随机环境中马氏链的一类强极限定理

1 马氏链模型正则链 从任意的状态出发经过有限次的转移都能达到另外的任意状态，定义如下： 一个有K 个状态的马氏链如果存在正整数N ，使从任意状态i 经过N 次转移都以大于零的概率到达状态j （i ，j=1,2，...k ）则称为正则链。

定理1 若马氏链的转移矩阵为P ，则它是正则链的充要条件是：存在正整数N 使p N >0(指p N 的每个元素大于零)定理 2 正则链存在唯一的极限状态概率w=()12k ωωω ，，，使得当n →∞时状态概率()a n w →，w 与初始状态概率无关，w 又称稳定概率，满足11k i i wP ww ===∑从状态i 出发经过n 次转移，第一次到状态j 的概率称为i 到j 的首次概率，记作()ij f n 于是()1i j i j n n f n μ∞==∑为状态i 第一次到达状态j 的平均转移次数，特别地，ij μ是状态i 首次返回的平均转移次数。

ij μ与稳定概率ω有密切地关系，即定理3 对于正则链ij =1/μω吸收链 1ii p =，于是系统一旦进入状态i 就不再离开它，可以把它看作“吸收”其它状态的一个状态，并且从其它的状态可以经过有限次的转移到达状态i 定义如下： 定义2 转移概率1ii p =的状态i 称为吸收状态。

如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且从每个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次的转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。

吸收链的转移矩阵可以写成简单的标准形式，若有r 个 吸收状态，k-r 个非吸收状态，则转移矩阵P 可表示为r r I O P R Q ⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中k-r 阶子方阵Q 的特征值λ满足1λ＜这要求子阵()k r r R -⨯中必含有非零元素，已满足从任意一非吸收状态出发经有限次转移可到达某个吸收状态的条件。

这样Q 就不是随机矩阵， 它至少存在一个小于1的行和，且如下定理成立定理4 对吸收链P 的标准形式，（I-Q ）可逆，()10s s M I Q Q ∞-==-=∑记元素全为1的列向量()1,1,,1Te = 则y=Me的第i 个分量是从第i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收的平均转移次数。

关于可列非齐次马氏链泛函滑动平均的一类强极限定理吴玉;崔影;范爱华【摘要】用分析的方法研究可列非齐次马氏链泛函的极限性质.首先利用渐近对数似然比作为连续型随机序列相对独立随机序列的偏差的一种随机性度量,构造几乎处处收敛的上鞅,再由B-C引理,得到关于可列非齐次马氏链泛函滑动平均的一类强极限定理,并推广了经典结果.【期刊名称】《安徽工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)001【总页数】4页(P81-84)【关键词】可列非齐次马氏链;泛函;B-C引理;强极限定理【作者】吴玉;崔影;范爱华【作者单位】安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032;安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032;安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032【正文语种】中文【中图分类】O211.3马尔科夫过程是随机过程中历史最悠久且最为重要的一类随机过程，它为信息科学、管理科学以及金融决策等各个领域提供了强有力的数学工具。

自1907年苏联科学家Markov引出马尔科夫链概念以来，人们对马氏链的研究已经形成了较为完整的理论体系，取得了丰富的研究成果。

近年来，关于非齐次马氏链的研究引起了许多学者的广泛的兴趣，如：文献[1]研究了随机环境中马氏链的一类强极限定理，推广了在随机环境中马氏链的泛函极限定理的结果；文献[2]研究关于独立同分布随机序列的极限定理，得到了独立同分布随机序列滑动平均的熵定理和中心极限定理；文献[3]研究非齐次马氏链函数的强大数定律，并且给出了直接加于链和过程样本函数上的充分条件；文献[4-5]研究一类对可列非齐次马氏链普遍成立的强大数定理，且在几乎处处收敛的条件下，给出了任意非齐次马氏链状态序偶出现频率和转移概率的一种关系；文献[6]中给出了可列非齐次马氏链M元状态序组出现频率的一类强极限定理，所得的结论对任意可列非齐次马氏链普遍成立；文献[7]中通过构造新的概率密度函数，在适当的限制条件下建立了几乎处处收敛鞅，得到了关于非负随机序列和的强大数定律和一类随机偏差定理；文献[8-9]研究了可列非齐次马氏链泛函的强大数定律。

