人教A版高中数学必修四《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》学案

数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案新人教A版必修4一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。

3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和 补充.推导过程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j ) =x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•讨论结果:略.（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△A BC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△A BC 是直角三角形.下面给出证明.∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3),∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴AB ⊥AC . ∴△A BC 是直角三角形. 点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明. 变式训练在△A BC 中,AB =(2,3),AC =(1,k),且△A BC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则AB ⊥AC ,所以AB ·AC =0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠B AC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +•++=•.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6),∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos∠B AC=.74745372315||||=•=•AC AB AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则cosθ=.2225315||||-=⨯-=•b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到1°)解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2. |a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆, 应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21 x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),CD =(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB ·CD =1×(-2)+1×2=0,∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.（四）课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.（五）作业。

课堂导学三点剖析1.两个向量数量积的坐标表示【例1】 已知向量a =(4,3),b =(-1,2).(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；（2）若向量a -λb 与2a +b 垂直，求λ的值.解：(1)a ·b =4×(-1)+3×2=2,又∵|a |=2243+=5,|b |=52122=+,∴cosθ=2552552||||==•b a b a . (2)a -λb =(4+λ,3-2λ),2a +b =(7,8).∵(a -λb )⊥(2a +b ),∴(a -λb )·(2a +b )=0.∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0.∴λ=952. 温馨提示运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式.2.数量积坐标表示的应用【例2】已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角.思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=||||||||||)(2b a a b a a b a a b a a +•+=++•,须根据已知条件找到a ·b 与a 的关系.|a +b |与|a |的关系即可解决.解法1：根据|a |=|b |,有|a |2=|b |2.又由|b |=|a -b |,得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则 cosθ=23||3||||21||||||)(22=•+=++a a a a b a a b a a . ∴θ=30°解法2：设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).∵|a |=|b |,∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12). 即a ·b =21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2×21(x 12+y 12)=3(x 12+y 12),得|a +b |=21213y x +.设a 与a +b 的夹角为θ,则cosθ=233)(21)(||||)(2121212121212121=+••++++=++•y x y x y x y x b a a b a a . ∴θ=30°.解法3：根据向量加法的几何意义，作图如右图在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以、为邻边作平行四边形OACB. ∵|a |=|b |,即||=||，∴平行四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB.这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |,即|OA |=|OB |=|BA |.∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°.于是∠AOC=30°,即a 与a +b 的夹角为30°.温馨提示基于平面向量的表示上的差异,也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同解法.对于本题的三种解法都要认真理解.3.平面向量数量积坐标表示的综合应用【例3】已知A （2，1），B （3，2），D （-1，4）.（1）求证：⊥；（2）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值.思路分析：本题主要考查向量垂直的等价条件及夹角公式.要证明⊥，只需证AB ·AD =0.在AB ⊥AD 的前提下，只要找点C 使AB =DC .(1)证明：∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),又AB ·AD =1×(-3)+1×3=0,∴⊥.(2)解：∵四边形ABCD 为矩形且AB ⊥AD ， ∴AD =BC .设点C 的坐标为（x,y ）,则（-3，3）=（x-3,y-2）,∴⎩⎨⎧-=-=-,23,33y x ∴⎩⎨⎧==.5,0y x ∴点C 坐标为（0,5）. 又∵AC =（-2，4），=（-4，2）， ∴AC ·BD =（-2）×(-4)+4×2=16, 而||=524)2(22=+-， ||=522)4(22=+-. 设与的夹角为θ，则 54525216||||=⨯=BD AC . ∴该矩形两对角线所成锐角的余弦值为54. 温馨提示(1)注意区分两向量平行与垂直的条件.(2)向量的运算可以用坐标表示，向量中的位置关系（平行和垂直）也可用坐标表示，向量中的度量（模长和夹角）也可用坐标表示，而且使用起来非常方便，所以同学们要熟练掌握利用坐标法解决有关问题.各个击破类题演练1已知a =(k,-2),b =(2k,k+1),求实数k 的值,使a ⊥b .解：(1)∵a ⊥b ,∴a ·b =0.∴k·2k+(-2)(k+1)=0,k 2-k-1=0.∴k=251±. 变式提升1（2005重庆文，4）设向量a =(-1,2),b =(2,-1),则（a ·b )(a +b ）等于（ ）A.（1，1）B.（-4，-4）C.-4D.（-2，-2） 解析：（a ·b )(a +b ）=［-1×2+2×（-1）］（-1+2，2-1）=-4（1，1）=（-4，-4）.答案：B类题演练2已知：a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π),求证：a +b 与a -b 互相垂直.证法1：∵a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴(a +b )=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),(a -b )=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).又（a +b )·(a -b ）=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos 2α-cos 2β+sin 2α-sin 2β=0,∴(a +b )⊥(a -b ).证法2：∵a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ),∴|a |2=cos 2α+sin 2α=1,|b |2=cos 2β+sin 2β=1.∴|a |2=|b |2.∴(a +b )(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0,∴(a +b )⊥(a -b ).变式提升2（1）已知向量a =(4,-3),b =(2,1)，若a +t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值.解：a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a +t b )·b =(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5.|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=-++t t t 由（a +t b ）·b =|a +t b ||b |cos45°,得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去,∴t=1.（2）如右图所示以原点和A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠OBA=90°,求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标为(x,y),则=（x,y ）,=(x-5,y-2).∵OB ⊥,∴x(x-5)+y(y-2)=0.x 2+y 2-5x-2y=0① 又∵|OB |=|AB |,∴x 2+y 2=(x-5)2+(y-2)2,②即10x+4y=29.由①②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.23,2711y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.27,2322y x ∴B 点坐标为（27，23-）或（23，27）. ∴AB =(23-,-27)或AB =（-27，23）. 类题演练3已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.解：建立如右图所示的坐标系，则A （4，0），B （0，6），E （2，0），F （0，3）. AF =(-4,3),BE =(2,-6),|AF |=5,| BE |=102,cos ∠.501013101026-=-= ∴两中线所成钝角的余弦值为501013. 变式提升3 （1）直角坐标平面xOy 中,若定点A （1，2）与动点P （x,y ）满足·=4，则P 点的轨迹方程是______________________.解析：·=（x,y ）·(1,2)=x+2y=4.答案：x+2y=4(2)已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A （1，2），B （4，1），C （0，-1），则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.A、B、C均不正确解析：=（3，-1），AC=（-1，-3）,∵AB·AC=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴AB⊥AC,又∵|AB|=|AC|=10,∴△ABC为等腰直角三角形.答案：C。

