数学归纳法第九讲

第九讲 极限与探索性问题【考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注意：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;例1.数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=( )A.12B.23C.32D.2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程]由113a =和m n m n a a a +=⋅得23111,,.9273n na a a ==∴=1211(1)133lim()lim .1213n n x x a a a →∞→∞-∴++⋅⋅⋅+==-故选A.例2．设常数0a >，421ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.[解答过程] 1482214r r rrr T C axx---+=，由18232,2,r r xxx r --==得4431=22r r C a -由知a=，所以212l i m ()1112n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，所以为1. 例3.把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim 1n n n a a ∞-+→等于( ) （ ）A ．14B ．12C ．1D ．2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程] 22121,1(1)(1)(1)122221,12nn nn n x a x x x -==+++++++=++++==--当时1212211211limlim lim lim 2 2.121122n n n n n n n n n n na a +∞∞∞∞----===-=+-+→→→→()∴()() 故选D例4.设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．思路启迪：由等差数列{}n a 的公差d 是2，先求出前n 项的和为n S 和通项n a ． [解答过程] 221222,,2n n n n a a n a S na n a n -=+-=-+=+=+-()(n 1)(1)222222222122lim lim lim 3.1nn n n n aa n n a n n n a S n a n n→∞→∞→∞-+---+-===-+-+()()∴1(1) 故填3 小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C =C （C 为常数）;（2） ∞→n lim （n1）p =0（p ＞0）;（3） ∞→n lim d cn b an k k++=ca （k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4） ∞→n lim q n =0（|q |＜1）.例5.设正数a , b 满足4)(22lim =-+→b ax x x 则=++--+∞→nn n n n b a ab a2111lim（ ）（A ）0（B ）41（C ）21（D ）1解:221lim()4,24,.2x a x ax b a b b →+-=+-==∵∴4∴111111111112limlim lim .1224222n n n n n nx x x n n a a a a aba b a a b b b bb --+--→∞→∞→∞--+++====+++[()][()]则()() 故选B小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0＝无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0lim x x →)()(x g x f =ba （b ≠0）. 例6． 1lim 231--→x x x x =( )A ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.[解答过程] 32221111lim lim lim 1.11x x x x x x x x x x →→→--===--()故选B例7． =---→121lim 221x x x n ( )（A ）0 （B ）1（C ）21（D ）32[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 2211111112lim lim lim .211113n n n x x x x x x x x x →→→--++===--+-+()()(2)()2故选D例8.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.思路启迪：利用逆向思维球解.解答过程：∵f （x ）在点x =0处连续，∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x =lim→x 1111)1(332++++++x x x =23.答案: 23例9.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求这一函数最大值..思路启迪：由函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,利用f （－x ）=f （x ）构造方程,求出b 的值.解答过程：∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）,即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1.例10.设f （x ）是x 的三次多项式，已知ax 2lim →=ax x f 2)(-=ax 4lim→ax x f 4)(-=1.求ax 3lim→ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解答过程：由于ax 2lim→ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ① 同理f （4a ）=0. ②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）. 这里A 、C 均为待定的常数. 由ax 2lim→ax x f 2)(-=1,即ax 2lim →ax C x a x a x A 2))(4)(2(----=ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1,即4a 2A －2aCA =－1. ③ 同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1,得A （4a －2a ）（4a －C ）=1,即8a 2A －2aCA =1. ④ 由③④得C =3a ,A =221a ,因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）.∴ax 3lim→a x x f 3)(-=a x 3lim →221a（x －2a ）（x －4a ）=221a ·a ·（－a ）=－21.例11 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,则a 的值是____________..思路启迪：先对括号内的的式子变形.