一类非齐次树上关于马氏链场滑动平均的强偏差定理

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【国家自然科学基金】_非齐次马氏链_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词随机转移概率非齐次马氏链调和平均树几何平均二重非齐次马氏链随机路径条件概率路径过程绝对平均收敛相对熵率状态出现频率树指标有限非齐次马氏链
推荐指数 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词转移矩阵强大数定律马氏链鞅非齐次马氏链随机组列遍历性遍历状态频率极限定理强极限定理广义随机选择公平赌博三重循环马氏链一致收敛性 m阶非齐次马氏链 m元序组
209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
科研热词推荐指数非齐次马氏链 2 强遍历 2 强大数定律 2 马氏链 1 随机转移概率 1 转移概率密度 1 调和平均 1 绝对平均收敛 1 熵密度 1 渐近均分割性 1 期望平均费用 1 有限非齐次马氏链 1 时间离散状态连续非齐次马氏链 1 散度 1 平均随机条件熵 1 一致可积 1 m阶马氏链 1 m重非齐次马氏链 1 cesaro平均收敛:周期强遍历 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
科研热词鞅强极限定理马氏链隐马尔科夫模型隐马尔可夫模型隐非齐次马尔可夫模型随机逼近定理随机选择随机过程随机极限对数似然比随机条件熵随机序列状态序偶出现频率熵率树机控制序列. 有限非齐次马氏链收敛速度强大数定理强大数定律小偏差定理大偏差二重马氏分布二重非齐次马氏链 shannon-mcmillan定理 m阶非齐次马氏链

可列m重非齐次马氏链的遍历性与熵率

p(t−v0 ,1+t) j m | rm − p(v0 ) j m | rm
j m ∈S m
+ ε,
(28)
1 n t=v = 1 n 1 n
n
sup
0 m m +1 r ∈S
p(t−v0 ,1+t) j m | rm − p(v0 ) j m | rm
j m ∈S m
n−v0
sup
m m t=1 r ∈S j m ∈S m
(7)
称为由 m 阶转移矩阵 P 所确定的 m 维转移矩阵。令 Zn = (Xn , · · · , Xn+m−1 )，则 {Zn , n ≥ 0} 为一阶 m 维非齐次马氏链。记 p ¯n j m | im = P Zn = j m | Zn−1 = im 为 {Zn , n ≥ 0} 的转移概率。其中 pn+m−1 jm | im p ¯n j m | im = 0 则 ¯n = p P ¯n (j m | im ) 为由 m 阶转移矩阵 Pn+m−1 确定的 m 维转移矩阵。令 p ¯(n,n+t) j m | im = P Zn+t−1 = j m | Zn−1 = im 为 {Zn , n ≥ 0} 的 t 步转移概率，得 p ¯(n,n+t) j m | im =
n
(13)
sup
m m t=1 i ∈S j ∈S
kp
(t)
j | im − π (j ) = 0,
(14)
448
工
程
数
学
学
报
第27卷
则称 {Xn , n ≥ 0} 为绝对平均强遍历的，也称 Pn 为绝对平均强遍历的。定义 2 {Zn , n ≥ 0} 为一阶 m 维非齐次马氏链，如果对任意的 im , j m ∈ S m ，存在不依赖于 im ∈ S m 的 π (j m ) 使得

可列非齐次循环马氏链的遍历性

卷
．
３４
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＪＩＡＮＧＳＵＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１ — ７７７５．２０１３．０６．０２２
（ＦａｃｕｌｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙｆｏｒｓｐｅｃｉａｌｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＭａｒｋｏｖｃｈａｉｎｓｏｆｃｉｒｃｕｌａｒＭａｒｋｏｖｃｈａｉｎｓｗａｓｓｔｕ— ｄｉｅｄ．ＴｈｅｄｅｉｆｎｉｔｉｏｎｓｏｆｓｔｒｏｎｇｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙａｎｄＣ— ｓｔｒｏｎｇｅｒｇｏｄｉｃｉｔｙｏｆＭａｒｋｏｖｃｈａｉｎｓｗｅｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．ＴｈｅｄｅｉｎｆｉｔｉｏｎｏｆｃｏｕｎｔａｂｌｅｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｃｉｒｃｕｌａｒＭａｒｋｏｖｃｈａｉｎｗａｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆ

非时齐马氏链的中心极限定理和中偏差

theory and statictics.
138
Journal of Mathematics
Vol. 39
where pn(i, j) = P(Xn = j|Xn−1 = i). Write
P (m,n) = Pm+1Pm+2 · · · Pn, p(m,n)(i, j) = P(Xn = j|Xm = i), µ(k) = µ(0)P1P2 · · · Pk, µ(k)(j) = P(Xk = j).
martingle
2010 MR Subject Classiﬁcation: 60F10; 05C80
Document code: A
Article ID: 0255-7797(2019)01-0137-10
1 Introduction
Huang et al. [1] proved central limit theorem for nonhomogeneous Markov chain with ﬁnite state space. Gao [2] obtained moderate deviation principles for homogeneous Markov chain. De Acosta [3] studied moderate deviations lower bounds for homogeneous Markov chain. De Acosta and Chen [4] established moderate deviations upper bounds for homogeneous Markov chain. It is natural and important to study central limit theorem and moderate deviation for countable nonhomogeneous Markov chain. We wish to investigate a central limit theorem and moderate deviation for countable nonhomogeneous Markov chain under the condition of uniform convergence of transition probability matrices for countable nonhomogeneous Markov chain in Ces`aro sense.

非齐次马氏链的中心极限定理

非齐次马氏链的中心极限定理黄辉林;杨卫国;石志岩【期刊名称】《应用概率统计》【年(卷),期】2013(000)009【摘要】本文将针对非齐次马氏链的转移矩阵列在Ces`aro收敛意义下，利用鞅的中心极限定理证明一个不同于Dobrushin结果的非齐次马氏链的中心极限定理。

%In this paper, we prove a new central limit theorem for nonhomogeneous Markov chain by using the martingale central limit theorem under the condition of convergence of transition prob-ability matrices for nonhomogeneous Markov chain in Ces`aro sense, which can not be implied by Dobrushin’s work.【总页数】11页(P337-347)【作者】黄辉林;杨卫国;石志岩【作者单位】温州大学数学与信息科学学院，温州，325035;江苏大学理学院，镇江，212013;江苏大学理学院，镇江，212013【正文语种】中文【中图分类】O211.6;O211.4【相关文献】1.ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的推广ρ--混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理的推广 [J], 张明达;谭希丽;张莹2.非齐次马氏链的中心极限定理 [J], 黄辉林;杨卫国;石志岩3.树指标m重非齐次马氏链的一个强偏差定理 [J], 金少华;徐泽灵;温欣雨4.关于树指标非齐次马氏链的广义熵遍历定理 [J], 杨洁; 杨卫国5.连续型随机变量序列关于连续状态非齐次马氏链的一类强偏差定理 [J], 赵梦迪;杨卫国;王蓓因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

可列非齐次马氏链的绝对平均强遍历性质

可列非齐次马氏链的绝对平均强遍历性质
桂春燕
【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(24)5
【摘要】研究了非齐次马氏链的绝对平均强遍历性,由于绝对平均强遍历性在马氏决策过程和信息论中有十分广泛的应用,许多学者在这方面做了大量的研究.得到了非齐次马氏链满足这种强遍历的两个充分条件.
【总页数】2页(P448-449)
【作者】桂春燕
【作者单位】安徽师范大学,数学系,安徽,芜湖,241000
【正文语种】中文
【中图分类】O211.62
【相关文献】
1.关于可列非齐次马氏链的广义C-强遍历性 [J], 张艳;杨卫国
2.可列非齐次马氏链的绝对平均强遍历性 [J], 叶从雨
3.可列非齐次马氏链的绝对平均强遍历性 [J], 杨卫国;李召群
4.关于非齐次马氏链的绝对平均强遍历性 [J], 杨卫国;陈璞玉
5.关于有限非齐次马氏链的绝对平均遍历性和熵率 [J], 杨卫国
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类随机偏差定理