高一数学《必修 4》导教案平面向量的数目积的坐标表示、模、夹角【课前导学】（一）复习引入：1．平面向量数目积（内积）的定义：a b __________ ，此中|a | cos 叫做 _________________. 2．两个向量的数目积的重要性质：（1）a b ________ ；（2）a a _____ 或|a| _____ ；（3）cos __________3．研究：已知两个非零向量 a (x ,y )，1 1 b (x ,y ) ，试用a 和b 的坐标表示a b .2 2提示：若直角坐标系中，x 轴方向的单位向量为i ，y 轴方向上的单位向量为j ，则向量a,b 用i, j 可以表示为a ，b ；此中i i ，j j ，i j故：a b =（二）新课学习（阅读课本 P106～107 后，达成以下内容）1、平面两向量数目积的坐标表示：若两个非零向量a (x1 ,y1) 、b (x2 ,y2 ) ，则a b _________即，两个向量的数目积等于它们对应坐标的________________.2. 平面内两点间的距离公式：（1）设a ( x, y) ，则2a ____ _________，故 | a| _________.（2）假如A(x ,y ) 、B(x2 ,y2) ，那么AB _____________,1 1A、B 间的距离| AB | ___________________ （平面内两点间的距离公式）3、向量垂直的判断：设a (x1,y1) 、b (x2 ,y2 ) ，则a ⊥b a b ____ _____________ .4、两向量夹角的余弦：已知两个非零向量a (x1,y1 ) ，b (x2 ,y2 ) ，a 与b 之间的夹角为，则cos _____________________.【预习自测】1、已知a ( 3, 4) ，b (5, 2) ，则a b _________ ，| a | _______ ，|b | _______ .2、已知a (3 ,2) ，b (2,3) ，a 与b 之间的夹角为，则cos ______.3、若BA ( 2, 2) ，BC (1,1) ，则ABC _________.【典例剖析】例1、已知a ( 3, 4), b (6, 8), 求 a b a b 及｜a b｜的值.例 2、已知A( 1, 4), B (5,2), C (3,4) ，先作图察看△ABC 的形状，而后给出证明.第 3 页变式：若a (3 ,4)，b a,且 b的起点坐标为 (1，2)，终点坐标为 ( x,3x ), 则b _______.例3、（1）已知a (1, 3)，b ( 2,2 3)，求a 与b的夹角 .（2）设a (1, 2)，b ( 2, 3 )，又c 2a b ，d a mb ，且c与d 的夹角为 45 ，务实数m 的值.【总结提高】1、掌握平面向量数目积的坐标表示，即两个向量的数目积等于它们对应坐标的乘积之和；2、要学会运用平面向量数目积的坐标表示解决相关长度、角度及垂直问题 .【课后作业】1、已知a (2,3), b ( 2, 4), c ( 1, 2) ，则（1）b ______, a b ______ ；（2）求a b a b ，a (b c).2、求证：A(1,0), B (5, 2), C (8,4), D (4,6) 为极点的四边形是一个矩形 .3、（1）已知｜｜a 3, b=(1,2), 且a //b, 求a的坐标..（提示：设a的坐标为 ( x, y) ）（2）已知a (4, 2), 求与 a垂直的单位向量 e的坐标 .4、（选做）课本 P108 B组第 2 题第 4 页。