解答过程：∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x lim axx x a x +---112222=+∞→x lim axx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.考点3.函数的连续性及极限的应用 1.函数的连续性.一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续.2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,)()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续.例12.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 思路启迪：说明问题即可.解答过程：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A 例13.f （x ）=xxπcosπcos的不连续点为( )A.x =0B.x =122+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）思路启迪：由条件出发列方程解之.解答过程：由cos xπ=0,得xπ=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k .又x =0也不是连续点,故选D 答案：D例14. 设f （x ）=⎩⎨⎧≥+<),0(),0(e x xa x x当a 为________时,函数f （x ）是连续的. 解答过程：+→0lim x f （x ）= +→0lim x （a +x ）=a , -→0lim x f （x ）=-→0lim x e x =1,而f （0）=a ,故当a =1时,lim →x f （x ）=f （0）,即说明函数f （x ）在x =0处连续,而在x ≠0时,f （x ）显然连续,于是我们可判断当a =1时, f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例15.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧-,1,为无理数为有理数x xx x 函数f （x ）在哪点连续( )A.处处连续B.x =1C.x =0D.x =21思路启迪：考虑结果的启发性.解答过程：+→21lim x f （x ）= -→21lim x f （x ）=f （21）.答案：D例16.抛物线y =b （ax ）2、x 轴及直线AB :x =a 围成了如图（1）的阴影部分,AB 与x 轴交于点A ,把线段OA 分成n 等份,作以na 为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S 等于这些内接矩形面积之和当n →∞时的极限值,求S 的值.x xyyO O A A B(1)(2)思路启迪：先列出式子.解答过程：S =∞→n lim ［b ·（n 1）2+b ·（n 2）2+b ·（n 3）2+…+b ·（n n 1-）2］2·na=∞→n lim3222)1(21n n -+++ ·ab=∞→n lim 36)12()1(n n n n -⋅⋅-·ab =31ab .例17.如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n （n ∈N *）. （1）证明{a n }是等比数列； （2）求∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）的值.解答过程：（1）证明:记r n 为圆O n 的半径， 则r 1=2l tan30°=63l .nn n n r r r r +---11=sin30°=21,∴r n =31r n －1（n ≥2）.于是a 1=πr 12=1212π-⋅n n a a l ,1-n n a a =（1-n n r r ）2=91,∴{a n }成等比数列.（2）解：因为a n =（91）n －1·a 1（n ∈N *）,所以∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=9111-a =32π32l .例18. 一弹性小球自h 0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的97,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少?解答过程：设小球第一次落地时速度为v 0,则有v 0=02gh =10（m/s ）,那么第二,第三,…,第n +1次落地速度分别为v 1=97v 0,v 2=（97）2v 0,…,v n =（97）n v 0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h 0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L 1=2×gv 221=10×（2)97.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L 2, 则L 2=2×gv 222=10×（97）4.由数学归纳法可知,小球第n 次到第n +1次与地面碰撞经过路程为 L n =10×（97）2n .故从第一次到第n +1次所经过的路程为 S n +1=h 0+L 1+L 2+…+L n ,则整个过程总路程为S =∞→n lim S n +1=5+∞→n lim 10×222)97(1])97(1[)97(--n =5+1022)97(1)97(-=20.3（m ）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t 0=002g h =1（s ）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t 1=2×gv 1=2×97,同理可得t n =2×（97）n ,t n +1=t 0+t 1+t 2+…+t n ,则t =∞→n lim t n +1=1+∞→n lim 2×)97(1])97(1)[97(--n =8（s ）. 考点4.新考题例19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 与函数)(x f 、)(x g ，R ∈x 满足条件：))(()(,*11N ∈===+n b g b f a b b n n n ．（I ）若)()(,2)(),2,0(1)(b g b f x x g t t tx x f ≠=≠≠+=，且n n a +∞→lim 存在，求t 的取值范围，并求n n a +∞→lim （用t 表示）．（II ）若函数)(x f y =在R 上是增函数，1)1(,1),()(1<==-f b x f x g ，证明对任意的*N ∈n ，n n a a <+1．