随机环境中马氏链状态的常返性与暂留性
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六.马尔可夫链3
例6.3.2 设状态空间S={1,2,3,4,5}的齐次马氏链,一步转 移概率矩阵为
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 1 0 1 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 0 0 0 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 ⎟ 0 ⎟ ⎠
P
试分析马氏链的状态的常返与否
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
(1) 若fii = 1, 则称状态i是常返的(返回的) 若fii < 1, 则称状态i是非常返的(滑过状态) (2) 若i是常返状态,且µii < +∞, 则称状态i为正常返状态.
若i是常返状态,且µii = +∞, 则称状态i为零常返状态. （消极常返状态） (3) 若di > 1, 则称状态i为周期状态,且周期为di . 若di = 1, 则称状态i为非周期状态. 若状态i是正常返的非周期状态.则称之为遍历状态.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
µii = +∞ ⎧非常返 ⎪ di > 1 状态 ⎨ f = 1 ⎧零常返 ii ⎪ 常返 ⎪ ⎧ 周期 ⎨ µ < +∞ ii ⎩ ⎪正常返 ⎪ ⎨ di = 1 ⎩ ⎪非周期 ⎩
fii < 1
遍历态
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
状态类型的判断
⋅P ( X n = j X n −1 = in −1 )
= ∑ ∑ L ∑ pii1 ⋅ pi1i2 ⋅L ⋅ pin−1 j
i1 ≠ j i2 ≠ j in−1 ≠ j
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
(n) (3) pij = P{ X n = j X 0 = i}
= P{U ( X l = j, X k ≠ j, k = 1, 2,L , l − 1), X n = j X 0 = i}
随机过程中的马尔可夫链理论
随机过程中的马尔可夫链理论随机过程是概率论中的一个重要分支，研究时间上的变化不确定性。
马尔可夫链是随机过程中的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
在本文中，我们将深入探讨随机过程中的马尔可夫链理论。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散随机过程，它由一系列的状态和状态转移概率组成。
设S={S1, S2, ...}为状态空间，P={Pij}为状态转移概率矩阵，其中Pij表示从状态Si到状态Sj的概率。
马尔可夫链满足以下两个条件：1) 转移概率只与当前状态有关；2) 对于任意状态Si，状态转移概率之和等于1。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质由定义可知，马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链在建模和分析中具有较大的灵活性。
2. 随机游走马尔可夫链可以看作是一种随机游走的过程。
在状态空间S中，根据状态转移概率进行转移，从而实现状态之间的随机变动。
通过研究随机游走的路径和特性，可以揭示马尔可夫链的一些重要特性。
3. 平稳分布对于某些马尔可夫链，存在一个平稳分布使得在长时间模拟中，状态分布趋于稳定。
这一性质在实际应用中广泛使用，例如在排队论、金融风险管理等领域。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中得到广泛应用，特别是在文本生成和语音识别方面。
通过学习语料库中的转移概率，可以生成新的语句或者识别语音中的词组。
2. 生物信息学在DNA和蛋白质序列的分析中，马尔可夫链可以用于模拟和预测相关的状态变化。
通过构建转移矩阵，可以研究序列中的概率事件和模式。
3. 市场分析马尔可夫链在市场分析中具有较大的潜力。
通过研究股票价格或者交易策略的状态转移，可以辅助投资决策和风险管理。
四、马尔可夫链的改进为了更好地描述现实世界中复杂的系统和过程，研究者们对传统的马尔可夫链进行了改进。
例如，高阶马尔可夫链能够捕捉更长期的状态依赖性；隐马尔可夫模型则能够处理观测序列的概率计算问题。
第3章马氏过程(应用随机过程,陈萍)
p
(n) ij
pij (0, n) pij (m, n)
(1) p p 特别地, n=1时,简记 ij ij
以下仅限于讨论齐次马氏链.
11
( n) 3) 记 Pn ( pij ) ,称Pn为{X k，k=0,1,2,… }的n步转移概 率矩阵. 若马氏链的状态空间E={1，2，··· ，N}，则称此马氏链 是有限马氏链。此时，其k步转移矩阵是一个N 阶方 阵 k k k
0.9 0.1 0
0 .3 0 .1 0 .6 P 0 0 .1 0 .9 0 0 1
14
二 若干实例
例3.1.1 独立随机变量和的序列
设{ξn, n≥0}为独立同分布随机变量序列，分布
律为P{ξn = k}= qk, k=0,1,…，
令 X n k ,则易证{Xn, n≥0}是一Markov链， k 0 且 q j i , j i , pij j i. 0, 显然，{ξn, n≥0}本身也是一Markov链.
