“1”在解题中的妙用

基本不等式解题中1的妙用解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍基本不等式解题中数字1的妙用，通过详细讲解基本不等式解题的概念、重要性以及应用，以及以数字为例的解题方法，通过实例和说明展示基本不等式的用途。

文章将总结结论并进行总结。

1.2 文章结构文章主要分为五个部分：引言、基本不等式解题概述、以数字为例的基本不等式解题方法、解题实例及说明、结论与总结。

1.3 目的通过对基本不等式的研究和探索，我们发现在解决数学问题中，数字1具有很大的作用。

因此，我们希望通过这篇长文向读者介绍数字1在基本不等式解题中的妙用，并指导读者如何运用它来得出准确的答案。

同时，希望读者能够从实际问题中理解和应用基本不等式，在解决各种数学问题时更加灵活和高效。

2. 基本不等式解题概述2.1 什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指在特定条件下，两个或多个数之间的关系符号。

常见的基本不等式包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)等。

这些不等式反映了数值大小之间的关系。

2.2 基本不等式的重要性基本不等式在数学解题中扮演着至关重要的角色。

通过运用基本不等式，我们可以推导出许多重要的结论和性质。

同时，基本不等式也为我们提供了一种判断和比较各种值之间大小关系的方法。

2.3 基本不等式在解题中的应用在解决实际问题和数学题目时，我们经常会遇到需要确定最大值、最小值或者区间范围的情况。

基本不等式给予了我们一种有效的思路和方法来处理这些问题。

通过对基本不等式进行灵活运用，我们可以在解决问题过程中得到更加准确且合理的答案。

具体地说，我们可借助以下几种方法使用基本不等式：3.1 理解数字对称性在解题中，我们可以利用数字的对称性来推导和比较数值的大小。

常见的对称性规则包括奇偶性、倒数关系等。

通过观察数字的特点和规律，我们可以将问题转化为一个更容易处理的形式。

3.2 利用加减法消除无关项当方程中含有多个数项时，我们可以通过相加或相减来消除一些无关项，以简化问题并获得更直接的结果。

三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学 王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。

理论一：sin 2α+cos 2α=1应用举例例1． 已知α是第一象限角，化简下式ααcos sin 21+解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗 解：ααcos s in 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2：已知3tan =α，求ααcossin 的值 解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。

我们发现ααcos sin 的分母是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了解：∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二：14tan=π（145tan 0=）应用举例 例3：求值015tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决 解：0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕs in 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例 例4：化简x x cos sin 3+解析：化简x x c o s s i n 3+，就意味着将原式化成)s in (ϕ+xa 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法 解：x x cos s in 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π+x例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos s in 2s in )(++=的最大值，并求出此时的x 的值解：x x x x y 22cos 3cos s in 2s in ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx ， 当2242πππ+=+k x ， 即)(8Z k k x ∈+=ππ时，22m a x +=y理论四：单位圆中的三角函数线的应用单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。

数字“1”在数学中有很多妙用
1. 简化计算：在乘法中，如果一个数乘以1，其结果还是原数。

例如，7.56×99+7.56=7.56×(99+1)=7.56×100=756。

这个性质可以用来简化一些复杂的计算。

2. 找隐蔽的“1”：在某些复杂简便计算中，学生可能找不到隐蔽的“1”，导致不知从何处入手。

如，7.56×99+7.56；0.25×12；1.25×
3.2；80.5÷1.25等。

在这些算式中，最后的数可以看作是原数乘以1，这样就可以轻松地运用乘法分配律来解题。

3. 比较大小：在比较大小题型中，“1”也有其妙用。

例如，对于算式a-b和b-c，如果a、b、c都是正数，且a>b>c，则有a-b>b-c>0。

这是因为a-b=(a-c)+(c-b)>b-c。

因此，对于这类问题，可以利用“1”进行比较。

4. 构造“1”：在不等式中，常常会利用“1”进行不等式的构造。

例如，求倒数和的最值、求和的最值等题型。

在这些题型中，找到和为定值或倒数和为定值的情况，然后利用均值不等求解。

5. 换“1”：当分式不齐次时，有时需要换“1”，在换“1”的时候也需要齐次。

有时需要对“1”的式子进行平方处理，构造齐次式以便能进行基本不等式的运用。

总的来说，“1”在数学中有多种妙用，能帮助学生简化计算、找隐蔽的“1”、比较大小、构造“1”以及换“1”。

浅谈数学解题中单位“1”的妙用笔者在几年小学毕业班数学教学实践中，深刻认识到：分数、百分数应用题，是小学生难于理解而又必须掌握的知识之一。

而单位“1”好比是解答这些难题的一把金钥匙，利用得当可帮助学生理解题意、掌握解题思路、发展思维，提高学生解题能力和技巧，可起到事半功倍的作用。

因此，教师在教学中引导学生掌握单位“1”的运用方法很有必要。

首先要让学生认清单位“1”，它不同于自然数中的“1”，它可表示数字“1”，更重要的是它在分数、百分数应用题中表示“一个单位、一个整体”，这在数学中就叫单位“1”或“整体1”。

所有单位“1”的量叫标准量，与它相比的量叫比较量，在解答应用题时，如单位“1”的量已知，就用单位“1”的量乘以所求量对应的分率；如求单位“1”的量，就用已知量除以已知量的对应分率。

下面谈谈单位“1”的运用。

一、单位“1”在分数（百分数）应用题中的运用。

这类应用题一般把总量看作单位“1”。

例如：甲乙两粮仓，甲仓存粮吨数是乙仓的5倍，如从甲仓运出500吨粮存入乙仓，则乙仓存粮是甲的5倍，甲仓原有存粮多少吨？这题应把两仓总存粮数看作单位“1”，由于甲乙两仓存粮数前后发生变化，原来甲占两仓总量的51+5，后来甲占两仓总量的11+5，则原甲比后甲多的500吨的对应分率是（56-16），故原甲仓存粮为500÷（56-16 ）×56。