一类随机偏差定理
刘文
【期刊名称】《河北工业大学学报》
【年(卷),期】1997(026)004
【摘要】利用对数似然比的概念研究非负整值相依随机变量序列的极限性质，得到一类随机偏差定理，即用不等式表示的一类强极限定理，其偏差界语依赖于样本点证明中提出了将母函数的工具应用于强极限定理研究的一种途径。

【总页数】9页(P60-68)
【作者】刘文
【作者单位】河北工业大学
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6
【相关文献】
1.连续型随机变量序列随机选择的一类强偏差定理 [J], 汪忠志
2.任意随机变量序列关于随机选择的一类强偏差定理 [J], 王康康;杨卫国
3.任意随机序列随机条件概率调和平均的一类强偏差定理 [J], 王康康;李芳
4.随机选择系统中任意随机变量序列关于乘积分布的一类强偏差定理 [J], 王康康;李芳
5.任意随机序列关于非齐次马氏链的随机和的一类随机偏差定理 [J], 王康康; 陈庆因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

随机数学第7讲第4章马尔科夫链(3)

对于第二种大修策略，转移概率阵为
μj
若i ∈ D,
pij ( n ) = ∑ pik pkj ( n − 1) + ∑ pik pkj ( n − 1)
k∈D k∈c
则绝对分布也有极限分布，且：
lim b j ( n ) = π j
n →∞
证明
lim b j ( n ) = lim n →∞ n →∞
k
∑b
k
k
pkj ( n )
= ∑ bkπ j
∑ p ( n) = 1,
j =1 ij
N
若所有的状态为非常返或零常返，那么
lim pij (n ) = 0 n →∞
上试中令 n → ∞ 得：0=1 矛盾。所以，有限马氏链必存在正常返态。
所以有限不可约非周期的马氏链，必有极限分布和平稳分布。
1
例1 ：设马尔科夫链的转移概率矩阵为
⎡ 0.7 0.1 0.2⎤ P = ⎢ 0.1 0.8 0.1⎥ ⎢ ⎥ ⎢0.05 0.05 0.9⎥ ⎣ ⎦
所以极限分布为
π = (1 / 11, 3 / 11, 3 / 11, 3 / 11, 1 / 11) .
例3：设马尔科夫链的转移概率矩阵为
0⎤ ⎡0.1 0.1 0.2 0.2 0.4 0 ⎢0 0 0.5 0.5 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 1 0 0 0⎥ ⎢0 ⎢0 P= 1 0 0 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 0 0 0.5 0.5 0 ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 0.5 0 0.5⎥ ⎢0 ⎢0 0 0 0 0 0.5 0.5⎥ ⎣ ⎦
μi
注：上述定理给出了马氏链极限分布存在的判别以及求极限分布的便捷方法
三、关于有限马科科夫链定理：对于有限马氏链，有下面的结论：（1）必存在正常返态（2）必不存在零常返态证明：（1）设有限马科科夫链有N个状态，则