2
回顾:Markov过程的定义 设随机过程
P{X t B | X t1 x1,..., X tn xn} P{X t B | X tn xn},
t1 t2 ... tn t, xi , i 1,..., n
X t ; t 若对
则称该过程为Markov过程，简称“马氏过程”。 (s t ) 称 P(s, x; t, B) P( X t B | X s x) 为转移概率函数.
P( X t0 i0 , , X tn1 in 1 X tn in ) P( X tn1 in 1 , , X tnm in m X tn in )
11.3 马 氏 链
§11.3
一、马氏过程
马 氏 链
马尔科夫过程是由前苏联数学家A. A. Markov 首先提出和研究的一类随机过程, 已成为内容丰富, 理论较完善, 应用十分 广泛的一门数学分支, 应用涉及计算机、 自动控制、通信、生物学、 经济、气象、 物理、化学等等领域.
电子科技大学
系统特征 在已知系统现在所处状态下, 系统将来的演变规律与过去无关, 称为无后 效性.
p (0<p<1), 则各级输入状态和输出状态的转
移矩阵为
p 1 p P ( pij ) p 1 p E {0,1}, i , j E .
数字传输过程是齐次马氏链.
电子科技大学
EX.11.3 Polya模型（传染病模型） 设坛子中有b个黑球 , r 个红球. 从坛子中 随机地摸出一个球，然后将球放回并加入c 只同色球， 如此取和放 , 不断进行下去. 研 究坛子中黑色球个数.
电子科技大学
分析 设ξ(n)表示第n次摸球后坛子中的黑 球个数. 每取放一次后黑球或者增加 c 个黑 球, 或者不变. 显然, {ξ(n), n≥1}是马氏链，但 pij (n,1) P{ξ(n 1) j ξ(n) i } n时刻转移 i j i c; 概率与n有 b r nc , 关 , {ξ(n), i 1 , j i; n≥1}是非齐 b r nc 次马氏链 0,其他.
在时刻m, 老鼠处于各状态的概率只与第 m－1次时所处状态与转移概率有关，而与 第m－1次前的状态无关.
老鼠的随机转移状态运动过程是一个马氏链.
电子科技大学
三、齐次马氏链
定义11.3.3 若马氏链 {ξ(n), n≥0}的一步 转移概率与起始时刻无关，即对任意m pij (m,1) P{ξ(m 1) j ξ(m) i } pij (1) pij，
一、马氏过程
马 氏 链
马尔科夫过程是由前苏联数学家A. A. Markov 首先提出和研究的一类随机过程, 已成为内容丰富, 理论较完善, 应用十分 广泛的一门数学分支, 应用涉及计算机、 自动控制、通信、生物学、 经济、气象、 物理、化学等等领域.
电子科技大学
系统特征 在已知系统现在所处状态下, 系统将来的演变规律与过去无关, 称为无后 效性.
p (0<p<1), 则各级输入状态和输出状态的转
移矩阵为
p 1 p P ( pij ) p 1 p E {0,1}, i , j E .
数字传输过程是齐次马氏链.
电子科技大学
EX.11.3 Polya模型（传染病模型） 设坛子中有b个黑球 , r 个红球. 从坛子中 随机地摸出一个球，然后将球放回并加入c 只同色球， 如此取和放 , 不断进行下去. 研 究坛子中黑色球个数.
电子科技大学
分析 设ξ(n)表示第n次摸球后坛子中的黑 球个数. 每取放一次后黑球或者增加 c 个黑 球, 或者不变. 显然, {ξ(n), n≥1}是马氏链，但 pij (n,1) P{ξ(n 1) j ξ(n) i } n时刻转移 i j i c; 概率与n有 b r nc , 关 , {ξ(n), i 1 , j i; n≥1}是非齐 b r nc 次马氏链 0,其他.
在时刻m, 老鼠处于各状态的概率只与第 m－1次时所处状态与转移概率有关，而与 第m－1次前的状态无关.
老鼠的随机转移状态运动过程是一个马氏链.