随机过程中的定理有很多，以下列举其中几个：
1.大数定律：这个定理表明，当试验次数很大时，事件发
生的频率会趋近于某个常数，这个常数就是该事件发生
的概率。

2.中心极限定理：这个定理指出，当独立同分布的随机变
量之和趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。

3.马尔可夫链的稳态收敛定理：这个定理表明，对于一个
非周期的、不可约的马尔可夫链，其状态的概率会收敛
于一个独立于初始状态的概率值，这个概率值就是该状
态的稳态概率。

4.强马氏性定理：这个定理表明，已知过程在一个停时的
状态，则停时之前与之后独立。

5.Donskers定理：这个定理指出，独立同分布的随机变
量之和经过适当的标准化后，会收敛到布朗运动。

马氏链的极限分布和平稳分布在开始之前，一些概念的说明如下：步转移概率：有限步返回概率：从出发首次到的平均步数:极限分布：如果一个马尔科夫链的所有状态互通且均为周期为1的正常返状态，则对于该马尔可夫链，极限称为该马尔可夫链的极限分布不变分布/平稳分布/概率不变测度：对于马尔可夫链，若概率分布满足：则称为该马尔可夫链的不变分布/平稳分布/概率不变测度。

这里为一步转移概率。

三个引理的证明及其推论接下来的两个引理说明了任何不可约常返Markov链有一个唯一的不变测度 , 这个测度可以是有限的()也可以是无限的()。

考虑一个从状态开始的Markov链，定义第一次返回到的时间为：对于状态定义在第一次返回到状态之前经过的平均次数为：引理1对一个从状态开始不可约正常返的Markov链，我们有：(1)(2)对任意，有(3)是一个不变测度引理2考虑一个不可约常返Markov链，固定一些状态.接着，每个不变测度都可以表示为,对全部的,这里c是一个常数。

事实上，。

我们可以将上述两个引理总结为如下：一个常返、不可约Markov链有唯一的不变测度。

注：这个不变测度可能是有限的或者无限的。

如果Markov链是正常返的，我们可以观察到，所以我们甚至可以进行标准化，使得它成为一个不变概率测度，即平稳分布推论：一个正常返的、不可约Markov链有一个唯一的不变概率测度。

接下来这个引理说明了平稳分布中状态对应的数值与自身状态的关系引理3：如果马氏链存在一个平稳分布，那么如果状态的，那么状态是常返的。

证明：由课本上的证明我们可以很容易得到，由此我们可以得到:因为是平稳分布，所以，并且因为，交换求和次序我们可以得到上式等于：又因为，代入原式我们可以得到最后一个不等号是因为，这证明，证明了状态是常返的。

有了上面三个引理的铺垫，我们可以使用耦合法来证明下面这个定理。

耦合法证明收敛定理收敛定理:如果马氏链是不可约，非周期，正常返的，则它存在一个平稳分布，并且当时，证明开始之前我们来简述一下耦合法的思想，我们现在有一个离散的马尔科夫链a，假设它从状态出发，那么我们只需要得到在步之后它处于状态的概率就是，接下来是证明的关键步骤：我们可以构造一个与这个马尔科夫链a同时出发并且初始值是平稳分布的马尔科夫链b，因为b的初始值是平稳分布，所以步之后处于状态的概率就是，接下来我们证明a和b在概率的意义下一定会相遇，这样之后由于无记忆性，a和b的表现行为就是相同的，就完成了证明。

Cantor 型非齐次马氏链强极限定理的研究王康康【摘要】研究了对任意Cantor 型非齐次马氏链普遍成立的一类强大数定理.证明中利用条件期望以及马氏性的概念,采用测度的网微分法并运用纯分析运算得出结论.作为推论,得到随机变量序列已有的经典强大数定律以及对任意随机变量序列普遍成立的强大数定律.【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2006(020)005【总页数】5页(P19-23)【关键词】Cantor 型马尔可夫链;网微分法;条件期望;任意随机序列【作者】王康康【作者单位】江苏科技大学,数理学院,江苏,镇江,212003【正文语种】中文【中图分类】O211.40 引言关于随机变量序列强大数定理的研究始终是概率论研究的核心问题之一。

