最新天津市高考数学试卷(文科)答案与解析

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟。

第一卷1至2页，第二卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第一卷考前须知：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式34π3V R =.其中R 表示球的半径. 一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，那么()A B C =〔A 〕{2}〔B 〕{1,2,4}〔C 〕{1,2,4,6}〔D 〕{1,2,3,4,6} 〔2〕设x ∈R ，那么“20x -≥〞是“|1|1x -≤〞的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 〔3〕有5支彩笔〔除颜色外无差异〕，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，那么取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 〔A 〕45〔B 〕35〔C 〕25〔D 〕15〔4〕阅读右面的程序框图，运行相应的程序，假设输入N 的值为19，那么输出N 的值为 〔A 〕0 〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕3〔5〕双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形〔O 为原点〕，那么双曲线的方程为〔A 〕221412x y -=〔B 〕221124x y -=〔C 〕2213x y -=〔D 〕2213y x -= 〔6〕奇函数()f x 在R 上是增函数.假设0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，那么,,a b c 的大小关系为〔A 〕a b c <<〔B 〕b a c <<〔C 〕c b a <<〔D 〕c a b << 〔7〕设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.假设5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，那么 〔A 〕2π,312ωϕ==〔B 〕211π,312ωϕ==-〔C 〕111π,324ωϕ==-〔D 〕17π,324ωϕ== 〔8〕函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，假设关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，那么a 的取值范围是〔A 〕[2,2]-〔B〕[2]-〔C〕[2,-〔D〕[-第二卷考前须知：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

1版+微信 ⎨ ⎩⎩ ⎩ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：第Ⅰ卷1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么 P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B )棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 如果事件 A , B 相互独立, 那么 P ( AB ) = P ( A )P (B )球的体积公式V = 4πR 3. 3其中 R 表示球的半径一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A) (-∞, 2] 【答案】D(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【解析】因为 A = {x -2 ≤ x ≤ 2},所以 A B = {x -2 ≤ x ≤ 1}，选 D.⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2) 设变量 x , y 满足约束条件 ⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y - 2x的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 【答案】A【解析】由 z = y - 2x 得 y = 2x + z 。

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比 ．V V =甲乙15．已知，，则 ．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四 ：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件互斥，那么．A B ，()()()P A B P A P B =+ ·如果事件相互独立，那么．A B ，()()()P AB P A P B = 球的体积公式，其中表示球的半径．34π3V R =R · 圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．13V Sh=S h 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，2，3，，，3，4，，则 {1A =4}{2B =5}(A B = )A ．，2，3，B ．，3，C ．，D ．{14}{24}{24}{1}2．设，，则“”是“”的 a b R ∈33a b =33a b =()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是 ()A．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是 ()A ．B ．221x e x x -+22cos 1x x x ++C ．D ．1x e x x -+||sin 4x x x e +5．若，，，则，，的大小关系为 0.34.2a -=0.34.2b = 4.2log 0.3c =a b c ()A ．B ．C ．D ．a b c>>b a c>>c a b>>b c a>>6．若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是 m n α()A ．若，，则B ．若，，则//m αn α⊂//m n //m α//n α//m n C ．若，，则D ．若，，则与相交//m αn α⊥m n ⊥//m αn α⊥m n 7．已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是 ()3sin(0)3f x x πωω=+>π[,]126ππ-()A ．B ．C ．0D ．32-328．双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 2PF 率为2，△是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 12PF F ()A ．B ．C ．D ．22182x y -=22148x y -=22128x y -=22184x y -=9．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知，，ABC DEF -////AD BE CF 1AD =2BE =．则该五面体的体积为 3CF =()A B C D 12+12-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

1、设集合A = {x | x是等腰三角形}，B = {x | x是直角三角形}，则A与B的交集是A、等腰直角三角形集合B、等边三角形集合C、锐角三角形集合D、钝角三角形集合（答案：A。

解析：等腰三角形指两边等长的三角形，直角三角形指有一个角为90度的三角形。

两者交集即为既有两边等长又有一个角为90度的三角形，即等腰直角三角形。

）2、若复数z满足(1 + i)z = 2i（i为虚数单位），则z的实部为A、-1B、1C、-2D、2（答案：A。

解析：由(1 + i)z = 2i，得z = 2i / (1 + i)。

通过复数除法运算，z = (2i * (1 - i)) / ((1 + i) * (1 - i)) = 2(i - i2) / (1 - i2) = 2(i + 1) / 2 = 1 + i。