电子科技大学
三、齐次马氏链
定义11.3.3 若马氏链 {ξ(n), n≥0}的一步 转移概率与起始时刻无关，即对任意m pij (m,1) P{ξ(m 1) j ξ(m) i } pij (1) pij，
马氏链的极限分布和平稳分布
马氏链的极限分布和平稳分布马氏链是一种离散时间随机过程，具有马氏性质，即未来的状态只与当前的状态有关，而与过去的状态无关。
马氏链的极限分布和平稳分布是研究马氏链长期行为的重要概念。
在本文中，我们将详细介绍马氏链的极限分布和平稳分布的概念、性质以及计算方法。
首先，我们来介绍一下马氏链的极限分布。
马氏链的极限分布是指在长时间内，马氏链的状态分布趋于稳定的分布。
也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布将不再发生变化，而是收敛到一个固定的分布。
这个分布就是马氏链的极限分布。
马氏链的极限分布具有以下性质：1. 极限分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的极限分布就是唯一的。
2. 极限分布与初始分布无关：马氏链的极限分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。
3. 极限分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的极限分布是存在的。
接下来，我们来介绍马氏链的平稳分布。
平稳分布是指在长时间内，马氏链的状态分布保持不变的分布。
也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布不再发生变化，而是保持在一个固定的分布。
这个分布就是马氏链的平稳分布。
马氏链的平稳分布具有以下性质：1. 平稳分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的平稳分布就是唯一的。
2. 平稳分布与初始分布无关：马氏链的平稳分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。
3. 平稳分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的平稳分布是存在的。
在实际应用中，我们常常需要计算马氏链的极限分布和平稳分布。
下面，我们将介绍一些常用的计算方法。
对于有限状态的马氏链，可以通过迭代法来计算极限分布和平稳分布。
迭代法的基本思想是从一个初始的概率分布开始，通过不断地迭代计算，直到收敛到极限分布或平稳分布为止。
具体的迭代计算方法有很多种，常用的有幂法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
马尔科夫链初步
马氏链性质：常返性
• i常返当且仅当fii = 1 • i正常返当且仅当 Eiτi(1) = sum(n,0, ∞,n*f(n)ii) < ∞ • 状态i能到达j的充分必要条件是fij > 0 • 设j常返，k != j， j → k则 k常返 j↔k fjk = fkj = 1
马氏链性质：常返性
马氏链性质：周期性
• 定义{n : n ≥ 1, p(n)ii > 0}的最大公约数di为 状态i的周期 • 如果di > 1，则称为i的周期 • 如果di = 1，则称i为非周期的 • 如果i ↔ j，i与j有相同的周期或同为非周期 的
马氏链性质：不可约性
• 等价类：互通关系 i↔i i↔j⇔j↔I i ↔ j, j ↔ i ⇒ i ↔ k • 若状态空间只有一个类 则称马氏链是不可约的
不变测度和平稳分布：
• 设{Xn}为马氏链，P为其转移矩阵，如果 ν = {νj , j ∈ S} 为一列非负实数，并且满足 ν‘ =ν’P 则我们称ν为马氏链{Xn}的不变测度 • 如果ν为不变测度并且满足 sum(j∈S, νj )= 1 则我们称ν为马氏链{Xn}的不变测度
平稳分布的存在唯一性：
马氏链性质：常返性
