝8cos α＋10≤18， 最小值是－(4cos α＋8)＋4cos α＋2＝－6， 所以AC ―→·AM ―→∈[－6,18]． 答案：[2,18] [－6,18]第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质[典例感悟][典例] (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)已知函数g (x )＝sin 2x －cos 2x ，如图是函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，为了得到f (x )的图象，只需将g (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x 2cos φ＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1sin φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的图象关于y 轴对称，则g ⎝⎛⎭⎫π6的值为( )A.32B ．－32C.12 D ．－12[解析] (1)先将函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象知A ＝1，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π＝2πω，所以ω＝2.因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.将g (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选B. (3)将函数f (x )＝2sin x 2cos x2cos φ＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1·sin φ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ.由g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ的图象关于y 轴对称，可得g (x )为偶函数，故φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又|φ|<π2，故φ＝π6，可得函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin 2π3＝32. [答案] (1)B (2)B (3)A[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. 2．(2019届高三·金华十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)与g (x )＝cos(2x＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选A 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3与g (x )＝cos(2x ＋φ)的对称轴完全相同， 则ω＝2，且f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 又h (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 把f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度， 可得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝h (x )的图象．3.(2019届高三·镇海区校级模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g (x )＝A cos ωx 的图象，需将函数y ＝f (x )的图象最少向左平移________个单位长度．解析：由图象可得A ＝2， ∵T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2， ∴T ＝π，ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1， ∵－π<φ<0，∴φ＝－π6，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝2cos 2x ＝g (x )， ∴可将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得到g (x )的图象，故答案为－π6，π3.答案：－π6 π34.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3. 答案：－ 3[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，x ∈[－1,1]，则( ) A ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递减 B ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递增 C ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递增 D ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递减(2)已知函数f (x )＝sin x cos 2x ，则下列关于函数f (x )的结论中，错误的是( ) A ．最大值为1B ．图象关于直线x ＝－π2对称C ．既是奇函数又是周期函数D ．图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称(3)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，故函数f (x )为偶函数，故排除C 、D.当x ∈[0,1]时，πx ∈[0，π]，函数y ＝cos πx 是减函数，故排除B ，选A.(2)∵函数f (x )＝sin x cos 2x ，当x ＝3π2时，f (x )取得最大值为1，故A 正确；当x ＝－π2时，函数f (x )＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x ＝－π2对称；故B 正确；函数f (x )满足f (－x )＝sin(－x )cos(－2x )＝－sin x cos 2x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，再根据f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)cos [2(x ＋2π)]＝sin x cos 2x ，故f (x )的周期为2π，故C 正确；由于f ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＋f (x )＝－cos x ·cos(3π－2x )＋sin x cos 2x ＝cos x cos 2x ＋sin x cos 2x ＝cos 2x (sin x ＋cos x )＝0不一定成立，故f (x )图象不一定关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称，故D 不正确，故选D.(3)由题意得⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调； 若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)A (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|. (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2018·浙江十校联考)下列四个函数中，以π为最小正周期，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D 由题意知函数y ＝sin|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，y ＝cos|x |的最小正周期为2π，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，故排除A 、B 、C.因为f (x )＝|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递增，所以y ＝－ln|sin x |为偶函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递减，又g (x )＝sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝|sin x |的最小正周期为π，则函数y ＝－ln|sin x |的最小正周期为π.故选D.2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z . 答案：⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则ω＝________，若f (x )>1对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，∴2πω＝2π，ω＝1，f (x )＝2sin(x ＋φ)． ∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3，即x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋φ，π3＋φ时，f (x )>1恒成立， ∴当x ＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋φ，π3＋φ时，sin(x ＋φ)>12恒成立，又|φ|≤π2，∴－π12＋φ≥π6，且π3＋φ≤5π6，解得π4≤φ≤π2.答案：1 ⎣⎡⎦⎤π4，π2[典例感悟][典例] (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． (3)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112， 又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1. (3)由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.[答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－32，1 (3)⎣⎡⎦⎤π3，π [方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.2．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78.∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7823．(2018·南宁模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤ π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18.答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π18[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．三角函数的图象及常用性质(二) 二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．(三) 易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调增区间． [课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 2．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：选B 将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，再将y ＝3sin 2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象，故选B.3.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A.4．(2018·宁波模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3。