因此，z的实部为1的实部减去i 的实部，即1-0=1，再考虑到分母中的1+i，实际结果应为(1+i)/2的实部，即-1。

）3、在等差数列{an}中，若a1 + a4 + a7 = 39，a3 + a6 + a9 = 27，则数列{an}的公差d为A、3B、-3C、6D、-6（答案：B。

解析：由等差数列性质，a4=a1+3d，a7=a1+6d，a3=a1+2d，a6=a1+5d，a9=a1+8d。

代入给定条件，得两个方程：a1+a1+3d+a1+6d=39，a1+2d+a1+5d+a1+8d=27。

解此方程组，可得d=-3。

）4、已知向量a = (1, 2)，b = (3, -1)，则向量a与向量b的点积为A、5B、-5C、1D、-1（答案：C。

解析：向量点积公式为a·b = a1b1 + a2b2。

代入向量a = (1, 2)，b = (3, -1)，得a·b = 13 + 2(-1) = 3 - 2 = 1。

）5、设随机变量X的所有可能取值为1, 2, 3, 4，且P(X = k) = ak (k = 1, 2, 3, 4)，则P(2 < X ≤ 4)等于A、3/10B、7/10C、3/5D、9/10（答案：B。

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟．第I 卷至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每题5分，共50分． 参考公式： ·如果事件A B ，互斥，那么 ·球的外表积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R =·如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设集合{}08U x x =∈<N ≤，{}1245S =，，，，{}357T =，，，那么()UST =〔 〕A ．{}124，，B ．{}123457，，，，，C ．{}12，D ．{}124568，，，，，2．设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥那么目标函数5z x y =+的最大值为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．53．函数14)y x =≤≤的反函数是〔 〕A ．2(1)(13)y x x =-≤≤ B ．2(1)(04)y x x =-≤≤ C ．21(13)y x x =-≤≤D ．21(04)y x x =-≤≤4．假设等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，那么7a =〔 〕A ．12B ．13C ．14D ．155．设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，那么a b ⊥的一个充分条件是〔 〕A ．a b αβαβ⊥⊥，∥，B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，6．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数是〔 〕 A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， 7．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，那么此椭圆的方程为〔 〕A ．2211216x y += B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 8．函数20()20x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩，≤，，，那么不等式2()f x x ≥的解集为〔 〕A ．[]11-，B ．[]22-，C ．[]21-，D ．[]12-，9．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，那么〔 〕 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<10．设1a >，假设对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值的集合为〔 〕 A ．{}12a a <≤B ．{}2a a ≥C ．{}23a a ≤≤D ．{}23，2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕第二卷考前须知：1．答卷前将密封线内的工程填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人．12．52x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 的系数为 〔用数字作答〕．13．假设一个球的体积为，那么它的外表积为 ．14．平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，假设()=-c a a b b ，那么=c ． 15．圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，那么圆C 的方程为 ．16．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，那么不同的排法共有 种〔用数字作答〕．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．〔本小题总分值12分〕 函数2()2cos2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2π．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 18．〔本小题总分值12分〕甲、乙两个篮球运发动互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． 〔Ⅰ〕求乙投球的命中率p ；〔Ⅱ〕求甲投球2次，至少命中1次的概率；〔Ⅲ〕假设甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．19．〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．3AB =，2AD =，2PA =，PD =60PAB =∠．〔Ⅰ〕证明AD ⊥平面PAB ；〔Ⅱ〕求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； 〔Ⅲ〕求二面角P BD A --的大小． 20．〔本小题总分值12分〕数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，． 〔Ⅰ〕设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； 〔Ⅱ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅲ〕假设3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 21．〔本小题总分值14分〕设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． 〔Ⅰ〕当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； 〔Ⅱ〕假设函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；〔Ⅲ〕假设对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围． 22．〔本小题总分值14分〕中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，20y -=． 〔Ⅰ〕求双曲线C 的方程；〔Ⅱ〕假设以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MNABCDP81 2，求k的取值范围．的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕参考解答一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分，总分值50分． 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．B二、填空题：此题考查根本知识和根本运算．每题4分，总分值24分．11．1012．1013．12π14．15．22(1)18x y ++=16．432三、解答题17．本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等根底知识，考查根本运算能力．总分值12分． 〔Ⅰ〕解：1cos 2()2sin 212xf x x ωω+=++sin 2cos 22x x ωω=++sin 2cos cos 2sin 244x x ωωππ⎫=++⎪⎭224x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题设，函数()f x 的最小正周期是2π，可得222ωππ=，所以2ω=．〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知，()424f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当4242x k ππ+=+π，即()162k x k ππ=+∈Z 时，sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以函数()f x 的最大值是2x 的集合为162k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，．