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.一、课前准备（预习教材P106—P107）复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅= ；②a = ；③cos θ= .二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅（坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

问题2：如何求向量(),a x y =()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（1）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。

（2）若()11,A x y ，()22,B x y （平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________ 向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________※典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。

例2、已知()()1,3,3,1==b a ，求a 与b 的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、小结反思1、平面向量数量积的坐标表示.2、向量数量积的坐标表示的应用.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、若()4,3a =-，()5,6b =，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a=--，()4,b k =-，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？它们是同向还是反向？4、 已知()3,4a =-，()2,b x =，()2,c y =，且//a b ，a c ⊥，求：（1）b c ⋅； （2）b 、c 的夹角.1. 已知点()1,2A 和()4,1B -，问能否在y 轴上找到一点C ，使90ACB ∠=，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.2. 已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a⊥b；(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t－3) b，y＝－k a＋t b，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；(3)求函数k＝f(t)的最小值．。

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系．平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示数量积 a ·b ＝__________模 |a |＝__________或|a |2＝__________设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2→|＝______________ 垂直 a ⊥b a ·b ＝0______________＝0夹角cos θ＝a ·b|a ||b |＝__________________已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 若a ∥b x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. 若a ⊥b x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反．【做一做1－1】 向量m ＝(1,0)，n ＝(2，－5)，则m ·n 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．7【做一做1－2】 已知MN →＝(3，－4)，则|MN →|等于( ) A ．3 B ．4 C. 5 D ．5 【做一做1－3】 若向量a ＝(4,2)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m 的值是( ) A ．12 B ．3 C ．－3 D ．－12 【做一做1－4】 已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 21＋y 21(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 x 1x 2＋y 1y 2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22【做一做1－1】 C m ·n ＝1×2＋0×(－5)＝2. 【做一做1－2】 D |MN →|＝32＋(－4)2＝5.【做一做1－3】 D ∵a ⊥b ，∴4×6＋2m ＝0，解得m ＝－12. 【做一做1－4】3π4|a |＝9＋0＝3，|b |＝25＋25＝52，a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15， 则cos θ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22.又0≤θ≤π，∴θ＝3π4，即a 与b 的夹角为3π4.1．投影的坐标表示剖析：由于向量b ＝(x 2，y 2)在向量a ＝(x 1，y 1)方向上的投影为|b |·cos θ＝|a ||b |cos θ|a |＝b ·a|a |(θ为a 与b 的夹角)，从而向量b 在向量a 方向上的投影的坐标表示为x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12.同理可得，向量a 在向量b 方向上的投影的坐标表示为|a |cos θ＝|a ||b |cos θ|b |＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22.2．向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，a 与b 的夹角为θ. (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； (2)a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0； (3)a ·a ＝|a |2|a |＝a 12＋a 22；(4)cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 12＋a 22·b 12＋b 22；(5)|a ·b |≤|a ||b ||a 1b 1＋a 2b 2|≤a 12＋a 22·b 12＋b 22.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2以及相关的向量的长度公式和夹角公式．在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解．题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )． 分析：先求出a ·b ，a 2，b 2，再对(3a －b )·(a －2b )展开求解．反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积．题型二 垂直问题【例2】 已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( ) A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为0来解决．本题也可先求出a －b 的坐标，再代入a ·(a －b )＝0解得x .题型三 夹角问题【例3】 已知a ＝(3，1)，b ＝(2,23)． (1)求a ·b ；(2)求a 与b 的夹角θ.分析：(1)直接用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2即可； (2)直接用cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22求解．反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； (2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模；(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22直接求出cos θ的值；(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.【例4】 已知△ABC 中，A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值．分析：∠BAC 是AB →和AC →的夹角，转化为求向量的夹角问题．反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题．题型四 易错辨析【例5】 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 错解：∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0，即a ·b ＝1－2λ＞0，得λ＜12，故选D.错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a 与b 同向时，即a 与b 的夹角θ＝0°时cos θ＝1＞0，此时λ＝－2，显然是不合理的．反思：对非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角cos θ＞0且cos θ≠1a ·b ＞0且a ≠m b (m ＞0)；θ为钝角cos θ＜0且cos θ≠－1a ·b ＜0且a ≠m b (m ＜0)；θ为直角cos θ＝0a ·b ＝0.答案：【例1】 解法一：因为a ·b ＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a 2＝22＋(－1)2＝5，b 2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a －b )·(a －2b )＝3a 2－7a ·b ＋2b 2＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，∴3a －b ＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a －2b ＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a －b )·(a －2b )＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. 【例2】 A ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0， ∴a 2－a ·b ＝5－(x －4)＝0，解得x ＝9. 【例3】 解：(1)a ·b ＝23＋23＝4 3.(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22＝433＋1×4＋12＝32. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.【例4】 解：AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)， AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15. 又|AB →|＝32＋32＝32， |AC →|＝(－1)2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474.【例5】 A ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0且cos θ≠1，即a ·b ＞0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ＞0，且a ≠m b (m ＞0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12，故选A.1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－11 2．△ABC 中，A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形3．(2011·广东佛山高三质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.π24．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为__________．5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与a －3b 垂直，求实数k 的值．答案：1．C a ＋2b ＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.2．B BA ＝(4，－2)，BC ＝(1,2)，则BA ·BC ＝4＋(－2)×2＝0. ∴BA ⊥BC .∴∠ABC ＝90°.3．B 由于2a ＋b ＝(4,2)，则b ＝(4,2)－2a ＝(2,0)，则a ·b ＝2，|a ||b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝||||a ba b ＝2.又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 4．3 a －b ＝(x －1,2－x )． 由于(a －b )⊥c ，则(a －b )·c ＝0， 所以(x －1)＋2(2－x )＝0，解得x ＝3.5．分析：由(k a ＋b )⊥(a －3b )，得(k a ＋b )·(a －3b )＝0，列方程解得k 的值． 解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a －3b )＝0，即(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19.。