近几年来,刘文[1]研究了任意随机变量序列调和平均几乎处处收敛的性质。

刘文[2]又于2003年研究了离散随机变量序列多元函数序列的若干极限性质。

杨卫国[3]通过构造适当的鞅也研究了一般随机变量序列的一些强极限性质。

刘文[4]在文献中研究了任意随机序列关于调和平均几乎处处收敛的一类强极限定理。

本文的目的是通过采用测度的网微分法以及纯分析方法给出Cantor型马尔可夫链涉及条件期望的若干强极限定理的证明。

通过对矩条件的限制给出Cantor型马尔可夫链强极限定理的一个证明,作为推论得到了已有的的经典强大数定理,证明方法也较为简捷。

1 主要定理定义:设{Xn,n≥0}为定义在概率空间(Ω,F,P)上并于Sn={0,1,…,qn}上取值的非齐次马氏链,其中{qn,n≥0}为一列正整数。

设{Xn,n≥0}初始分布与转移矩阵分别为(p(s1),p(s2),…,p(sn)),p(sn)>0,sn∈Sn( 1 )Pn=(pn(sn-1,sn)),pn(sn-1,sn)>0,sn-1∈Sn-1, sn∈Sn, n≥1.( 2 )其中pn(sn-1,sn)=P(Xn=sn|Xn-1=sn-1)(n≥1)。