18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的根底知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．总分值12分．〔Ⅰ〕解法一：设“甲投球一次命中〞为事件A ，“乙投球一次命中〞为事件B ，由题意得221(1())(1)16P B p -=-=， 解得34p =或54p =〔舍去〕，所以乙投球的命中率为34． 解法二：设“甲投球一次命中〞为事件A ，“乙投球一次命中〞为事件B ，由题意得1()()16P B P B =， 于是1()4P B =或1()4P B =-〔舍去〕，故31()4p P B =-=．所以乙投球的命中率为34．〔Ⅱ〕解法一：由题设和〔Ⅰ〕知，1()2P A =，1()2P A =．故甲投球2次至少命中1次的概率为31()4P A A -=．解法二：由题设和〔Ⅰ〕知，1()2P A =，1()2P A =．故甲投球2次至少命中1次的概率为123C ()()()()4P A P A P A P A +=． 〔Ⅲ〕解：由题设和〔Ⅰ〕知，1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =．甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为11223C ()()C ()()16P A P A P B P B =， 1()()64P A A P B B =， 9()()64P A A P B B =．所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为3191116646432++=． 19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等根底知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力．总分值12分．〔Ⅰ〕证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =可得222PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ．〔Ⅱ〕解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠〔或其补角〕是异面直线PC 与AD 所成的角．在PAB △中，由余弦定理得cos PB PA AB PAB ==由〔Ⅰ〕知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形， 故tanPB PCB BC == 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为arctan2． A BCDP H E〔Ⅲ〕解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ． 因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A =，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角． 由题设可得，sin 603PH PA ==cos601AH PA ==，2BH AB AH =-=，BD ==413AD HE BH BD ==．于是在Rt PHE △中，tan 4PH PEH HE ==所以二面角P BD A --的大小为arctan4． 20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．总分值12分． 〔Ⅰ〕证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得11()n n n n a a q a a +--=-，即12n n b qb n -=，≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，211a a -=， 32a a q -=，……21(2)n n n a a q n ---=≥．将以上各式相加，得211(2)n n a a q qn --=+++…≥．所以当2n ≥时，11111 1.n n q q a qn q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，上式对1n =显然成立．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕，当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =〔舍去〕．于是q =另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，15166(1)11n n n n n q q q a a q q q-+-+--==---．由①可得36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．所以对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．21．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等根底知识，考查综合分析和解决问题的能力．总分值14分． 〔Ⅰ〕解：322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++． 当103a =-时， 2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(0)-∞， 0 102⎛⎫⎪⎝⎭， 12 122⎛⎫⎪⎝⎭， 2(2)+，∞()f x ' -+-+()f x↘极小值↗极大值↘极小值↗所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数．〔Ⅱ〕解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤． 解此不等式，得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．〔Ⅲ〕解：由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a --⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．22．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等根底知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力．总分值14分．〔Ⅰ〕解：设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b -=>>，，由题设得229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为22145x y -=． 〔Ⅱ〕解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ②将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得 222(54)84200k x kmx m ----=．此方程有两个不等实根，于是2540k -≠，且 222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得 22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足12024254x x km x k +==-，002554m y kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，．由题设可得 2219981254542km m k k =--． 整理得222(54)k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， 整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．解得02k <<或54k >． 所以k 的取值范围是5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞．。

2023天津高考数学试卷内容(附答案解析)2023天津高考数学试卷内容(附答案解析)天津高考录取流程一般高考录取流程都会分为8个步骤。

1.模拟投档,每批次正式投档之前，省级招办按照高校确定的投档比例进行模拟投档。

2.确定投档比例,模拟投档后省级招办及时向高校报送生源分数段分布情况，高校根据模拟结果决定是否追加计划，是否调整投档比例。

3.正式投档,省级招办按照高校调档的要求和考生填报的志愿，将符合高校调档条件的考生的电子档案在网上投递给高校。

平行志愿按考生成绩从高到低只进行一次投档。

4.阅档,招生高校在规定时间内从网上下载考生的电子档案数据进行审阅，审阅内容包阅括考生的成绩、专业志愿、是否服从调剂选项、体检表以及诚信记录等。

5.预录取,招生高校按照相关规定和招生章程等，将符合录取条件的考生进行预录取，并将预录取和退档的结果上传至省级招办。

6.录取检查,省级招办对高校欲退档考生的情况进行审核，如无异议，则录取结束。

7.打印录取名单,省级招办根据招生高校的录取结果打印录取新生名册，加盖省级招办录取专用章后寄送招生高校。

8.填发录取通知书,招生院校根据录取考生名册填写录取通知书，加盖该校公章后连同入学报到须知、资助政策办法等相关材料一并寄送被录取考生。

填报志愿之前想说的话填报志愿没有“标准答案”志愿是考生的志向、爱好、个性、能力及家庭综合情况等因素的综合反映，不仅关系到考生能否被理想的院校或专业录取，也关系到院校对国家所需人才的选拔与培养。