2019-2020学年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》学案 新人教A 版必修4【学习目标】 1．掌握两个向量数量积的坐标表示方法，通过向量的坐标求出向量的数量积．2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．3．运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．【学习重点】两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．【学习难点】对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．【自主学习】1、 课前回顾① A 点坐标(x 1，y 1)，B 点坐标(x 2，y 2)．＝_________ ＝_________ ② 用平面向量的数量积如何表示向量的模、夹角？两向量平行或垂直时满足什么？2、 思考：前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积？ 设两个非零向量为＝(x 1，y 1)， ＝(x 2，y 2)． 为x 轴上的单位向量，为y 轴上的单位向量，则＝_________， ＝_________则 ·= ___________________________= ___________________________又 ∵ ·＝______ ·＝______·＝·＝______∴ · ＝________ 这就是说：__________________________________________．【合作探究】 1. 向量模的坐标表示若＝(x ，y) ，则a 2 ＝_________ ＝ ___________，即a ＝_________ 2. 平面上两点间的距离公式： 向量的起点和终点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 则 = ___________________________ 3. 两向量垂直的充要条件的坐标表示 若＝(x 1，y 1)， ＝(x 2，y 2) 则 a ⊥b ⇔ _______________________即_______________________________________________________4. 两向量的夹角公式 设＝(x 1，y 1)， ＝(x 2，y 2)， ＝θ．则 cos θ= __________________ = _________________________ 练习：①已知＝(－3，4)，＝(5，2)．求a 、b 、·。

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106～107，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．() 答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是() A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}答案：C4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例](1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[解析](1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a 与b 同向的条件，所以a ＝(2,4)． (2)因为b ·c ＝1×2＋2×(－1)＝0， 所以(b ·c )·a ＝0·a ＝0.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋ 32．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 2向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝22，∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝3 2.[答案](1)－15(2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝a·b |a||b|求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cos θ＝m·n|m||n|＝－3×7＋(－4)×1 (－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)．∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0， BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5，∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC )＝CA ·AC＝－|AC |2＝－25.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE ＝⎝⎛⎭⎫12，1. 故cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD |·|OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋12OC ，OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋12OA ，∴|OD |＝52，|OE |＝52， OD ·OE ＝12OA 2＋12OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD ||OE |＝45.答案：45层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( )A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D.2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．－865 C ．1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)，AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .∴∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝⎛⎭⎫12，32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值． 解：(1)∵AB ＝(－3，－1)，AC ＝(1，－5)， ∴AB ·AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB ＋AC ＝(－2，－6)， ∴|AB ＋AC |＝4＋36＝210.(2)∵AB －t OC ＝(－3－2t ，－1＋t )，OC ＝(2，－1)，且(AB －t OC )⊥OC ，∴(AB －t OC )·OC ＝0， ∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)，∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103. 4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)， ∴AC ＝OC －OA ＝(x ＋3，y －1)． ∵AC ∥OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)， ∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)． ∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294， ∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2.答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1， 故DE ·DC 的最大值为1. 答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， ∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知OA ＝(4,0)，OB ＝(2,23)，OC ＝(1－λ)OA ＋λOB (λ2≠λ)．(1)求OA ·OB 及OA 在OB 上的投影； (2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝BC 时，求λ的值；(3)求|OC |的最小值．解：(1)OA ·OB ＝8，设OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝OA ·OB | OA ||OB |＝84×4＝12， ∴OA 在OB 上的投影为|OA |cos θ＝4×12＝2. (2)AB ＝OB －OA ＝(－2,23)，BC ＝OC －OB ＝(1－λ)·OA －(1－λ)OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB ＝BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)|OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ)OA ·OB ＋λ22OB ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC |取到最小值，为2 3.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。