关于随机序列滑动平均的若干强偏差定理

关于随机序列滑动平均的若干强偏差定理汪忠志;杨卫国【摘要】This paper introduces the notion of the asymptotic logarithmic moving likelihood ratio, as a random measure of the deviation between the joint distribution of the arbitrarily dependent random sequences and the product of the reference. By restricting the asymptotic logarithmic moving likelihood ratio, a subset of the sample space is given. In this subset, a kind of strong limit theorems represented by inequalities are obtained for the moving average of the partial sums of two-valued random sequences. The main idea of the proof is to construct a moving likelihood ratio with a parameter and apply the pure analytical method. As the corollaries, some classical results are generalized.%本文引入渐近对数滑动似然比作为任意相依随机序列联合分布与参考乘积分布的偏差的随机性度量,通过限制渐近对数滑动似然比给出样本空间的一个子集.在此子集上,得到任意二值随机序列部分和滑动平均的一类用不等式表示的强极限定理,即强偏差定理.证明的基本思想是构造带参数的滑动似然比,然后运用分析方法.同时推广了若干经典的结论作为本文的推论.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)005【总页数】5页(P702-706)【关键词】二值随机序列;滑动平均;渐近对数滑动似然比;强偏差定理【作者】汪忠志;杨卫国【作者单位】安徽工业大学数理学院,马鞍山243002;江苏大学理学院,镇江212013【正文语种】中文【中图分类】O211.41 引言随机序列部分和滑动平均的几乎必然极限性质是概率论极限理论中一类十分重要的问题，它在时间序列分析、金融数学等中有极其深刻的应用．对于独立与混合相依随机序列部分和滑动平均的渐近性质，许多学者已经作了大量的研究，取得了丰富的成果[1-3]．本文首次提出随机序列滑动似然比以及渐近对数滑动似然比概念作为任意随机序列联合分布与参考乘积分布(独立情形)的偏差的随机性度量．采用研究强极限的一种新方法[4-6]，对任意二值随机序列的部分和给出滑动平均的强偏差定理．值得注意的是本文的方法可应用于研究一般随机变量滑动平均的极限定理．为简单起见，本文我们仅就二值随机序列加以讨论．即{Xn,n≥1}在Q下独立，且此时有类似文献[4]，为了刻画{Xn,n≥1}的一般情形与乘积分布之间的差异，我们引进以下定义．定义1 设{Xn,n≥1}由(1)定义的随机变量序列，Q是Ω上的另一概率分布，f(n)是一列单调递增的正整数序列，分别称注意到ε的任意性，由B-C引理知引理成立．引理2[4] 设c≥0为常数，令则当cgt;0时，g(c,λ)(作为λ的函数)在λ=β(c)∈(1,+∞)处达到它在区间(1,+∞)上的最小值，其中β(c)是方程在区间(1,+∞)中的唯一解；当0lt;clt;1时，g(c,λ)(作为λ的函数)在λ=α(c)∈(0,1)处达到它在区间(0,1)上的最大值，其中α(c)是方程(6)在区间(0,1)中的唯一解，且2 主要结论定理1 设{Xn,n≥ 1},MLn(ω),ML(ω)均定义如前，f(n)满足引理1中的条件．c≥0为常数，令由(10)与(11)，于是有设λgt;1，将(13)式两边同除以logλ，得由(14)及上极限的性质，并注意到不等式log(1+x)≤x(x≥0)，有当agt;0时，由(15)与引理2，有当cgt;0时，令λ=β(c/a)，由(16)与引理2，有因为H∗⊂H(0)且P(H∗)=P(H(0))，故当c=0时，由(18)即得(7)式成立．当0lt;λlt;1时，类似可证得(8)式成立．推论1 在定理1的假设条件下，如果agt;0,c≥0，则如果agt;0,0≤c≤a，则推论2 在定理1的假设条件下，则则linm Tn=p,P−a.s..证明此时上式与(4)，得ML(ω)=0按概率测度几乎处处成立，由定理1知结论成立．注：特别地，如果独立同分布随机变量Xn∼B(1,p)，我们所得的结果与文献[2]的结论是一致的．参考文献：【相关文献】[1]Lai T L.Summability methods for independent identically distributed random varibles[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1974,45(2):253-261 [2]Shepp L A.A limit law of concerning moving averages[J].The Annals of Mathematical Statistics,1964,35(1):424-428[3]Gaposhkin V F.The law of large numbers for moving averages of independent random[J].Mathematicheskie Zametki,1987,42(1):124-131[4]Liu W.Relative entropy densities and a class of limit theorems of the sequence of m-valued random variables[J].The Annals of Probability,1990,18(2):829-839[5]Wang Z Z,Ding K Y.Almost sure limit behavior of discrete random sequence with application to arbitrary information sources[J].Applied Mathematics and Information Science,2008,2(3):333-343[6]王康康，杨卫国.任意随机序列关于广义几何分布的一类强偏差定理[J].工程数学学报，2008,25(2):239-244Wang K K,Yang W G.Strong deviation theorems for the sequence of arbitrary random variables under the generalized geometric distribution[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2008,25(2):239-244。