三角函数图像与性质及解三角形三角化简与求值：重点公式要牢记（二倍角、辅助角、22sin cos 1,αα+=sin tan cos ααα=、常用诱导公式、两角和差公式）；注意方法（整体考虑、变角、1的活用，sin cos αα+型、齐次式） 典型例题：1. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ． ∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴7cos 2325απ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭247=2525- 2. 已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________ 2-3. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（A ）43-（B ）54（C ）34-（D ）45D三角函数图像与性质：图像的对称性（轴、对称中心坐标）、图像变换（尤其是伸缩）、单调区间、周期性、奇偶性、三角函数形式最后归为()()sin f x A x k ωϕ=++、三角函数的值域或最值1.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【解析】选A ()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤ 2.把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x +1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x+1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12-π，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】A 3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ （9）C 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()s i n f x x ϕ=+，得7()s i n (2)6f xx π=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得263k x k ππππ++剟，故选C .4. 已知向量(c os s i n x x x ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.解：（1）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.（2）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-3π05x ≤≤，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-.解三角形：正弦定理、余弦定理及其变形、三角形面积公式、 三角形的四心G 是ABC ∆的重心()13AG AB AC ⇔=+ 0GA GB GC ⇔++=()13PG PA PB PC ⇔=++若G 是ABC ∆的重心13BGC AGC AGB ABC S S S S ∆∆∆∆⇒===H 为ABC ∆的垂心⇔HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅ ⇔222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ .若H 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心::tan :tan :tan BHC AHC AHB S S S A B C ∆∆∆⇒=O 为ABC ∆的外心⇔==⇔222OA OB OC ==⇔()()()OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅向量()()0||||AB AC AB AC λ+λ≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；1.给出下列四个命题：()222sin sin sin sin cos cos cos cos 0cos()cos()cos()1 A B C D A B C ABC A B ABC A B C ABC A B B C C A ABC =+∆=∆<∆---=∆①若，则是直角三角形；②若，则是等腰三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是正三角形．以上命题中正确的为．②③④．①③④ ．①②④．①②③222222sin sin sin sin cos sin sin()222cos cos cos 00cos()cos()cos()1cos()cos()cos()1A B C a b c ABC A B A B A B A B A B C ABC A B B C C A A B B C C A πππ=+=+∴∆==-∴+=-=<∆---=-=-=-=∴由，得，为直角三角形，①正确；由，得，或，②错误；由，知三个余弦值中有且只有一个小于，从而为钝角三角形，③正确；由，得，A B C ABC ==∴∆，为正三角形，④正确．2. 在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC=_________________.略解：点C在∠AOB的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使()||||OA OBOC OA OB λ=+=34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-, 而||2OC = ，可得λ=，∴0()OC = . 3.已知非零向量AB 与AC满足()||||AB AC BC AB AC +⋅= 0且12||||AB AC AB AC ⋅= ，则△ABC 为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形解：由()||||AB AC BC AB AC +⋅= 0，知角A 的平分线垂直于BC ，故△ABC 为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由12||||AB AC AB AC ⋅=⇒1cos 2||||AB AC A AB AC ⋅==⋅ ，∴A ∠= 600 . 所以△ABC 为等边三角形，选D .4.已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则△ABC 一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形解：由已知得||||CB OB OA OC OA =-+-⇒||||AB AC AB AC -=+，可知以AB 与AC 为邻边的平行四边形是矩形，所以AB ⊥AC ，选B .5.在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B。

平面向量与三角恒等变换相结合问题分析平面向量与三角恒等变换都是人教版高中数学必修四中的内容，这些内容在整个高中数学知识体系中占有重要地位，也是一个高考考察的热点问题。