——爱迪生学习目标1．理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算.2．理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题. 学习重点利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习1．平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a•b=______.2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则______. 3．三个重要公式(1)向量模的公式：若a=(x,y)，则=_____________.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则=__________.(3)向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，则c osθ=______________. 预习评价1．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180°，且,则b=A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)2．若a=(3,4),b=(2,-1)则= , = ,a•b= .3．若a=(4,-2),b=(k,-1)且a⊥b则k=____________.4．已知，则向量a，b的夹角θ=___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐标表示公式a•b=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示a•b？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2．如何利用向量的数量积坐标表示公式推导？3．平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与b的夹角为θ，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当θ＝90°即a⊥b时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？教师点拨平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为θ.(1)夹角公式：其作用是求两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式：.(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a≠0且b≠0.(4)因为，所以.交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算1．在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=A.5B.4C.3D.22．已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=.变式训练1．向量，且与方向相同，则的范围是A. B. C. D.2．已知向量a=(2，l)，a·b=10，，则|b|=A. B. C.5 D.25交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题已知向量，.(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)当时，求向量与的夹角的余弦值；(Ⅲ)当时，求.变式训练3．已知中，、、,为边上的高，则点的坐标为_______. 4．已知向量a=(4,2),b=(1,1),则向量a-b与向量a+b的夹角的余弦值是.交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用4．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是线段DC上一点，且满足，若N 为平行四边形ABCD内任意一点(含边界), 则的最大值为A.13B.0C.8D.55．如图,已知二次函数y=a x2+b x+c(a,b,c∈R,a≠0)是偶函数,其图象过点C(t,2)且与x轴交于A,B两点,若AC ⊥BC,则a的值为.变式训练5．已知三个点，，．(1)求证：；(2)要使四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值．6．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)( 0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值为4时,求·.学习小结1．求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别合有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.2．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a= a2=|a|2或此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3) 一些常见的等式应熟记,如等. 3．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)求数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)求模:利用计算出这两个向量的模.(3)求余弦值:由公式直接求出的值.(4)求角:在内,由的值求角.4．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2 =x2+y2,于是有.类型二平面向量的夹角和垂直问题5．数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式并能灵活运用以下几个关系:|a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.当堂检测1．已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2．已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为A. B. C. D.3．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 .4．已知点A(-3，-4)，B(5，-12)，O 为坐标原点.(1)求的坐标及.(2)若，，求及的坐标.(3)求.5．已知向量的夹角为.(1)求；(2)若,求的值.知识拓展已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若b a m +=λ与b a n -=的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．x1x2＋y1y22．x1x2＋y1y2＝03．(1) (2) (3)【预习评价】1．A2．5 23．4．120°♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)设i，j是x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b ＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.(2)引入向量的坐标表示后，实现了向量的数量积的运算与两向量坐标的运算的转化，从而将两者联系起来.同时向量的坐标表示与运算可以简化数量积的运算.2．由向量的数量积公式的坐标表示，得a2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，又向量模的坐标公式｜a｜＝,得｜a｜2＝x2＋y2，所以a2＝｜a｜2.3．(1)提示:由向量的数量积公式a·b＝｜a｜｜b｜c osθ，得，根据向量数量积与向量模的坐标表示，得cosθ＝.(2)根据向量夹角的坐标公式，当θ＝90°时，cos90°＝＝0，x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b x1x2＋y1y2＝0.【交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算】1．A【解析】本题主要考查平面向量的基本运算.由+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·=(2,1)·(3,-1)=5,故选A.【备注】平面向量的基本运算,首先要注意应用向量的加减法产生必要的向量,然后结合向量的乘法及一些其他运算.2．2【解析】本题主要考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力.由a=(2,0),|b|=1,可知|a|=2,a·b=|a||b|cos 60°=1,又|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4+4=12,故|a+2b|=2.【变式训练】1．C【解析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量与方向相同，我们可以判断存在实数使得：，然后根据已知条件，将条件中的等量(不等)关系转化为方程(不等式)，解方程(不等式)即可求得答案．∵与同向，∴可设，则有，又∵，∴，∴的范围是，故应选C.2．C【解析】()222250a b a b a b a b +=∴+=++⋅=，得5b =，故选C.【交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题】(Ⅰ)∵，∴，即.(Ⅱ)∵，，∴，又，.∴向量与向量的夹角的余弦值为.(Ⅲ)依题意 .∵，∴.即，∴.∴.∴.【解析】本题主要考查了平面向量的数量积.如果两个向量垂直，则它们对应坐标乘积的和等于0.如果求两个向量夹角的余弦值则会用两个向量数量积去求解.【变式训练】3．(1，1)【解析】本题主要考查了向量共线和垂直的坐标表示.设D 点坐标为，则向量，因为点D 在BC 上，所以向量和共线，所以有，整理得；又因为为边上的高，所以，所以有，即，整理得，，把①②联立解得：.所以点D 的坐标为(1，1). 4．【解析】因为向量a =(4,2),b =(1,1),所以向量a -b =(3,1),a +b =(5,3),所以|a -b |=,|a +b |=,(a -b )·(a +b )=15+3=18,所以cos<a -b ,a +b >=.【交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用】4．A【解析】本题考查平面向量的数量积. 如图建立平面直角坐标系. 令(,),N x y 则M C .2AM AN x ∴⋅=+，令2Z x =+,当它过点C 时，max Z =2513⨯=.选A5．-【解析】由题意可知b=0,故函数图象与x轴交点的坐标分别为A(-,0),B(,0);点C的坐标为C(-,2),则=(-+,-2),=(+,-2),故·=++4=+4=0,可得a=-.【变式训练】5．(1)证明：由题意，，，∴ .∴，∴.(2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得，设，则(1，1)=(x+1，y-4)，∴，即C(0，5)；∴，得：，，.设与夹角为，则，∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．【解析】本题考查两向量垂直的充要条件并利用向量垂直证明两线垂直；利用向量的数量积求向量的夹角.(1)求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直．(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角．6．(1)=(n-8,t),∵⊥a,∴8-n+2t=0.又||=||,∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.∴=(24,8)或=(-8,-8).(2)=(ksin θ-8,t),∵向量与a共线,∴t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ-)2+,∵k>4,∴1>>0,∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32.【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直、向量的数量积运算和三角函数的最值问题,考查考生的运算求解能力.【当堂检测】1．A【解析】∵ab= (-5,6)·(6,5)=(-5)×6+6×5=0,∴a ⊥b.2．B【解析】因为a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=.【解析】本题考查平面向量的数量积。