非齐次马氏链的若干遍历性问题

非齐次马氏链的若干遍历性问题
非齐次马氏链的遍历性问题主要是指在非齐次马氏链上找到最长的连续数字子序列或最短的非连续数字子序列的问题。

这两个问题都可以使用动态规划的方法来解决，动态规划的基本思路是，对于给定的非齐次马氏链，从头开始，依次计算每个状态的最优解，并基于这些计算结果，得到最终的最优解。

此外，还有一种更高效的算法可以解决非齐次马氏链的遍历性问题。

该算法叫做“滚动数组法”，它可以在线性时间内求解最长连续数字子序列或最短非连续数字子序列的问题。

该算法的基本思路是，不断滚动非齐次马氏链，每次滚动一个数字，然后计算当前状态的最优解，最后得到最终的最优解。

最后，还有一种在非齐次马氏链上求解遍历性问题的算法，叫做“模拟退火算法”。

该算法的基本思路是，对于给定的非齐次马氏链，从头开始，模拟温度逐渐降低的过程，每次温度降低时，求解当前状态的最优解，然后根据这些计算结果，得到最终的最优解。

因此，非齐次马氏链的遍历性问题可以用动态规划，滚动数组法和模拟退火算法这三种方法来解决。

对于不同的非齐次马氏链，可以根据它们的特性和特点，选择合适的方法，求解最优解。

因此，在研究非齐次马氏链的性能优化时，遍历性问题是一个重要的研究方向，它可以帮助我们更好地理解和优化非齐次马氏链。

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第３１卷第４期　２０１５年８月　大　学　数　学　

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．３１，№．４　Ａｕｇ．２０１５　

一类非齐次树上关于马氏链场　滑动平均的强偏差定理　

金少华，　赵　旋，　陈秀引，　贺雅萍　（河北工业大学理学院，天津３００４０１）　

［摘　要］树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一．强偏差定理一直是国际概　率论界研究的中心课题之一．本文利用Ｂｏｒｅｌ—Ｃａｎｔｅｌｌｉ引理研究给出了一类非齐次树上马氏链场关于负二项　分布滑动平均的强偏差定理．　［关键词］非齐次树；负二项分布；马氏链；强偏差定理　［中图分类号］Ｏ１７７．９１　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１５）０４—００２５—０５　

１　前　言　树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一．强偏差定理一直是国际概率论　界研究的中心课题之一．文献［１］研究给出了ｍ根Ｃａｙｌｅｙ树指标ｍ阶有限状态非齐次Ｍａｒｋｏｖ链的一　些极限性质．文献［２］研究给出了Ｂｅｔｈｅ树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理．本文利用　Ｂｏｒｅｌ—Ｃａｎｔｅｌｌｉ引理研究给出了一类非齐次树上马氏链场关于负二项分布滑动平均的强偏差定理．　

２　定　义　设Ｔ是一个具有根顶点Ｏ的无限树，｛Ｎ　，　≥１）是一列正整数集，如果第ｎ（　≥０）层上的每个顶　点均与第　＋１层上的Ｎ　个顶点相邻，则称Ｔ为广义Ｂｅｔｈｅ树或广义Ｃａｙｌｅｙ树．特别地，若对非负整　数集Ｎ，用模ｍ的同余关系对其分类得到模　的剩余类　（Ｏ）＝｛０，ｍ，２ｍ，３ｍ，…，　，…），　（１）一｛１，ｍ＋１，２ｍ＋２，３ｍ＋１，…，　ｍ＋１，…），　

（ｍ一１）一｛ｍ一１，２ｍ一１，３ｍ一１，…，（７２＋１）　一１，…｝，　当，ｚ∈（　）时，令Ｎ科　一口　（ａ　均为正整数且不同时为１），ｉ一０，１，２，…，　一１，就得到了一类特殊的非齐　次树　，…　以下恒以Ｔ表示树Ｔ　…．　，以Ｌ　表示第　（　≥０）层上所有顶点的子图，　表示含有从。顶点　