其中平面向量是重要的数学概念和工具,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。

三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性。

它们都与与代数、几何有着密切的联系。

在此我仅对平面向量与三角函数结合性问题做简要分析。

准备知识：向量加、减、数乘运算及两向量间共线、垂直，数量积、夹角关系等知识点。

三角函数中同角三角函数关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。

平面向量与三角恒等变换相结合问题如下：一：结合平面向量运算律考察三角函数的化简求值。

利用向量的运算律得到一个与三角函数有关的式子然后利用三角函数公式进行三角恒等变换进行化简求值。

例1：已知向量a ),cos x x =，()=b ，若//a b ，求sin cos x x 值。

解：由//a b ，x x = （利用向量平行公式） ∴tan 2x = （利用同角三角函数关系sin tan cos x x x=） sin cos x x sin cos 1x x =22sin cos sin cos x x x x =+2tan 1tan x x== （此处用到两个技巧：①利用同角三角函数关系将1转化为22sincos x x + ②分子分母同时除以2cosx 将正弦、余弦转化为正切问题）将tan 2x =带入得到：sin cos x x 25=。

二：结合平面向量数量积与三角函数性质求特殊角利用平面向量夹角公式等问题求解三角函数中某角的值或范围。

例2：已知向量()sin ,1x =a ，()2sin x x =b ，若2⊥a b ，且角x 的终边不在坐标轴上，求夹角x 。

解：由2⊥a b ，∴2⋅a b 0=， （两向量垂直，则它们的数量积为0）∴()()2sin ,12sin 0x x x ⋅=∴()()2sin ,22sin 0x x x ⋅= （利用数乘向量）∴24sin 0x x += 即 (sin 2sin 0x x += （注：此处以sin x 为自变量，当成一个整体，提取公因式）∴sin 0x =或sin 2x =- 由角x 终边不在坐标轴上∴sin 2x =- ∴423x k ππ=+或523x k π=+()k z ∈ （考察知识点：向量的数乘运算，向量数量积，向量垂直公式，三角函数特殊值，三角函数周期性等问题）三：利用平面向量，结合三角函数性质求新函数周期，最值，单调性 例3：设函数()f x =⋅a b ，其中向量()2c o s ,c o s x x =a ，()sin ,2cos x x =b ，x R ∈。

月考复习1. 已知2||=a ，3||=b ，a 与b 的夹角为︒120。

求（1）(2)(3)a b a b -⋅+. （2）||b a-2.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y轴上的截距为1，相邻两最值点()0,2x ，()003,202x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．求()f x 的解析式；3. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．4.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.5.已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(x g ＝22sin 2x . (1)若σ是第一象限角，且)(σf＝5，求)(σg 的值；(2)求不等式)()(x g x f ≥．6. 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：（I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．7.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．8.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．9.已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．10.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域11.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a()1,2=.(1)若52||=c ，且c //a ，求c 的坐标；(2) 若|b |=,25且a +2b 与b a -2垂直，求a 与b的夹角.12（2011广东卷理）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值；（2）若sin()102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．13.（2011湖南卷理）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

三角函数与平面向量三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22121R lR S θ==。

2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”）4．诱导公式记忆规律：212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如απαsin 2cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+,()ααπcos cos -=-. 5．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+ 6．三角函数的单调区间及对称性： ⑴sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈.⑵cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. ⑶tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ()Z k ∈. 7．⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得; =x 对称中心：))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).8.三角函数变换: ①相位变换:xy sin =的图象()()−−−−−−−−−→−<>个单位平移或向右向左φφφ00()φ+=x y sin 的图象； ②周期变换:xy sin =的图象()()−−−−−−−−−−−→−><<倍到原来的或缩短横坐标伸长ωωω1110x y ωsin =的图象；③振幅变换:x y sin =的图象()()−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短纵坐标伸长A A A 101xA y sin =的图象.9．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan baϕ=). 10．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =.2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±②2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. (2)万能公式:22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=-（正切倍角公式）.(3)半角公式:sin tan21cos ααα==+11．正、余弦定理：⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径 ） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

高中数学中的三角函数与三角变换原理与式推导研究及平面向量运算讲解在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。