[考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知2.1212,11,111≠+=⎩⎨⎧=+=++++t a ab a tb a n n n n n n 又已知得，可得 ).22(21221-+=-++t a t a n n由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t ttb t a t t b g b f n 所以可知是等比数列，其首项为2,2t t t tb 公比为-+，于是.22)2)(2(,)2)(2(2211---+=-+=-+--t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<t t t a n 且所以可得存在.22lim ta n n -=∞→解法二：由题设知2,211≠=++t b tb n n 且，可得 ).21(21211-+=-++t b t b n n由2121,02,021,0,2),()(-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+≠≠≠t b t b t t b t t b g b f n 是首项为所以可知，公比为2t 的等比数列..21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即由,1|2|0,lim ,lim ,21<<=∞→∞→+t b a b a n n n n n n 于是可得存在则存在若可知所以.022≠<<-t t 且 .22lim 2lim tb a n n n n -==∞→∞→解法三：由题设知121+=+n n b tb ，即 2121+=+n n b t b ，①于是有,21212+=++n n b t b②②－①得n n n n n n n b b c b b t b b -=-=-++++1112),(2令，得.21n n c t c =+由,02,021)2(0,2),()(121≠≠+-=-=≠≠≠t b t b b c t t b g b f 可知 所以2,}{2t b b c n 公比为是首项为-的等比数列，于是.2)(2])2(1[42,)(21)2(1)(121121211b b b tt b a b b b t t b c c c b n n n nn n +---==+---=++++=++ 又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<∞→t t t a n n 且所以可得存在.222)(24lim 12tb b b t a n n -=+--=∞→说明：数列{a n }通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准.（Ⅱ）证明：因为).(),()(),()(1111n n n n n a f b b f b g a x f x g ==='=++-+即所以 下面用数学归纳法证明).(*1N ∈<+n a a n n （1）当1)1(,)(,1<=f x f n 且为增函数由时，得 ,)1()(,1)1()(,1)1()(1221211a f b f a f a f b f b f a =<=<<=<==即12a a <，结论成立.（2）假设n = k 时结论成立，即)(.1x f a a k k 由<+为增函数，得 121),()(+++<<k k k k b b a f a f 即， 进而得.),()(1212++++<<k k k k a a b f b f 即 这就是说当n = k +1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的.,1*n n a a n <∈+N例20已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581.(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得mS nn ∞→lim 存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)[考查目的]本题考查运用等比数列的前n 项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,1121293,12.81315a a q q a q⎧==⎧⎪-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()14518272.32n m m m n n n n n n ⎛⎫-+⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当m=2时，m n n n S ∞→lim =－21，当m>2时，mn n n S ∞→lim =0，所以m=2.【专题训练】 一.选择题1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0）;②∞→n lim q n =0;③∞→n lim nn nn 3232+-=－1 ; ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3会C.4D.都不正确2.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2 D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n3.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是( ) A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ） B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）5.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是( )xyOx 0xyOx 0x yO x 0xyOx 0①②③④A.①B.②③C.①④D.③④ 6.若f （x ）在定义域［a ,b ］上有定义,则在该区间上( )A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确 7.已知31a cn c bn Lim ,5cbn cnanLim n 22n =++=++∞→∞→，如果bc ≠0，那么ban cn c bn anLim 22n ++++∞→=( )A 、 15B 、151 C 、53D 、358.若r 为实常数，则集合}R r ,|r |1|r |Limx |x {nn n ∈+=∞→A 、恰有一个元素B 、恰有两个元素C 、恰有三个元素D 、无数多个元素 9. 11(1)1lim 1,lim 1(22)x x f x x x f x →→--==--若则（C ）A ．－1B ．1C ．－21 D ．2110. 已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ） A.()f x 在1x =处连续 B.()5f x = C.()1lim 2x f x -→= D.()1lim 5x f x +→=二.填空题11.四个函数:①f （x ）=x1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:①f （x ）=x1在［0,1］上连续;②若f （x ）是（a ,b ）内的连续函数,则f （x ）在（a ,b ）内有最大值和最小值; ③2πlim →x xx cos 2sin 2=4;④若f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥).0(1),0(x x x x 则0lim →x f （x ）=0.其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上） 13.则a=______，b=______.14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f ’(x)>0，f(0)>0，则nnnn n )](f [5)]3(f [4)](f [3)]3(f [2Lim π-+π--∞→=_________.15. ∞→n limnn ++++ 212=__________.16. ∞→n lim 32222-+n n n =____________.三.解答题17.求下列函数极限:错误！未找到引用源。