到第竹层上所有顶点的子图．Ｓ（￡）表示顶点ｔ的所有子代的子图．　定义２．１设｛　，Ｆ，Ｐ｝为一概率空间，｛Ｘ　，　∈Ｔ｝是定义在该概率空间并于Ｓ一｛０，１，２，…）上　取值的随机变量族，设　Ｐ。＝｛Ｐ。（　），Ｘ∈Ｓ）　（１）　是５上一概率分布，而　

［收稿日期］２０１５—０３—３１　［基金项目］河北省高等学校科学技术重点研究项目（ＺＤ２０１４０５１）　２６　大　学　数　学　第３１卷　Ｐ　一（户　（　Ｊ　）），　ｌｚ，Ｙ　Ｅ　Ｓ，＂≥０　是定义在Ｓ　上的随机矩阵，如果Ｖ　ｔ，Ｓ　Ｅ　Ｔ满足Ｓ　＾ｔ≤　，１≤ｉ≤　，有　Ｐ　（Ｘ　＝：：ｙ　Ｉ　Ｘｉ—ｚ，Ｘ　一ｚ　，１≤ｉ≤　）一Ｐ　（Ｘ　一ｙ　１　Ｘ　一ｚ）一Ｐ　（　Ｉ　），　Ｖｚ，　，ｚｌ，．３７２，…，ｚ　Ｅ　Ｓ．　并且　Ｐ０（Ｘ０．１一ｚ）一Ｐ。（ｚ），　Ｖ　Ｅ　Ｓ，　则称｛Ｘ　，　Ｅ　Ｔ｝为具有初始分布（１）与随机矩阵列（２）的在ｓ上取值的树指标非齐次马氏链．　上述定义的树Ｔ上的非齐次马尔可夫链｛Ｘ　，　Ｅ　Ｔ）的联合分布为　

ｐ（ｘｒ．）一Ｐ。ⅡⅡ　ⅡＰ　（ｚ　Ｉ　ｚ　）．　ｈ　１　ｌ　ＥＬｋｌ　∈　（　１）　设Ｑ为可测空间（　，Ｆ）上的另一概率测度，｛Ｘ　，　Ｅ　Ｔ）在测度Ｑ下的联合分布为　

Ｑ（ｘ　一ｚ　，Ｘ２—３２　”，　一ｚ　）一ⅡⅡｇ（Ｘ　，Ｐ　）．　＾　１　∈Ｌｋ　即｛Ｘ　，　∈Ｔ｝在测度Ｑ下相互独立，且服从　

（２）　（３）　（４）　

（５）　（６）　ｇ（ｚ　，户　）一Ｉ　ｘ　ｌｑ≥（一ｐ　）　的负二项分布，其中　Ｅ　Ｓ，Ｐ　＋ｑ　一１，　∈Ｌ　．　定义２．２设０≤ａ　≤ａ。≤…是一整值数列，随机变量族｛Ｘ　，　Ｅ　Ｔ｝在测度Ｐ，Ｑ下的联合分　布分别由（５）式与（６）式定义　

Ｌ　（（ｃＪ）一　ＩＪ　

ａｔ＋ｎ　［　疆　

（Ｘ　＋　，Ｘ　＋２，…，Ｘ　＋　）　ｏ，　，

ｐ（Ｘ￣ｏ　，　，…，　）＞０，　（７）　

（Ｘ　．　，Ｘ　＋。，…，Ｘ乞　）一０．　（　）一ｌｎＬ　（（￡＇），　Ｍ（Ｐ　ｌ】Ｑ）（　）一一ｌｉｒａ　ｉｎｆ　１＿＿亍１　（　），　（８）　

（９）　

称Ｌ　（　），Ｍ（Ｐ　ｌｌ　Ｑ）（ｃｕ）分别为｛ｘ　，　∈Ｔ）相对于负二项分布（参考测度Ｑ）ⅡⅡｇ（Ｘ　，Ｐ　）的滑　一１　∈Ｌｋ　动似然比和滑动相对熵．　

３主要结果及其证明　引理３．１设｛Ｘ　，口Ｅ　是定义在（ｎ，　、）上的在Ｓ一｛０，１，２，…｝上取值的随机变量族，Ｐ和Ｑ　为定义在Ｆ上的两个不同的概率测度，记　Ｐ（ｘＴ．一　）一ｐ（ｘｒ．），　Ｑ（Ｘｒ．一ＸＴ．）一Ｑ（　），　（１０）　则　