第 42 卷 第 2 期 Vol.42 No.2河北工业大学学报2013 年 4 月 April 2013JOURNAL OF HEBEI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY文章编号：1007-2373 ( 2013) 02-0061-06非齐次树上 m 阶非齐次马氏链的一类强偏差定理金少华，宛艳萍，陈秀引，马中雪（ 河北工业大学 理学院，天津 300401 ）摘要树指标随机过程已成为近年来发展起来 的概率论的研究方向之一．强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一．本文通过构造适当的非负鞅，利用 Doob 鞅收敛定理给出了模 m 的非齐次树上 m 阶非齐次马 氏链的一类强偏差定理． 关 键 词 非齐次树；鞅；马氏链；强偏差定理 O211.4 文献标志码 A 中图分类号Some strong deviation theorems with respect to m-ordered non-homogeneous Markov chains on a non-homogeneous treeJIN Shao-hua，WAN Yan-ping，CHEN Xiu-yin，MA Zhong-xue( Sch ool of Sciences, Hebei Universit y of Technology, Tianj in 300401, China )AbstractIn recent years, tree indexed stochastic process has become one of the research directions in the probability the-ory. The strong deviation theorem has been one of the c entral issues of the international probability theory. In this paper, by constructing a non-negative martingale and applies Doob's mar tingale converge nce theore m, we give some strong deviation theorems with respect to m-ordered non-homogeneous Markov chains on a non- homogeneous tree of module m. Key words non-homogeneous trees; martingale; Markov chain; strong deviation theorem树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一． 强偏差定理一直是国际概率论界研究 的中心课题之一． 杨卫国 [1] 研究了齐次树图上马尔可夫链的强极限定理及具有几乎处处收敛性质的 ShannonMcMillan 定理．文献 [ 2 ] 研究了一类非齐次树上的 Shannon-Mcmillan 定理．本文通过构造适当的非负鞅， 将 Doob 鞅收敛定理给出了模 m 的非齐次树上 m 阶非齐次马氏链的一类强偏差定理． 设 是一个具有根顶点+1的无限树，,1是一列正整数集，如果第0 层上的每个顶点均与第 + 1 层上的个顶点相邻，则称 0 = 0, 1 = 1, 1 = ,2 ,3为广义 Bethe 树或广义 Cayley 树．特别地，若对非负整数集 N ， , , , , 1, , +1 , +1 1, , 1 ， 就得到了一类特 表示含有从顶点 = 1, 2, , 到 上取用模 m 的同余关系对其分类得到模 m 的剩余类 +1 , 2 1,2 +1 , 3 + 1 , 1,3当 殊的非齐次树 以下以 第时，令0+1= （均为正整数且不同时为 1 ） ， =0 , 1 , 2 , ，以 表示第,1,,1．0恒表示树,1,,10 层上所有顶点的子图， 为定义在该空间上的在层上所有顶点的子图．表示顶点的所有子代的子图．定义 1 设 , , 值的随机变量族， ,收稿日期：2012-04-06为一概率空间， , 在 下的联合分布为基金项目：河北省教育厅科学研究计划（Z200 8308） 作者简介：金少华 （1965-） ，男（回族） ，教授．62河北工业大学学报第 42 卷= 设 = 称 为 定义 2 设 , 为 的熵密度． , 上另一概率测度，并令 = 如果存在1= 1( 1)ln( 2)=( 3)上的分布 =1,11( 4)和一列定义在+1上的随机矩阵 =1,2,,,, =1 ,,,( 5)使得对,,，有 = = 1, =21, ,2= =2, =1,== 且 则称 ,==2,0且 满足 , 1 , 2 ,1,1, =1 ,,( 6) ( 7)1==0,1为具有初始分布 ( 4 ) 与转移矩阵 ( 5 ) 的在 上的非齐次马尔可夫链的联合分布为 = = =01上取值的树上的阶非齐次马氏链．在上述定义下，树=,1,1( 8)相应地，,在概率测度 = =下的联合分布为 =01=,1,1( 9)定义 3设和为定义在可测空间,上分别具有分布 ( 1) 和 ( 3) 的 2 个概率测度，令 1 ln ( 10)= limsup 称 引理 1 为 设 相对于 和 的样本散度．分别有式 ( 1) 和式 ( 3) 给出，则有 limsup 1 ln 0 ， 0 ， a.s . 上取值的树 ,,1a.s .(11) ( 12) 上的 1 阶非齐次马由式 (11) 易见 引理 2 氏链，1设 , ,,+1为具有初始分布 ( 4) 与转移矩阵 ( 5) 的在 , =01 为定义在1+1上的+ 1 元函数列， 为任一常数，, , ,, 则 证 , , , 由式 (9) ，有, ,11=,( 13)在测度下是一非负鞅．