• 定义： τi(0) = 0, τi(1) = inf{m ≥ 1,Xm = i}. 在(τi(1) < ∞)上，定义τi(2) = inf{m > τi(1) : Xm = i}，依次我们得到τi(n + 1) = inf{m > τi(n) : Xm = i}
马氏链性质：常返性
再给出一些等价和非等价的命题：
（另记N ∈ F{Xt, t ≥ tn},M ∈ F{Xt, t ≤ tn}） • 4. P{N|M,Xtn = in} = P{N|Xtn = in} • 5.（非等价）P{N|M,Xtn ∈ A} 6= P{F|Xtn ∈ A}
绕积马氏链的状态
：
Ｊ ×Ｂ
／ Ｐ ， × Ｂ （ × ） 皿 Ｂ：ｒ） ； Ｔ） ｄ ） （ ） ７ （ ＝ × （ Ｂ
是平稳环境－ 马氏 ４中 链．
设 是 至多可数 集 ， 是 的离散 一代数 ． （ ， ） 任意 的可测空 间． ｛ ， ∈ｅ 是 ０Ｂ 是 Ｐ（ ） ）
（ ） ， 上的转 移概率族 ，对 于任意 给定 的 ， ， （；，） Ｙ∈ Ｐ ｚＹ 是关 于 ０的 一代 数 的 实值可测 函数 ．记 ｚ是整 数集 ， 是非负整 数集 ， ：（ ｏｑ － ：（ ｚ是 定义在概 率空 间 ｘ ） － ∈ ）∈ － － ４
收稿日期：０９０ ８ ２０ － １ ２
基金项 目：安徽省高校省级 自然科学研究项 目 （ ２ １Ｂ １） ＫＪ００ ２ ６
数 学 研 究
２１ ０ ０矩
（， Ｐ 上 的随机序 列，且分别取值于 与 ０ 若 满 足 Ｑ ， ） ，
ＰＸ ∈ １ ： （０ ０ ） ０ ． Ａ （ｏ Ａ Ｙ） ＰＸ ∈ － ．Ｖ ｓ Ａ∈
。
记 Ｔ： ｚ— ｅ ， ∈０ ， ０ ｚｖ ｚ
） １事 实上 ，对任意 Ｂ∈１ ，若令 丌Ｂ ：Ｐ ∈Ｂ ＝ ＝ 卅 ． ３ ｚ （） （ ）
Ⅲ（ ×Ｂ ， ） 由于 皿是 不 变 测 度 ，则 有
Ｂ × ） ， ） ） ） 一 × （ ） ＝ Ｂ／ ； Ｂ ×
摘 要 主要研究了绕积马 链的各种状态，得到了相应的一些充要条件．同时利用 Ｆ ｇｅ 的 Ｌ 一理论对单 ｏ ｕｌ １
链 常返性与瞬时性进行了讨论，回答了单链 Ｘ 是 ７一 不可约链的本质，即绕积马氏链的相空间是最小闭 ｒ
集பைடு நூலகம்
关键词
随机环境；绕积马夭链；闭集；正则本质；不可约性 ｏ６１ ２ １． ６ 文献标识码 Ａ
Ｊ ×Ｂ
／ Ｐ ， × Ｂ （ × ） 皿 Ｂ：ｒ） ； Ｔ） ｄ ） （ ） ７ （ ＝ × （ Ｂ
是平稳环境－ 马氏 ４中 链．
设 是 至多可数 集 ， 是 的离散 一代数 ． （ ， ） 任意 的可测空 间． ｛ ， ∈ｅ 是 ０Ｂ 是 Ｐ（ ） ）
（ ） ， 上的转 移概率族 ，对 于任意 给定 的 ， ， （；，） Ｙ∈ Ｐ ｚＹ 是关 于 ０的 一代 数 的 实值可测 函数 ．记 ｚ是整 数集 ， 是非负整 数集 ， ：（ ｏｑ － ：（ ｚ是 定义在概 率空 间 ｘ ） － ∈ ）∈ － － ４
收稿日期：０９０ ８ ２０ － １ ２
基金项 目：安徽省高校省级 自然科学研究项 目 （ ２ １Ｂ １） ＫＪ００ ２ ６
数 学 研 究
２１ ０ ０矩
（， Ｐ 上 的随机序 列，且分别取值于 与 ０ 若 满 足 Ｑ ， ） ，
ＰＸ ∈ １ ： （０ ０ ） ０ ． Ａ （ｏ Ａ Ｙ） ＰＸ ∈ － ．Ｖ ｓ Ａ∈
。
记 Ｔ： ｚ— ｅ ， ∈０ ， ０ ｚｖ ｚ
） １事 实上 ，对任意 Ｂ∈１ ，若令 丌Ｂ ：Ｐ ∈Ｂ ＝ ＝ 卅 ． ３ ｚ （） （ ）
Ⅲ（ ×Ｂ ， ） 由于 皿是 不 变 测 度 ，则 有
Ｂ × ） ， ） ） ） 一 × （ ） ＝ Ｂ／ ； Ｂ ×
摘 要 主要研究了绕积马 链的各种状态，得到了相应的一些充要条件．同时利用 Ｆ ｇｅ 的 Ｌ 一理论对单 ｏ ｕｌ １
链 常返性与瞬时性进行了讨论，回答了单链 Ｘ 是 ７一 不可约链的本质，即绕积马氏链的相空间是最小闭 ｒ
集பைடு நூலகம்
关键词
随机环境；绕积马夭链；闭集；正则本质；不可约性 ｏ６１ ２ １． ６ 文献标识码 Ａ
马尔可夫过程收敛性分析与判定准则证明推导
马尔可夫过程收敛性分析与判定准则证明推导马尔可夫过程是概率论中一种重要的随机过程，在各个领域都有广泛的应用。