2．4。

2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[目标］1。

会用坐标表示平面向量的数量积．2。

能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角． 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系．［重点］用坐标表示平面向量的数量积．[难点］用坐标求向量的模及两向量的夹角．知识点一平面向量数量积的坐标表示［填一填］设向量a＝（x1,y1），b＝（x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．［答一答]1．公式a·b＝｜a｜｜b｜cos a，b与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导;若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝|a｜｜b|·cos a，b求解,若已知两向量的坐标,则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解．知识点二平面向量长度(模)的坐标表示［填一填]1．平面向量长度（模)的坐标公式已知向量a＝(x，y），由于|a|＝错误!，所以｜a|＝错误!。

其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．2．平面内两点间的距离公式已知原点O(0，0）,点A(x1，y1)，B(x2，y2）,则错误!＝错误!－错误!＝（x2，y2)－（x1，y1）＝(x2－x1,y2－y1），于是|错误!｜＝错误!.其含义是：向量错误!的长度(模）等于A，B两点之间的距离．[答一答]2．对于任意的非零向量a＝(x，y），如何用坐标表示与向量a同向的单位向量？提示：记向量a的单位向量为a0,则a0＝错误!，且|a|＝错误!，所以a0＝错误!＝错误!（x，y）＝（错误!，错误!)，此为与向量a＝(x，y)同向的单位向量．知识点三两向量垂直的坐标表示［填一填］设a＝(x1,y1),b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0。

[答一答］3．已知非零向量a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b与a⊥b的坐标表示有何区别？提示：若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0。