= 又由式 ( 13 ) 和式 ( 14 ) ，有1=1=1=1 1 11( 14),, , ,,=1,1, , ,,111 =1( 15)第2期金少华， 等： 非齐次树上m 阶非齐次马氏链的一类强偏差 定理63而, , ,1,,, ,1 1 111 1 = , , , , , =1 11,, , ,=1, ,1,,,, ,,,=1=,, , ,1 1 11,= 由式 (15) 和式 ( 16) ，得1,1,=1( 16), 所以 , , 定理 1 设 定义在 如前定义，11=1,, , , ,在测度 下是一非负鞅． 为定义在 , 上的在 = 1 , 2 , , 在测度 1 为定义在 =+1上的两个概率测度，+1下是树 上的上取值的随机变量族， 和 上具有分布 (8) 的 阶非齐次马氏链， 0 为一常数，且 ( 17),为,+ 1 元函数列，设:假设存在>0 ， 为一常数，使得 = limsup 1=1,,,,1( 18)设 = 此处 0< < ．则当 0 1=122 2( 19)2时，有 , 2 , a.e . , ,1limsup,,1( 20)特别地，有 lim 1=1,, a.e.,,1,,1=0 ( 21)证 取 , , 为所考虑的概率空间，由引理 2 知对任意的常数 是一非负鞅，故由 Doob 鞅收敛定理， ，使得 = 1 ，有 lim 从而 limsup 由式 ( 1 3 ) ，有 1 ln , = + 1=1，,,,, 1=,<a.s .ln,0a .s .( 22), ln,ln,,1,,11( 23)由式 (22) ，式 ( 23) 和式 (10) ，有 lim sup 1=,1,ln,,1,,164河北工业大学学报第 42 卷limsup 由上极限的性质1ln=a. e.( 24)l imsup 式 ( 24 ) 和式 ( 25 ) ，有 limsup limsup 1=1limsuplimsup+( 25)=,1,, ,, , ,1,,,1ln , , ， 1 max ,2,1+ ，并注意到( 26)由不等式 ln1>022, < <, ,0 =422>0，由式 ( 1 8 ) ，式 ( 19 ) 和式 ( 26 ) ，当 0< limsup limsup limsup limsup = limsup li msup2 2时，有 , , , ,1 11=1ln, ,1, 1 , ,, ,, , ,1, ,, ,11=11=1,,1 ,, ,, ,2, , ,, ,1=11 2 1 2 1 222211=1, 42 2, , ,1,,11= 212,,2=2( 27)由式 ( 2 6 ) 和式 ( 27 ) ，有 limsup2 =,1, a.e.,,,,1+ ，有 ,1( 28)当 0< < <时，将式 ( 28 ) 两端同除以 limsup + 1=, a .e.,,,,1( 29) / =2 ，在式 ( 2 9 ) 中令当 0< = /2时，由函数=+在=/处取得最小值，有 limsup 2 1=1,, a.e.,, /,,1( 30)因为/ limsup 2= 1 ，故由式 ( 3 0 ) ，有 1=1,,, a. e.,,,1( 31)*当 = 0 时，选取0,,=1 , 2 ,，使得0，并令==1，那么对所有的，由第2期金少华， 等： 非齐次树上m 阶非齐次马氏链的一类强偏差 定理65式 ( 28 ) ，有 limsup 0 因为 当*1=1,, a.e .*, 0,,,1=1 ，故式 ( 31 ) 在 = 0 时也成立． < < < 0 时，将式 ( 28 ) 两端同除以 liminf + 1=1，得 , a.e . , , , ,1,( 32) / = 2 ． 在式 ( 32 )当 0< 中令 = /2， 由函数 ，得 1==+在 =/处可取的最大值liminf 2,1, a .e.,, /,,1( 33)*当 = 0 时，选取 ，由式 ( 2 8 ) ，有 liminf 0 因为*, 0 ,=1 , 2 ,，使得0，并令==1，那么对所有的1=1,, a. e.,*, 0,,1=1 ，故式 ( 33 ) 在 = 0 时也成立． 式 ( 20 可由式 ( 3 1 ) 和式 ( 3 3 ) 直接得到，式 ( 2 1 ) 可由式 ( 20 ) 直接得到．定理 1 证毕． 定理 2 在定理 1 的条件下，设 由式 ( 2 ) 定义， = 22120 < <1( 34)则当 02时，有 limsup liminf 1=11=12 2 , , , , ,1a.e . a.e.( 35) ( 36)其中为在测度下关于 = =的熵，即 ,1 1=1, ln1,= , ,1,,1证在定理 1 中，令,1 ,,,+1= ,1ln1+1,,,,11 ， = 1 ．因为 , ,1, , ,= ,ln= 所以1/,1== limsup1=1ln,,1,,1=( 37)又注意到 ln , ,1,,1=,,1ln,,1=66河2北工业大学学报第 42 卷则当 0时，由式 ( 34 ) ，式 ( 3 7 ) 和式 ( 2 0 ) 有 1=1limsup 2 liminf 2 又由式 ( 8 ) ，有 1ln,, a.e.11=1( 38) 111=1ln,, a .e.=1( 39)ln=1ln10+=ln1,,1( 40)由式 ( 3 8 ) ，式 ( 40 ) 和式 ( 11 ) ，有 limsup limsup + limsup liminf = limsup 1 1=11=1ln1=1ln ln , , ,1, 11,=111 1ln ln10 =,+21+22a .e.由式 ( 3 9 ) ，式 ( 12 ) 和式 ( 17 ) ，有 liminf liminf + liminf 1 1=11=1ln1=1ln ln , , 11,=,112 即定理 2 得证．2a.e.参考文献：[ 1] Yang Weiguo，liu W en．The Asympt ot ic Equipartiti on Property for M th-Order Nonhomogeneous Markov Inform ation Sources [J ]．IEEE Trans In form Theory，2004，50 （12） ：3326-33 30． [ 2] 金少华，霍艳，张会鹏，等．一类非齐次树上的 Shannon-Mcmil lan 定理 [J] ．数学的实践与认识，2009，39（14） ：137-140．[ 责任编辑杨屹]。