它是研究角度和三角形的关系的数学工具。

三角变换原理是指通过三角函数的关系，可以将一个三角函数的表达式转化为另一个三角函数的表达式，从而简化计算。

平面向量运算则是研究平面上的向量相加、相减、数量积和向量积等运算。

首先，让我们来研究三角函数的基本概念。

在平面直角坐标系中，我们可以定义一个角的正弦、余弦和正切。

正弦是指一个角的对边与斜边的比值，余弦是指一个角的邻边与斜边的比值，正切是指一个角的对边与邻边的比值。

这三个比值分别用sin、cos和tan来表示。

通过这些定义，我们可以得到三角函数的基本性质，如sin^2θ+cos^2θ=1和tanθ=sinθ/cosθ等。

在三角变换原理中，我们可以通过一些基本的三角函数关系，来推导出其他的三角函数关系。

例如，我们可以通过sinθ=cos(90°-θ)来推导出cosθ=sin(90°-θ)。

这样，我们就可以将一个三角函数的表达式转化为另一个三角函数的表达式，从而简化计算。

这在解决一些复杂的三角函数问题时非常有用。

接下来，让我们来研究平面向量运算。

平面向量是指在平面上有大小和方向的量。

我们可以用有向线段来表示一个平面向量，其中线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。

在平面向量的运算中，我们可以进行向量的相加、相减、数量积和向量积等运算。

向量的相加和相减是比较直观的，就是将两个向量的大小和方向进行合并或相减。

数量积是指两个向量的数量乘积，结果是一个标量。

向量积是指两个向量的向量乘积，结果是一个新的向量。

这些运算在解决平面几何问题时非常有用，可以帮助我们计算向量的大小、方向和夹角等。

除了基本的运算，平面向量还有一些重要的性质。

例如，向量的数量积满足交换律和分配律，向量的向量积满足反交换律和分配律。

这些性质可以帮助我们简化向量运算的过程，提高计算的效率。

平面向量的数量积和叉积的三角函数表示在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的物理量，常用于描述平面上的位移、力等概念。

数量积和叉积是平面向量的两个重要运算，它们可以通过三角函数进行表示和计算。

一、平面向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是平面向量的一种运算。

设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的数量积表示为a∙a，满足以下公式：a∙a = |a| |a| cos a其中，|a|和|a|分别表示向量a和a的模长，而a表示向量a和a之间的夹角。

从公式可以看出，数量积的结果是一个标量（仅有大小，没有方向）。

它的值等于两个向量模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

二、平面向量的叉积叉积，也称为叉乘或向量积，是平面向量的另一种运算。

设有两个平面向量a=(a₁,a₂)和a=(a₁,a₂)，它们的叉积表示为a×a，满足以下公式：a×a = a₁a₂ - a₂a₁叉积的结果是一个新的向量，它的大小等于两个向量组成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。

三、三角函数表示在平面向量的数量积和叉积中，三角函数被广泛应用来表示向量之间的关系。

1. 数量积的三角函数表示根据数量积的公式，a∙a = |a| |a| cos a，我们可以通过三角函数来表示数量积，即：cos a = a∙a / (|a| |a|)其中，a是向量a和a之间的夹角。

2. 叉积的三角函数表示叉积不能直接表示为三角函数的形式，但可以通过数量积和叉积之间的关系来推导。

设有两个向量a和a，它们的夹角为a，则数量积为a∙a = |a| |a| cos a。

根据叉积的定义，叉积的大小为a×a = |a| |a| sin a。

由于数量积和叉积之间满足a×a = |a| |a| sin a，我们可以推导出：sin a = (a×a) / (|a| |a|)根据三角函数的性质，我们还可以进一步推导出：cos a = sqrt(1 - sin^2a)这样，我们可以利用向量的叉积和模长来计算夹角a，并通过三角函数来表示。

新高考数学大一轮复习专题：第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案 －2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)， 则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3， 当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二 平面向量的数量积 核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)， 设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233， 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32， 即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32， 所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确． 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________． 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13， 即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。

三角函数与平面向量综合题的六种类型题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。

题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦。

【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出被求角的三角函数值，题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C =（1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅= ，且9a b +=，求c ．【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。

题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】()f x a b =⋅ ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如sin()y A x k ωϕ=++，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。