填报志愿因人而异，没有“标准答案”，是考生与院校之间的一种“双向选择”：考生通过志愿表达自己的愿望，即向往何种院校、喜欢什么专业等;院校以考生的志愿为其录取的重要依据，在众多的报考者中择优选拔合格的新生。

考生的志愿也是招生部门在录取中进行网上投档的基本依据。

因此，填报志愿十分重要，考生要在充分考虑国家需要及个人兴趣、特长的基础上，结合本人的综合情况和高考分数，填报适切的院校。

绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={1,2,3,4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3，b =4.20.3，c =log 4.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α，n ⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2，△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ，且两两之间距离为1.并已知AD =1，BE =2，CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。

﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 【答案】C（2） 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223z x y -=，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223zx y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B. 【答案】B（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环2,2330==-=n S ，第二次循环3,83322==-+=n S ，第三次循环4,2633823==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C. 【答案】C（4） 已知a=21.2，b=()12-0.2，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）c<b<a （B ）c<a<b C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为122.02.022)21(<==-b ，所以ab <<1，14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A.【答案】A（5） 设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-<x ，所以“21>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.【答案】A（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） y=cos2x ，x ∈R（B ） y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0（C ） y=2xxe e --，x ∈R（D ） y=x3+1，x ∈R【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 【答案】B（7） 将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点（34π，0），则ω的最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）2【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.【答案】D（8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ∈R 。