随机环境中马氏链的Brunel极大遍历定理？贾兆丽;凌能祥【摘要】随机环境中的马氏链是一类重要的随机过程。

由于这类过程在金融、保险、计算机网络、随机服务系统等领域的广泛应用，对其理论和方法的研究，特别是其遍历性的理论和方法的研究受到很多学者的关注。

本文利用单调收敛定理，在比较自然的条件下，获得了随机环境中马氏链的极大遍历性定理，推广了现有文献中的相关结果。

【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】5页(P842-846)【关键词】随机环境;马氏链;遍历定理;单调收敛【作者】贾兆丽;凌能祥【作者单位】合肥工业大学数学学院,合肥 230009; 中国科学技术大学统计与金融系,合肥 230026;合肥工业大学数学学院,合肥 230009【正文语种】中文【中图分类】O211.621 引言马氏链的极限理论是随机过程中的重要研究内容，但很多研究是对确定的马氏链而言的，即研究中马氏链的环境是固定不变的．近年来，随机环境中的马氏链的研究已引起人们的极大兴趣．Bourgin[1]研究了随机环境中的马氏链的吸收概率，Cogburn[2]研究了随机环境中的马氏链的中心极限定理．Seppalainen[3]研究了具有随机转移的马氏链大偏差，但关于随机环境中的马氏链的遍历定理研究的较少．本文旨在研究随机环境中马氏链的Brunel极大遍历定理．本文除特别说明外，沿用文献[4–8]中的记号和术语．设有可数可测空间(X,A)和任一可测空间(Θ,B),{p(θ),θ∈Θ}是(X,A)上的一转移矩阵族．对任意给定的x,y∈X,P(θ)(x,y)是θ的关于σ代数B的实值可测函数．记Z为整数集，设{Zn,n≥0}与ξ⃗=(ξn)n∈Z分别取值于X与ΘZ的随机序列．若Zn和ξn满足则称{Zn,n≥1}是随机环境中的马氏链，称X为状态空间，为环境空间．设Θ为坐标函数(n∈Z)，定义=σ(θn,k−1<n<l+1)．设T:为推移算子，即对任何则记则设π是可测空间上的任一概率测度，且满足记E=Σ=×,µ=κ×π，其中κ为X上的计数测度．若集合F满足PIF=IF，称F为不变集．记L1为所有绝对可积的函数组成的集合，L∞为所有几乎处处有界的函数组成的集合．引理1 若0≤f∈L∞,0<g∈L1，则证明固定ϵ>0,∀n≥0，令及注意到则有其中第二个不等式是由于P为压缩算子而得．又Wn+1)．于是所以进而有令dµ1=dµ，则µ1是与µ等价的有限测度．上式即于是这表明，对几乎所有的(x,⃗θ)，当n充分大时，即命题得证．2 主要结果定理1(Hopf极大遍历定理) 设f∈L∞，令则证明令及显然不难看出Sn↑，下面证明Sn↑S．事实上下面证明Snf(x,⃗θ)dµ≥ 0,∀n．事实上，对任意的由P的非负性，或因为所以在Sn上，有前面的不等式表明，在Sn上或于是有结论得证．记其中I为示性函数，定理2(Brunel极大遍历定理) 设令则证明按照定义固定0及0用代替f的作用，定理中的假设蕴涵无穷次经常发生，如果由此推导出∫XiS(f+ϵg)dµ≥0，则要证的结论可由令ϵ→0即推出，这样，不妨从假设出发．在E上由iS的定义和单调收敛定理其中固定n，用Wn来表示f：或在S上或在E上注意到，在S上ISWn=0及引理1，这样上面不等式的第一项趋于零，结论变为：在S上令显然定义并讨论马氏过程因为P仍然是正压缩算子，所以这个定义是合理的，事实上对任意的f1∈L∞(µ1)，有根据Hopf极大遍历定理，有这里，使用了iS≤1，又因为S⊆Sn，进而有而在(3)式中令n→∞得SWndµ≥0．结论得证．参考文献：[1]Bourgin R D,Cogburn R.On determining absorption probabilities for Markov chains in random environments[J].Advance in Application Probability,1981,13(2):369-387[2]Cogburn R.On the central limit theorem for Markov chains in randomenvironments[J].Annals of Probability,1991,19(2):587-604[3]Seppalainen rge deviations for Markov chains in random environments[J].Annals of Probability,1994,22(2):713-748[4]Orey S.Markov chains with stochastically stationary transition probabilities[J].Annals of Probability,1991,19(3):907-928[5]贾兆丽，祝东进.绕积马氏链的几个结果[J].数学研究与评论，2007,24(4):704-708 Jia Z L,Zhu D J.Some results for skew product Markov chains[J].Journal of Mathematical Research and Exposition,2007,24(4):704-708[6]胡学平，贾兆丽.双无限随机环境中马氏链的常返性[J].工程数学学报，2007,24(4):696-700 Hu X P,Jia Z L.Recurrence for Markov chains in doubly inf i nite random environments[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2007,24(4):696-700[7]王伟刚，胡迪鹤.随机环境下单边二重随机游动[J].工程数学学报，2010,27(1):92-98 Wang W G,Hu D H.Random walks of single side with order 2 in random environments[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2010,27(1):92-98[8]夏乐天，朱元甡.马氏链预测方法的统计试验研究[J].工程数学学报，2010,27(2):313-320 Xia L T,Zhu Y S.Study on statistical experiment of Markov chain prediction methods[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2010,27(2):313-320。