高中数学 2.4.2平面向量数量积坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4【学习目标】1、 平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标表示形式求数量积、向量模及两向量夹角．2、 会用两向量的坐标判断它们的垂直关系．【重点难点】1、 平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标表示形式求数量积、向量模及两向量夹角．2、 会用两向量的坐标判断它们的垂直关系．【学习内容】问题情境导学一、向量模的坐标表示【想一想】(1)①已知1(A ，)3，3(B ，)1，你能求出OB OA ⋅吗？②求出的结果与A 、B 坐标有何关系？(2)若x a (=ρ，)y ，你能用数量积的坐标表示表示出a ρ吗？【填一填】(1)若x a (=ρ，)y ，则=a ρ_______________；(2)如果向量a ρ起点与终点坐标分别为1(x ，)1y ，2(x ，)2y ，那么=a ρ_______________．二、向量垂直的坐标表示【想一想】 已知=a ρ1(x ，)1y ，=b ρ2(x ，)2y ，若b a ρρ⊥，你能得出a ρ，b ρ坐标关系吗？【填一填】设=a ρ1(x ，)1y ，=b ρ2(x ，)2y ，则b a ρρ⊥⇔____________．三、向量夹角的坐标表示【想一想】设a ρ、b ρ是非零向量，=a ρ1(x ，)1y ，=b ρ2(x ，)2y ，θ为a ρ与b ρ的夹角，你能利用向量数量积的定义及坐标表示出θcos 吗？【填一填】ba b a ρρρρ⋅=θcos =___________．【思考】a ρ//b ρ与b a ρρ⊥的坐标表示有何区别？课堂互动探究【类型一】平面向量的坐标运算例１、已知向量1(=a ρ，)3，2(=b ρ，)5，2(=c ρ，)1．求：①b a ρρ⋅；②)2()(b a b a ρρρρ-⋅+；③c b a ρρρ⋅⋅)(．变式训练１－１：已知非零向量a ρ与b ρ同向，1(=b ρ，)2，又10=⋅b a ρρ，则a ρ的坐标为___________．【类型二】向量的垂直问题 例2、已知向量3(-=a ρ，)1，1(=b ρ，)2-，若)()2(b a b a ρρρρλ+⊥+-．试求实数λ的值．变式训练2-1： 已知O 是坐标原点，A 、B 是坐标平面上两点，且向量OA =1(-，)2，3(=OB ，)m ．若AOB ∆是直角三角形，则=m ___________．【类型三】两向量的夹角问题例3、已知向量1(=a ρ，)2，1(=b ρ，)λ，分别确定实数λ的取值范围，使得①a ρ与b ρ的夹角为直角；②a ρ与b ρ的夹角为钝角．变式训练3－１：已知向量4(=a ρ，)3-，2(=b ρ，)1，若b t a ρρ+与b ρ的夹角为︒45，求实数t 的值课堂归纳总结【课堂小结与反思】(1)学会了向量数量积的坐标表示；(2)学会了向量的模、夹角及垂直条件的坐标形式；(3)会利用数量积或垂直可求参数的值，体会了利用方程思想和待定系数法解决问题的思想方法．【课后作业与练习】基础达标(1)已知向量0(=a ρ，)1，2(=b ρ，)1-．则b a ρρ⋅等于(A)1 (B)1- (C)2 (D)2-(2)已知向量2(=a ρ，)1，1(-=b ρ，)k ，0)2(=-⋅b a a ρρρ则k 等于(A)12- (B)6- (C)6 (D)12(3)已知)12(，A ，），23(B ，)41(，-C ，则ABC ∆是(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)任意三角形(4)a ρ，b ρ为平面向量，已知）3,4(a ，)18,3(2=+b a ρρ则a ρ与b ρ夹角θ的余弦值等于 (A)658 (B)658- (C)6516 (D)6516- (5)设向量)0,1(=a ρ，)21,21(=b ρ，则下列结论中正确的是 (A)b a ρρ= (B)22=⋅b a ρρ(C)b a ρρ// (D)b a ρρ-与b ρ垂直(6)若)3,4(-=a ρ，1=b ρ，且5=⋅b a ρρ，则b ρ的坐标为______________．(7)已知向量)0,4(=AB ，)2,2(=AC ，则AC 与BC 的夹角的大小为_______．能力提升(8)已知向量1(=a ρ，)2-，2(=b ρ，)λ，且a ρ与b ρ夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______________． (9)已知向量3(-=a ρ，)2，2(=b ρ，)1求b t a ρρ+)(R t ∈的最小值及相应的t 值(10)已知)sin ,(cos αα=a ρ，)sin ,(cos ββ=b ρ，且a ρ与b ρ满足b k a b a k ρρρρ-=+3，其中0>k ．①用k 表示b a ρρ⋅；②求b a ρρ⋅的最小值，并求此时a ρ与b ρ夹角θ的大小．。