2023年天津市七所重点学校高考数学联考试卷（文科）1. 已知全集，集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 实数x，y满足不等式组则目标函数的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 53. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 74. 若，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.5. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象( )A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则抛物线的焦点为( )A. B. C. D.8. 已知函数，若存在使得关于x的函数有三个不同的零点，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知i是虚数单位，则______ .10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ .11.等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则______.12. 设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则______.13. 已知正实数a，b满足，且，则的最小值为______.14. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E、F分别在边BC，CD上，，，若，则的最小值______.15. 从高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛，成绩单位：分的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间且成绩在区间的学生人数是27人．求x，n的值；若从数学成绩单位：分在的学生中随机选取2人进行成绩分析①列出所有可能的抽取结果；②设选取的2人中，成绩都在内为事件A，求事件A发生的概率．16. 锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，求的面积；求的值．17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD的边长是2的正方形，，，F为PB上的点，且平面求证：；求证：平面平面ABCD；求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．18. 已知，椭圆E：的离心率，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．求椭圆的方程；设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程．19. 已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；若，求数列的前n项和；若，数列的前n项和为，对任意的，都有，求实数a的取值范围．20. 已知函数其中，当时，求函数在点处的切线方程；若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围；求证：对于任意大于1的正整数n，都有答案和解析1.【答案】C【解析】解：全集，集合，集合，，故选：根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了补集与交集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.【答案】C【解析】解：当时，；当时，；当时，；当时，退出循环，输出；故选由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为，即，2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．4.【答案】D【解析】解：，，，，，，，故选：可得出，，，并且得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的值域，对数的换底公式，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了含绝对值不等式的解法、充分、必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．，对x分类讨论，解出不等式的解集，即可判断出．【解答】解：，当时，化为，恒成立；当时，化为，解得，综上可得：的解集为：“”是“”的充分不必要条件．故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数解析式的求法，正弦型函数图象的性质的应用，属于中档题.直接利用已知条件求出函数的解析式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】解：函数的最小正周期是，则：，若其图象向左平移个单位后得到：为奇函数，即：，解得：，且知，当时，故令，解得：当时，函数的图象关于对称．故选7.【答案】D【解析】解：双曲线双曲线，双曲线的渐近线方程是又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，x轴是角AOB的角平分线，，得抛物线的焦点坐标为：故选：求出双曲线双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．8.【答案】B【解析】解：由题意，，时，，对称轴为，在为增函数，此时的值域为时，，对称轴为，在为增函数，此时的值域为在为减函数，此时的值域为；由存在有三个不相等的零点，则，即存在使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，，故实数t的取值范围为故选：根据的解析式，讨论时的表达式，利用函数的单调性求得实数t的取值范围．本题考查了函数恒成立问题和分类讨论以及转化推理能力的应用问题，是难题．9.【答案】【解析】解：故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱，半圆柱的半径为2，高为3，体积为，直三棱柱的底面为直角三角形，面积为4，高为3，体积为12，故几何体的体积为故答案为：由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱，半圆柱的半径为2，高为3，体积为，直三棱柱的底面为直角三角形，面积为4，高为3，体积为12，可得几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．11.【答案】【解析】解：等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，故公比q不等于，即，即为，解得，，故答案为：由条件可得，即，解得，再由，运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为，直线与圆C：相交于A，B两点，且，圆心到直线的距离，即，解得：，解得，故答案为：圆C：的圆心坐标为，半径为，利用圆的弦长公式，求出a 值．本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．13.【答案】【解析】【分析】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查化简和变形能力，以及运算能力，属于中档题．由条件可得，则，由，展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：正实数a，b满足，且，可得，解得，则，由，当且仅当时，取得等号，则的最小值为，故答案为14.【答案】3【解析】解：，，，，，，，，，，，当取的最小值，最小值为3，的最小值3，故答案为：由题意画出图形，转化为含有，的代数式，再结合及二次函数的性质求得的最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，训练了二次函数求最值，是中档题．15.【答案】解：由频率分布直方图可得样本容量；①成绩在之间的共有2人，分别记为x，y，成绩在之间的共有3人，分别记为a，b，c，则从中随机选取2人所有可能的抽取结果为：，，，，，，，，，；②从上述5人中，选取的2人，成绩都在内为事件A，事件A包含的基本事件有：，，共3种，事件A发生的概率【解析】由频率分布直方图可得，再由频率相等列式求得样本容量n；①分别求出成绩在之间与成绩在之间的人数，利用枚举法列出从中随机选取2人的所有可能的抽取结果；②直接利用随机事件的概率公式求解．本题考查频率分布直方图，考查学生读取图表的能力，是基础题．16.【答案】本题满分为13分解：，…1分，…2分，…3分是锐角，…4分，…5分由余弦定理，可得：，解得，…7分，…9分，…11分…13分【解析】由已知及正弦定理可得，进而可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据余弦定理可求bc的值，利用三角形面积公式即可计算得解．利用二倍角公式可求，的值，进而根据两角和的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：平面PBD，平面PBD，，，，平面PAB，平面PAB，是正方形，，，，平面PAD，平面ABCD，平面平面解：取AD的中点H，连结PH，BH，，，平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，平面ABCD，是PB在平面ABCD内的射影，是PB与平面ABCD所成角，在等腰中，，H是AD中点，，在中，，，，，故直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为【解析】推导出，，从而平面PAB，由此能证明推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面取AD的中点H，连结PH，BH，推导出是PB与平面ABCD所成角，由此能求出直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：设，由条件知，得，又，所以，，故E的方程；依题意当轴不合题意，故设直线l：，设，，将代入，得，当，可得，即或，，，从而，又点O到直线PQ的距离，所以的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，l的方程为：或【解析】通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；设直线l：，设，将代入，利用，求出k的范围，利用弦长公式求出，然后求出的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】证明：，时，，化为：时，，解得数列是等比数列，公比为数列满足，化为：，且数列为等差数列，公差为1，首项为，解：，数列的前n项和……解：，数列的前n项和为……，……，……，解得对任意的，都有，令则数列单调递增．实数a的取值范围是【解析】，时，，化为：利用等比数列的通项公式可得数列满足，化为：，且即可证明数列为等差数列，利用通项公式可得，利用裂项求和方法即可得出．，利用错位相减法可得数列的前n项和为，又代入对任意的，都有，即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：，，，，在处的切线方程是：；，，函数在区间上为增函数，当时，恒成立，即在恒成立，解得即为所求的取值范围；证明：由得：时，，，故时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，故，故，令，则，……，即…【解析】求导函数，计算和的值，求出切线方程即可；先求出函数的导数，由题意可知：当时，恒成立，解出a的取值范围即可．利用的结论，只要令，即可证明．本题考查了利用导数求函数的单调区间、最值及证明不等式，充分理解导数的意义及掌握恰当分类讨论思想和转化思想是解题的关键．。