ｌｉｍ…ｓｕｐ

南ｌｎ　≤。，Ｐ＿ａ．ｓ．　）　

证　设ｚ　一罟　，ＴｉｉＥ　Ｅ　（ｚ　）≤１，其中　是测度Ｐ下的数学期望，设Ａ为Ｐ（ｚ　）的支撑，　即Ａ一｛ｚ　；ｐ（ｘｒ．）＞０｝，由于　）一　Ｐ（ｚ　）一　Ｑ（－ｚ　）≤１，　故有Ｅ　（Ｚ　）≤１成立．　第４期　金少华，等：一类非齐次树上关于马氏链场滑动平均的强偏差定理　２７　对Ｖ￡＞０，根据马尔科夫不等式，有　Ｐ（Ｊ　ｌ　ｌｎ　≥ｅ）一Ｐ（Ｚ　≥ｅ　Ｔｎｊ　）≤ｅ—ＴｎｌＥ，　由上式，有　

∑Ｐ（Ｉ　ｌ～ｌｎＺ　≥￡）≤∑ｅ一。　＜＋ｃｘ３．　（１２）　根据Ｂｏｒｅｌ—Ｃａｎｔｅｌｌｉ引理，由（１２）式及￡的任意性，便得（１１）式成立．　定理３．１设｛Ｘ　，　∈Ｔ｝为具有初始分布（１）与转移矩阵列（２）的在Ｓ上取值的树指标非齐次马　尔可夫链，它在Ｆ的另一概率测度Ｑ下的联合分布由（６）式定义，Ｌ　（∞）及　（　）分别由（７）式与（８）式　所定义，｛口　，ｚ≥１）如前定义．令ａ—ｉｎｆ｛ｑ　，　∈Ｔ）＞０，设存在Ｍ＞０，使得　

¨　ｐ　善　ｒ　≤Ｍ＇　—’　ｌ　１∞ｌ　ｌ｛１…　设０≤Ｃ≤１为一常数，令　Ｈ（ｆ）＝｛∞：Ｍ（Ｐ　ｌｌ　Ｑ）（　）≤Ｃ），　则　ｉ　ｐ南　ａｌｗ－ｎ　羞　（ｘ　一ｒ￣　ｋＰ　ｅｋ）≤　Ｍ＋２（１－ａ）］＋ｃ，ａ，ｅ．￣ｏ　Ｅ…　

