弹塑性波与冲击动力学-第二章

第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。

解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 nT 3=σ3j n j =157.31所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。

从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。

将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。

(d ）由式（2.96），可算σotc =1/3（0+100+300）=133.3τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。

弹塑性波与冲击动力学-第二章2-1材料坐标和空间坐标的连续介质力学的基本出发点之一，不是从微观角度考虑物体的真实材料结构，而是从宏观角度将物体视为连续粒子系统，也就是说，将物体视为一组连续粒子。

每个粒子在空间中占据一定的空间位置，不同的粒子在不同的时间占据不同的空间位置。

配置:在给定时间内粒子在物体中的位置排列。

如何描述粒子运动？定义坐标系(1)粒子命名(为了区分不同的粒子)，例如，xi(a，b，c) (2)描述了xi被粒子占据的空间位置。

I=1，一维；在连续介质力学中，经常使用两种观点和方法来研究介质的运动:拉格朗日法和欧拉法。

相应地，当研究杆的运动时，应该首先选择坐标系。

一般来说，有两种坐标系:拉格朗日坐标(即物质坐标，用介质粒子流来检验)和欧拉坐标(即空间坐标，用固定的空间位置来检验)。

拉格朗日描述(方法):当介质中的固定粒子观察物质的运动时，研究的是给定粒子上各种物理量随时间的变化，以及这些量从一个粒子到另一个粒子的变化。

这种描述介质运动的方法称为拉格朗日描述法，也称为按需法。

欧拉描述(方法):观察物质在固定空间点的运动。

所研究的是在给定空间点不同时间到达该点的不同粒子的各种物理量随时间的变化，以及这些物理量从一个空间点变化到另一个空间点时的变化。

这种描述介质运动的方法称为欧拉描述法，也称为局部法。

拉格朗日坐标:为了识别运动物体的粒子，一组数字(a，b，c)被用作其标记，不同的粒子由不同的数字(a，b，c)表示。

这组数字(a，b，c)被称为拉格朗日坐标(或物质坐标、卫星坐标)。

拉格朗日记法:t=t0位置，欧拉坐标:为了表示物体粒子在不同时间移动到空间中的一个位置，该位置由一组固定在空间中的坐标表示。

这组坐标称为欧拉坐标(或空间坐标)。

两种方法的例子如下:城市公共交通部门使用两种方法来计算乘客量:①在每辆公共汽车上设置一个记录器来记录在不同时间(站)上下车的乘客数量(采用拉格朗日法，即跟随体法)；(2)在每个车站设置一个记录仪，记录不同时间进出车站的车辆数量(欧拉法，即当地法)。

冲击动力学冲击动力学分为四章。

第一章包括两章：弹性波和弹塑性波。

第二部分介绍了不同应变率下的动态力学实验技术，总结了高应变率下材料的本构关系。

第三章着重分析了刚塑性梁板的动力响应，第五章介绍了惯性效应和塑性铰，第六章分析了悬臂梁的动力响应，第七章讨论了轴力和剪力对梁动力性能的影响，第八章介绍了模态分析技术、极限定理和刚塑性模型的适用性，第九章介绍了刚塑性板的动力响应分析。

第四章研究材料和结构的能量吸收，其中第10章讨论了材料和结构吸能的一般特征，第11章介绍了典型的吸能结构和材料。

”“碰撞动力学”着重阐述了碰撞动力学的基本概念、基本模型和基本方法。

文中还介绍了动态实验方法以及冲击动力学在冲击防护问题中的应用。

每章附有练习和主要参考文献，供教学和科研参考。

以冲击动力学为教材，可用于40门课程的研究生课程，为固体力学、航空航天、汽车工程、防护工程和国防工程研究生等前沿科学领域的冲击动力学及相关研究方法打下基础。

为他们进行相关的科学研究。

同时，也可供教师、科研人员、工程技术人员和相关专业大四学生自学参考。

作者简介余同希英国剑桥大学哲学博士、科学博士。

曾任北京大学力学系教授、博士生导师；英国曼彻斯特理工大学机械工程系教授。

1995年加入香港科技大学，先后任工学院副院长、机械工程系系主任、协理副校长、霍英东研究院院长等职。

研究主要集中于冲击动力学、塑性力学、结构与材料的能量吸收、复合材料与多胞材料等领域，擅长对工程问题建立力学模型并由此揭示其变形和失效机理。

已发表论文300余篇，担任《国际冲击工程学报》副主编、《国际机械工程学报》副主编，以及十余种学术刊物的编委。

目录绪论第一篇固体中的应力波第1章弹性波1.1 圆杆中的弹性波1.2 弹性波的分类1.3 波的反射和相互作用思考题习题第2章弹塑性波2.1 一维弹塑性波2.2 有限长度杆在高速冲击下的大变形2.2.1 taylor模型2.2.2 用能量法求解taylor杆问题。

第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。

综合1）～4），。

q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。

2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。

3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。

2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。