其收敛性分析与判定准则是研究马尔可夫过程性质的关键。
本文将从数学推导的角度，详细介绍马尔可夫过程收敛性分析与判定准则的证明过程。
1. 马尔可夫过程简介马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
它具有无后效性，即在给定当前状态下，未来状态的条件分布只依赖于当前状态。
马尔可夫过程可以用状态空间和转移概率矩阵来描述。
其中，状态空间表示可能的状态集合，转移概率矩阵表示从一个状态到另一个状态的概率。
2. 马尔可夫链的收敛性概念对于一个马尔可夫过程，我们希望了解其在长时间内是否会收敛到某一特定状态。
为此，我们需要引入马尔可夫链的收敛性概念。
2.1 马尔可夫链的不可约性与遍历性一个马尔可夫链是不可约的，当且仅当从任意一个状态出发，都可以通过有限步骤到达另一个状态。
一个马尔可夫链是遍历的，当且仅当它是不可约的，并且存在一个正整数m，使得从任意一个状态出发，在m步骤内可以返回到该状态。
一个马尔可夫链是常返的，当且仅当从一个状态出发，以概率1回到该状态。
一个马尔可夫链是非常返的，当且仅当从一个状态出发，以概率小于1回到该状态。
3. 马尔可夫链的收敛性分析与判定准则接下来，我们将介绍马尔可夫链的收敛性分析与判定准则。
3.1 可约马尔可夫链的收敛性可约马尔可夫链是指具有不可约性的子链。
可约马尔可夫链的收敛性判定方法为：如果从某一个状态开始，经过有限步骤可以返回该状态的概率大于0，则可约马尔可夫链不收敛。
3.2 非常返马尔可夫链的收敛性对于非常返马尔可夫链，其收敛性判定准则为：如果存在一个状态，从该状态出发可以以概率1到达另一个状态，且从该状态出发以概率1返回该状态，则非常返马尔可夫链收敛。
3.3 常返马尔可夫链的收敛性对于常返马尔可夫链，其收敛性判定准则为：如果存在一个状态，从该状态出发可以以概率1到达另一个状态，并且从该状态出发可以以概率1返回该状态，则常返马尔可夫链收敛。
随机过程的马尔可夫链知识点汇总
随机过程的马尔可夫链知识点汇总什么是马尔可夫链？马尔可夫链是一种数学模型，描述了一系列随机事件，其中每个事件的概率只依赖于当前事件发生的状态。
换句话说，未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。
马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质（Markov Property）：在一个马尔可夫链中，给定当前状态，未来的状态与过去的状态无关。
2. 状态空间（State Space）：马尔可夫链的所有可能状态的集合。
3. 转移概率（Transition Probability）：描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
4. 长程行为（Long-term Behavior）：马尔可夫链在长时间的演化中，会逐渐趋向于稳定的概率分布。
马尔可夫链的应用1. 模拟和预测：马尔可夫链可以用于模拟和预测各种随机事件的概率分布，如天气预测、股票市场等。
2. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于自然语言处理中的文本生成和自动语音识别等任务。
3. 统计学：马尔可夫链在统计学中有广泛的应用，如随机抽样和蒙特卡洛模拟等。
马尔可夫链的改进1. 高阶马尔可夫链（Higher-order Markov Chains）：考虑当前和前几个状态的组合，以改进模型的准确性。
2. 隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）：在马尔可夫链的基础上引入隐藏状态，用于处理有观测数据和隐藏状态的问题。
3. 非时齐马尔可夫链（Non-homogeneous Markov Chains）：考虑转移概率随时间变化的情况，用于更复杂的应用。
总结马尔可夫链是一种重要的随机过程模型，具有简单的数学结构和丰富的应用。
通过理解马尔可夫链的基本概念和性质，可以更好地应用于各种问题的建模和解决。