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1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式学习目标 1.掌握两点间距离公式，并能简单应用.2.初步体会解析法研究几何问题.3.会解决简单的对称问题．知识点两点间的距离公式已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，思考1当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝|x2－x1|.思考2当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝|y2－y1|.思考3当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？答案|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2梳理两点间的距离公式如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝z(x2－x1)2＋(y2－y1)2.1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(×)2．点P(x1，y1)关于点M(x0，y0)的对称点是P′(2x0－x1，2y0－y1)．(√)类型一 两点间的距离问题例1 如图，已知△ABC 的三顶点A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 解 (1)方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝104，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝52，|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝52，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)S △ABC ＝12|AC |·|AB |＝12(52)2＝26，∴△ABC 的面积为26.反思与感悟 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练1 已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 考点 两点间的距离公式 题点 两点间距离公式的综合应用 解 设P (x ，0)，|P A |＝(x ＋1)2＋(－2)2，|PB |＝(x －2)2＋(－7)2，∵|P A |＝|PB |， ∴(x ＋1)2＋4＝(x －2)2＋7，得x ＝1，∴P (1，0)， ∴|P A |＝(1＋1)2＋4＝2 2.类型二 对称问题命题角度1 关于点对称问题例2 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． 考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题解 (1)根据题意可知，点A (a ，b )为线段PP ′的中点， 设P ′点的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)．(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y )， 则M 点关于点(2，－1)的对称点为M 1(4－x ，－2－y )， 且M 1在直线3x －y －4＝0上，所以3(4－x )－(－2－y )－4＝0， 即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A (0，－4)，B (1，－1)， 则点A (0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A 1(4，2)， 点B (1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B 1(3，－1)． 可得直线A 1B 1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则点P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练2 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题 答案 D解析 由平面几何知识易知，所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3，0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 命题角度2 关于轴对称问题例3 点P (－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2，1) B ．(－2，5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)考点 对称问题的求法 题点 点关于直线对称 答案 B解析 设对称点坐标为(a ，b )， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2，5)．反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求点P (x 0，y 0)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(x ，y )时，利用⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·x 0＋x 2＋B ·y 0＋y 2＋C ＝0可以求P ′点的坐标．(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于直线l 对称，①l 1上任意一点关于直线l 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于直线l 的对称点必在l 1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l 1，l 2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点． 跟踪训练3 一束光线从原点O (0，0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程． 考点 对称问题的求法 题点 光路可逆问题解 设原点关于直线l 的对称点A 的坐标为(a ，b )， 由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在直线l 上，得⎩⎨⎧b a ×⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴点A 的坐标为(4，3)．∵反射光线的反向延长线过点A (4，3)， 又反射光线过点P (－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 类型三 运用坐标法解决平面几何问题例4 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)． 考点 题点证明 设BC 所在边为x 轴，以D 为原点，建立直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．(2)用坐标表示有关的量．(3)将几何关系转化为坐标运算．(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.