因此，当总量不变，而分量都变化，用单位“1”解题可起简便思路的作用。

二、单位“1”在“比类”应用题中的运用。

这类应用题，又可分为三种：“份数比”类、“差比”类、“倍比”类，一般先弄清是“谁比谁”，把“后者”看作单位“1”的量。

以“差比”类应用题为例：甲数是40，乙数是80。

①求甲比乙多几分之几？②求乙比甲比少几分之几？这类应用题可用公式“相差量÷标准量”，但上题①、②问的标准量发生变化，而计算结果不同。

①（80－40）÷80＝12；②（80－40）÷40＝1。

三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学 王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。

理论一：sin 2α+cos 2α=1应用举例例1． 已知α是第一象限角，化简下式ααcos sin 21+解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗 解：ααcos sin 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2：已知3tan =α，求ααcos sin 的值解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。

我们发现ααcos sin 的分母是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了解：∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二：14tan=π（145tan 0=）应用举例 例3：求值0015tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决 解：0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕsin 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例 例4：化简x x cos sin 3+解析：化简x x cos sin 3+，就意味着将原式化成)sin(ϕ+x a 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法 解：x x cos sin 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π+x例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最大值，并求出此时的x 的值解：x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx ， 当2242πππ+=+k x ， 即)(8Z k k x ∈+=ππ时，22max +=y 理论四：单位圆中的三角函数线的应用单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。

“1”的妙用初二（10）班王佳文“牛吃草”问题也称“牛顿问题”，是由英国著名的物理学家牛顿提出的，“假设牧场上有一片青草，青草每天生长速度一样快，这片草供10头牛吃，可以吃22天，或者供16头牛吃，可以吃10天，若供25头牛吃，可以吃几天？”对于这个问题，大家首先想到的应该都是列方程求解，最开始，我将每头牛每天吃的草量设为x，将草每天生长量设为y，将原有的草量设为z，据题意可得：10x×22=22y+z16x×10=10y+z显然，这是一个三元一次方程组，而我只能列出上述两个方程，以我现在的知识能力，无法求解。

于是，我考虑怎样抵消方程组中其中一个未知数，将其变为二元一次方程组，这样就可以求解了。

经思考，我决定运用小学所学到的一种解题思路，或许可以找到解决这个问题的方法。

首先，将一头牛一天吃草量设为“1”，则上式可变化为: 10×22=22y+z16×10=10y+z解此方程组，可得y=5，z=110。

再设25头牛可吃n天,则25n=5n+110,解得n=5.5天。

得到结论后，回想整道题其实并不难，关键在于巧妙引入“1”的思想。

所以，当再次遇到此类问题，找不到足够多的方程式来求解方程组中的未知数时，就有了一种新思路，可以尝试引入“1”，去将未知数的数量减少，从而得到我们想要的答案。

生活中，类似“牛吃草”问题很常见，例如：船进水问题，抽水机抽水问题等，其实思路与牛吃草问题没什么两样，可以看为“牛吃草”的变型。

通过对“牛吃草”这个问题的研究，我们可以推广到所有数学问题，即在做题的过程中，我们要学会简化问题，这样思路会更清晰，更易于我们解题。

希望在今后能得心应手应用“1”这个思路，解决更多的问题。

同时希望通过不懈的努力，在“知识的海洋中”找到属于我的“新大陆”。

小学高年级分数应用题教学中单位“ 1”的妙用摘要：单位“1”的分数应用题解答中一个基准量的统称，实际上也可以称之为应用题的不变量。

找准单位“1”在小学数学高年级教学中十分重要，甚至关系到学生能够高效率的掌握解决方法。

本文阐述了单位“1”之于分数应用题解答的意义，提出了几种教学中常见的应用方法，给出了个人的理解与思考。

关键词：单位“1”；分数应用题；不变量；解题方法分数应用题是小学高年级段最重要的知识点之一，不仅在教学与考试中所占地位十分重要，而且也是高年级学生的学习难点所在。

在普通自然数的应用题中，小学高年级学生较为适应，但当分数加入时，就容易导致学生理解的“卡壳”。

在高年级的数学分数应用题中，巧妙运用单位“1”能够化解学生理解的困难，同时帮助他们形成灵活的解题思维。

因此，教会学生们巧妙使用单位“1”，在小学高年级分数应用题教学中要成为重要着力点。

一、分数应用题教学中单位“1”的意涵解读分数应用题是小学高年级段教学的重要内容，也是小学生进入高年级段后面临的一大考验。

许多学生很难理解分数之于应用题的意义和指代价值，因此解题时往往会陷入误区，导致效率低下。

无论是带有单位的分数，如1/5米、2/3吨，亦或是不带单位的比率，如3/4、1/6等，都是将数字变换形式的结果，也是高年级学生必须掌握的基本知识。

在低年级段的数学应用题教学中，许多学生经过几年的积累，逐步掌握了以自然数为核心的解题思维方法，但一旦变换到分数为核心的应用题场景中，往往会显得手足无措、顾此失彼，无法找到适宜的解题思路。

而在小学高年级段数学分数应用题中加入单位“1”的概念，实际上是输入了一种高效率、可广泛运用的解题思维。

这里的单位“1”既可以代指自然数“1”，也可以代指某个具体对象，如一个人、一张椅子、一块橡皮擦。

同时，单位“1”也可以指代某个整体存在的对象，如一群羊、一项工作任务、一堆纸盒等。

单位“1”中的单位是指代对象的性质，而“1”既有数量的意义，也有泛化的表意功能。