一ｉ　ｒ南　善ａｌ￣－ｎ　蔷　（ｘ　一警　一　（Ｍ＋　），ａ．ｅ　．　证　设（ｎ，Ｆ，Ｐ）为所考虑的概率空间，且设　∈（０，　Ｌ）为常数．设　

因为　（一　）　————————　——————一●　

ＩＩ　女　ａｌ＋ｌ￣ｋ∈Ｌ＾　（一Ｐ　）　

（１３）　（１４）　（１５）　（１６）　

（１７）　和ｐ（Ｘ￣ｏ，＋　，Ｘ　＋　，…，Ｘ　＋　）分别为｛Ｘ　，　∈Ｔ｝的参考分布和真实分布，由引理３・１知，存在Ａ（　）∈Ｆ，　

Ｐ（Ａ（　））：１，使得　ｌｉ　ｐ南ｌｎ　，　）≤ｏ，　∈Ａ（　（１８）　

由（１７）式和（１８）式，有　－ｉｍ一　ｐ南　薹　Ｅ　ｒｅ￣Ｉｎ　＋ｌｎＬ．（ｗ））≤。，∞∈　・　，　

由（１４）式和（１９）式，有　－ｉ　ｐ南｛　妻　善　ｘ　一　蚤ａｌ－￣ｎ　ｎ　羲）≤ｃ，ｃｏ￣Ｈ（ｃ）ｎ　Ａｃ　ｃ２。　

取　∈（１，　１　），将（２ｏ）式两边同时除以ｌｍ，有　

ｌｉｍ　ｓｕｐ　根据上极限的性质　∑Ｘ　一　

∈Ｌ＾　Ｊｎ２　≤志，　∈Ｈｃｃ　ｎ　Ａ　ｃ　，．ｃ２　

ｌｉｍ　ｓｕｐ（ａ　～ｂ　）≤ｄ　ｌｉｍ　ｓｕｐ（ａ　一ｃ　）≤ｌｉｍ　ｓｕｐ（ｂ　一Ｃ　）＋ｄ　以及不等式１一　≤ｌｎｚ≤　一１（　＞ｏ），由（２１）式，有　

一）　ｑ　一　一　韭～　

一　Ⅱ　‰　２８　大　学　数　学　第３１卷　ｌｉｍ…ｓｏｐ　

”—＋ｃ　ｌ　』＂　

ｒ∑　１　＝口．＋１　

ｒ∑　Ｉ　ｎ．＋１　

ｒ∑　Ｉ　ｎ，＋１　

善Ｌ　（ｘ　一　）　∈　［　ｉｎ　％一筹］＋　

（　一　１）＋南＋ｃ　。　＋南＋ｃ　≤＿Ｔ　＋＿　＋ｃ，　∞∈Ｈ（ｆ）Ｎ　Ａ（　）．　ａ［１一　（１一ａ）］‘　～１。。’　“　“　“‘　

１　口　当ｌ＜　≤Ｔ＝詈一１＋　Ｔ　时，有　

１＿Ａ（１一ａ）≥号，　于是此时有　

由（２２）式和（２３）式，有　ｌｉｒａ　ｓｕｐ　１　ｎ—＋００　ｌ　』　

１　１　≤　一　（一ｄ）　

２（　一１）　

（２２）　（２３）　（ｘ　一警）≤　＋　∞…　觚…ｚ４　当。＜ｃ≤１时，取　一１＋　｝　，则由（２４）式，有　ｉ　ｐ南　蚤ａｔ＋ｎ　（ｘ　一　）≤　＋２（１－ａ）］　

ｃｕ∈Ｈ（ｃ）ｎ　Ａ（１＋　早　）．　（２５）　由于　Ｐ（Ａ（　＋　））　＝１，　故由（２５）式知（１５）式成立．　ｆ　１一导１　当ｆ＝０时，取　∈ｌ　１，　—三ｌ，ｉ：１，２，…，使得　一１　（　一。。），并令Ａ　一Ｎ　Ａ（　）　【　一０　Ｊ　

一切ｉ一１，２，…，由（２４）式，有　ｈ　ｐ南毒　ｘ　一警）≤。，∞∈Ａ＊Ｎ　・　

因为Ｐ（Ａ　）一１，故由（２６）式知，当Ｃ一０时（１５）式成立．　取　∈（０，１），将（２Ｏ）式两边同时除以ｌ　，有　

ｌｉｍ　ｉｎｆ　ｒ￣ｋ　ＩｎＬｋ　∈　‘　儿　ｌｎＡ　

，则对　（２６）　

≥志，∞∈Ｈ㈤Ｎ　ＡＣＡ）ｃ２７，　根据下极限的性质　ｌｉｍ　ｉｎｆ（ａ　一ｂ　）≥ｄ　ｌｉｍ　ｉｎｆ（ａ　一Ｃ　）≥ｌｉｍ　ｉｎｆ（ｂ　一Ｃ　）＋ｄ，　

以及不等式１一　≤ｌｎｚ≤ｚ一１（ｚ＞０），由（２７）式，有　

∑　一ｌ　，，　，　吕：　吕：“　ｈ　ｈ　≤　≤　一　∑＋￣

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