考点题点证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为()A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1或5 考点 两点间的距离公式题点 已知两点间的距离求参数的值 答案 C 解析 |AB |＝(a ＋2)2＋42＝5，解得a ＝1或a ＝－5.2．已知点A (x ，5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.17考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴P (4，1)， 则|OP |＝42＋12＝17.3．已知△ABC 的三个顶点是A (－a ，0)，B (a ，0)和C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形考点 题点 答案 C解析 ∵|AB |＝2|a |，|AC |＝⎝⎛⎭⎫a 2＋a 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02＝3|a |，|BC |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＋⎝⎛⎭⎫32a －02＝|a |， ∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．4．点A 在第四象限，点A 到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，则点A 的坐标为____________．考点两点间的距离公式题点两点间距离公式的综合应用答案(4，－3)解析由题意得，A点的纵坐标为－3，设A(x，－3)，则(x－0)2＋(－3－0)2＝5，x＝±4.又点A在第四象限，∴x＝4，∴A(4，－3)．5．已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为________．考点对称问题的求法题点点关于直线对称答案x－y＋1＝0解析线段PQ的垂直平分线就是直线l，则k l·k PQ＝k l·4－21－3＝－1，得k l＝1，PQ的中点坐标为(2，3)，在直线l上，∴直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.1．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．2．有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称：①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称：①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n－bm－a·⎝⎛⎭⎫－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。
点到直线的距离教学目标：掌握点到直线的距离公式的推导和应用 教学重点：掌握点到直线的距离公式的推导和应用 教学过程：一、 复习：平面内两条直线的平行、相交、重合、垂直的判定？ 二、 推导：（以下材料谨供参考）已知点 直线 求点P 到直线 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、（定义法）根据定义，点P 到直线 的距离是点P 到直线 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线 的垂线为 ，垂足为Q ，由 可知 的斜率为的方程： 与 联立方程组解得交点Q＝＝ ＝二、（函数法）点P 到直线 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线 的距离。
在 上取任意点用两点的距离公式有为了利用条件 上式变形一下，配凑系数处理得：＝＝＝当且仅当时取等号所以最小值就是三、（转化法）设直线 的倾斜角为 过点P 于显然所以),,(00y x P ),0,0(,0:≠≠=++B A C By Ax l l l l l 'l l l ⊥''l A B'l ∴)(00x x A By y -=-l ),(2200222002B A BCABx y A B A AC ABy x B +--+--=2||PQ 20220022022002)()(y B A BC ABx y A x B A AC ABy x B -+--+-+--222002222002)()(B A BC ABx y B B A AC ABy x A +---++---22220022002)()()(B A C By Ax B C By Ax A ++++++22200)(B A C By Ax +++2200||||B A C By Ax PQ +++=∴l l l ),,(y x Q 20202)()(||y y x x PQ -+-=0=++C By Ax ])())[((202022y y x x B A -+-+202202202202)()()()(x x B y y A y y B x x A -+-+-+-200200)]()([)]()([x x B y y A y y B x x A ---+-+-200)]()([y y B x x A -+-≥200)(C By Ax ++)0(=++C By Ax Θ22002020||)()(B A C By Ax y y x x +++≥-+-∴0)()(00=---x x B y y A 2200||B A C By Ax d +++=l ,αy l ),(11y x 01x x =B CAx y +-=01x易得∠MPQ ＝ （图2）或∠MPQ ＝ （图3） 在两种情况下都有 所以四、（三角形法）过点P 作PM ∥ 轴，交 于M ，过点于N （图4）由解法三知同理得在Rt △MPN 中，PQ 是斜边上的高五、（参数方程法）过点P 作直线 交直线 于点Q 。
高一数学必修二所有公式在高中数学中，数学必修二是一门重要的课程，它涵盖了许多重要的数学概念和公式。
以下是高一数学必修二中的一些重要公式：1. 二次函数的顶点坐标公式：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标可以由公式 x = -b/2a 和 y = f(x) = -D/4a 计算得出，其中 D = b^2 - 4ac 是判别式。
2. 两点间距离公式：如果给定两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，它们之间的距离可以通过公式 d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) 计算得出。
3. 直线的斜率公式：如果给定直线上两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，直线的斜率可以通过公式 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 计算得出。
4. 三角形面积公式：对于已知三角形的三边长度 a、b、c，可以使用海伦公式来计算三角形的面积 S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中 s = (a + b + c) / 2 是半周长。
5. 三角函数的基本关系式：对于任意角θ，三角函数的基本关系式包括正弦函数 sin(θ) = y/r，余弦函数 cos(θ) = x/r，正切函数 tan(θ) = y/x，其中 r 是点 (x, y) 到原点的距离。
6. 三角函数的诱导公式：三角函数的诱导公式包括和差公式、倍角公式、半角公式等，它们是解决三角函数的复杂问题时非常有用的工具。
这些公式只是高一数学必修二中的一小部分，但它们在解决各种数学问题时非常常用。
通过熟练掌握这些公式，并能够在适当的情况下应用它们，学生将能够更好地理解和应用数学知识。
除了这些公式，高一数学必修二还包括了其他重要的概念和定理，如函数的性质、三角函数的图像与性质、直线与圆的位置关系等。
通过全面学习这些知识，学生将能够建立坚实的数学基础，并为进一步学习更高级的数学课程打下基础。
